Theorem fsn2 7125

Description: A function that maps a singleton to a class is the singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 19-May-2004.)

Hypothesis

Ref	Expression
fsn2.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fsn2	⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))

Proof of Theorem fsn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsn2.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ V
2	1	snid 4638	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ {𝐴}
3		ffvelcdm 7070	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
4	2, 3	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → (𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵)
5		ffn 6705	. . . . 5 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → 𝐹 Fn {𝐴})
6		dffn3 6717	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} ↔ 𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹)
7	6	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → 𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹)
8		imadmrn 6057	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 “ dom 𝐹) = ran 𝐹
9		fndm 6640	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → dom 𝐹 = {𝐴})
10	9	imaeq2d 6047	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → (𝐹 “ dom 𝐹) = (𝐹 “ {𝐴}))
11	8, 10	eqtr3id 2784	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → ran 𝐹 = (𝐹 “ {𝐴}))
12		fnsnfv 6957	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 Fn {𝐴} ∧ 𝐴 ∈ {𝐴}) → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
13	2, 12	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → {(𝐹‘𝐴)} = (𝐹 “ {𝐴}))
14	11, 13	eqtr4d 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → ran 𝐹 = {(𝐹‘𝐴)})
15	14	feq3d 6692	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → (𝐹:{𝐴}⟶ran 𝐹 ↔ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}))
16	7, 15	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn {𝐴} → 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)})
17	5, 16	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)})
18	4, 17	jca 511	. . 3 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 → ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}))
19		snssi 4784	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 → {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵)
20		fss 6721	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)} ∧ {(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵) → 𝐹:{𝐴}⟶𝐵)
21	20	ancoms 458	. . . 4 ⊢ (({(𝐹‘𝐴)} ⊆ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}) → 𝐹:{𝐴}⟶𝐵)
22	19, 21	sylan 580	. . 3 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}) → 𝐹:{𝐴}⟶𝐵)
23	18, 22	impbii 209	. 2 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}))
24		fvex 6888	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝐴) ∈ V
25	1, 24	fsn 7124	. . 3 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)} ↔ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩})
26	25	anbi2i 623	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹:{𝐴}⟶{(𝐹‘𝐴)}) ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))
27	23, 26	bitri 275	1 ⊢ (𝐹:{𝐴}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝐴) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝐴, (𝐹‘𝐴)⟩}))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459   ⊆ wss 3926  {csn 4601  ⟨cop 4607  dom cdm 5654  ran crn 5655   “ cima 5657   Fn wfn 6525  ⟶wf 6526  ‘cfv 6530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538

This theorem is referenced by:  fsn2g  7127  fnressn  7147  fressnfv  7149  mapsnconst  8904  elixpsn  8949  en1  9036  mat1dimelbas  22407  0spth  30053  wlkl0  30294  ldepsnlinclem1  48429  ldepsnlinclem2  48430  0aryfvalel  48562  1arymaptf1  48570  termcfuncval  49365