MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsnex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsnex 7277
Description: Relate a function with a singleton as domain and one variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
fsnex.1 (𝑥 = (𝑓𝐴) → (𝜓𝜑))
Assertion
Ref Expression
fsnex (𝐴𝑉 → (∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑) ↔ ∃𝑥𝐷 𝜓))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝐷,𝑓,𝑥   𝑓,𝑉,𝑥   𝜓,𝑓   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem fsnex
StepHypRef Expression
1 fsn2g 7132 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → (𝑓:{𝐴}⟶𝐷 ↔ ((𝑓𝐴) ∈ 𝐷𝑓 = {⟨𝐴, (𝑓𝐴)⟩})))
21simprbda 499 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝑓:{𝐴}⟶𝐷) → (𝑓𝐴) ∈ 𝐷)
32adantrr 715 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑)) → (𝑓𝐴) ∈ 𝐷)
4 fsnex.1 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑓𝐴) → (𝜓𝜑))
54adantl 482 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑)) ∧ 𝑥 = (𝑓𝐴)) → (𝜓𝜑))
6 simprr 771 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑)) → 𝜑)
73, 5, 6rspcedvd 3614 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑)) → ∃𝑥𝐷 𝜓)
87ex 413 . . . 4 (𝐴𝑉 → ((𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑) → ∃𝑥𝐷 𝜓))
98exlimdv 1936 . . 3 (𝐴𝑉 → (∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑) → ∃𝑥𝐷 𝜓))
109imp 407 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑)) → ∃𝑥𝐷 𝜓)
11 nfv 1917 . . . 4 𝑥 𝐴𝑉
12 nfre1 3282 . . . 4 𝑥𝑥𝐷 𝜓
1311, 12nfan 1902 . . 3 𝑥(𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓)
14 f1osng 6871 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ V) → {⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝑥})
1514elvd 3481 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → {⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝑥})
1615ad3antrrr 728 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → {⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝑥})
17 f1of 6830 . . . . . . 7 ({⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝑥} → {⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}⟶{𝑥})
1816, 17syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → {⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}⟶{𝑥})
19 simplr 767 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → 𝑥𝐷)
2019snssd 4811 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → {𝑥} ⊆ 𝐷)
2118, 20fssd 6732 . . . . 5 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → {⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}⟶𝐷)
22 fvsng 7174 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ V) → ({⟨𝐴, 𝑥⟩}‘𝐴) = 𝑥)
2322elvd 3481 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → ({⟨𝐴, 𝑥⟩}‘𝐴) = 𝑥)
2423eqcomd 2738 . . . . . 6 (𝐴𝑉𝑥 = ({⟨𝐴, 𝑥⟩}‘𝐴))
2524ad3antrrr 728 . . . . 5 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → 𝑥 = ({⟨𝐴, 𝑥⟩}‘𝐴))
26 snex 5430 . . . . . 6 {⟨𝐴, 𝑥⟩} ∈ V
27 feq1 6695 . . . . . . 7 (𝑓 = {⟨𝐴, 𝑥⟩} → (𝑓:{𝐴}⟶𝐷 ↔ {⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}⟶𝐷))
28 fveq1 6887 . . . . . . . 8 (𝑓 = {⟨𝐴, 𝑥⟩} → (𝑓𝐴) = ({⟨𝐴, 𝑥⟩}‘𝐴))
2928eqeq2d 2743 . . . . . . 7 (𝑓 = {⟨𝐴, 𝑥⟩} → (𝑥 = (𝑓𝐴) ↔ 𝑥 = ({⟨𝐴, 𝑥⟩}‘𝐴)))
3027, 29anbi12d 631 . . . . . 6 (𝑓 = {⟨𝐴, 𝑥⟩} → ((𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴)) ↔ ({⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = ({⟨𝐴, 𝑥⟩}‘𝐴))))
3126, 30spcev 3596 . . . . 5 (({⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = ({⟨𝐴, 𝑥⟩}‘𝐴)) → ∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴)))
3221, 25, 31syl2anc 584 . . . 4 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → ∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴)))
33 simprl 769 . . . . . . 7 (((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴))) → 𝑓:{𝐴}⟶𝐷)
34 simpllr 774 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴))) ∧ 𝑓:{𝐴}⟶𝐷) → 𝜓)
35 simplrr 776 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴))) ∧ 𝑓:{𝐴}⟶𝐷) → 𝑥 = (𝑓𝐴))
3635, 4syl 17 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴))) ∧ 𝑓:{𝐴}⟶𝐷) → (𝜓𝜑))
3734, 36mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴))) ∧ 𝑓:{𝐴}⟶𝐷) → 𝜑)
3833, 37mpdan 685 . . . . . . 7 (((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴))) → 𝜑)
3933, 38jca 512 . . . . . 6 (((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴))) → (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑))
4039ex 413 . . . . 5 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → ((𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴)) → (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑)))
4140eximdv 1920 . . . 4 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → (∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴)) → ∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑)))
4232, 41mpd 15 . . 3 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → ∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑))
43 simpr 485 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) → ∃𝑥𝐷 𝜓)
4413, 42, 43r19.29af 3265 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) → ∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑))
4510, 44impbida 799 1 (𝐴𝑉 → (∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑) ↔ ∃𝑥𝐷 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wrex 3070  Vcvv 3474  {csn 4627  cop 4633  wf 6536  1-1-ontowf1o 6539  cfv 6540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator