MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsnex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsnex 7230
Description: Relate a function with a singleton as domain and one variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
fsnex.1 (𝑥 = (𝑓𝐴) → (𝜓𝜑))
Assertion
Ref Expression
fsnex (𝐴𝑉 → (∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑) ↔ ∃𝑥𝐷 𝜓))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝐷,𝑓,𝑥   𝑓,𝑉,𝑥   𝜓,𝑓   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem fsnex
StepHypRef Expression
1 fsn2g 7085 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → (𝑓:{𝐴}⟶𝐷 ↔ ((𝑓𝐴) ∈ 𝐷𝑓 = {⟨𝐴, (𝑓𝐴)⟩})))
21simprbda 500 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝑓:{𝐴}⟶𝐷) → (𝑓𝐴) ∈ 𝐷)
32adantrr 716 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑)) → (𝑓𝐴) ∈ 𝐷)
4 fsnex.1 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑓𝐴) → (𝜓𝜑))
54adantl 483 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑)) ∧ 𝑥 = (𝑓𝐴)) → (𝜓𝜑))
6 simprr 772 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑)) → 𝜑)
73, 5, 6rspcedvd 3582 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑)) → ∃𝑥𝐷 𝜓)
87ex 414 . . . 4 (𝐴𝑉 → ((𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑) → ∃𝑥𝐷 𝜓))
98exlimdv 1937 . . 3 (𝐴𝑉 → (∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑) → ∃𝑥𝐷 𝜓))
109imp 408 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑)) → ∃𝑥𝐷 𝜓)
11 nfv 1918 . . . 4 𝑥 𝐴𝑉
12 nfre1 3267 . . . 4 𝑥𝑥𝐷 𝜓
1311, 12nfan 1903 . . 3 𝑥(𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓)
14 f1osng 6826 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ V) → {⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝑥})
1514elvd 3451 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → {⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝑥})
1615ad3antrrr 729 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → {⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝑥})
17 f1of 6785 . . . . . . 7 ({⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝑥} → {⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}⟶{𝑥})
1816, 17syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → {⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}⟶{𝑥})
19 simplr 768 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → 𝑥𝐷)
2019snssd 4770 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → {𝑥} ⊆ 𝐷)
2118, 20fssd 6687 . . . . 5 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → {⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}⟶𝐷)
22 fvsng 7127 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ V) → ({⟨𝐴, 𝑥⟩}‘𝐴) = 𝑥)
2322elvd 3451 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → ({⟨𝐴, 𝑥⟩}‘𝐴) = 𝑥)
2423eqcomd 2739 . . . . . 6 (𝐴𝑉𝑥 = ({⟨𝐴, 𝑥⟩}‘𝐴))
2524ad3antrrr 729 . . . . 5 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → 𝑥 = ({⟨𝐴, 𝑥⟩}‘𝐴))
26 snex 5389 . . . . . 6 {⟨𝐴, 𝑥⟩} ∈ V
27 feq1 6650 . . . . . . 7 (𝑓 = {⟨𝐴, 𝑥⟩} → (𝑓:{𝐴}⟶𝐷 ↔ {⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}⟶𝐷))
28 fveq1 6842 . . . . . . . 8 (𝑓 = {⟨𝐴, 𝑥⟩} → (𝑓𝐴) = ({⟨𝐴, 𝑥⟩}‘𝐴))
2928eqeq2d 2744 . . . . . . 7 (𝑓 = {⟨𝐴, 𝑥⟩} → (𝑥 = (𝑓𝐴) ↔ 𝑥 = ({⟨𝐴, 𝑥⟩}‘𝐴)))
3027, 29anbi12d 632 . . . . . 6 (𝑓 = {⟨𝐴, 𝑥⟩} → ((𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴)) ↔ ({⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = ({⟨𝐴, 𝑥⟩}‘𝐴))))
3126, 30spcev 3564 . . . . 5 (({⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = ({⟨𝐴, 𝑥⟩}‘𝐴)) → ∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴)))
3221, 25, 31syl2anc 585 . . . 4 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → ∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴)))
33 simprl 770 . . . . . . 7 (((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴))) → 𝑓:{𝐴}⟶𝐷)
34 simpllr 775 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴))) ∧ 𝑓:{𝐴}⟶𝐷) → 𝜓)
35 simplrr 777 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴))) ∧ 𝑓:{𝐴}⟶𝐷) → 𝑥 = (𝑓𝐴))
3635, 4syl 17 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴))) ∧ 𝑓:{𝐴}⟶𝐷) → (𝜓𝜑))
3734, 36mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴))) ∧ 𝑓:{𝐴}⟶𝐷) → 𝜑)
3833, 37mpdan 686 . . . . . . 7 (((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴))) → 𝜑)
3933, 38jca 513 . . . . . 6 (((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴))) → (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑))
4039ex 414 . . . . 5 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → ((𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴)) → (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑)))
4140eximdv 1921 . . . 4 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → (∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴)) → ∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑)))
4232, 41mpd 15 . . 3 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → ∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑))
43 simpr 486 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) → ∃𝑥𝐷 𝜓)
4413, 42, 43r19.29af 3250 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) → ∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑))
4510, 44impbida 800 1 (𝐴𝑉 → (∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑) ↔ ∃𝑥𝐷 𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wrex 3070  Vcvv 3444  {csn 4587  cop 4593  wf 6493  1-1-ontowf1o 6496  cfv 6497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator