Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsnex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsnex 7032
 Description: Relate a function with a singleton as domain and one variable. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Jul-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
fsnex.1 (𝑥 = (𝑓𝐴) → (𝜓𝜑))
Assertion
Ref Expression
fsnex (𝐴𝑉 → (∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑) ↔ ∃𝑥𝐷 𝜓))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑓,𝑥   𝐷,𝑓,𝑥   𝑓,𝑉,𝑥   𝜓,𝑓   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝜓(𝑥)

Proof of Theorem fsnex
StepHypRef Expression
1 fsn2g 6892 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → (𝑓:{𝐴}⟶𝐷 ↔ ((𝑓𝐴) ∈ 𝐷𝑓 = {⟨𝐴, (𝑓𝐴)⟩})))
21simprbda 503 . . . . . . 7 ((𝐴𝑉𝑓:{𝐴}⟶𝐷) → (𝑓𝐴) ∈ 𝐷)
32adantrr 717 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑)) → (𝑓𝐴) ∈ 𝐷)
4 fsnex.1 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑓𝐴) → (𝜓𝜑))
54adantl 486 . . . . . 6 (((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑)) ∧ 𝑥 = (𝑓𝐴)) → (𝜓𝜑))
6 simprr 773 . . . . . 6 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑)) → 𝜑)
73, 5, 6rspcedvd 3545 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑)) → ∃𝑥𝐷 𝜓)
87ex 417 . . . 4 (𝐴𝑉 → ((𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑) → ∃𝑥𝐷 𝜓))
98exlimdv 1935 . . 3 (𝐴𝑉 → (∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑) → ∃𝑥𝐷 𝜓))
109imp 411 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑)) → ∃𝑥𝐷 𝜓)
11 nfv 1916 . . . 4 𝑥 𝐴𝑉
12 nfre1 3231 . . . 4 𝑥𝑥𝐷 𝜓
1311, 12nfan 1901 . . 3 𝑥(𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓)
14 f1osng 6643 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ V) → {⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝑥})
1514elvd 3417 . . . . . . . 8 (𝐴𝑉 → {⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝑥})
1615ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → {⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝑥})
17 f1of 6603 . . . . . . 7 ({⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}–1-1-onto→{𝑥} → {⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}⟶{𝑥})
1816, 17syl 17 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → {⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}⟶{𝑥})
19 simplr 769 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → 𝑥𝐷)
2019snssd 4700 . . . . . 6 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → {𝑥} ⊆ 𝐷)
2118, 20fssd 6514 . . . . 5 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → {⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}⟶𝐷)
22 fvsng 6934 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑉𝑥 ∈ V) → ({⟨𝐴, 𝑥⟩}‘𝐴) = 𝑥)
2322elvd 3417 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → ({⟨𝐴, 𝑥⟩}‘𝐴) = 𝑥)
2423eqcomd 2765 . . . . . 6 (𝐴𝑉𝑥 = ({⟨𝐴, 𝑥⟩}‘𝐴))
2524ad3antrrr 730 . . . . 5 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → 𝑥 = ({⟨𝐴, 𝑥⟩}‘𝐴))
26 snex 5301 . . . . . 6 {⟨𝐴, 𝑥⟩} ∈ V
27 feq1 6480 . . . . . . 7 (𝑓 = {⟨𝐴, 𝑥⟩} → (𝑓:{𝐴}⟶𝐷 ↔ {⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}⟶𝐷))
28 fveq1 6658 . . . . . . . 8 (𝑓 = {⟨𝐴, 𝑥⟩} → (𝑓𝐴) = ({⟨𝐴, 𝑥⟩}‘𝐴))
2928eqeq2d 2770 . . . . . . 7 (𝑓 = {⟨𝐴, 𝑥⟩} → (𝑥 = (𝑓𝐴) ↔ 𝑥 = ({⟨𝐴, 𝑥⟩}‘𝐴)))
3027, 29anbi12d 634 . . . . . 6 (𝑓 = {⟨𝐴, 𝑥⟩} → ((𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴)) ↔ ({⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = ({⟨𝐴, 𝑥⟩}‘𝐴))))
3126, 30spcev 3526 . . . . 5 (({⟨𝐴, 𝑥⟩}:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = ({⟨𝐴, 𝑥⟩}‘𝐴)) → ∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴)))
3221, 25, 31syl2anc 588 . . . 4 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → ∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴)))
33 simprl 771 . . . . . . 7 (((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴))) → 𝑓:{𝐴}⟶𝐷)
34 simpllr 776 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴))) ∧ 𝑓:{𝐴}⟶𝐷) → 𝜓)
35 simplrr 778 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴))) ∧ 𝑓:{𝐴}⟶𝐷) → 𝑥 = (𝑓𝐴))
3635, 4syl 17 . . . . . . . . 9 ((((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴))) ∧ 𝑓:{𝐴}⟶𝐷) → (𝜓𝜑))
3734, 36mpbid 235 . . . . . . . 8 ((((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴))) ∧ 𝑓:{𝐴}⟶𝐷) → 𝜑)
3833, 37mpdan 687 . . . . . . 7 (((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴))) → 𝜑)
3933, 38jca 516 . . . . . 6 (((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) ∧ (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴))) → (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑))
4039ex 417 . . . . 5 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → ((𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴)) → (𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑)))
4140eximdv 1919 . . . 4 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → (∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝑥 = (𝑓𝐴)) → ∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑)))
4232, 41mpd 15 . . 3 ((((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) ∧ 𝑥𝐷) ∧ 𝜓) → ∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑))
43 simpr 489 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) → ∃𝑥𝐷 𝜓)
4413, 42, 43r19.29af 3255 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∃𝑥𝐷 𝜓) → ∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑))
4510, 44impbida 801 1 (𝐴𝑉 → (∃𝑓(𝑓:{𝐴}⟶𝐷𝜑) ↔ ∃𝑥𝐷 𝜓))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2112  ∃wrex 3072  Vcvv 3410  {csn 4523  ⟨cop 4529  ⟶wf 6332  –1-1-onto→wf1o 6335  ‘cfv 6336 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5299 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4422  df-sn 4524  df-pr 4526  df-op 4530  df-uni 4800  df-br 5034  df-opab 5096  df-id 5431  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator