Theorem difmapsn 42641

Description: Difference of two sets exponentiatiated to a singleton. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
difmapsn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
difmapsn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
difmapsn.v	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
difmapsn	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})) = ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}))

Proof of Theorem difmapsn

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶}))
2	1	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶}))
3		elmapi 8595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶}) → 𝑓:{𝐶}⟶𝐴)
4	3	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶})) → 𝑓:{𝐶}⟶𝐴)
5		difmapsn.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑍)
6		fsn2g 6992	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑍 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐴 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐴 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶})) → (𝑓:{𝐶}⟶𝐴 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
9	4, 8	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶})) → ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩}))
10	9	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶})) → (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴)
11	2, 10	syldan 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴)
12		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵)
13	9	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶})) → 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})
14	2, 13	syldan 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})
16	12, 15	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩}))
17		fsn2g 6992	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑍 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐵 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
18	5, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐵 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
19	18	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑓:{𝐶}⟶𝐵 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
20	16, 19	mpbird 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → 𝑓:{𝐶}⟶𝐵)
21		difmapsn.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
22	21	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑊)
23		snex 5349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝐶} ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → {𝐶} ∈ V)
25	22, 24	elmapd 8587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m {𝐶}) ↔ 𝑓:{𝐶}⟶𝐵))
26	20, 25	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m {𝐶}))
27		eldifn 4058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m {𝐶}))
28	27	ad2antlr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m {𝐶}))
29	26, 28	pm2.65da 813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → ¬ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵)
30	11, 29	eldifd 3894	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → (𝑓‘𝐶) ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
31	30, 14	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → ((𝑓‘𝐶) ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩}))
32		fsn2g 6992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑍 → (𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
33	5, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → (𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
35	31, 34	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → 𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵))
36		difmapsn.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
37		difssd 4063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴)
38	36, 37	ssexd 5243	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
39	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ∈ V)
40	38, 39	elmapd 8587	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}) ↔ 𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵)))
41	40	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → (𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}) ↔ 𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵)))
42	35, 41	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → 𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}))
43	42	ralrimiva 3107	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}))
44		dfss3 3905	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})) ⊆ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}) ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}))
45	43, 44	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})) ⊆ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}))
46	5	snn0d 4708	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ≠ ∅)
47	36, 21, 39, 46	difmap 42636	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}) ⊆ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})))
48	45, 47	eqssd 3934	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})) = ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ⟨cop 4564  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-map 8575

This theorem is referenced by:  vonvolmbllem  44088  vonvolmbl  44089