Theorem difmapsn 46194

Description: Difference of two sets exponentiatiated to a singleton. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
difmapsn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
difmapsn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
difmapsn.v	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
difmapsn	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})) = ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}))

Proof of Theorem difmapsn

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4078	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶}))
2	1	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶}))
3		elmapi 8862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶}) → 𝑓:{𝐶}⟶𝐴)
4	3	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶})) → 𝑓:{𝐶}⟶𝐴)
5		difmapsn.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑍)
6		fsn2g 7137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑍 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐴 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐴 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
8	7	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶})) → (𝑓:{𝐶}⟶𝐴 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
9	4, 8	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶})) → ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩}))
10	9	simpld 500	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶})) → (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴)
11	2, 10	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴)
12		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵)
13	9	simprd 501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶})) → 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})
14	2, 13	syldan 603	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})
15	14	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})
16	12, 15	jca 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩}))
17		fsn2g 7137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑍 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐵 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
18	5, 17	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐵 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
19	18	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑓:{𝐶}⟶𝐵 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
20	16, 19	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → 𝑓:{𝐶}⟶𝐵)
21		difmapsn.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
22	21	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑊)
23		snex 5397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝐶} ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → {𝐶} ∈ V)
25	22, 24	elmapd 8853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m {𝐶}) ↔ 𝑓:{𝐶}⟶𝐵))
26	20, 25	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m {𝐶}))
27		eldifn 4079	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m {𝐶}))
28	27	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m {𝐶}))
29	26, 28	pm2.65da 829	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → ¬ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵)
30	11, 29	eldifd 3910	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → (𝑓‘𝐶) ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
31	30, 14	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → ((𝑓‘𝐶) ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩}))
32		fsn2g 7137	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑍 → (𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
33	5, 32	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
34	33	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → (𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
35	31, 34	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → 𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵))
36		difmapsn.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
37		difssd 4084	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴)
38	36, 37	ssexd 5286	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
39	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ∈ V)
40	38, 39	elmapd 8853	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}) ↔ 𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵)))
41	40	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → (𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}) ↔ 𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵)))
42	35, 41	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → 𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}))
43	42	ralrimiva 3155	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}))
44		dfss3 3920	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})) ⊆ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}) ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}))
45	43, 44	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})) ⊆ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}))
46	5	snn0d 4736	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ≠ ∅)
47	36, 21, 39, 46	difmap 46189	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}) ⊆ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})))
48	45, 47	eqssd 3948	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})) = ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ⟨cop 4590  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ↑_m cmap 8840

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-map 8842

This theorem is used by:  vonvolmbllem  47639  vonvolmbl  47640