Theorem difmapsn 44370

Description: Difference of two sets exponentiatiated to a singleton. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
difmapsn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
difmapsn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
difmapsn.v	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
difmapsn	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})) = ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}))

Proof of Theorem difmapsn

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4126	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶}))
2	1	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶}))
3		elmapi 8849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶}) → 𝑓:{𝐶}⟶𝐴)
4	3	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶})) → 𝑓:{𝐶}⟶𝐴)
5		difmapsn.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑍)
6		fsn2g 7138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑍 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐴 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
7	5, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐴 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶})) → (𝑓:{𝐶}⟶𝐴 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
9	4, 8	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶})) → ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩}))
10	9	simpld 494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶})) → (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴)
11	2, 10	syldan 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴)
12		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵)
13	9	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶})) → 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})
14	2, 13	syldan 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})
16	12, 15	jca 511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩}))
17		fsn2g 7138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑍 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐵 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
18	5, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐵 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
19	18	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑓:{𝐶}⟶𝐵 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
20	16, 19	mpbird 257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → 𝑓:{𝐶}⟶𝐵)
21		difmapsn.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
22	21	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑊)
23		snex 5431	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝐶} ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → {𝐶} ∈ V)
25	22, 24	elmapd 8840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m {𝐶}) ↔ 𝑓:{𝐶}⟶𝐵))
26	20, 25	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m {𝐶}))
27		eldifn 4127	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m {𝐶}))
28	27	ad2antlr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m {𝐶}))
29	26, 28	pm2.65da 814	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → ¬ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵)
30	11, 29	eldifd 3959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → (𝑓‘𝐶) ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
31	30, 14	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → ((𝑓‘𝐶) ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩}))
32		fsn2g 7138	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑍 → (𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
33	5, 32	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → (𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
35	31, 34	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → 𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵))
36		difmapsn.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
37		difssd 4132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴)
38	36, 37	ssexd 5324	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
39	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ∈ V)
40	38, 39	elmapd 8840	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}) ↔ 𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵)))
41	40	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → (𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}) ↔ 𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵)))
42	35, 41	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → 𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}))
43	42	ralrimiva 3145	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}))
44		dfss3 3970	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})) ⊆ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}) ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}))
45	43, 44	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})) ⊆ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}))
46	5	snn0d 4779	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ≠ ∅)
47	36, 21, 39, 46	difmap 44365	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}) ⊆ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})))
48	45, 47	eqssd 3999	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})) = ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  Vcvv 3473   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  {csn 4628  ⟨cop 4634  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-map 8828

This theorem is referenced by:  vonvolmbllem  45835  vonvolmbl  45836