Theorem difmapsn 45815

Description: Difference of two sets exponentiatiated to a singleton. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
difmapsn.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
difmapsn.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
difmapsn.v	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
difmapsn	⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})) = ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}))

Proof of Theorem difmapsn

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4093	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶}))
2	1	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶}))
3		elmapi 8842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶}) → 𝑓:{𝐶}⟶𝐴)
4	3	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶})) → 𝑓:{𝐶}⟶𝐴)
5		difmapsn.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑍)
6		fsn2g 7132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑍 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐴 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
7	5, 6	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐴 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
8	7	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶})) → (𝑓:{𝐶}⟶𝐴 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
9	4, 8	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶})) → ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩}))
10	9	simpld 499	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶})) → (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴)
11	2, 10	syldan 602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐴)
12		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵)
13	9	simprd 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m {𝐶})) → 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})
14	2, 13	syldan 602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})
15	14	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})
16	12, 15	jca 520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩}))
17		fsn2g 7132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑍 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐵 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
18	5, 17	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐵 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
19	18	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑓:{𝐶}⟶𝐵 ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵 ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
20	16, 19	mpbird 260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → 𝑓:{𝐶}⟶𝐵)
21		difmapsn.b	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
22	21	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑊)
23		snex 5408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝐶} ∈ V
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → {𝐶} ∈ V)
25	22, 24	elmapd 8833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑓 ∈ (𝐵 ↑m {𝐶}) ↔ 𝑓:{𝐶}⟶𝐵))
26	20, 25	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m {𝐶}))
27		eldifn 4094	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m {𝐶}))
28	27	ad2antlr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) ∧ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐵 ↑m {𝐶}))
29	26, 28	pm2.65da 828	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → ¬ (𝑓‘𝐶) ∈ 𝐵)
30	11, 29	eldifd 3924	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → (𝑓‘𝐶) ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
31	30, 14	jca 520	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → ((𝑓‘𝐶) ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩}))
32		fsn2g 7132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑍 → (𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
33	5, 32	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
34	33	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → (𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵) ↔ ((𝑓‘𝐶) ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓‘𝐶)⟩})))
35	31, 34	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → 𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵))
36		difmapsn.a	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
37		difssd 4099	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ 𝐴)
38	36, 37	ssexd 5292	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ∈ V)
39	23	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ∈ V)
40	38, 39	elmapd 8833	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}) ↔ 𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵)))
41	40	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → (𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}) ↔ 𝑓:{𝐶}⟶(𝐴 ∖ 𝐵)))
42	35, 41	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))) → 𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}))
43	42	ralrimiva 3163	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}))
44		dfss3 3934	. . 3 ⊢ (((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})) ⊆ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}) ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶}))𝑓 ∈ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}))
45	43, 44	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})) ⊆ ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}))
46	5	snn0d 4743	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐶} ≠ ∅)
47	36, 21, 39, 46	difmap 45810	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}) ⊆ ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})))
48	45, 47	eqssd 3962	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑m {𝐶}) ∖ (𝐵 ↑m {𝐶})) = ((𝐴 ∖ 𝐵) ↑m {𝐶}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  {csn 4591  ⟨cop 4597  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-map 8822

This theorem is referenced by:  vonvolmbllem  47261  vonvolmbl  47262