Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  difmapsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem difmapsn 39919
Description: Difference of two sets exponentiatiated to a singleton. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
difmapsn.a (𝜑𝐴𝑉)
difmapsn.b (𝜑𝐵𝑊)
difmapsn.v (𝜑𝐶𝑍)
Assertion
Ref Expression
difmapsn (𝜑 → ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶})) = ((𝐴𝐵) ↑𝑚 {𝐶}))

Proof of Theorem difmapsn
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 3883 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶})) → 𝑓 ∈ (𝐴𝑚 {𝐶}))
21adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) → 𝑓 ∈ (𝐴𝑚 {𝐶}))
3 elmapi 8035 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (𝐴𝑚 {𝐶}) → 𝑓:{𝐶}⟶𝐴)
43adantl 467 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐴𝑚 {𝐶})) → 𝑓:{𝐶}⟶𝐴)
5 difmapsn.v . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶𝑍)
6 fsn2g 6551 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶𝑍 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐴 ↔ ((𝑓𝐶) ∈ 𝐴𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩})))
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐴 ↔ ((𝑓𝐶) ∈ 𝐴𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩})))
87adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐴𝑚 {𝐶})) → (𝑓:{𝐶}⟶𝐴 ↔ ((𝑓𝐶) ∈ 𝐴𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩})))
94, 8mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐴𝑚 {𝐶})) → ((𝑓𝐶) ∈ 𝐴𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩}))
109simpld 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐴𝑚 {𝐶})) → (𝑓𝐶) ∈ 𝐴)
112, 10syldan 579 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) → (𝑓𝐶) ∈ 𝐴)
12 simpr 471 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑓𝐶) ∈ 𝐵)
139simprd 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓 ∈ (𝐴𝑚 {𝐶})) → 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩})
142, 13syldan 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) → 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩})
1514adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓𝐶) ∈ 𝐵) → 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩})
1612, 15jca 501 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓𝐶) ∈ 𝐵) → ((𝑓𝐶) ∈ 𝐵𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩}))
17 fsn2g 6551 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶𝑍 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐵 ↔ ((𝑓𝐶) ∈ 𝐵𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩})))
185, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑓:{𝐶}⟶𝐵 ↔ ((𝑓𝐶) ∈ 𝐵𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩})))
1918ad2antrr 705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑓:{𝐶}⟶𝐵 ↔ ((𝑓𝐶) ∈ 𝐵𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩})))
2016, 19mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓𝐶) ∈ 𝐵) → 𝑓:{𝐶}⟶𝐵)
21 difmapsn.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵𝑊)
2221ad2antrr 705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓𝐶) ∈ 𝐵) → 𝐵𝑊)
23 snex 5037 . . . . . . . . . . . 12 {𝐶} ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓𝐶) ∈ 𝐵) → {𝐶} ∈ V)
2522, 24elmapd 8027 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓𝐶) ∈ 𝐵) → (𝑓 ∈ (𝐵𝑚 {𝐶}) ↔ 𝑓:{𝐶}⟶𝐵))
2620, 25mpbird 247 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓𝐶) ∈ 𝐵) → 𝑓 ∈ (𝐵𝑚 {𝐶}))
27 eldifn 3884 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶})) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐵𝑚 {𝐶}))
2827ad2antlr 706 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) ∧ (𝑓𝐶) ∈ 𝐵) → ¬ 𝑓 ∈ (𝐵𝑚 {𝐶}))
2926, 28pm2.65da 818 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) → ¬ (𝑓𝐶) ∈ 𝐵)
3011, 29eldifd 3734 . . . . . . 7 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) → (𝑓𝐶) ∈ (𝐴𝐵))
3130, 14jca 501 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) → ((𝑓𝐶) ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩}))
32 fsn2g 6551 . . . . . . . 8 (𝐶𝑍 → (𝑓:{𝐶}⟶(𝐴𝐵) ↔ ((𝑓𝐶) ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩})))
335, 32syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑓:{𝐶}⟶(𝐴𝐵) ↔ ((𝑓𝐶) ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩})))
3433adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) → (𝑓:{𝐶}⟶(𝐴𝐵) ↔ ((𝑓𝐶) ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑓 = {⟨𝐶, (𝑓𝐶)⟩})))
3531, 34mpbird 247 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) → 𝑓:{𝐶}⟶(𝐴𝐵))
36 difmapsn.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝑉)
37 difssd 3889 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ 𝐴)
3836, 37ssexd 4940 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴𝐵) ∈ V)
3923a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝐶} ∈ V)
4038, 39elmapd 8027 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 {𝐶}) ↔ 𝑓:{𝐶}⟶(𝐴𝐵)))
4140adantr 466 . . . . 5 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) → (𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 {𝐶}) ↔ 𝑓:{𝐶}⟶(𝐴𝐵)))
4235, 41mpbird 247 . . . 4 ((𝜑𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))) → 𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 {𝐶}))
4342ralrimiva 3115 . . 3 (𝜑 → ∀𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 {𝐶}))
44 dfss3 3741 . . 3 (((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶})) ⊆ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 {𝐶}) ↔ ∀𝑓 ∈ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶}))𝑓 ∈ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 {𝐶}))
4543, 44sylibr 224 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶})) ⊆ ((𝐴𝐵) ↑𝑚 {𝐶}))
465snn0d 39777 . . 3 (𝜑 → {𝐶} ≠ ∅)
4736, 21, 39, 46difmap 39914 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵) ↑𝑚 {𝐶}) ⊆ ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶})))
4845, 47eqssd 3769 1 (𝜑 → ((𝐴𝑚 {𝐶}) ∖ (𝐵𝑚 {𝐶})) = ((𝐴𝐵) ↑𝑚 {𝐶}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  Vcvv 3351  cdif 3720  wss 3723  {csn 4317  cop 4323  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6796  𝑚 cmap 8013
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-map 8015
This theorem is referenced by:  vonvolmbllem  41389  vonvolmbl  41390
  Copyright terms: Public domain W3C validator