Theorem funcsetcestrclem6 18095

Description: Lemma 6 for funcsetcestrc 18099. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrclem6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋)) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻) = 𝐻)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝑦,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
2		funcsetcestrc.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
3		funcsetcestrc.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
4		funcsetcestrc.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
5		funcsetcestrc.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6		funcsetcestrc.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	funcsetcestrclem5 18094	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌) = ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)))
8	7	3adant3 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋)) → (𝑋𝐺𝑌) = ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)))
9	8	fveq1d 6844	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋)) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻) = (( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋))‘𝐻))
10		fvresi 7129	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) → (( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋))‘𝐻) = 𝐻)
11	10	3ad2ant3 1136	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋)) → (( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋))‘𝐻) = 𝐻)
12	9, 11	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋)) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻) = 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4582  ⟨cop 4588   ↦ cmpt 5181   I cid 5526   ↾ cres 5634  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  ωcom 7818   ↑_m cmap 8775  WUnicwun 10623  ndxcnx 17132  Basecbs 17148  SetCatcsetc 18011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373

This theorem is referenced by:  funcsetcestrclem9  18098  fthsetcestrc  18100  fullsetcestrc  18101