Theorem funcsetcestrclem6 18206

Description: Lemma 6 for funcsetcestrc 18210. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrclem6	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋)) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻) = 𝐻)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝑦,𝑋   𝑥,𝑌,𝑦   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
2		funcsetcestrc.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
3		funcsetcestrc.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
4		funcsetcestrc.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
5		funcsetcestrc.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6		funcsetcestrc.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	funcsetcestrclem5 18205	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑌) = ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)))
8	7	3adant3 1148	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋)) → (𝑋𝐺𝑌) = ( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋)))
9	8	fveq1d 6873	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋)) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻) = (( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋))‘𝐻))
10		fvresi 7161	. . 3 ⊢ (𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋) → (( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋))‘𝐻) = 𝐻)
11	10	3ad2ant3 1151	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋)) → (( I ↾ (𝑌 ↑m 𝑋))‘𝐻) = 𝐻)
12	9, 11	eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) ∧ 𝐻 ∈ (𝑌 ↑m 𝑋)) → ((𝑋𝐺𝑌)‘𝐻) = 𝐻)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  {csn 4585  ⟨cop 4591   ↦ cmpt 5186   I cid 5546   ↾ cres 5654  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ∈ cmpo 7402  ωcom 7850   ↑_m cmap 8812  WUnicwun 10673  ndxcnx 17243  Basecbs 17259  SetCatcsetc 18122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405

This theorem is referenced by:  funcsetcestrclem9  18209  fthsetcestrc  18211  fullsetcestrc  18212