Theorem funcsetcestrclem7 18109

Description: Lemma 7 for funcsetcestrc 18112. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
funcsetcestrc.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrclem7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑆)‘𝑋)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
2		funcsetcestrc.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
3		funcsetcestrc.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
4		funcsetcestrc.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
5		funcsetcestrc.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6		funcsetcestrc.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	funcsetcestrclem5 18107	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ (𝑋 ↑m 𝑋)))
8	7	anabsan2 672	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ (𝑋 ↑m 𝑋)))
9		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Id‘𝑆) = (Id‘𝑆)
10	4	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑈 ∈ WUni)
11	1, 4	setcbas 18024	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑆))
12	2, 11	eqtr4id 2791	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝑈)
13	12	eleq2d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
14	13	biimpa 477	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝑈)
15	1, 9, 10, 14	setcid 18032	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((Id‘𝑆)‘𝑋) = ( I ↾ 𝑋))
16	8, 15	fveq12d 6895	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑆)‘𝑋)) = (( I ↾ (𝑋 ↑m 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)))
17		f1oi 6868	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝑋):𝑋–1-1-onto→𝑋
18		f1of 6830	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝑋):𝑋–1-1-onto→𝑋 → ( I ↾ 𝑋):𝑋⟶𝑋)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝑋):𝑋⟶𝑋
20		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝐶)
21	20, 20	elmapd 8830	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝑋 ↑m 𝑋) ↔ ( I ↾ 𝑋):𝑋⟶𝑋))
22	19, 21	mpbiri 257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝑋 ↑m 𝑋))
23		fvresi 7167	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝑋 ↑m 𝑋) → (( I ↾ (𝑋 ↑m 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)) = ( I ↾ 𝑋))
24	22, 23	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (( I ↾ (𝑋 ↑m 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)) = ( I ↾ 𝑋))
25		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}
26	25	1strbas 17157	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
27	20, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
28	27	reseq2d 5979	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ( I ↾ 𝑋) = ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})))
29	24, 28	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (( I ↾ (𝑋 ↑m 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)) = ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})))
30	1, 2, 3	funcsetcestrclem1 18102	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
31	30	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑋)) = ((Id‘𝐸)‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
32		funcsetcestrc.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
33		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
34	1, 2, 4, 5	setc1strwun 18101	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} ∈ 𝑈)
35	32, 33, 10, 34	estrcid 18081	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((Id‘𝐸)‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}) = ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})))
36	31, 35	eqtr2d 2773	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑋)))
37	16, 29, 36	3eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑆)‘𝑋)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4627  ⟨cop 4633   ↦ cmpt 5230   I cid 5572   ↾ cres 5677  ⟶wf 6536  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  ωcom 7851   ↑_m cmap 8816  WUnicwun 10691  ndxcnx 17122  Basecbs 17140  Idccid 17605  SetCatcsetc 18021  ExtStrCatcestrc 18069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-ec 8701  df-qs 8705  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-wun 10693  df-ni 10863  df-pli 10864  df-mi 10865  df-lti 10866  df-plpq 10899  df-mpq 10900  df-ltpq 10901  df-enq 10902  df-nq 10903  df-erq 10904  df-plq 10905  df-mq 10906  df-1nq 10907  df-rq 10908  df-ltnq 10909  df-np 10972  df-plp 10974  df-ltp 10976  df-enr 11046  df-nr 11047  df-c 11112  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-hom 17217  df-cco 17218  df-cat 17608  df-cid 17609  df-setc 18022  df-estrc 18070

This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  18112