Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsetcestrclem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcsetcestrclem7 17403
 Description: Lemma 7 for funcsetcestrc 17406. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsetcestrc.s 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u (𝜑𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦m 𝑥))))
funcsetcestrc.e 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
funcsetcestrclem7 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑆)‘𝑋)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem7
StepHypRef Expression
1 funcsetcestrc.s . . . . 5 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
2 funcsetcestrc.c . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑆)
3 funcsetcestrc.f . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
4 funcsetcestrc.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
5 funcsetcestrc.o . . . . 5 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6 funcsetcestrc.g . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦m 𝑥))))
71, 2, 3, 4, 5, 6funcsetcestrclem5 17401 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑋𝐶)) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ (𝑋m 𝑋)))
87anabsan2 672 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ (𝑋m 𝑋)))
9 eqid 2819 . . . 4 (Id‘𝑆) = (Id‘𝑆)
104adantr 483 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑈 ∈ WUni)
111, 4setcbas 17330 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 = (Base‘𝑆))
1211, 2syl6reqr 2873 . . . . . 6 (𝜑𝐶 = 𝑈)
1312eleq2d 2896 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐶𝑋𝑈))
1413biimpa 479 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑋𝑈)
151, 9, 10, 14setcid 17338 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ((Id‘𝑆)‘𝑋) = ( I ↾ 𝑋))
168, 15fveq12d 6670 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑆)‘𝑋)) = (( I ↾ (𝑋m 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)))
17 f1oi 6645 . . . . . 6 ( I ↾ 𝑋):𝑋1-1-onto𝑋
18 f1of 6608 . . . . . 6 (( I ↾ 𝑋):𝑋1-1-onto𝑋 → ( I ↾ 𝑋):𝑋𝑋)
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5 ( I ↾ 𝑋):𝑋𝑋
20 simpr 487 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑋𝐶)
2120, 20elmapd 8412 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝑋m 𝑋) ↔ ( I ↾ 𝑋):𝑋𝑋))
2219, 21mpbiri 260 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝑋m 𝑋))
23 fvresi 6928 . . . 4 (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝑋m 𝑋) → (( I ↾ (𝑋m 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)) = ( I ↾ 𝑋))
2422, 23syl 17 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → (( I ↾ (𝑋m 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)) = ( I ↾ 𝑋))
25 eqid 2819 . . . . . 6 {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}
26251strbas 16591 . . . . 5 (𝑋𝐶𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
2720, 26syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
2827reseq2d 5846 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ( I ↾ 𝑋) = ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})))
2924, 28eqtrd 2854 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → (( I ↾ (𝑋m 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)) = ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})))
301, 2, 3funcsetcestrclem1 17396 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐹𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
3130fveq2d 6667 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ((Id‘𝐸)‘(𝐹𝑋)) = ((Id‘𝐸)‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
32 funcsetcestrc.e . . . 4 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
33 eqid 2819 . . . 4 (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
341, 2, 4, 5setc1strwun 17395 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} ∈ 𝑈)
3532, 33, 10, 34estrcid 17376 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ((Id‘𝐸)‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}) = ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})))
3631, 35eqtr2d 2855 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹𝑋)))
3716, 29, 363eqtrd 2858 1 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑆)‘𝑋)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1530   ∈ wcel 2107  {csn 4559  ⟨cop 4565   ↦ cmpt 5137   I cid 5452   ↾ cres 5550  ⟶wf 6344  –1-1-onto→wf1o 6347  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148   ∈ cmpo 7150  ωcom 7572   ↑m cmap 8398  WUnicwun 10114  ndxcnx 16472  Basecbs 16475  Idccid 16928  SetCatcsetc 17327  ExtStrCatcestrc 17364 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-omul 8099  df-er 8281  df-ec 8283  df-qs 8287  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-wun 10116  df-ni 10286  df-pli 10287  df-mi 10288  df-lti 10289  df-plpq 10322  df-mpq 10323  df-ltpq 10324  df-enq 10325  df-nq 10326  df-erq 10327  df-plq 10328  df-mq 10329  df-1nq 10330  df-rq 10331  df-ltnq 10332  df-np 10395  df-plp 10397  df-ltp 10399  df-enr 10469  df-nr 10470  df-c 10535  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-hom 16581  df-cco 16582  df-cat 16931  df-cid 16932  df-setc 17328  df-estrc 17365 This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  17406
 Copyright terms: Public domain W3C validator