MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  funcsetcestrclem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem funcsetcestrclem7 18155
Description: Lemma 7 for funcsetcestrc 18158. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsetcestrc.s 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u (𝜑𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦m 𝑥))))
funcsetcestrc.e 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
funcsetcestrclem7 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑆)‘𝑋)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem7
StepHypRef Expression
1 funcsetcestrc.s . . . . 5 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
2 funcsetcestrc.c . . . . 5 𝐶 = (Base‘𝑆)
3 funcsetcestrc.f . . . . 5 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
4 funcsetcestrc.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
5 funcsetcestrc.o . . . . 5 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6 funcsetcestrc.g . . . . 5 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦m 𝑥))))
71, 2, 3, 4, 5, 6funcsetcestrclem5 18153 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐶𝑋𝐶)) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ (𝑋m 𝑋)))
87anabsan2 672 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ (𝑋m 𝑋)))
9 eqid 2725 . . . 4 (Id‘𝑆) = (Id‘𝑆)
104adantr 479 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑈 ∈ WUni)
111, 4setcbas 18070 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 = (Base‘𝑆))
122, 11eqtr4id 2784 . . . . . 6 (𝜑𝐶 = 𝑈)
1312eleq2d 2811 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐶𝑋𝑈))
1413biimpa 475 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑋𝑈)
151, 9, 10, 14setcid 18078 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ((Id‘𝑆)‘𝑋) = ( I ↾ 𝑋))
168, 15fveq12d 6903 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑆)‘𝑋)) = (( I ↾ (𝑋m 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)))
17 f1oi 6876 . . . . . 6 ( I ↾ 𝑋):𝑋1-1-onto𝑋
18 f1of 6838 . . . . . 6 (( I ↾ 𝑋):𝑋1-1-onto𝑋 → ( I ↾ 𝑋):𝑋𝑋)
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5 ( I ↾ 𝑋):𝑋𝑋
20 simpr 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑋𝐶)
2120, 20elmapd 8859 . . . . 5 ((𝜑𝑋𝐶) → (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝑋m 𝑋) ↔ ( I ↾ 𝑋):𝑋𝑋))
2219, 21mpbiri 257 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝑋m 𝑋))
23 fvresi 7182 . . . 4 (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝑋m 𝑋) → (( I ↾ (𝑋m 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)) = ( I ↾ 𝑋))
2422, 23syl 17 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → (( I ↾ (𝑋m 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)) = ( I ↾ 𝑋))
25 eqid 2725 . . . . . 6 {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}
26251strbas 17200 . . . . 5 (𝑋𝐶𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
2720, 26syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
2827reseq2d 5985 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ( I ↾ 𝑋) = ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})))
2924, 28eqtrd 2765 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → (( I ↾ (𝑋m 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)) = ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})))
301, 2, 3funcsetcestrclem1 18148 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → (𝐹𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
3130fveq2d 6900 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ((Id‘𝐸)‘(𝐹𝑋)) = ((Id‘𝐸)‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
32 funcsetcestrc.e . . . 4 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
33 eqid 2725 . . . 4 (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
341, 2, 4, 5setc1strwun 18147 . . . 4 ((𝜑𝑋𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} ∈ 𝑈)
3532, 33, 10, 34estrcid 18127 . . 3 ((𝜑𝑋𝐶) → ((Id‘𝐸)‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}) = ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})))
3631, 35eqtr2d 2766 . 2 ((𝜑𝑋𝐶) → ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹𝑋)))
3716, 29, 363eqtrd 2769 1 ((𝜑𝑋𝐶) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑆)‘𝑋)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {csn 4630  cop 4636  cmpt 5232   I cid 5575  cres 5680  wf 6545  1-1-ontowf1o 6548  cfv 6549  (class class class)co 7419  cmpo 7421  ωcom 7871  m cmap 8845  WUnicwun 10725  ndxcnx 17165  Basecbs 17183  Idccid 17648  SetCatcsetc 18067  ExtStrCatcestrc 18115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-ec 8727  df-qs 8731  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-wun 10727  df-ni 10897  df-pli 10898  df-mi 10899  df-lti 10900  df-plpq 10933  df-mpq 10934  df-ltpq 10935  df-enq 10936  df-nq 10937  df-erq 10938  df-plq 10939  df-mq 10940  df-1nq 10941  df-rq 10942  df-ltnq 10943  df-np 11006  df-plp 11008  df-ltp 11010  df-enr 11080  df-nr 11081  df-c 11146  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-hom 17260  df-cco 17261  df-cat 17651  df-cid 17652  df-setc 18068  df-estrc 18116
This theorem is referenced by:  funcsetcestrc  18158
  Copyright terms: Public domain W3C validator