Theorem funcsetcestrclem7 18340

Description: Lemma 7 for funcsetcestrc 18343. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
funcsetcestrc.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrclem7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑆)‘𝑋)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥, 𝑦)   𝑈(𝑥, 𝑦)   𝐸(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
2		funcsetcestrc.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
3		funcsetcestrc.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
4		funcsetcestrc.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
5		funcsetcestrc.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6		funcsetcestrc.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	funcsetcestrclem5 18338	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ (𝑋 ↑m 𝑋)))
8	7	anabsan2 687	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ (𝑋 ↑m 𝑋)))
9		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Id‘𝑆) = (Id‘𝑆)
10	4	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑈 ∈ WUni)
11	1, 4	setcbas 18258	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑆))
12	2, 11	eqtr4id 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝑈)
13	12	eleq2d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
14	13	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝑈)
15	1, 9, 10, 14	setcid 18266	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((Id‘𝑆)‘𝑋) = ( I ↾ 𝑋))
16	8, 15	fveq12d 6892	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑆)‘𝑋)) = (( I ↾ (𝑋 ↑m 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)))
17		f1oi 6863	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝑋):𝑋–1-1-onto→𝑋
18		f1of 6824	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝑋):𝑋–1-1-onto→𝑋 → ( I ↾ 𝑋):𝑋⟶𝑋)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝑋):𝑋⟶𝑋
20		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝐶)
21	20, 20	elmapd 8863	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝑋 ↑m 𝑋) ↔ ( I ↾ 𝑋):𝑋⟶𝑋))
22	19, 21	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝑋 ↑m 𝑋))
23		fvresi 7178	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝑋 ↑m 𝑋) → (( I ↾ (𝑋 ↑m 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)) = ( I ↾ 𝑋))
24	22, 23	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (( I ↾ (𝑋 ↑m 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)) = ( I ↾ 𝑋))
25		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}
26	25	1strbas 17407	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
27	20, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
28	27	reseq2d 5969	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ( I ↾ 𝑋) = ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})))
29	24, 28	eqtrd 2795	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (( I ↾ (𝑋 ↑m 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)) = ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})))
30	1, 2, 3	funcsetcestrclem1 18333	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
31	30	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑋)) = ((Id‘𝐸)‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
32		funcsetcestrc.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
33		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
34	1, 2, 4, 5	setc1strwun 18332	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} ∈ 𝑈)
35	32, 33, 10, 34	estrcid 18313	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((Id‘𝐸)‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}) = ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})))
36	31, 35	eqtr2d 2796	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑋)))
37	16, 29, 36	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑆)‘𝑋)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {csn 4584  ⟨cop 4834   ↦ cmpt 5185   I cid 5544   ↾ cres 5652  ⟶wf 6534  –1-1-onto→wf1o 6537  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  ωcom 7877   ↑_m cmap 8850  WUnicwun 10788  ndxcnx 17376  Basecbs 17392  Idccid 17844  SetCatcsetc 18255  ExtStrCatcestrc 18301

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-oadd 8483  df-omul 8484  df-er 8720  df-ec 8722  df-qs 8726  df-map 8852  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-wun 10790  df-ni 10960  df-pli 10961  df-mi 10962  df-lti 10963  df-plpq 10996  df-mpq 10997  df-ltpq 10998  df-enq 10999  df-nq 11000  df-erq 11001  df-plq 11002  df-mq 11003  df-1nq 11004  df-rq 11005  df-ltnq 11006  df-np 11069  df-plp 11071  df-ltp 11073  df-enr 11143  df-nr 11144  df-c 11209  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-fz 13643  df-struct 17330  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-hom 17457  df-cco 17458  df-cat 17847  df-cid 17848  df-setc 18256  df-estrc 18302

This theorem is used by:  funcsetcestrc  18343