Theorem funcsetcestrclem7 18223

Description: Lemma 7 for funcsetcestrc 18226. (Contributed by AV, 27-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
funcsetcestrc.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
funcsetcestrclem7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑆)‘𝑋)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝑦,𝑋   𝜑,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥, 𝑦)   𝑈(𝑥, 𝑦)   𝐸(𝑥, 𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem funcsetcestrclem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
2		funcsetcestrc.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
3		funcsetcestrc.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
4		funcsetcestrc.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
5		funcsetcestrc.o	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6		funcsetcestrc.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	funcsetcestrclem5 18221	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶)) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ (𝑋 ↑m 𝑋)))
8	7	anabsan2 686	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝑋𝐺𝑋) = ( I ↾ (𝑋 ↑m 𝑋)))
9		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Id‘𝑆) = (Id‘𝑆)
10	4	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑈 ∈ WUni)
11	1, 4	setcbas 18141	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑆))
12	2, 11	eqtr4id 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝑈)
13	12	eleq2d 2848	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐶 ↔ 𝑋 ∈ 𝑈))
14	13	biimpa 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝑈)
15	1, 9, 10, 14	setcid 18149	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((Id‘𝑆)‘𝑋) = ( I ↾ 𝑋))
16	8, 15	fveq12d 6888	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑆)‘𝑋)) = (( I ↾ (𝑋 ↑m 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)))
17		f1oi 6859	. . . . . 6 ⊢ ( I ↾ 𝑋):𝑋–1-1-onto→𝑋
18		f1of 6820	. . . . . 6 ⊢ (( I ↾ 𝑋):𝑋–1-1-onto→𝑋 → ( I ↾ 𝑋):𝑋⟶𝑋)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ( I ↾ 𝑋):𝑋⟶𝑋
20		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 ∈ 𝐶)
21	20, 20	elmapd 8835	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝑋 ↑m 𝑋) ↔ ( I ↾ 𝑋):𝑋⟶𝑋))
22	19, 21	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ( I ↾ 𝑋) ∈ (𝑋 ↑m 𝑋))
23		fvresi 7171	. . . 4 ⊢ (( I ↾ 𝑋) ∈ (𝑋 ↑m 𝑋) → (( I ↾ (𝑋 ↑m 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)) = ( I ↾ 𝑋))
24	22, 23	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (( I ↾ (𝑋 ↑m 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)) = ( I ↾ 𝑋))
25		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}
26	25	1strbas 17290	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐶 → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
27	20, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → 𝑋 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
28	27	reseq2d 5977	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ( I ↾ 𝑋) = ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})))
29	24, 28	eqtrd 2797	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (( I ↾ (𝑋 ↑m 𝑋))‘( I ↾ 𝑋)) = ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})))
30	1, 2, 3	funcsetcestrclem1 18216	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑋) = {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})
31	30	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑋)) = ((Id‘𝐸)‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}))
32		funcsetcestrc.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
33		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Id‘𝐸) = (Id‘𝐸)
34	1, 2, 4, 5	setc1strwun 18215	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → {⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩} ∈ 𝑈)
35	32, 33, 10, 34	estrcid 18196	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((Id‘𝐸)‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩}) = ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})))
36	31, 35	eqtr2d 2798	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ( I ↾ (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑋⟩})) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑋)))
37	16, 29, 36	3eqtrd 2801	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐶) → ((𝑋𝐺𝑋)‘((Id‘𝑆)‘𝑋)) = ((Id‘𝐸)‘(𝐹‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  {csn 4588  ⟨cop 4594   ↦ cmpt 5191   I cid 5554   ↾ cres 5662  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ∈ cmpo 7414  ωcom 7860   ↑_m cmap 8822  WUnicwun 10691  ndxcnx 17259  Basecbs 17275  Idccid 17727  SetCatcsetc 18138  ExtStrCatcestrc 18184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-inf2 9608  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-oadd 8455  df-omul 8456  df-er 8692  df-ec 8694  df-qs 8698  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-wun 10693  df-ni 10863  df-pli 10864  df-mi 10865  df-lti 10866  df-plpq 10899  df-mpq 10900  df-ltpq 10901  df-enq 10902  df-nq 10903  df-erq 10904  df-plq 10905  df-mq 10906  df-1nq 10907  df-rq 10908  df-ltnq 10909  df-np 10972  df-plp 10974  df-ltp 10976  df-enr 11046  df-nr 11047  df-c 11112  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-fz 13542  df-struct 17213  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-hom 17340  df-cco 17341  df-cat 17730  df-cid 17731  df-setc 18139  df-estrc 18185

This theorem is used by:  funcsetcestrc  18226