Theorem fullsetcestrc 18247

Description: The "embedding functor" from the category of sets into the category of extensible structures which sends each set to an extensible structure consisting of the base set slot only is full. (Contributed by AV, 1-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
funcsetcestrc.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
fullsetcestrc	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑆 Full 𝐸)𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝜑,𝑦   𝑥,𝐸

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥, 𝑦)   𝑈(𝑥, 𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem fullsetcestrc

Dummy variables 𝑎 𝑏 ℎ 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
2		funcsetcestrc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
3		funcsetcestrc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
4		funcsetcestrc.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
5		funcsetcestrc.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6		funcsetcestrc.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
7		funcsetcestrc.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	funcsetcestrc 18245	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑆 Func 𝐸)𝐺)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	funcsetcestrclem8 18243	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)⟶((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)))
10	4	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → 𝑈 ∈ WUni)
11		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
12	1, 2, 3, 4, 5	funcsetcestrclem2 18236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝑈)
13	12	adantrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝑈)
14	1, 2, 3, 4, 5	funcsetcestrclem2 18236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑈)
15	14	adantrl 729	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑈)
16		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑎)) = (Base‘(𝐹‘𝑎))
17		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑏)) = (Base‘(𝐹‘𝑏))
18	7, 10, 11, 13, 15, 16, 17	elestrchom 18209	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (ℎ ∈ ((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)) ↔ ℎ:(Base‘(𝐹‘𝑎))⟶(Base‘(𝐹‘𝑏))))
19	1, 2, 3	funcsetcestrclem1 18235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑎) = {⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩})
20	19	adantrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑎) = {⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩})
21	20	fveq2d 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑎)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩}))
22		eqid 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩}
23	22	1strbas 17309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐶 → 𝑎 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩}))
24	23	ad2antrl 741	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → 𝑎 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩}))
25	21, 24	eqtr4d 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑎)) = 𝑎)
26	1, 2, 3	funcsetcestrclem1 18235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑏) = {⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩})
27	26	adantrl 729	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑏) = {⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩})
28	27	fveq2d 6892	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑏)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩}))
29		eqid 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩}
30	29	1strbas 17309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐶 → 𝑏 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩}))
31	30	ad2antll 742	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → 𝑏 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩}))
32	28, 31	eqtr4d 2804	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑏)) = 𝑏)
33	25, 32	feq23d 6707	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (ℎ:(Base‘(𝐹‘𝑎))⟶(Base‘(𝐹‘𝑏)) ↔ ℎ:𝑎⟶𝑏))
34		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶))
35	34	ancomd 467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝑏 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ∈ 𝐶))
36		elmapg 8845	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (ℎ ∈ (𝑏 ↑m 𝑎) ↔ ℎ:𝑎⟶𝑏))
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (ℎ ∈ (𝑏 ↑m 𝑎) ↔ ℎ:𝑎⟶𝑏))
38	37	biimpar 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ ℎ:𝑎⟶𝑏) → ℎ ∈ (𝑏 ↑m 𝑎))
39		equequ2 2059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = ℎ → (ℎ = 𝑘 ↔ ℎ = ℎ))
40	39	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ ℎ:𝑎⟶𝑏) ∧ 𝑘 = ℎ) → (ℎ = 𝑘 ↔ ℎ = ℎ))
41		eqidd 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ ℎ:𝑎⟶𝑏) → ℎ = ℎ)
42	38, 40, 41	rspcedvd 3586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ ℎ:𝑎⟶𝑏) → ∃𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)ℎ = 𝑘)
43	1, 2, 3, 4, 5, 6	funcsetcestrclem6 18241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)) → ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) = 𝑘)
44	43	3expa 1136	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)) → ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) = 𝑘)
45	44	eqeq2d 2777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)) → (ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) ↔ ℎ = 𝑘))
46	45	rexbidva 3190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (∃𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)ℎ = 𝑘))
47	46	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ ℎ:𝑎⟶𝑏) → (∃𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)ℎ = 𝑘))
48	42, 47	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ ℎ:𝑎⟶𝑏) → ∃𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘))
49		eqid 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
50	1, 4	setcbas 18160	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑆))
51	2, 50	eqtr4id 2820	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝑈)
52	51	eleq2d 2852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐶 ↔ 𝑎 ∈ 𝑈))
53	52	biimpcd 252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐶 → (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝑈))
54	53	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) → (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝑈))
55	54	impcom 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
56	51	eleq2d 2852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐶 ↔ 𝑏 ∈ 𝑈))
57	56	biimpcd 252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐶 → (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝑈))
58	57	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) → (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝑈))
59	58	impcom 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → 𝑏 ∈ 𝑈)
60	1, 10, 49, 55, 59	setchom 18162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) = (𝑏 ↑m 𝑎))
61	60	rexeqdv 3327	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (∃𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘)))
62	61	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ ℎ:𝑎⟶𝑏) → (∃𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘)))
63	48, 62	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ ℎ:𝑎⟶𝑏) → ∃𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘))
64	63	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (ℎ:𝑎⟶𝑏 → ∃𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘)))
65	33, 64	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (ℎ:(Base‘(𝐹‘𝑎))⟶(Base‘(𝐹‘𝑏)) → ∃𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘)))
66	18, 65	sylbid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (ℎ ∈ ((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)) → ∃𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘)))
67	66	ralrimiv 3159	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → ∀ℎ ∈ ((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏))∃𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘))
68		dffo3 7104	. . . 4 ⊢ ((𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)–onto→((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)) ↔ ((𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)⟶((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)) ∧ ∀ℎ ∈ ((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏))∃𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘)))
69	9, 67, 68	sylanbrc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)–onto→((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)))
70	69	ralrimivva 3211	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐶 (𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)–onto→((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)))
71	2, 11, 49	isfull2 17995	. 2 ⊢ (𝐹(𝑆 Full 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹(𝑆 Func 𝐸)𝐺 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐶 (𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)–onto→((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏))))
72	8, 70, 71	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑆 Full 𝐸)𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  ∃wrex 3092  {csn 4594  ⟨cop 4600   class class class wbr 5114   ↦ cmpt 5197   I cid 5560   ↾ cres 5668  ⟶wf 6539  –onto→wfo 6541  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ∈ cmpo 7425  ωcom 7871   ↑_m cmap 8833  WUnicwun 10703  ndxcnx 17278  Basecbs 17294  Hom chom 17346   Func cfunc 17936   Full cful 17986  SetCatcsetc 18157  ExtStrCatcestrc 18203

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-wun 10705  df-ni 10875  df-pli 10876  df-mi 10877  df-lti 10878  df-plpq 10911  df-mpq 10912  df-ltpq 10913  df-enq 10914  df-nq 10915  df-erq 10916  df-plq 10917  df-mq 10918  df-1nq 10919  df-rq 10920  df-ltnq 10921  df-np 10984  df-plp 10986  df-ltp 10988  df-enr 11058  df-nr 11059  df-c 11124  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-hom 17359  df-cco 17360  df-cat 17749  df-cid 17750  df-func 17940  df-full 17988  df-setc 18158  df-estrc 18204

This theorem is used by: (None)