Theorem fullsetcestrc 18054

Description: The "embedding functor" from the category of sets into the category of extensible structures which sends each set to an extensible structure consisting of the base set slot only is full. (Contributed by AV, 1-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
funcsetcestrc.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
fullsetcestrc	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑆 Full 𝐸)𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝜑,𝑦   𝑥,𝐸

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fullsetcestrc

Dummy variables 𝑎 𝑏 ℎ 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
2		funcsetcestrc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
3		funcsetcestrc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
4		funcsetcestrc.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
5		funcsetcestrc.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6		funcsetcestrc.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
7		funcsetcestrc.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	funcsetcestrc 18052	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑆 Func 𝐸)𝐺)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	funcsetcestrclem8 18050	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)⟶((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)))
10	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → 𝑈 ∈ WUni)
11		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
12	1, 2, 3, 4, 5	funcsetcestrclem2 18043	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝑈)
13	12	adantrr 715	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝑈)
14	1, 2, 3, 4, 5	funcsetcestrclem2 18043	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑈)
15	14	adantrl 714	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑈)
16		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑎)) = (Base‘(𝐹‘𝑎))
17		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑏)) = (Base‘(𝐹‘𝑏))
18	7, 10, 11, 13, 15, 16, 17	elestrchom 18015	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (ℎ ∈ ((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)) ↔ ℎ:(Base‘(𝐹‘𝑎))⟶(Base‘(𝐹‘𝑏))))
19	1, 2, 3	funcsetcestrclem1 18042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑎) = {⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩})
20	19	adantrr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑎) = {⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩})
21	20	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑎)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩}))
22		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩}
23	22	1strbas 17100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐶 → 𝑎 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩}))
24	23	ad2antrl 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → 𝑎 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩}))
25	21, 24	eqtr4d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑎)) = 𝑎)
26	1, 2, 3	funcsetcestrclem1 18042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑏) = {⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩})
27	26	adantrl 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑏) = {⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩})
28	27	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑏)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩}))
29		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩}
30	29	1strbas 17100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐶 → 𝑏 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩}))
31	30	ad2antll 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → 𝑏 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩}))
32	28, 31	eqtr4d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑏)) = 𝑏)
33	25, 32	feq23d 6663	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (ℎ:(Base‘(𝐹‘𝑎))⟶(Base‘(𝐹‘𝑏)) ↔ ℎ:𝑎⟶𝑏))
34		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶))
35	34	ancomd 462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝑏 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ∈ 𝐶))
36		elmapg 8778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (ℎ ∈ (𝑏 ↑m 𝑎) ↔ ℎ:𝑎⟶𝑏))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (ℎ ∈ (𝑏 ↑m 𝑎) ↔ ℎ:𝑎⟶𝑏))
38	37	biimpar 478	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ ℎ:𝑎⟶𝑏) → ℎ ∈ (𝑏 ↑m 𝑎))
39		equequ2 2029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = ℎ → (ℎ = 𝑘 ↔ ℎ = ℎ))
40	39	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ ℎ:𝑎⟶𝑏) ∧ 𝑘 = ℎ) → (ℎ = 𝑘 ↔ ℎ = ℎ))
41		eqidd 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ ℎ:𝑎⟶𝑏) → ℎ = ℎ)
42	38, 40, 41	rspcedvd 3583	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ ℎ:𝑎⟶𝑏) → ∃𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)ℎ = 𝑘)
43	1, 2, 3, 4, 5, 6	funcsetcestrclem6 18048	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)) → ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) = 𝑘)
44	43	3expa 1118	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)) → ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) = 𝑘)
45	44	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)) → (ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) ↔ ℎ = 𝑘))
46	45	rexbidva 3173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (∃𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)ℎ = 𝑘))
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ ℎ:𝑎⟶𝑏) → (∃𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)ℎ = 𝑘))
48	42, 47	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ ℎ:𝑎⟶𝑏) → ∃𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘))
49		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
50	1, 4	setcbas 17964	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑆))
51	2, 50	eqtr4id 2795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝑈)
52	51	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐶 ↔ 𝑎 ∈ 𝑈))
53	52	biimpcd 248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐶 → (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝑈))
54	53	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) → (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝑈))
55	54	impcom 408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
56	51	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐶 ↔ 𝑏 ∈ 𝑈))
57	56	biimpcd 248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐶 → (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝑈))
58	57	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) → (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝑈))
59	58	impcom 408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → 𝑏 ∈ 𝑈)
60	1, 10, 49, 55, 59	setchom 17966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) = (𝑏 ↑m 𝑎))
61	60	rexeqdv 3314	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (∃𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘)))
62	61	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ ℎ:𝑎⟶𝑏) → (∃𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘)))
63	48, 62	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ ℎ:𝑎⟶𝑏) → ∃𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘))
64	63	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (ℎ:𝑎⟶𝑏 → ∃𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘)))
65	33, 64	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (ℎ:(Base‘(𝐹‘𝑎))⟶(Base‘(𝐹‘𝑏)) → ∃𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘)))
66	18, 65	sylbid 239	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (ℎ ∈ ((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)) → ∃𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘)))
67	66	ralrimiv 3142	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → ∀ℎ ∈ ((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏))∃𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘))
68		dffo3 7052	. . . 4 ⊢ ((𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)–onto→((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)) ↔ ((𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)⟶((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)) ∧ ∀ℎ ∈ ((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏))∃𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘)))
69	9, 67, 68	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)–onto→((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)))
70	69	ralrimivva 3197	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐶 (𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)–onto→((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)))
71	2, 11, 49	isfull2 17798	. 2 ⊢ (𝐹(𝑆 Full 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹(𝑆 Func 𝐸)𝐺 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐶 (𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)–onto→((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏))))
72	8, 70, 71	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑆 Full 𝐸)𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  {csn 4586  ⟨cop 4592   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   I cid 5530   ↾ cres 5635  ⟶wf 6492  –onto→wfo 6494  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  ωcom 7802   ↑_m cmap 8765  WUnicwun 10636  ndxcnx 17065  Basecbs 17083  Hom chom 17144   Func cfunc 17740   Full cful 17789  SetCatcsetc 17961  ExtStrCatcestrc 18009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-wun 10638  df-ni 10808  df-pli 10809  df-mi 10810  df-lti 10811  df-plpq 10844  df-mpq 10845  df-ltpq 10846  df-enq 10847  df-nq 10848  df-erq 10849  df-plq 10850  df-mq 10851  df-1nq 10852  df-rq 10853  df-ltnq 10854  df-np 10917  df-plp 10919  df-ltp 10921  df-enr 10991  df-nr 10992  df-c 11057  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-hom 17157  df-cco 17158  df-cat 17548  df-cid 17549  df-func 17744  df-full 17791  df-setc 17962  df-estrc 18010

This theorem is referenced by: (None)