Theorem fullsetcestrc 18222

Description: The "embedding functor" from the category of sets into the category of extensible structures which sends each set to an extensible structure consisting of the base set slot only is full. (Contributed by AV, 1-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
funcsetcestrc.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
fullsetcestrc	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑆 Full 𝐸)𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝜑,𝑦   𝑥,𝐸

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fullsetcestrc

Dummy variables 𝑎 𝑏 ℎ 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
2		funcsetcestrc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
3		funcsetcestrc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
4		funcsetcestrc.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
5		funcsetcestrc.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6		funcsetcestrc.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
7		funcsetcestrc.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	funcsetcestrc 18220	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑆 Func 𝐸)𝐺)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	funcsetcestrclem8 18218	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)⟶((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)))
10	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → 𝑈 ∈ WUni)
11		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
12	1, 2, 3, 4, 5	funcsetcestrclem2 18211	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝑈)
13	12	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑎) ∈ 𝑈)
14	1, 2, 3, 4, 5	funcsetcestrclem2 18211	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑈)
15	14	adantrl 716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑏) ∈ 𝑈)
16		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑎)) = (Base‘(𝐹‘𝑎))
17		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝐹‘𝑏)) = (Base‘(𝐹‘𝑏))
18	7, 10, 11, 13, 15, 16, 17	elestrchom 18183	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (ℎ ∈ ((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)) ↔ ℎ:(Base‘(𝐹‘𝑎))⟶(Base‘(𝐹‘𝑏))))
19	1, 2, 3	funcsetcestrclem1 18210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑎) = {⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩})
20	19	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑎) = {⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩})
21	20	fveq2d 6911	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑎)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩}))
22		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩}
23	22	1strbas 17262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐶 → 𝑎 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩}))
24	23	ad2antrl 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → 𝑎 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑎⟩}))
25	21, 24	eqtr4d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑎)) = 𝑎)
26	1, 2, 3	funcsetcestrclem1 18210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) → (𝐹‘𝑏) = {⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩})
27	26	adantrl 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝐹‘𝑏) = {⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩})
28	27	fveq2d 6911	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑏)) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩}))
29		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩}
30	29	1strbas 17262	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐶 → 𝑏 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩}))
31	30	ad2antll 729	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → 𝑏 = (Base‘{⟨(Base‘ndx), 𝑏⟩}))
32	28, 31	eqtr4d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (Base‘(𝐹‘𝑏)) = 𝑏)
33	25, 32	feq23d 6732	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (ℎ:(Base‘(𝐹‘𝑎))⟶(Base‘(𝐹‘𝑏)) ↔ ℎ:𝑎⟶𝑏))
34		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶))
35	34	ancomd 461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝑏 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ∈ 𝐶))
36		elmapg 8878	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝐶 ∧ 𝑎 ∈ 𝐶) → (ℎ ∈ (𝑏 ↑m 𝑎) ↔ ℎ:𝑎⟶𝑏))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (ℎ ∈ (𝑏 ↑m 𝑎) ↔ ℎ:𝑎⟶𝑏))
38	37	biimpar 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ ℎ:𝑎⟶𝑏) → ℎ ∈ (𝑏 ↑m 𝑎))
39		equequ2 2023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = ℎ → (ℎ = 𝑘 ↔ ℎ = ℎ))
40	39	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ ℎ:𝑎⟶𝑏) ∧ 𝑘 = ℎ) → (ℎ = 𝑘 ↔ ℎ = ℎ))
41		eqidd 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ ℎ:𝑎⟶𝑏) → ℎ = ℎ)
42	38, 40, 41	rspcedvd 3624	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ ℎ:𝑎⟶𝑏) → ∃𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)ℎ = 𝑘)
43	1, 2, 3, 4, 5, 6	funcsetcestrclem6 18216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)) → ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) = 𝑘)
44	43	3expa 1117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)) → ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) = 𝑘)
45	44	eqeq2d 2746	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)) → (ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) ↔ ℎ = 𝑘))
46	45	rexbidva 3175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (∃𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)ℎ = 𝑘))
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ ℎ:𝑎⟶𝑏) → (∃𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)ℎ = 𝑘))
48	42, 47	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ ℎ:𝑎⟶𝑏) → ∃𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘))
49		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
50	1, 4	setcbas 18132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑆))
51	2, 50	eqtr4id 2794	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝑈)
52	51	eleq2d 2825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐶 ↔ 𝑎 ∈ 𝑈))
53	52	biimpcd 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐶 → (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝑈))
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) → (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝑈))
55	54	impcom 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
56	51	eleq2d 2825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐶 ↔ 𝑏 ∈ 𝑈))
57	56	biimpcd 249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐶 → (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝑈))
58	57	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) → (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝑈))
59	58	impcom 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → 𝑏 ∈ 𝑈)
60	1, 10, 49, 55, 59	setchom 18134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) = (𝑏 ↑m 𝑎))
61	60	rexeqdv 3325	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (∃𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘)))
62	61	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ ℎ:𝑎⟶𝑏) → (∃𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) ↔ ∃𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘)))
63	48, 62	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ ℎ:𝑎⟶𝑏) → ∃𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘))
64	63	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (ℎ:𝑎⟶𝑏 → ∃𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘)))
65	33, 64	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (ℎ:(Base‘(𝐹‘𝑎))⟶(Base‘(𝐹‘𝑏)) → ∃𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘)))
66	18, 65	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (ℎ ∈ ((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)) → ∃𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘)))
67	66	ralrimiv 3143	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → ∀ℎ ∈ ((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏))∃𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘))
68		dffo3 7122	. . . 4 ⊢ ((𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)–onto→((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)) ↔ ((𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)⟶((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)) ∧ ∀ℎ ∈ ((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏))∃𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)ℎ = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘)))
69	9, 67, 68	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)–onto→((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)))
70	69	ralrimivva 3200	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐶 (𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)–onto→((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)))
71	2, 11, 49	isfull2 17965	. 2 ⊢ (𝐹(𝑆 Full 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹(𝑆 Func 𝐸)𝐺 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐶 (𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)–onto→((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏))))
72	8, 70, 71	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑆 Full 𝐸)𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  {csn 4631  ⟨cop 4637   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5582   ↾ cres 5691  ⟶wf 6559  –onto→wfo 6561  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433  ωcom 7887   ↑_m cmap 8865  WUnicwun 10738  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  Hom chom 17309   Func cfunc 17905   Full cful 17956  SetCatcsetc 18129  ExtStrCatcestrc 18177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-wun 10740  df-ni 10910  df-pli 10911  df-mi 10912  df-lti 10913  df-plpq 10946  df-mpq 10947  df-ltpq 10948  df-enq 10949  df-nq 10950  df-erq 10951  df-plq 10952  df-mq 10953  df-1nq 10954  df-rq 10955  df-ltnq 10956  df-np 11019  df-plp 11021  df-ltp 11023  df-enr 11093  df-nr 11094  df-c 11159  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-hom 17322  df-cco 17323  df-cat 17713  df-cid 17714  df-func 17909  df-full 17958  df-setc 18130  df-estrc 18178

This theorem is referenced by: (None)