MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fullsetcestrc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fullsetcestrc 18061
Description: The "embedding functor" from the category of sets into the category of extensible structures which sends each set to an extensible structure consisting of the base set slot only is full. (Contributed by AV, 1-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsetcestrc.s 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
funcsetcestrc.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
funcsetcestrc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘₯⟩}))
funcsetcestrc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
funcsetcestrc.o (πœ‘ β†’ Ο‰ ∈ π‘ˆ)
funcsetcestrc.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐢, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ ( I β†Ύ (𝑦 ↑m π‘₯))))
funcsetcestrc.e 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
fullsetcestrc (πœ‘ β†’ 𝐹(𝑆 Full 𝐸)𝐺)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   πœ‘,π‘₯   𝑦,𝐢,π‘₯   πœ‘,𝑦   π‘₯,𝐸
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)

Proof of Theorem fullsetcestrc
Dummy variables π‘Ž 𝑏 β„Ž π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funcsetcestrc.s . . 3 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
2 funcsetcestrc.c . . 3 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
3 funcsetcestrc.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘₯⟩}))
4 funcsetcestrc.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
5 funcsetcestrc.o . . 3 (πœ‘ β†’ Ο‰ ∈ π‘ˆ)
6 funcsetcestrc.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐢, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ ( I β†Ύ (𝑦 ↑m π‘₯))))
7 funcsetcestrc.e . . 3 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7funcsetcestrc 18059 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝑆 Func 𝐸)𝐺)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7funcsetcestrclem8 18057 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (π‘ŽπΊπ‘):(π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏)⟢((πΉβ€˜π‘Ž)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘)))
104adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
11 eqid 2737 . . . . . . 7 (Hom β€˜πΈ) = (Hom β€˜πΈ)
121, 2, 3, 4, 5funcsetcestrclem2 18050 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ π‘ˆ)
1312adantrr 716 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) ∈ π‘ˆ)
141, 2, 3, 4, 5funcsetcestrclem2 18050 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
1514adantrl 715 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ π‘ˆ)
16 eqid 2737 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž)) = (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))
17 eqid 2737 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘))
187, 10, 11, 13, 15, 16, 17elestrchom 18022 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (β„Ž ∈ ((πΉβ€˜π‘Ž)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘)) ↔ β„Ž:(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))⟢(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘))))
191, 2, 3funcsetcestrclem1 18049 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŽβŸ©})
2019adantrr 716 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘Ž) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŽβŸ©})
2120fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž)) = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŽβŸ©}))
22 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŽβŸ©} = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŽβŸ©}
23221strbas 17107 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ 𝐢 β†’ π‘Ž = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŽβŸ©}))
2423ad2antrl 727 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ π‘Ž = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘ŽβŸ©}))
2521, 24eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž)) = π‘Ž)
261, 2, 3funcsetcestrclem1 18049 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ 𝐢) β†’ (πΉβ€˜π‘) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©})
2726adantrl 715 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©})
2827fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©}))
29 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©} = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©}
30291strbas 17107 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ 𝐢 β†’ 𝑏 = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©}))
3130ad2antll 728 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ 𝑏 = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘βŸ©}))
3228, 31eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘)) = 𝑏)
3325, 32feq23d 6668 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (β„Ž:(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))⟢(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘)) ↔ β„Ž:π‘ŽβŸΆπ‘))
34 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢))
3534ancomd 463 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (𝑏 ∈ 𝐢 ∧ π‘Ž ∈ 𝐢))
36 elmapg 8785 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ 𝐢 ∧ π‘Ž ∈ 𝐢) β†’ (β„Ž ∈ (𝑏 ↑m π‘Ž) ↔ β„Ž:π‘ŽβŸΆπ‘))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (β„Ž ∈ (𝑏 ↑m π‘Ž) ↔ β„Ž:π‘ŽβŸΆπ‘))
3837biimpar 479 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) ∧ β„Ž:π‘ŽβŸΆπ‘) β†’ β„Ž ∈ (𝑏 ↑m π‘Ž))
39 equequ2 2030 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = β„Ž β†’ (β„Ž = π‘˜ ↔ β„Ž = β„Ž))
4039adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) ∧ β„Ž:π‘ŽβŸΆπ‘) ∧ π‘˜ = β„Ž) β†’ (β„Ž = π‘˜ ↔ β„Ž = β„Ž))
41 eqidd 2738 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) ∧ β„Ž:π‘ŽβŸΆπ‘) β†’ β„Ž = β„Ž)
4238, 40, 41rspcedvd 3586 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) ∧ β„Ž:π‘ŽβŸΆπ‘) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (𝑏 ↑m π‘Ž)β„Ž = π‘˜)
431, 2, 3, 4, 5, 6funcsetcestrclem6 18055 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ (𝑏 ↑m π‘Ž)) β†’ ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜π‘˜) = π‘˜)
44433expa 1119 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑏 ↑m π‘Ž)) β†’ ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜π‘˜) = π‘˜)
4544eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) ∧ π‘˜ ∈ (𝑏 ↑m π‘Ž)) β†’ (β„Ž = ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜π‘˜) ↔ β„Ž = π‘˜))
4645rexbidva 3174 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (𝑏 ↑m π‘Ž)β„Ž = ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜π‘˜) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (𝑏 ↑m π‘Ž)β„Ž = π‘˜))
4746adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) ∧ β„Ž:π‘ŽβŸΆπ‘) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (𝑏 ↑m π‘Ž)β„Ž = ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜π‘˜) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (𝑏 ↑m π‘Ž)β„Ž = π‘˜))
4842, 47mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) ∧ β„Ž:π‘ŽβŸΆπ‘) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (𝑏 ↑m π‘Ž)β„Ž = ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜π‘˜))
49 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (Hom β€˜π‘†) = (Hom β€˜π‘†)
501, 4setcbas 17971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘†))
512, 50eqtr4id 2796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐢 = π‘ˆ)
5251eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ 𝐢 ↔ π‘Ž ∈ π‘ˆ))
5352biimpcd 249 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž ∈ 𝐢 β†’ (πœ‘ β†’ π‘Ž ∈ π‘ˆ))
5453adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢) β†’ (πœ‘ β†’ π‘Ž ∈ π‘ˆ))
5554impcom 409 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ π‘Ž ∈ π‘ˆ)
5651eleq2d 2824 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐢 ↔ 𝑏 ∈ π‘ˆ))
5756biimpcd 249 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 ∈ 𝐢 β†’ (πœ‘ β†’ 𝑏 ∈ π‘ˆ))
5857adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢) β†’ (πœ‘ β†’ 𝑏 ∈ π‘ˆ))
5958impcom 409 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ 𝑏 ∈ π‘ˆ)
601, 10, 49, 55, 59setchom 17973 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏) = (𝑏 ↑m π‘Ž))
6160rexeqdv 3317 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏)β„Ž = ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜π‘˜) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (𝑏 ↑m π‘Ž)β„Ž = ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜π‘˜)))
6261adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) ∧ β„Ž:π‘ŽβŸΆπ‘) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏)β„Ž = ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜π‘˜) ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ (𝑏 ↑m π‘Ž)β„Ž = ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜π‘˜)))
6348, 62mpbird 257 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) ∧ β„Ž:π‘ŽβŸΆπ‘) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏)β„Ž = ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜π‘˜))
6463ex 414 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (β„Ž:π‘ŽβŸΆπ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏)β„Ž = ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜π‘˜)))
6533, 64sylbid 239 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (β„Ž:(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘Ž))⟢(Baseβ€˜(πΉβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏)β„Ž = ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜π‘˜)))
6618, 65sylbid 239 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (β„Ž ∈ ((πΉβ€˜π‘Ž)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏)β„Ž = ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜π‘˜)))
6766ralrimiv 3143 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ βˆ€β„Ž ∈ ((πΉβ€˜π‘Ž)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘))βˆƒπ‘˜ ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏)β„Ž = ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜π‘˜))
68 dffo3 7057 . . . 4 ((π‘ŽπΊπ‘):(π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏)–ontoβ†’((πΉβ€˜π‘Ž)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘)) ↔ ((π‘ŽπΊπ‘):(π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏)⟢((πΉβ€˜π‘Ž)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘)) ∧ βˆ€β„Ž ∈ ((πΉβ€˜π‘Ž)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘))βˆƒπ‘˜ ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏)β„Ž = ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜π‘˜)))
699, 67, 68sylanbrc 584 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (π‘ŽπΊπ‘):(π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏)–ontoβ†’((πΉβ€˜π‘Ž)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘)))
7069ralrimivva 3198 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐢 βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (π‘ŽπΊπ‘):(π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏)–ontoβ†’((πΉβ€˜π‘Ž)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘)))
712, 11, 49isfull2 17805 . 2 (𝐹(𝑆 Full 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹(𝑆 Func 𝐸)𝐺 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐢 βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (π‘ŽπΊπ‘):(π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏)–ontoβ†’((πΉβ€˜π‘Ž)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘))))
728, 70, 71sylanbrc 584 1 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝑆 Full 𝐸)𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {csn 4591  βŸ¨cop 4597   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   I cid 5535   β†Ύ cres 5640  βŸΆwf 6497  β€“ontoβ†’wfo 6499  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  Ο‰com 7807   ↑m cmap 8772  WUnicwun 10643  ndxcnx 17072  Basecbs 17090  Hom chom 17151   Func cfunc 17747   Full cful 17796  SetCatcsetc 17968  ExtStrCatcestrc 18016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-ec 8657  df-qs 8661  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-wun 10645  df-ni 10815  df-pli 10816  df-mi 10817  df-lti 10818  df-plpq 10851  df-mpq 10852  df-ltpq 10853  df-enq 10854  df-nq 10855  df-erq 10856  df-plq 10857  df-mq 10858  df-1nq 10859  df-rq 10860  df-ltnq 10861  df-np 10924  df-plp 10926  df-ltp 10928  df-enr 10998  df-nr 10999  df-c 11064  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-hom 17164  df-cco 17165  df-cat 17555  df-cid 17556  df-func 17751  df-full 17798  df-setc 17969  df-estrc 18017
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator