MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fthsetcestrc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fthsetcestrc 18183
Description: The "embedding functor" from the category of sets into the category of extensible structures which sends each set to an extensible structure consisting of the base set slot only is faithful. (Contributed by AV, 31-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsetcestrc.s 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u (𝜑𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦m 𝑥))))
funcsetcestrc.e 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
Assertion
Ref Expression
fthsetcestrc (𝜑𝐹(𝑆 Faith 𝐸)𝐺)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝜑,𝑦   𝑥,𝐸
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fthsetcestrc
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funcsetcestrc.s . . 3 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
2 funcsetcestrc.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑆)
3 funcsetcestrc.f . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
4 funcsetcestrc.u . . 3 (𝜑𝑈 ∈ WUni)
5 funcsetcestrc.o . . 3 (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6 funcsetcestrc.g . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦m 𝑥))))
7 funcsetcestrc.e . . 3 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7funcsetcestrc 18182 . 2 (𝜑𝐹(𝑆 Func 𝐸)𝐺)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7funcsetcestrclem8 18180 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐶𝑏𝐶)) → (𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)⟶((𝐹𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑏)))
104adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐶𝑏𝐶)) → 𝑈 ∈ WUni)
11 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
121, 4setcbas 18094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑈 = (Base‘𝑆))
132, 12eqtr4id 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐶 = 𝑈)
1413eleq2d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑎𝐶𝑎𝑈))
1514biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎𝐶 → (𝜑𝑎𝑈))
1615adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝐶𝑏𝐶) → (𝜑𝑎𝑈))
1716impcom 406 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐶𝑏𝐶)) → 𝑎𝑈)
1813eleq2d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑏𝐶𝑏𝑈))
1918biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏𝐶 → (𝜑𝑏𝑈))
2019adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝐶𝑏𝐶) → (𝜑𝑏𝑈))
2120impcom 406 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐶𝑏𝐶)) → 𝑏𝑈)
221, 10, 11, 17, 21setchom 18096 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐶𝑏𝐶)) → (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) = (𝑏m 𝑎))
2322eleq2d 2812 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐶𝑏𝐶)) → ( ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) ↔ ∈ (𝑏m 𝑎)))
241, 2, 3, 4, 5, 6funcsetcestrclem6 18178 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐶𝑏𝐶) ∧ ∈ (𝑏m 𝑎)) → ((𝑎𝐺𝑏)‘) = )
25243expia 1118 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐶𝑏𝐶)) → ( ∈ (𝑏m 𝑎) → ((𝑎𝐺𝑏)‘) = ))
2623, 25sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐶𝑏𝐶)) → ( ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) → ((𝑎𝐺𝑏)‘) = ))
2726com12 32 . . . . . . . . 9 ( ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) → ((𝜑 ∧ (𝑎𝐶𝑏𝐶)) → ((𝑎𝐺𝑏)‘) = ))
2827adantr 479 . . . . . . . 8 (( ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) ∧ 𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)) → ((𝜑 ∧ (𝑎𝐶𝑏𝐶)) → ((𝑎𝐺𝑏)‘) = ))
2928impcom 406 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐶𝑏𝐶)) ∧ ( ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) ∧ 𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏))) → ((𝑎𝐺𝑏)‘) = )
3022eleq2d 2812 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐶𝑏𝐶)) → (𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) ↔ 𝑘 ∈ (𝑏m 𝑎)))
311, 2, 3, 4, 5, 6funcsetcestrclem6 18178 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐶𝑏𝐶) ∧ 𝑘 ∈ (𝑏m 𝑎)) → ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) = 𝑘)
32313expia 1118 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐶𝑏𝐶)) → (𝑘 ∈ (𝑏m 𝑎) → ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) = 𝑘))
3330, 32sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐶𝑏𝐶)) → (𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) → ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) = 𝑘))
3433com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) → ((𝜑 ∧ (𝑎𝐶𝑏𝐶)) → ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) = 𝑘))
3534adantl 480 . . . . . . . 8 (( ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) ∧ 𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)) → ((𝜑 ∧ (𝑎𝐶𝑏𝐶)) → ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) = 𝑘))
3635impcom 406 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐶𝑏𝐶)) ∧ ( ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) ∧ 𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏))) → ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) = 𝑘)
3729, 36eqeq12d 2742 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐶𝑏𝐶)) ∧ ( ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) ∧ 𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏))) → (((𝑎𝐺𝑏)‘) = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) ↔ = 𝑘))
3837biimpd 228 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑎𝐶𝑏𝐶)) ∧ ( ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) ∧ 𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏))) → (((𝑎𝐺𝑏)‘) = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) → = 𝑘))
3938ralrimivva 3191 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐶𝑏𝐶)) → ∀ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)∀𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)(((𝑎𝐺𝑏)‘) = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) → = 𝑘))
40 dff13 7261 . . . 4 ((𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)–1-1→((𝐹𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑏)) ↔ ((𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)⟶((𝐹𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑏)) ∧ ∀ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)∀𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)(((𝑎𝐺𝑏)‘) = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) → = 𝑘)))
419, 39, 40sylanbrc 581 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐶𝑏𝐶)) → (𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)–1-1→((𝐹𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑏)))
4241ralrimivva 3191 . 2 (𝜑 → ∀𝑎𝐶𝑏𝐶 (𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)–1-1→((𝐹𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑏)))
43 eqid 2726 . . 3 (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
442, 11, 43isfth2 17931 . 2 (𝐹(𝑆 Faith 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹(𝑆 Func 𝐸)𝐺 ∧ ∀𝑎𝐶𝑏𝐶 (𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)–1-1→((𝐹𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹𝑏))))
458, 42, 44sylanbrc 581 1 (𝜑𝐹(𝑆 Faith 𝐸)𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3051  {csn 4625  cop 4631   class class class wbr 5145  cmpt 5228   I cid 5571  cres 5676  wf 6541  1-1wf1 6542  cfv 6545  (class class class)co 7415  cmpo 7417  ωcom 7867  m cmap 8846  WUnicwun 10733  ndxcnx 17189  Basecbs 17207  Hom chom 17271   Func cfunc 17867   Faith cfth 17919  SetCatcsetc 18091  ExtStrCatcestrc 18139
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737  ax-inf2 9676  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3968  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4908  df-int 4949  df-iun 4997  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-ec 8727  df-qs 8731  df-map 8848  df-pm 8849  df-ixp 8918  df-en 8966  df-dom 8967  df-sdom 8968  df-fin 8969  df-wun 10735  df-ni 10905  df-pli 10906  df-mi 10907  df-lti 10908  df-plpq 10941  df-mpq 10942  df-ltpq 10943  df-enq 10944  df-nq 10945  df-erq 10946  df-plq 10947  df-mq 10948  df-1nq 10949  df-rq 10950  df-ltnq 10951  df-np 11014  df-plp 11016  df-ltp 11018  df-enr 11088  df-nr 11089  df-c 11154  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12518  df-z 12604  df-dec 12723  df-uz 12868  df-fz 13532  df-struct 17143  df-slot 17178  df-ndx 17190  df-base 17208  df-hom 17284  df-cco 17285  df-cat 17675  df-cid 17676  df-func 17871  df-fth 17921  df-setc 18092  df-estrc 18140
This theorem is referenced by:  embedsetcestrc  18185
  Copyright terms: Public domain W3C validator