MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fthsetcestrc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fthsetcestrc 18116
Description: The "embedding functor" from the category of sets into the category of extensible structures which sends each set to an extensible structure consisting of the base set slot only is faithful. (Contributed by AV, 31-Mar-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
funcsetcestrc.s 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
funcsetcestrc.c 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
funcsetcestrc.f (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘₯⟩}))
funcsetcestrc.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
funcsetcestrc.o (πœ‘ β†’ Ο‰ ∈ π‘ˆ)
funcsetcestrc.g (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐢, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ ( I β†Ύ (𝑦 ↑m π‘₯))))
funcsetcestrc.e 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
fthsetcestrc (πœ‘ β†’ 𝐹(𝑆 Faith 𝐸)𝐺)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐢   πœ‘,π‘₯   𝑦,𝐢,π‘₯   πœ‘,𝑦   π‘₯,𝐸
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐹(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)
Proof of Theorem fthsetcestrc
Dummy variables π‘Ž 𝑏 β„Ž π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 funcsetcestrc.s . . 3 𝑆 = (SetCatβ€˜π‘ˆ)
2 funcsetcestrc.c . . 3 𝐢 = (Baseβ€˜π‘†)
3 funcsetcestrc.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐢 ↦ {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘₯⟩}))
4 funcsetcestrc.u . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
5 funcsetcestrc.o . . 3 (πœ‘ β†’ Ο‰ ∈ π‘ˆ)
6 funcsetcestrc.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ 𝐢, 𝑦 ∈ 𝐢 ↦ ( I β†Ύ (𝑦 ↑m π‘₯))))
7 funcsetcestrc.e . . 3 𝐸 = (ExtStrCatβ€˜π‘ˆ)
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7funcsetcestrc 18115 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝑆 Func 𝐸)𝐺)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7funcsetcestrclem8 18113 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (π‘ŽπΊπ‘):(π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏)⟢((πΉβ€˜π‘Ž)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘)))
104adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ π‘ˆ ∈ WUni)
11 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (Hom β€˜π‘†) = (Hom β€˜π‘†)
121, 4setcbas 18027 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘†))
132, 12eqtr4id 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐢 = π‘ˆ)
1413eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ 𝐢 ↔ π‘Ž ∈ π‘ˆ))
1514biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž ∈ 𝐢 β†’ (πœ‘ β†’ π‘Ž ∈ π‘ˆ))
1615adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢) β†’ (πœ‘ β†’ π‘Ž ∈ π‘ˆ))
1716impcom 408 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ π‘Ž ∈ π‘ˆ)
1813eleq2d 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑏 ∈ 𝐢 ↔ 𝑏 ∈ π‘ˆ))
1918biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ 𝐢 β†’ (πœ‘ β†’ 𝑏 ∈ π‘ˆ))
2019adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢) β†’ (πœ‘ β†’ 𝑏 ∈ π‘ˆ))
2120impcom 408 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ 𝑏 ∈ π‘ˆ)
221, 10, 11, 17, 21setchom 18029 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏) = (𝑏 ↑m π‘Ž))
2322eleq2d 2819 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (β„Ž ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏) ↔ β„Ž ∈ (𝑏 ↑m π‘Ž)))
241, 2, 3, 4, 5, 6funcsetcestrclem6 18111 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢) ∧ β„Ž ∈ (𝑏 ↑m π‘Ž)) β†’ ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜β„Ž) = β„Ž)
25243expia 1121 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (β„Ž ∈ (𝑏 ↑m π‘Ž) β†’ ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜β„Ž) = β„Ž))
2623, 25sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (β„Ž ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏) β†’ ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜β„Ž) = β„Ž))
2726com12 32 . . . . . . . . 9 (β„Ž ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏) β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜β„Ž) = β„Ž))
2827adantr 481 . . . . . . . 8 ((β„Ž ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏) ∧ π‘˜ ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏)) β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜β„Ž) = β„Ž))
2928impcom 408 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) ∧ (β„Ž ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏) ∧ π‘˜ ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏))) β†’ ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜β„Ž) = β„Ž)
3022eleq2d 2819 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (π‘˜ ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏) ↔ π‘˜ ∈ (𝑏 ↑m π‘Ž)))
311, 2, 3, 4, 5, 6funcsetcestrclem6 18111 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢) ∧ π‘˜ ∈ (𝑏 ↑m π‘Ž)) β†’ ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜π‘˜) = π‘˜)
32313expia 1121 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (π‘˜ ∈ (𝑏 ↑m π‘Ž) β†’ ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜π‘˜) = π‘˜))
3330, 32sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (π‘˜ ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏) β†’ ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜π‘˜) = π‘˜))
3433com12 32 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏) β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜π‘˜) = π‘˜))
3534adantl 482 . . . . . . . 8 ((β„Ž ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏) ∧ π‘˜ ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏)) β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜π‘˜) = π‘˜))
3635impcom 408 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) ∧ (β„Ž ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏) ∧ π‘˜ ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏))) β†’ ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜π‘˜) = π‘˜)
3729, 36eqeq12d 2748 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) ∧ (β„Ž ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏) ∧ π‘˜ ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏))) β†’ (((π‘ŽπΊπ‘)β€˜β„Ž) = ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜π‘˜) ↔ β„Ž = π‘˜))
3837biimpd 228 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) ∧ (β„Ž ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏) ∧ π‘˜ ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏))) β†’ (((π‘ŽπΊπ‘)β€˜β„Ž) = ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜π‘˜) β†’ β„Ž = π‘˜))
3938ralrimivva 3200 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ βˆ€β„Ž ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏)βˆ€π‘˜ ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏)(((π‘ŽπΊπ‘)β€˜β„Ž) = ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜π‘˜) β†’ β„Ž = π‘˜))
40 dff13 7253 . . . 4 ((π‘ŽπΊπ‘):(π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏)–1-1β†’((πΉβ€˜π‘Ž)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘)) ↔ ((π‘ŽπΊπ‘):(π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏)⟢((πΉβ€˜π‘Ž)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘)) ∧ βˆ€β„Ž ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏)βˆ€π‘˜ ∈ (π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏)(((π‘ŽπΊπ‘)β€˜β„Ž) = ((π‘ŽπΊπ‘)β€˜π‘˜) β†’ β„Ž = π‘˜)))
419, 39, 40sylanbrc 583 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢)) β†’ (π‘ŽπΊπ‘):(π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏)–1-1β†’((πΉβ€˜π‘Ž)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘)))
4241ralrimivva 3200 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐢 βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (π‘ŽπΊπ‘):(π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏)–1-1β†’((πΉβ€˜π‘Ž)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘)))
43 eqid 2732 . . 3 (Hom β€˜πΈ) = (Hom β€˜πΈ)
442, 11, 43isfth2 17865 . 2 (𝐹(𝑆 Faith 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹(𝑆 Func 𝐸)𝐺 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐢 βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (π‘ŽπΊπ‘):(π‘Ž(Hom β€˜π‘†)𝑏)–1-1β†’((πΉβ€˜π‘Ž)(Hom β€˜πΈ)(πΉβ€˜π‘))))
458, 42, 44sylanbrc 583 1 (πœ‘ β†’ 𝐹(𝑆 Faith 𝐸)𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {csn 4628  βŸ¨cop 4634   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   I cid 5573   β†Ύ cres 5678  βŸΆwf 6539  β€“1-1β†’wf1 6540  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∈ cmpo 7410  Ο‰com 7854   ↑m cmap 8819  WUnicwun 10694  ndxcnx 17125  Basecbs 17143  Hom chom 17207   Func cfunc 17803   Faith cfth 17853  SetCatcsetc 18024  ExtStrCatcestrc 18072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-ec 8704  df-qs 8708  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-wun 10696  df-ni 10866  df-pli 10867  df-mi 10868  df-lti 10869  df-plpq 10902  df-mpq 10903  df-ltpq 10904  df-enq 10905  df-nq 10906  df-erq 10907  df-plq 10908  df-mq 10909  df-1nq 10910  df-rq 10911  df-ltnq 10912  df-np 10975  df-plp 10977  df-ltp 10979  df-enr 11049  df-nr 11050  df-c 11115  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-hom 17220  df-cco 17221  df-cat 17611  df-cid 17612  df-func 17807  df-fth 17855  df-setc 18025  df-estrc 18073
This theorem is referenced by:  embedsetcestrc  18118
  Copyright terms: Public domain W3C validator