Theorem fthsetcestrc 18077

Description: The "embedding functor" from the category of sets into the category of extensible structures which sends each set to an extensible structure consisting of the base set slot only is faithful. (Contributed by AV, 31-Mar-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
funcsetcestrc.s	⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
funcsetcestrc.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
funcsetcestrc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
funcsetcestrc.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
funcsetcestrc.o	⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
funcsetcestrc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
funcsetcestrc.e	⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
fthsetcestrc	⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑆 Faith 𝐸)𝐺)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥   𝑦,𝐶,𝑥   𝜑,𝑦   𝑥,𝐸

Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐸(𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fthsetcestrc

Dummy variables 𝑎 𝑏 ℎ 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funcsetcestrc.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (SetCat‘𝑈)
2		funcsetcestrc.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑆)
3		funcsetcestrc.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐶 ↦ {⟨(Base‘ndx), 𝑥⟩}))
4		funcsetcestrc.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ WUni)
5		funcsetcestrc.o	. . 3 ⊢ (𝜑 → ω ∈ 𝑈)
6		funcsetcestrc.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ 𝐶, 𝑦 ∈ 𝐶 ↦ ( I ↾ (𝑦 ↑m 𝑥))))
7		funcsetcestrc.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (ExtStrCat‘𝑈)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	funcsetcestrc 18076	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑆 Func 𝐸)𝐺)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	funcsetcestrclem8 18074	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)⟶((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)))
10	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → 𝑈 ∈ WUni)
11		eqid 2731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Hom ‘𝑆) = (Hom ‘𝑆)
12	1, 4	setcbas 17991	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Base‘𝑆))
13	2, 12	eqtr4id 2785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = 𝑈)
14	13	eleq2d 2817	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐶 ↔ 𝑎 ∈ 𝑈))
15	14	biimpcd 249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐶 → (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝑈))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) → (𝜑 → 𝑎 ∈ 𝑈))
17	16	impcom 407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
18	13	eleq2d 2817	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑏 ∈ 𝐶 ↔ 𝑏 ∈ 𝑈))
19	18	biimpcd 249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐶 → (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝑈))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) → (𝜑 → 𝑏 ∈ 𝑈))
21	20	impcom 407	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → 𝑏 ∈ 𝑈)
22	1, 10, 11, 17, 21	setchom 17993	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) = (𝑏 ↑m 𝑎))
23	22	eleq2d 2817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) ↔ ℎ ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6	funcsetcestrclem6 18072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) ∧ ℎ ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)) → ((𝑎𝐺𝑏)‘ℎ) = ℎ)
25	24	3expia 1121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (ℎ ∈ (𝑏 ↑m 𝑎) → ((𝑎𝐺𝑏)‘ℎ) = ℎ))
26	23, 25	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) → ((𝑎𝐺𝑏)‘ℎ) = ℎ))
27	26	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → ((𝑎𝐺𝑏)‘ℎ) = ℎ))
28	27	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) ∧ 𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)) → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → ((𝑎𝐺𝑏)‘ℎ) = ℎ))
29	28	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ (ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) ∧ 𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏))) → ((𝑎𝐺𝑏)‘ℎ) = ℎ)
30	22	eleq2d 2817	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) ↔ 𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)))
31	1, 2, 3, 4, 5, 6	funcsetcestrclem6 18072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) ∧ 𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎)) → ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) = 𝑘)
32	31	3expia 1121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝑘 ∈ (𝑏 ↑m 𝑎) → ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) = 𝑘))
33	30, 32	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) → ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) = 𝑘))
34	33	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) = 𝑘))
35	34	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) ∧ 𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)) → ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) = 𝑘))
36	35	impcom 407	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ (ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) ∧ 𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏))) → ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) = 𝑘)
37	29, 36	eqeq12d 2747	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ (ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) ∧ 𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏))) → (((𝑎𝐺𝑏)‘ℎ) = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) ↔ ℎ = 𝑘))
38	37	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) ∧ (ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏) ∧ 𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏))) → (((𝑎𝐺𝑏)‘ℎ) = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) → ℎ = 𝑘))
39	38	ralrimivva 3175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → ∀ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)∀𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)(((𝑎𝐺𝑏)‘ℎ) = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) → ℎ = 𝑘))
40		dff13 7194	. . . 4 ⊢ ((𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)–1-1→((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)) ↔ ((𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)⟶((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)) ∧ ∀ℎ ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)∀𝑘 ∈ (𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)(((𝑎𝐺𝑏)‘ℎ) = ((𝑎𝐺𝑏)‘𝑘) → ℎ = 𝑘)))
41	9, 39, 40	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶)) → (𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)–1-1→((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)))
42	41	ralrimivva 3175	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐶 (𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)–1-1→((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏)))
43		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Hom ‘𝐸) = (Hom ‘𝐸)
44	2, 11, 43	isfth2 17830	. 2 ⊢ (𝐹(𝑆 Faith 𝐸)𝐺 ↔ (𝐹(𝑆 Func 𝐸)𝐺 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐶 (𝑎𝐺𝑏):(𝑎(Hom ‘𝑆)𝑏)–1-1→((𝐹‘𝑎)(Hom ‘𝐸)(𝐹‘𝑏))))
45	8, 42, 44	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(𝑆 Faith 𝐸)𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  {csn 4575  ⟨cop 4581   class class class wbr 5093   ↦ cmpt 5174   I cid 5513   ↾ cres 5621  ⟶wf 6483  –1-1→wf1 6484  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352   ∈ cmpo 7354  ωcom 7802   ↑_m cmap 8756  WUnicwun 10597  ndxcnx 17110  Basecbs 17126  Hom chom 17178   Func cfunc 17767   Faith cfth 17818  SetCatcsetc 17988  ExtStrCatcestrc 18034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9537  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-oadd 8395  df-omul 8396  df-er 8628  df-ec 8630  df-qs 8634  df-map 8758  df-pm 8759  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-wun 10599  df-ni 10769  df-pli 10770  df-mi 10771  df-lti 10772  df-plpq 10805  df-mpq 10806  df-ltpq 10807  df-enq 10808  df-nq 10809  df-erq 10810  df-plq 10811  df-mq 10812  df-1nq 10813  df-rq 10814  df-ltnq 10815  df-np 10878  df-plp 10880  df-ltp 10882  df-enr 10952  df-nr 10953  df-c 11018  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13414  df-struct 17064  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-hom 17191  df-cco 17192  df-cat 17580  df-cid 17581  df-func 17771  df-fth 17820  df-setc 17989  df-estrc 18035

This theorem is referenced by:  embedsetcestrc  18079