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Theorem line2 47340
Description: Example for a line 𝐺 passing through two different points in "standard form". (Contributed by AV, 3-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
line2.i 𝐼 = {1, 2}
line2.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
line2.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
line2.l 𝐿 = (LineM𝐸)
line2.g 𝐺 = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
line2.x 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}
line2.y 𝑌 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}
Assertion
Ref Expression
line2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐺 = (𝑋𝐿𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem line2
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 line2.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = {1, 2}
4 line2.p . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
53, 4rrx2pxel 47299 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
65adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
72, 6remulcld 11240 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℝ)
87recnd 11238 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
9 simpl2l 1227 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐵 ∈ ℝ)
103, 4rrx2pyel 47300 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
1110adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
129, 11remulcld 11240 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℝ)
1312recnd 11238 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℂ)
14 simpl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
1514recnd 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
16153ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
1716adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐵 ∈ ℂ)
18 simp2r 1201 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
1918adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐵 ≠ 0)
208, 13, 17, 19divdird 12024 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + ((𝐵 · (𝑝‘2)) / 𝐵)))
2110recnd 11238 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
2221adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
2322, 17, 19divcan3d 11991 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) / 𝐵) = (𝑝‘2))
2423oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + ((𝐵 · (𝑝‘2)) / 𝐵)) = (((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝑝‘2)))
2520, 24eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝑝‘2)))
2625eqeq1d 2735 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵) ↔ (((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝑝‘2)) = (𝐶 / 𝐵)))
277, 9, 19redivcld 12038 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) ∈ ℝ)
2827recnd 11238 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) ∈ ℂ)
29 simp3 1139 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
30143ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3129, 30, 18redivcld 12038 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
3231recnd 11238 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℂ)
3332adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℂ)
3428, 22, 33addrsub 11627 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝑝‘2)) = (𝐶 / 𝐵) ↔ (𝑝‘2) = ((𝐶 / 𝐵) − ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵))))
35 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐶 ∈ ℝ)
3635, 9, 19redivcld 12038 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
3736recnd 11238 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℂ)
3828, 37negsubdi2d 11583 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → -(((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)) = ((𝐶 / 𝐵) − ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵)))
3928, 37negsubdid 11582 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → -(((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)) = (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵)))
4038, 39eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐶 / 𝐵) − ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵)) = (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵)))
4140eqeq2d 2744 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘2) = ((𝐶 / 𝐵) − ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵)) ↔ (𝑝‘2) = (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵))))
4226, 34, 413bitrd 305 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵) ↔ (𝑝‘2) = (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵))))
437, 12readdcld 11239 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) ∈ ℝ)
4443recnd 11238 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) ∈ ℂ)
4529recnd 11238 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
4645adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐶 ∈ ℂ)
47 recn 11196 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4847anim1i 616 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
49483ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
5049adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
51 div11 11896 . . . . . . 7 ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵) ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
5244, 46, 50, 51syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵) ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
538, 17, 19divnegd 11999 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → -((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = (-(𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵))
541recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5554adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐴 ∈ ℂ)
565recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
5756adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
5855, 57mulneg1d 11663 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (-𝐴 · (𝑝‘1)) = -(𝐴 · (𝑝‘1)))
5958eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → -(𝐴 · (𝑝‘1)) = (-𝐴 · (𝑝‘1)))
6059oveq1d 7419 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (-(𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = ((-𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵))
6153, 60eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → -((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = ((-𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵))
62 renegcl 11519 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
6362recnd 11238 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℂ)
64633ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐴 ∈ ℂ)
6564adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → -𝐴 ∈ ℂ)
66 div23 11887 . . . . . . . . . 10 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑝‘1) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((-𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = ((-𝐴 / 𝐵) · (𝑝‘1)))
6765, 57, 50, 66syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((-𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = ((-𝐴 / 𝐵) · (𝑝‘1)))
68 line2.x . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}
6968fveq1i 6889 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋‘1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)
70 1ex 11206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ V
71 c0ex 11204 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ V
72 1ne2 12416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ≠ 2
7370, 71, 723pm3.2i 1340 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ≠ 2)
74 fvpr1g 7183 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0)
7573, 74mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0)
7669, 75eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋‘1) = 0)
7776adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘1) = 0)
7877oveq2d 7420 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑝‘1) − 0))
7957subid1d 11556 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘1) − 0) = (𝑝‘1))
8078, 79eqtr2d 2774 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) = ((𝑝‘1) − (𝑋‘1)))
8180oveq2d 7420 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((-𝐴 / 𝐵) · (𝑝‘1)) = ((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))))
8261, 67, 813eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → -((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = ((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))))
8382oveq1d 7419 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵)) = (((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)))
8483eqeq2d 2744 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘2) = (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵)) ↔ (𝑝‘2) = (((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵))))
8542, 52, 843bitr3d 309 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵))))
86 recn 11196 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
8786adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
88 recn 11196 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
8988adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
90 sub32 11490 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐶𝐴) − 𝐶) = ((𝐶𝐶) − 𝐴))
91 subid 11475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶𝐶) = 0)
92913ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝐶) = 0)
9392oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐶𝐶) − 𝐴) = (0 − 𝐴))
94 df-neg 11443 . . . . . . . . . . . . . 14 -𝐴 = (0 − 𝐴)
9593, 94eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐶𝐶) − 𝐴) = -𝐴)
9690, 95eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → -𝐴 = ((𝐶𝐴) − 𝐶))
9787, 89, 87, 96syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐴 = ((𝐶𝐴) − 𝐶))
98973adant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐴 = ((𝐶𝐴) − 𝐶))
9998oveq1d 7419 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐴 / 𝐵) = (((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵))
10099adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (-𝐴 / 𝐵) = (((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵))
101100oveq1d 7419 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) = ((((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))))
102101oveq1d 7419 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) = (((((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)))
103102eqeq2d 2744 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘2) = (((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) ↔ (𝑝‘2) = (((((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵))))
10485, 103bitrd 279 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (((((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵))))
105 line2.y . . . . . . . . . . 11 𝑌 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}
106105fveq1i 6889 . . . . . . . . . 10 (𝑌‘2) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}‘2)
107 2ex 12285 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ V
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 2 ∈ V)
109 resubcl 11520 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶𝐴) ∈ ℝ)
110109ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐴) ∈ ℝ)
1111103adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐴) ∈ ℝ)
112111, 30, 18redivcld 12038 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ)
11372a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 1 ≠ 2)
114108, 112, 1133jca 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (2 ∈ V ∧ ((𝐶𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2))
115114adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (2 ∈ V ∧ ((𝐶𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2))
116 fvpr2g 7184 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ V ∧ ((𝐶𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}‘2) = ((𝐶𝐴) / 𝐵))
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}‘2) = ((𝐶𝐴) / 𝐵))
118106, 117eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘2) = ((𝐶𝐴) / 𝐵))
11968fveq1i 6889 . . . . . . . . . . 11 (𝑋‘2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2)
120 fvpr2g 7184 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ V ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = (𝐶 / 𝐵))
121107, 31, 113, 120mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = (𝐶 / 𝐵))
122119, 121eqtrid 2785 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋‘2) = (𝐶 / 𝐵))
123122adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘2) = (𝐶 / 𝐵))
124118, 123oveq12d 7422 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = (((𝐶𝐴) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)))
12529, 1resubcld 11638 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐴) ∈ ℝ)
126125recnd 11238 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
127 divsubdir 11904 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) = (((𝐶𝐴) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)))
128126, 45, 49, 127syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) = (((𝐶𝐴) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)))
129128eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐶𝐴) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)) = (((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵))
130129adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐶𝐴) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)) = (((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵))
131124, 130eqtr2d 2774 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))
132131oveq1d 7419 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))))
133132oveq1d 7419 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)))
134133eqeq2d 2744 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘2) = (((((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) ↔ (𝑝‘2) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵))))
135105fveq1i 6889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑌‘1) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}‘1)
13670, 70fvpr1 7186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}‘1) = 1)
13772, 136ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}‘1) = 1
138135, 137eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌‘1) = 1
13970, 71fvpr1 7186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0)
14072, 139ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0
14169, 140eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋‘1) = 0
142138, 141oveq12i 7416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = (1 − 0)
143 1m0e1 12329 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 0) = 1
144142, 143eqtri 2761 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 1
145144a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 1)
146145oveq2d 7420 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / 1))
147107, 112, 113, 116mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}‘2) = ((𝐶𝐴) / 𝐵))
148106, 147eqtrid 2785 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑌‘2) = ((𝐶𝐴) / 𝐵))
149112recnd 11238 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐴) / 𝐵) ∈ ℂ)
150148, 149eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
151122, 32eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
152150, 151subcld 11567 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
153152div1d 11978 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / 1) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))
154146, 153eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))
155154oveq1d 7419 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))))
156155, 122oveq12d 7422 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)))
157156adantr 482 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)))
158157eqcomd 2739 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2)))
159158eqeq2d 2744 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘2) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) ↔ (𝑝‘2) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))))
160104, 134, 1593bitrd 305 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))))
161160rabbidva 3440 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘2) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))})
162 line2.g . . 3 𝐺 = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
163162a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐺 = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
16470, 107pm3.2i 472 . . . . . . . 8 (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
16531, 71jctil 521 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ∈ V ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ))
166 fprg 7148 . . . . . . . 8 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶{0, (𝐶 / 𝐵)})
167164, 165, 113, 166mp3an2i 1467 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶{0, (𝐶 / 𝐵)})
168 0red 11213 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
169168, 31prssd 4824 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {0, (𝐶 / 𝐵)} ⊆ ℝ)
170167, 169fssd 6732 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
17168feq1i 6705 . . . . . 6 (𝑋:{1, 2}⟶ℝ ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
172170, 171sylibr 233 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑋:{1, 2}⟶ℝ)
173 reex 11197 . . . . . 6 ℝ ∈ V
174 prex 5431 . . . . . 6 {1, 2} ∈ V
175173, 174elmap 8861 . . . . 5 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ 𝑋:{1, 2}⟶ℝ)
176172, 175sylibr 233 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
1773oveq2i 7415 . . . . 5 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
1784, 177eqtri 2761 . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
179176, 178eleqtrrdi 2845 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑋𝑃)
180112, 70jctil 521 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (1 ∈ V ∧ ((𝐶𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ))
181 fprg 7148 . . . . . . . 8 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (1 ∈ V ∧ ((𝐶𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶{1, ((𝐶𝐴) / 𝐵)})
182164, 180, 113, 181mp3an2i 1467 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶{1, ((𝐶𝐴) / 𝐵)})
183 1red 11211 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
184183, 112prssd 4824 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {1, ((𝐶𝐴) / 𝐵)} ⊆ ℝ)
185182, 184fssd 6732 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
186105feq1i 6705 . . . . . 6 (𝑌:{1, 2}⟶ℝ ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
187185, 186sylibr 233 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑌:{1, 2}⟶ℝ)
188173, 174elmap 8861 . . . . 5 (𝑌 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ 𝑌:{1, 2}⟶ℝ)
189187, 188sylibr 233 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
190189, 178eleqtrrdi 2845 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑌𝑃)
191 0ne1 12279 . . . . 5 0 ≠ 1
19273, 74ax-mp 5 . . . . . . 7 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0
19369, 192eqtri 2761 . . . . . 6 (𝑋‘1) = 0
19470, 70, 723pm3.2i 1340 . . . . . . . 8 (1 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 1 ≠ 2)
195 fvpr1g 7183 . . . . . . . 8 ((1 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}‘1) = 1)
196194, 195ax-mp 5 . . . . . . 7 ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}‘1) = 1
197135, 196eqtri 2761 . . . . . 6 (𝑌‘1) = 1
198193, 197neeq12i 3008 . . . . 5 ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ↔ 0 ≠ 1)
199191, 198mpbir 230 . . . 4 (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)
200199a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
201 line2.e . . . 4 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
202 line2.l . . . 4 𝐿 = (LineM𝐸)
203 eqid 2733 . . . 4 (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))
2043, 201, 4, 202, 203rrx2linesl 47331 . . 3 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘2) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))})
205179, 190, 200, 204syl3anc 1372 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘2) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))})
206161, 163, 2053eqtr4d 2783 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐺 = (𝑋𝐿𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  {crab 3433  Vcvv 3475  {cpr 4629  cop 4633  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7404  m cmap 8816  cc 11104  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  2c2 12263  ℝ^crrx 24882  LineMcline 47315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-cmn 19643  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-cring 20050  df-oppr 20139  df-dvdsr 20160  df-unit 20161  df-invr 20191  df-dvr 20204  df-rnghom 20240  df-drng 20306  df-field 20307  df-subrg 20349  df-staf 20441  df-srng 20442  df-lmod 20461  df-lss 20531  df-sra 20773  df-rgmod 20774  df-cnfld 20930  df-refld 21142  df-dsmm 21271  df-frlm 21286  df-tng 24075  df-tcph 24668  df-rrx 24884  df-line 47317
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