line2 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem line2 43314

Description: Example for a line 𝐺 passing through two different points in "standard form". (Contributed by AV, 3-Feb-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
line2.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
line2.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
line2.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_𝑚 𝐼)
line2.l	⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
line2.g	⊢ 𝐺 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
line2.x	⊢ 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}
line2.y	⊢ 𝑌 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}

**Assertion**
Ref	Expression
line2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐺 = (𝑋𝐿𝑌))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑝 𝐵,𝑝 𝐶,𝑝 𝐸,𝑝 𝐼,𝑝 𝑃,𝑝 𝑋,𝑝 𝑌,𝑝 Allowed substitution hints: 𝐺(𝑝) 𝐿(𝑝)

**Proof of Theorem line2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		line2.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
4		line2.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_𝑚 𝐼)
5	3, 4	rrx2pxel 42271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
6	5	adantl 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
7	2, 6	remulcld 10394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℝ)
8	7	recnd 10392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
9		simpl2l 1301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	3, 4	rrx2pyel 42272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
11	10	adantl 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
12	9, 11	remulcld 10394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℝ)
13	12	recnd 10392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℂ)
14		simpl 476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	14	recnd 10392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	15	3ad2ant2 1168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	16	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐵 ∈ ℂ)
18		simp2r 1261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
19	18	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐵 ≠ 0)
20	8, 13, 17, 19	divdird 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + ((𝐵 · (𝑝‘2)) / 𝐵)))
21	10	recnd 10392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
22	21	adantl 475	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
23	22, 17, 19	divcan3d 11139	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) / 𝐵) = (𝑝‘2))
24	23	oveq2d 6926	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + ((𝐵 · (𝑝‘2)) / 𝐵)) = (((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝑝‘2)))
25	20, 24	eqtrd 2861	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝑝‘2)))
26	25	eqeq1d 2827	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵) ↔ (((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝑝‘2)) = (𝐶 / 𝐵)))
27	7, 9, 19	redivcld 11186	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) ∈ ℝ)
28	27	recnd 10392	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) ∈ ℂ)
29		simp3 1172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
30	14	3ad2ant2 1168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	29, 30, 18	redivcld 11186	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
32	31	recnd 10392	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℂ)
33	32	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℂ)
34	28, 22, 33	addrsub 10778	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝑝‘2)) = (𝐶 / 𝐵) ↔ (𝑝‘2) = ((𝐶 / 𝐵) − ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵))))
35		simpl3 1250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐶 ∈ ℝ)
36	35, 9, 19	redivcld 11186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
37	36	recnd 10392	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℂ)
38	28, 37	negsubdi2d 10736	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → -(((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)) = ((𝐶 / 𝐵) − ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵)))
39	28, 37	negsubdid 10735	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → -(((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)) = (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵)))
40	38, 39	eqtr3d 2863	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐶 / 𝐵) − ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵)) = (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵)))
41	40	eqeq2d 2835	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘2) = ((𝐶 / 𝐵) − ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵)) ↔ (𝑝‘2) = (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵))))
42	26, 34, 41	3bitrd 297	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵) ↔ (𝑝‘2) = (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵))))
43	7, 12	readdcld 10393	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) ∈ ℝ)
44	43	recnd 10392	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) ∈ ℂ)
45	29	recnd 10392	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
46	45	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐶 ∈ ℂ)
47		recn 10349	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
48	47	anim1i 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
49	48	3ad2ant2 1168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
50	49	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
51		div11 11045	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵) ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
52	44, 46, 50, 51	syl3anc 1494	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵) ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
53	8, 17, 19	divnegd 11147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → -((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = (-(𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵))
54	1	recnd 10392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
55	54	adantr 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐴 ∈ ℂ)
56	5	recnd 10392	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
57	56	adantl 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
58	55, 57	mulneg1d 10814	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (-𝐴 · (𝑝‘1)) = -(𝐴 · (𝑝‘1)))
59	58	eqcomd 2831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → -(𝐴 · (𝑝‘1)) = (-𝐴 · (𝑝‘1)))
60	59	oveq1d 6925	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (-(𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = ((-𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵))
61	53, 60	eqtrd 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → -((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = ((-𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵))
62		renegcl 10672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
63	62	recnd 10392	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℂ)
64	63	3ad2ant1 1167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐴 ∈ ℂ)
65	64	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → -𝐴 ∈ ℂ)
66		div23 11036	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑝‘1) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((-𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = ((-𝐴 / 𝐵) · (𝑝‘1)))
67	65, 57, 50, 66	syl3anc 1494	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((-𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = ((-𝐴 / 𝐵) · (𝑝‘1)))
68		line2.x	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}
69	68	fveq1i 6438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋‘1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)
70		1ex 10359	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ V
71		c0ex 10357	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ V
72		1ne2 11573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ≠ 2
73	70, 71, 72	3pm3.2i 1442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ≠ 2)
74		fvpr1g 6719	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0)
75	73, 74	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0)
76	69, 75	syl5eq 2873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋‘1) = 0)
77	76	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘1) = 0)
78	77	oveq2d 6926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑝‘1) − 0))
79	57	subid1d 10709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘1) − 0) = (𝑝‘1))
80	78, 79	eqtr2d 2862	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘1) = ((𝑝‘1) − (𝑋‘1)))
81	80	oveq2d 6926	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((-𝐴 / 𝐵) · (𝑝‘1)) = ((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))))
82	61, 67, 81	3eqtrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → -((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = ((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))))
83	82	oveq1d 6925	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵)) = (((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)))
84	83	eqeq2d 2835	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘2) = (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵)) ↔ (𝑝‘2) = (((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵))))
85	42, 52, 84	3bitr3d 301	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵))))
86		recn 10349	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
87	86	adantl 475	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
88		recn 10349	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
89	88	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
90		sub32 10643	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) = ((𝐶 − 𝐶) − 𝐴))
91		subid 10628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 𝐶) = 0)
92	91	3ad2ant1 1167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 − 𝐶) = 0)
93	92	oveq1d 6925	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐶) − 𝐴) = (0 − 𝐴))
94		df-neg 10595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
95	93, 94	syl6eqr 2879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐶) − 𝐴) = -𝐴)
96	90, 95	eqtr2d 2862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → -𝐴 = ((𝐶 − 𝐴) − 𝐶))
97	87, 89, 87, 96	syl3anc 1494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐴 = ((𝐶 − 𝐴) − 𝐶))
98	97	3adant2 1165	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐴 = ((𝐶 − 𝐴) − 𝐶))
99	98	oveq1d 6925	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐴 / 𝐵) = (((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵))
100	99	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (-𝐴 / 𝐵) = (((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵))
101	100	oveq1d 6925	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) = ((((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))))
102	101	oveq1d 6925	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) = (((((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)))
103	102	eqeq2d 2835	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘2) = (((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) ↔ (𝑝‘2) = (((((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵))))
104	85, 103	bitrd 271	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (((((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵))))
105		line2.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑌 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}
106	105	fveq1i 6438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌‘2) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}‘2)
107		2ex 11435	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ V
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 2 ∈ V)
109		resubcl 10673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℝ)
110	109	ancoms 452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℝ)
111	110	3adant2 1165	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℝ)
112	111, 30, 18	redivcld 11186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ)
113	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 1 ≠ 2)
114	108, 112, 113	3jca 1162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (2 ∈ V ∧ ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2))
115	114	adantr 474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (2 ∈ V ∧ ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2))
116		fvpr2g 6720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ V ∧ ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}‘2) = ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵))
117	115, 116	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}‘2) = ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵))
118	106, 117	syl5eq 2873	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) = ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵))
119	68	fveq1i 6438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋‘2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2)
120		fvpr2g 6720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ V ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = (𝐶 / 𝐵))
121	107, 31, 113, 120	mp3an2i 1594	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = (𝐶 / 𝐵))
122	119, 121	syl5eq 2873	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋‘2) = (𝐶 / 𝐵))
123	122	adantr 474	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘2) = (𝐶 / 𝐵))
124	118, 123	oveq12d 6928	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = (((𝐶 − 𝐴) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)))
125	29, 1	resubcld 10789	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℝ)
126	125	recnd 10392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
127		divsubdir 11053	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵) = (((𝐶 − 𝐴) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)))
128	126, 45, 49, 127	syl3anc 1494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵) = (((𝐶 − 𝐴) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)))
129	128	eqcomd 2831	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐶 − 𝐴) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)) = (((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵))
130	129	adantr 474	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐶 − 𝐴) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)) = (((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵))
131	124, 130	eqtr2d 2862	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))
132	131	oveq1d 6925	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))))
133	132	oveq1d 6925	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)))
134	133	eqeq2d 2835	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘2) = (((((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) ↔ (𝑝‘2) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵))))
135	105	fveq1i 6438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑌‘1) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}‘1)
136	70, 70	fvpr1 6717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}‘1) = 1)
137	72, 136	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}‘1) = 1
138	135, 137	eqtri 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌‘1) = 1
139	70, 71	fvpr1 6717	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0)
140	72, 139	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0
141	69, 140	eqtri 2849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋‘1) = 0
142	138, 141	oveq12i 6922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = (1 − 0)
143		1m0e1 11486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 − 0) = 1
144	142, 143	eqtri 2849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 1
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 1)
146	145	oveq2d 6926	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / 1))
147	107, 112, 113, 116	mp3an2i 1594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}‘2) = ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵))
148	106, 147	syl5eq 2873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑌‘2) = ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵))
149	112	recnd 10392	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵) ∈ ℂ)
150	148, 149	eqeltrd 2906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
151	122, 32	eqeltrd 2906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
152	150, 151	subcld 10720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
153	152	div1d 11126	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / 1) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))
154	146, 153	eqtrd 2861	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))
155	154	oveq1d 6925	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))))
156	155, 122	oveq12d 6928	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)))
157	156	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)))
158	157	eqcomd 2831	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2)))
159	158	eqeq2d 2835	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘2) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) ↔ (𝑝‘2) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))))
160	104, 134, 159	3bitrd 297	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))))
161	160	rabbidva 3401	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘2) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))})
162		line2.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
163	162	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐺 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
164	70, 107	pm3.2i 464	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
165	31, 71	jctil 515	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ∈ V ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ))
166		fprg 6678	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶{0, (𝐶 / 𝐵)})
167	164, 165, 113, 166	mp3an2i 1594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶{0, (𝐶 / 𝐵)})
168		0red 10367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
169	168, 31	prssd 4573	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {0, (𝐶 / 𝐵)} ⊆ ℝ)
170	167, 169	fssd 6296	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
171	68	feq1i 6273	. . . . . 6 ⊢ (𝑋:{1, 2}⟶ℝ ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
172	170, 171	sylibr 226	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑋:{1, 2}⟶ℝ)
173		reex 10350	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
174		prex 5132	. . . . . 6 ⊢ {1, 2} ∈ V
175	173, 174	elmap 8156	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ ↑_𝑚 {1, 2}) ↔ 𝑋:{1, 2}⟶ℝ)
176	172, 175	sylibr 226	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ (ℝ ↑_𝑚 {1, 2}))
177	3	oveq2i 6921	. . . . 5 ⊢ (ℝ ↑_𝑚 𝐼) = (ℝ ↑_𝑚 {1, 2})
178	4, 177	eqtri 2849	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_𝑚 {1, 2})
179	176, 178	syl6eleqr 2917	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ 𝑃)
180	112, 70	jctil 515	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (1 ∈ V ∧ ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ))
181		fprg 6678	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (1 ∈ V ∧ ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶{1, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)})
182	164, 180, 113, 181	mp3an2i 1594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶{1, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)})
183		1red 10364	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
184	183, 112	prssd 4573	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {1, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)} ⊆ ℝ)
185	182, 184	fssd 6296	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
186	105	feq1i 6273	. . . . . 6 ⊢ (𝑌:{1, 2}⟶ℝ ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
187	185, 186	sylibr 226	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑌:{1, 2}⟶ℝ)
188	173, 174	elmap 8156	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ ↑_𝑚 {1, 2}) ↔ 𝑌:{1, 2}⟶ℝ)
189	187, 188	sylibr 226	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑_𝑚 {1, 2}))
190	189, 178	syl6eleqr 2917	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ 𝑃)
191		0ne1 11429	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
192	73, 74	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0
193	69, 192	eqtri 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑋‘1) = 0
194	70, 70, 72	3pm3.2i 1442	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 1 ≠ 2)
195		fvpr1g 6719	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}‘1) = 1)
196	194, 195	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}‘1) = 1
197	135, 196	eqtri 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑌‘1) = 1
198	193, 197	neeq12i 3065	. . . . 5 ⊢ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ↔ 0 ≠ 1)
199	191, 198	mpbir 223	. . . 4 ⊢ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)
200	199	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
201		line2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
202		line2.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
203		eqid 2825	. . . 4 ⊢ (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))
204	3, 201, 4, 202, 203	rrx2linesl 43307	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘2) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))})
205	179, 190, 200, 204	syl3anc 1494	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘2) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))})
206	161, 163, 205	3eqtr4d 2871	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐺 = (𝑋𝐿𝑌))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 198 ∧ wa 386 ∧ w3a 1111 = wceq 1656 ∈ wcel 2164 ≠ wne 2999 {crab 3121 Vcvv 3414 {cpr 4401 ⟨cop 4405 ⟶wf 6123 ‘cfv 6127 (class class class)co 6910 ↑_𝑚 cmap 8127 ℂcc 10257 ℝcr 10258 0cc0 10259 1c1 10260 + caddc 10262 · cmul 10264 − cmin 10592 -cneg 10593 / cdiv 11016 2c2 11413 ℝ^crrx 23558 Line_Mcline 43291

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1894 ax-4 1908 ax-5 2009 ax-6 2075 ax-7 2112 ax-8 2166 ax-9 2173 ax-10 2192 ax-11 2207 ax-12 2220 ax-13 2389 ax-ext 2803 ax-rep 4996 ax-sep 5007 ax-nul 5015 ax-pow 5067 ax-pr 5129 ax-un 7214 ax-cnex 10315 ax-resscn 10316 ax-1cn 10317 ax-icn 10318 ax-addcl 10319 ax-addrcl 10320 ax-mulcl 10321 ax-mulrcl 10322 ax-mulcom 10323 ax-addass 10324 ax-mulass 10325 ax-distr 10326 ax-i2m1 10327 ax-1ne0 10328 ax-1rid 10329 ax-rnegex 10330 ax-rrecex 10331 ax-cnre 10332 ax-pre-lttri 10333 ax-pre-lttrn 10334 ax-pre-ltadd 10335 ax-pre-mulgt0 10336 ax-pre-sup 10337 ax-addf 10338 ax-mulf 10339

This theorem depends on definitions: df-bi 199 df-an 387 df-or 879 df-3or 1112 df-3an 1113 df-tru 1660 df-ex 1879 df-nf 1883 df-sb 2068 df-mo 2605 df-eu 2640 df-clab 2812 df-cleq 2818 df-clel 2821 df-nfc 2958 df-ne 3000 df-nel 3103 df-ral 3122 df-rex 3123 df-reu 3124 df-rmo 3125 df-rab 3126 df-v 3416 df-sbc 3663 df-csb 3758 df-dif 3801 df-un 3803 df-in 3805 df-ss 3812 df-pss 3814 df-nul 4147 df-if 4309 df-pw 4382 df-sn 4400 df-pr 4402 df-tp 4404 df-op 4406 df-uni 4661 df-int 4700 df-iun 4744 df-br 4876 df-opab 4938 df-mpt 4955 df-tr 4978 df-id 5252 df-eprel 5257 df-po 5265 df-so 5266 df-fr 5305 df-we 5307 df-xp 5352 df-rel 5353 df-cnv 5354 df-co 5355 df-dm 5356 df-rn 5357 df-res 5358 df-ima 5359 df-pred 5924 df-ord 5970 df-on 5971 df-lim 5972 df-suc 5973 df-iota 6090 df-fun 6129 df-fn 6130 df-f 6131 df-f1 6132 df-fo 6133 df-f1o 6134 df-fv 6135 df-riota 6871 df-ov 6913 df-oprab 6914 df-mpt2 6915 df-of 7162 df-om 7332 df-1st 7433 df-2nd 7434 df-supp 7565 df-tpos 7622 df-wrecs 7677 df-recs 7739 df-rdg 7777 df-1o 7831 df-oadd 7835 df-er 8014 df-map 8129 df-ixp 8182 df-en 8229 df-dom 8230 df-sdom 8231 df-fin 8232 df-fsupp 8551 df-sup 8623 df-pnf 10400 df-mnf 10401 df-xr 10402 df-ltxr 10403 df-le 10404 df-sub 10594 df-neg 10595 df-div 11017 df-nn 11358 df-2 11421 df-3 11422 df-4 11423 df-5 11424 df-6 11425 df-7 11426 df-8 11427 df-9 11428 df-n0 11626 df-z 11712 df-dec 11829 df-uz 11976 df-rp 12120 df-fz 12627 df-seq 13103 df-exp 13162 df-cj 14223 df-re 14224 df-im 14225 df-sqrt 14359 df-abs 14360 df-struct 16231 df-ndx 16232 df-slot 16233 df-base 16235 df-sets 16236 df-ress 16237 df-plusg 16325 df-mulr 16326 df-starv 16327 df-sca 16328 df-vsca 16329 df-ip 16330 df-tset 16331 df-ple 16332 df-ds 16334 df-unif 16335 df-hom 16336 df-cco 16337 df-0g 16462 df-prds 16468 df-pws 16470 df-mgm 17602 df-sgrp 17644 df-mnd 17655 df-mhm 17695 df-grp 17786 df-minusg 17787 df-sbg 17788 df-subg 17949 df-ghm 18016 df-cmn 18555 df-mgp 18851 df-ur 18863 df-ring 18910 df-cring 18911 df-oppr 18984 df-dvdsr 19002 df-unit 19003 df-invr 19033 df-dvr 19044 df-rnghom 19078 df-drng 19112 df-field 19113 df-subrg 19141 df-staf 19208 df-srng 19209 df-lmod 19228 df-lss 19296 df-sra 19540 df-rgmod 19541 df-cnfld 20114 df-refld 20319 df-dsmm 20446 df-frlm 20461 df-tng 22766 df-tcph 23345 df-rrx 23560 df-line 43293

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