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Theorem line2 45779
Description: Example for a line 𝐺 passing through two different points in "standard form". (Contributed by AV, 3-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
line2.i 𝐼 = {1, 2}
line2.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
line2.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
line2.l 𝐿 = (LineM𝐸)
line2.g 𝐺 = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
line2.x 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}
line2.y 𝑌 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}
Assertion
Ref Expression
line2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐺 = (𝑋𝐿𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem line2
StepHypRef Expression
1 simp1 1138 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 line2.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = {1, 2}
4 line2.p . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
53, 4rrx2pxel 45738 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
65adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
72, 6remulcld 10868 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℝ)
87recnd 10866 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
9 simpl2l 1228 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐵 ∈ ℝ)
103, 4rrx2pyel 45739 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
1110adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
129, 11remulcld 10868 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℝ)
1312recnd 10866 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℂ)
14 simpl 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
1514recnd 10866 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
16153ad2ant2 1136 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
1716adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐵 ∈ ℂ)
18 simp2r 1202 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
1918adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐵 ≠ 0)
208, 13, 17, 19divdird 11651 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + ((𝐵 · (𝑝‘2)) / 𝐵)))
2110recnd 10866 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
2221adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
2322, 17, 19divcan3d 11618 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) / 𝐵) = (𝑝‘2))
2423oveq2d 7234 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + ((𝐵 · (𝑝‘2)) / 𝐵)) = (((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝑝‘2)))
2520, 24eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝑝‘2)))
2625eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵) ↔ (((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝑝‘2)) = (𝐶 / 𝐵)))
277, 9, 19redivcld 11665 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) ∈ ℝ)
2827recnd 10866 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) ∈ ℂ)
29 simp3 1140 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
30143ad2ant2 1136 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3129, 30, 18redivcld 11665 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
3231recnd 10866 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℂ)
3332adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℂ)
3428, 22, 33addrsub 11254 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝑝‘2)) = (𝐶 / 𝐵) ↔ (𝑝‘2) = ((𝐶 / 𝐵) − ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵))))
35 simpl3 1195 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐶 ∈ ℝ)
3635, 9, 19redivcld 11665 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
3736recnd 10866 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℂ)
3828, 37negsubdi2d 11210 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → -(((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)) = ((𝐶 / 𝐵) − ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵)))
3928, 37negsubdid 11209 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → -(((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)) = (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵)))
4038, 39eqtr3d 2779 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐶 / 𝐵) − ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵)) = (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵)))
4140eqeq2d 2748 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘2) = ((𝐶 / 𝐵) − ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵)) ↔ (𝑝‘2) = (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵))))
4226, 34, 413bitrd 308 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵) ↔ (𝑝‘2) = (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵))))
437, 12readdcld 10867 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) ∈ ℝ)
4443recnd 10866 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) ∈ ℂ)
4529recnd 10866 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
4645adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐶 ∈ ℂ)
47 recn 10824 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4847anim1i 618 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
49483ad2ant2 1136 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
5049adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
51 div11 11523 . . . . . . 7 ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵) ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
5244, 46, 50, 51syl3anc 1373 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵) ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
538, 17, 19divnegd 11626 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → -((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = (-(𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵))
541recnd 10866 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5554adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐴 ∈ ℂ)
565recnd 10866 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
5756adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
5855, 57mulneg1d 11290 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (-𝐴 · (𝑝‘1)) = -(𝐴 · (𝑝‘1)))
5958eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → -(𝐴 · (𝑝‘1)) = (-𝐴 · (𝑝‘1)))
6059oveq1d 7233 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (-(𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = ((-𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵))
6153, 60eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → -((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = ((-𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵))
62 renegcl 11146 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
6362recnd 10866 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℂ)
64633ad2ant1 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐴 ∈ ℂ)
6564adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → -𝐴 ∈ ℂ)
66 div23 11514 . . . . . . . . . 10 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑝‘1) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((-𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = ((-𝐴 / 𝐵) · (𝑝‘1)))
6765, 57, 50, 66syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((-𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = ((-𝐴 / 𝐵) · (𝑝‘1)))
68 line2.x . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}
6968fveq1i 6723 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋‘1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)
70 1ex 10834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ V
71 c0ex 10832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ V
72 1ne2 12043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ≠ 2
7370, 71, 723pm3.2i 1341 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ≠ 2)
74 fvpr1g 7012 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0)
7573, 74mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0)
7669, 75syl5eq 2790 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋‘1) = 0)
7776adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘1) = 0)
7877oveq2d 7234 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑝‘1) − 0))
7957subid1d 11183 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘1) − 0) = (𝑝‘1))
8078, 79eqtr2d 2778 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) = ((𝑝‘1) − (𝑋‘1)))
8180oveq2d 7234 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((-𝐴 / 𝐵) · (𝑝‘1)) = ((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))))
8261, 67, 813eqtrd 2781 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → -((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = ((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))))
8382oveq1d 7233 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵)) = (((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)))
8483eqeq2d 2748 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘2) = (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵)) ↔ (𝑝‘2) = (((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵))))
8542, 52, 843bitr3d 312 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵))))
86 recn 10824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
8786adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
88 recn 10824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
8988adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
90 sub32 11117 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐶𝐴) − 𝐶) = ((𝐶𝐶) − 𝐴))
91 subid 11102 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶𝐶) = 0)
92913ad2ant1 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝐶) = 0)
9392oveq1d 7233 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐶𝐶) − 𝐴) = (0 − 𝐴))
94 df-neg 11070 . . . . . . . . . . . . . 14 -𝐴 = (0 − 𝐴)
9593, 94eqtr4di 2796 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐶𝐶) − 𝐴) = -𝐴)
9690, 95eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → -𝐴 = ((𝐶𝐴) − 𝐶))
9787, 89, 87, 96syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐴 = ((𝐶𝐴) − 𝐶))
98973adant2 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐴 = ((𝐶𝐴) − 𝐶))
9998oveq1d 7233 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐴 / 𝐵) = (((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵))
10099adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (-𝐴 / 𝐵) = (((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵))
101100oveq1d 7233 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) = ((((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))))
102101oveq1d 7233 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) = (((((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)))
103102eqeq2d 2748 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘2) = (((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) ↔ (𝑝‘2) = (((((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵))))
10485, 103bitrd 282 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (((((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵))))
105 line2.y . . . . . . . . . . 11 𝑌 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}
106105fveq1i 6723 . . . . . . . . . 10 (𝑌‘2) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}‘2)
107 2ex 11912 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ V
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 2 ∈ V)
109 resubcl 11147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶𝐴) ∈ ℝ)
110109ancoms 462 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐴) ∈ ℝ)
1111103adant2 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐴) ∈ ℝ)
112111, 30, 18redivcld 11665 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ)
11372a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 1 ≠ 2)
114108, 112, 1133jca 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (2 ∈ V ∧ ((𝐶𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2))
115114adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (2 ∈ V ∧ ((𝐶𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2))
116 fvpr2g 7013 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ V ∧ ((𝐶𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}‘2) = ((𝐶𝐴) / 𝐵))
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}‘2) = ((𝐶𝐴) / 𝐵))
118106, 117syl5eq 2790 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘2) = ((𝐶𝐴) / 𝐵))
11968fveq1i 6723 . . . . . . . . . . 11 (𝑋‘2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2)
120 fvpr2g 7013 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ V ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = (𝐶 / 𝐵))
121107, 31, 113, 120mp3an2i 1468 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = (𝐶 / 𝐵))
122119, 121syl5eq 2790 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋‘2) = (𝐶 / 𝐵))
123122adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘2) = (𝐶 / 𝐵))
124118, 123oveq12d 7236 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = (((𝐶𝐴) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)))
12529, 1resubcld 11265 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐴) ∈ ℝ)
126125recnd 10866 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
127 divsubdir 11531 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) = (((𝐶𝐴) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)))
128126, 45, 49, 127syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) = (((𝐶𝐴) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)))
129128eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐶𝐴) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)) = (((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵))
130129adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐶𝐴) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)) = (((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵))
131124, 130eqtr2d 2778 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))
132131oveq1d 7233 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))))
133132oveq1d 7233 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)))
134133eqeq2d 2748 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘2) = (((((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) ↔ (𝑝‘2) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵))))
135105fveq1i 6723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑌‘1) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}‘1)
13670, 70fvpr1 7010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}‘1) = 1)
13772, 136ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}‘1) = 1
138135, 137eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌‘1) = 1
13970, 71fvpr1 7010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0)
14072, 139ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0
14169, 140eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋‘1) = 0
142138, 141oveq12i 7230 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = (1 − 0)
143 1m0e1 11956 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 0) = 1
144142, 143eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 1
145144a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 1)
146145oveq2d 7234 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / 1))
147107, 112, 113, 116mp3an2i 1468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}‘2) = ((𝐶𝐴) / 𝐵))
148106, 147syl5eq 2790 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑌‘2) = ((𝐶𝐴) / 𝐵))
149112recnd 10866 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐴) / 𝐵) ∈ ℂ)
150148, 149eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
151122, 32eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
152150, 151subcld 11194 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
153152div1d 11605 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / 1) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))
154146, 153eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))
155154oveq1d 7233 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))))
156155, 122oveq12d 7236 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)))
157156adantr 484 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)))
158157eqcomd 2743 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2)))
159158eqeq2d 2748 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘2) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) ↔ (𝑝‘2) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))))
160104, 134, 1593bitrd 308 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))))
161160rabbidva 3393 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘2) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))})
162 line2.g . . 3 𝐺 = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
163162a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐺 = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
16470, 107pm3.2i 474 . . . . . . . 8 (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
16531, 71jctil 523 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ∈ V ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ))
166 fprg 6975 . . . . . . . 8 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶{0, (𝐶 / 𝐵)})
167164, 165, 113, 166mp3an2i 1468 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶{0, (𝐶 / 𝐵)})
168 0red 10841 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
169168, 31prssd 4740 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {0, (𝐶 / 𝐵)} ⊆ ℝ)
170167, 169fssd 6568 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
17168feq1i 6541 . . . . . 6 (𝑋:{1, 2}⟶ℝ ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
172170, 171sylibr 237 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑋:{1, 2}⟶ℝ)
173 reex 10825 . . . . . 6 ℝ ∈ V
174 prex 5330 . . . . . 6 {1, 2} ∈ V
175173, 174elmap 8557 . . . . 5 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ 𝑋:{1, 2}⟶ℝ)
176172, 175sylibr 237 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
1773oveq2i 7229 . . . . 5 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
1784, 177eqtri 2765 . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
179176, 178eleqtrrdi 2849 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑋𝑃)
180112, 70jctil 523 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (1 ∈ V ∧ ((𝐶𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ))
181 fprg 6975 . . . . . . . 8 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (1 ∈ V ∧ ((𝐶𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶{1, ((𝐶𝐴) / 𝐵)})
182164, 180, 113, 181mp3an2i 1468 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶{1, ((𝐶𝐴) / 𝐵)})
183 1red 10839 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
184183, 112prssd 4740 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {1, ((𝐶𝐴) / 𝐵)} ⊆ ℝ)
185182, 184fssd 6568 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
186105feq1i 6541 . . . . . 6 (𝑌:{1, 2}⟶ℝ ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
187185, 186sylibr 237 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑌:{1, 2}⟶ℝ)
188173, 174elmap 8557 . . . . 5 (𝑌 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ 𝑌:{1, 2}⟶ℝ)
189187, 188sylibr 237 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
190189, 178eleqtrrdi 2849 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑌𝑃)
191 0ne1 11906 . . . . 5 0 ≠ 1
19273, 74ax-mp 5 . . . . . . 7 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0
19369, 192eqtri 2765 . . . . . 6 (𝑋‘1) = 0
19470, 70, 723pm3.2i 1341 . . . . . . . 8 (1 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 1 ≠ 2)
195 fvpr1g 7012 . . . . . . . 8 ((1 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}‘1) = 1)
196194, 195ax-mp 5 . . . . . . 7 ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}‘1) = 1
197135, 196eqtri 2765 . . . . . 6 (𝑌‘1) = 1
198193, 197neeq12i 3007 . . . . 5 ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ↔ 0 ≠ 1)
199191, 198mpbir 234 . . . 4 (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)
200199a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
201 line2.e . . . 4 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
202 line2.l . . . 4 𝐿 = (LineM𝐸)
203 eqid 2737 . . . 4 (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))
2043, 201, 4, 202, 203rrx2linesl 45770 . . 3 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘2) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))})
205179, 190, 200, 204syl3anc 1373 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘2) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))})
206161, 163, 2053eqtr4d 2787 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐺 = (𝑋𝐿𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940  {crab 3065  Vcvv 3413  {cpr 4548  cop 4552  wf 6381  cfv 6385  (class class class)co 7218  m cmap 8513  cc 10732  cr 10733  0cc0 10734  1c1 10735   + caddc 10737   · cmul 10739  cmin 11067  -cneg 11068   / cdiv 11494  2c2 11890  ℝ^crrx 24285  LineMcline 45754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5184  ax-sep 5197  ax-nul 5204  ax-pow 5263  ax-pr 5327  ax-un 7528  ax-cnex 10790  ax-resscn 10791  ax-1cn 10792  ax-icn 10793  ax-addcl 10794  ax-addrcl 10795  ax-mulcl 10796  ax-mulrcl 10797  ax-mulcom 10798  ax-addass 10799  ax-mulass 10800  ax-distr 10801  ax-i2m1 10802  ax-1ne0 10803  ax-1rid 10804  ax-rnegex 10805  ax-rrecex 10806  ax-cnre 10807  ax-pre-lttri 10808  ax-pre-lttrn 10809  ax-pre-ltadd 10810  ax-pre-mulgt0 10811  ax-pre-sup 10812  ax-addf 10813  ax-mulf 10814
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3415  df-sbc 3700  df-csb 3817  df-dif 3874  df-un 3876  df-in 3878  df-ss 3888  df-pss 3890  df-nul 4243  df-if 4445  df-pw 4520  df-sn 4547  df-pr 4549  df-tp 4551  df-op 4553  df-uni 4825  df-iun 4911  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5141  df-tr 5167  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5562  df-rel 5563  df-cnv 5564  df-co 5565  df-dm 5566  df-rn 5567  df-res 5568  df-ima 5569  df-pred 6165  df-ord 6221  df-on 6222  df-lim 6223  df-suc 6224  df-iota 6343  df-fun 6387  df-fn 6388  df-f 6389  df-f1 6390  df-fo 6391  df-f1o 6392  df-fv 6393  df-riota 7175  df-ov 7221  df-oprab 7222  df-mpo 7223  df-of 7474  df-om 7650  df-1st 7766  df-2nd 7767  df-supp 7909  df-tpos 7973  df-wrecs 8052  df-recs 8113  df-rdg 8151  df-1o 8207  df-er 8396  df-map 8515  df-ixp 8584  df-en 8632  df-dom 8633  df-sdom 8634  df-fin 8635  df-fsupp 8991  df-sup 9063  df-pnf 10874  df-mnf 10875  df-xr 10876  df-ltxr 10877  df-le 10878  df-sub 11069  df-neg 11070  df-div 11495  df-nn 11836  df-2 11898  df-3 11899  df-4 11900  df-5 11901  df-6 11902  df-7 11903  df-8 11904  df-9 11905  df-n0 12096  df-z 12182  df-dec 12299  df-uz 12444  df-rp 12592  df-fz 13101  df-seq 13580  df-exp 13641  df-cj 14667  df-re 14668  df-im 14669  df-sqrt 14803  df-abs 14804  df-struct 16705  df-sets 16722  df-slot 16740  df-ndx 16750  df-base 16766  df-ress 16790  df-plusg 16820  df-mulr 16821  df-starv 16822  df-sca 16823  df-vsca 16824  df-ip 16825  df-tset 16826  df-ple 16827  df-ds 16829  df-unif 16830  df-hom 16831  df-cco 16832  df-0g 16951  df-prds 16957  df-pws 16959  df-mgm 18119  df-sgrp 18168  df-mnd 18179  df-mhm 18223  df-grp 18373  df-minusg 18374  df-sbg 18375  df-subg 18545  df-ghm 18625  df-cmn 19177  df-mgp 19510  df-ur 19522  df-ring 19569  df-cring 19570  df-oppr 19646  df-dvdsr 19664  df-unit 19665  df-invr 19695  df-dvr 19706  df-rnghom 19740  df-drng 19774  df-field 19775  df-subrg 19803  df-staf 19886  df-srng 19887  df-lmod 19906  df-lss 19974  df-sra 20214  df-rgmod 20215  df-cnfld 20369  df-refld 20572  df-dsmm 20699  df-frlm 20714  df-tng 23487  df-tcph 24071  df-rrx 24287  df-line 45756
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