line2 - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem line2 44738

Description: Example for a line 𝐺 passing through two different points in "standard form". (Contributed by AV, 3-Feb-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
line2.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
line2.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
line2.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
line2.l	⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
line2.g	⊢ 𝐺 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
line2.x	⊢ 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}
line2.y	⊢ 𝑌 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}

**Assertion**
Ref	Expression
line2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐺 = (𝑋𝐿𝑌))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑝 𝐵,𝑝 𝐶,𝑝 𝐸,𝑝 𝐼,𝑝 𝑃,𝑝 𝑋,𝑝 𝑌,𝑝 Allowed substitution hints: 𝐺(𝑝) 𝐿(𝑝)

**Proof of Theorem line2**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
2	1	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐴 ∈ ℝ)
3		line2.i	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
4		line2.p	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
5	3, 4	rrx2pxel 44697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
6	5	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
7	2, 6	remulcld 10670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℝ)
8	7	recnd 10668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
9		simpl2l 1222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐵 ∈ ℝ)
10	3, 4	rrx2pyel 44698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
11	10	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
12	9, 11	remulcld 10670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℝ)
13	12	recnd 10668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℂ)
14		simpl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
15	14	recnd 10668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
16	15	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	16	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐵 ∈ ℂ)
18		simp2r 1196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
19	18	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐵 ≠ 0)
20	8, 13, 17, 19	divdird 11453	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + ((𝐵 · (𝑝‘2)) / 𝐵)))
21	10	recnd 10668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
22	21	adantl 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
23	22, 17, 19	divcan3d 11420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) / 𝐵) = (𝑝‘2))
24	23	oveq2d 7171	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + ((𝐵 · (𝑝‘2)) / 𝐵)) = (((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝑝‘2)))
25	20, 24	eqtrd 2856	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝑝‘2)))
26	25	eqeq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵) ↔ (((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝑝‘2)) = (𝐶 / 𝐵)))
27	7, 9, 19	redivcld 11467	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) ∈ ℝ)
28	27	recnd 10668	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) ∈ ℂ)
29		simp3 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
30	14	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
31	29, 30, 18	redivcld 11467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
32	31	recnd 10668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℂ)
33	32	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℂ)
34	28, 22, 33	addrsub 11056	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝑝‘2)) = (𝐶 / 𝐵) ↔ (𝑝‘2) = ((𝐶 / 𝐵) − ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵))))
35		simpl3 1189	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐶 ∈ ℝ)
36	35, 9, 19	redivcld 11467	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
37	36	recnd 10668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℂ)
38	28, 37	negsubdi2d 11012	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → -(((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)) = ((𝐶 / 𝐵) − ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵)))
39	28, 37	negsubdid 11011	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → -(((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)) = (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵)))
40	38, 39	eqtr3d 2858	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐶 / 𝐵) − ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵)) = (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵)))
41	40	eqeq2d 2832	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘2) = ((𝐶 / 𝐵) − ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵)) ↔ (𝑝‘2) = (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵))))
42	26, 34, 41	3bitrd 307	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵) ↔ (𝑝‘2) = (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵))))
43	7, 12	readdcld 10669	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) ∈ ℝ)
44	43	recnd 10668	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) ∈ ℂ)
45	29	recnd 10668	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
46	45	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐶 ∈ ℂ)
47		recn 10626	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
48	47	anim1i 616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
49	48	3ad2ant2 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
50	49	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
51		div11 11325	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵) ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
52	44, 46, 50, 51	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵) ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
53	8, 17, 19	divnegd 11428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → -((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = (-(𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵))
54	1	recnd 10668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
55	54	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐴 ∈ ℂ)
56	5	recnd 10668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
57	56	adantl 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
58	55, 57	mulneg1d 11092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (-𝐴 · (𝑝‘1)) = -(𝐴 · (𝑝‘1)))
59	58	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → -(𝐴 · (𝑝‘1)) = (-𝐴 · (𝑝‘1)))
60	59	oveq1d 7170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (-(𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = ((-𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵))
61	53, 60	eqtrd 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → -((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = ((-𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵))
62		renegcl 10948	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
63	62	recnd 10668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℂ)
64	63	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐴 ∈ ℂ)
65	64	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → -𝐴 ∈ ℂ)
66		div23 11316	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑝‘1) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((-𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = ((-𝐴 / 𝐵) · (𝑝‘1)))
67	65, 57, 50, 66	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((-𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = ((-𝐴 / 𝐵) · (𝑝‘1)))
68		line2.x	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}
69	68	fveq1i 6670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋‘1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)
70		1ex 10636	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ∈ V
71		c0ex 10634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ V
72		1ne2 11844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 1 ≠ 2
73	70, 71, 72	3pm3.2i 1335	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ≠ 2)
74		fvpr1g 6953	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0)
75	73, 74	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0)
76	69, 75	syl5eq 2868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋‘1) = 0)
77	76	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘1) = 0)
78	77	oveq2d 7171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑝‘1) − 0))
79	57	subid1d 10985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘1) − 0) = (𝑝‘1))
80	78, 79	eqtr2d 2857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘1) = ((𝑝‘1) − (𝑋‘1)))
81	80	oveq2d 7171	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((-𝐴 / 𝐵) · (𝑝‘1)) = ((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))))
82	61, 67, 81	3eqtrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → -((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = ((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))))
83	82	oveq1d 7170	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵)) = (((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)))
84	83	eqeq2d 2832	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘2) = (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵)) ↔ (𝑝‘2) = (((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵))))
85	42, 52, 84	3bitr3d 311	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵))))
86		recn 10626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
87	86	adantl 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
88		recn 10626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
89	88	adantr 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
90		sub32 10919	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) = ((𝐶 − 𝐶) − 𝐴))
91		subid 10904	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶 − 𝐶) = 0)
92	91	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 − 𝐶) = 0)
93	92	oveq1d 7170	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐶) − 𝐴) = (0 − 𝐴))
94		df-neg 10872	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ -𝐴 = (0 − 𝐴)
95	93, 94	syl6eqr 2874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐶 − 𝐶) − 𝐴) = -𝐴)
96	90, 95	eqtr2d 2857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → -𝐴 = ((𝐶 − 𝐴) − 𝐶))
97	87, 89, 87, 96	syl3anc 1367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐴 = ((𝐶 − 𝐴) − 𝐶))
98	97	3adant2 1127	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐴 = ((𝐶 − 𝐴) − 𝐶))
99	98	oveq1d 7170	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐴 / 𝐵) = (((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵))
100	99	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (-𝐴 / 𝐵) = (((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵))
101	100	oveq1d 7170	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) = ((((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))))
102	101	oveq1d 7170	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) = (((((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)))
103	102	eqeq2d 2832	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘2) = (((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) ↔ (𝑝‘2) = (((((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵))))
104	85, 103	bitrd 281	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (((((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵))))
105		line2.y	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑌 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}
106	105	fveq1i 6670	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌‘2) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}‘2)
107		2ex 11713	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ V
108	107	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 2 ∈ V)
109		resubcl 10949	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℝ)
110	109	ancoms 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℝ)
111	110	3adant2 1127	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℝ)
112	111, 30, 18	redivcld 11467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ)
113	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 1 ≠ 2)
114	108, 112, 113	3jca 1124	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (2 ∈ V ∧ ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2))
115	114	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (2 ∈ V ∧ ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2))
116		fvpr2g 6954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ V ∧ ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}‘2) = ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵))
117	115, 116	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}‘2) = ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵))
118	106, 117	syl5eq 2868	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑌‘2) = ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵))
119	68	fveq1i 6670	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋‘2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2)
120		fvpr2g 6954	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ V ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = (𝐶 / 𝐵))
121	107, 31, 113, 120	mp3an2i 1462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = (𝐶 / 𝐵))
122	119, 121	syl5eq 2868	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋‘2) = (𝐶 / 𝐵))
123	122	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑋‘2) = (𝐶 / 𝐵))
124	118, 123	oveq12d 7173	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = (((𝐶 − 𝐴) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)))
125	29, 1	resubcld 11067	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℝ)
126	125	recnd 10668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ)
127		divsubdir 11333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐶 − 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵) = (((𝐶 − 𝐴) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)))
128	126, 45, 49, 127	syl3anc 1367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵) = (((𝐶 − 𝐴) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)))
129	128	eqcomd 2827	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐶 − 𝐴) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)) = (((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵))
130	129	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐶 − 𝐴) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)) = (((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵))
131	124, 130	eqtr2d 2857	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))
132	131	oveq1d 7170	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))))
133	132	oveq1d 7170	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)))
134	133	eqeq2d 2832	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘2) = (((((𝐶 − 𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) ↔ (𝑝‘2) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵))))
135	105	fveq1i 6670	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑌‘1) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}‘1)
136	70, 70	fvpr1 6951	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}‘1) = 1)
137	72, 136	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}‘1) = 1
138	135, 137	eqtri 2844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌‘1) = 1
139	70, 71	fvpr1 6951	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1 ≠ 2 → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0)
140	72, 139	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0
141	69, 140	eqtri 2844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋‘1) = 0
142	138, 141	oveq12i 7167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = (1 − 0)
143		1m0e1 11757	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 − 0) = 1
144	142, 143	eqtri 2844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 1
145	144	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 1)
146	145	oveq2d 7171	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / 1))
147	107, 112, 113, 116	mp3an2i 1462	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}‘2) = ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵))
148	106, 147	syl5eq 2868	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑌‘2) = ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵))
149	112	recnd 10668	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵) ∈ ℂ)
150	148, 149	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
151	122, 32	eqeltrd 2913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
152	150, 151	subcld 10996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
153	152	div1d 11407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / 1) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))
154	146, 153	eqtrd 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))
155	154	oveq1d 7170	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))))
156	155, 122	oveq12d 7173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)))
157	156	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)))
158	157	eqcomd 2827	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2)))
159	158	eqeq2d 2832	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘2) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) ↔ (𝑝‘2) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))))
160	104, 134, 159	3bitrd 307	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))))
161	160	rabbidva 3478	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘2) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))})
162		line2.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
163	162	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐺 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
164	70, 107	pm3.2i 473	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
165	31, 71	jctil 522	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ∈ V ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ))
166		fprg 6916	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶{0, (𝐶 / 𝐵)})
167	164, 165, 113, 166	mp3an2i 1462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶{0, (𝐶 / 𝐵)})
168		0red 10643	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
169	168, 31	prssd 4754	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {0, (𝐶 / 𝐵)} ⊆ ℝ)
170	167, 169	fssd 6527	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
171	68	feq1i 6504	. . . . . 6 ⊢ (𝑋:{1, 2}⟶ℝ ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
172	170, 171	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑋:{1, 2}⟶ℝ)
173		reex 10627	. . . . . 6 ⊢ ℝ ∈ V
174		prex 5332	. . . . . 6 ⊢ {1, 2} ∈ V
175	173, 174	elmap 8434	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (ℝ ↑_m {1, 2}) ↔ 𝑋:{1, 2}⟶ℝ)
176	172, 175	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ (ℝ ↑_m {1, 2}))
177	3	oveq2i 7166	. . . . 5 ⊢ (ℝ ↑_m 𝐼) = (ℝ ↑_m {1, 2})
178	4, 177	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m {1, 2})
179	176, 178	eleqtrrdi 2924	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ 𝑃)
180	112, 70	jctil 522	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (1 ∈ V ∧ ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ))
181		fprg 6916	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (1 ∈ V ∧ ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶{1, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)})
182	164, 180, 113, 181	mp3an2i 1462	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶{1, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)})
183		1red 10641	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
184	183, 112	prssd 4754	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {1, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)} ⊆ ℝ)
185	182, 184	fssd 6527	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
186	105	feq1i 6504	. . . . . 6 ⊢ (𝑌:{1, 2}⟶ℝ ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
187	185, 186	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑌:{1, 2}⟶ℝ)
188	173, 174	elmap 8434	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (ℝ ↑_m {1, 2}) ↔ 𝑌:{1, 2}⟶ℝ)
189	187, 188	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑_m {1, 2}))
190	189, 178	eleqtrrdi 2924	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ 𝑃)
191		0ne1 11707	. . . . 5 ⊢ 0 ≠ 1
192	73, 74	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0
193	69, 192	eqtri 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝑋‘1) = 0
194	70, 70, 72	3pm3.2i 1335	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 1 ≠ 2)
195		fvpr1g 6953	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}‘1) = 1)
196	194, 195	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶 − 𝐴) / 𝐵)⟩}‘1) = 1
197	135, 196	eqtri 2844	. . . . . 6 ⊢ (𝑌‘1) = 1
198	193, 197	neeq12i 3082	. . . . 5 ⊢ ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ↔ 0 ≠ 1)
199	191, 198	mpbir 233	. . . 4 ⊢ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)
200	199	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
201		line2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
202		line2.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
203		eqid 2821	. . . 4 ⊢ (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))
204	3, 201, 4, 202, 203	rrx2linesl 44729	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘2) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))})
205	179, 190, 200, 204	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘2) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))})
206	161, 163, 205	3eqtr4d 2866	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐺 = (𝑋𝐿𝑌))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 208 ∧ wa 398 ∧ w3a 1083 = wceq 1533 ∈ wcel 2110 ≠ wne 3016 {crab 3142 Vcvv 3494 {cpr 4568 ⟨cop 4572 ⟶wf 6350 ‘cfv 6354 (class class class)co 7155 ↑_m cmap 8405 ℂcc 10534 ℝcr 10535 0cc0 10536 1c1 10537 + caddc 10539 · cmul 10541 − cmin 10869 -cneg 10870 / cdiv 11296 2c2 11691 ℝ^crrx 23985 Line_Mcline 44713

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1792 ax-4 1806 ax-5 1907 ax-6 1966 ax-7 2011 ax-8 2112 ax-9 2120 ax-10 2141 ax-11 2157 ax-12 2173 ax-ext 2793 ax-rep 5189 ax-sep 5202 ax-nul 5209 ax-pow 5265 ax-pr 5329 ax-un 7460 ax-cnex 10592 ax-resscn 10593 ax-1cn 10594 ax-icn 10595 ax-addcl 10596 ax-addrcl 10597 ax-mulcl 10598 ax-mulrcl 10599 ax-mulcom 10600 ax-addass 10601 ax-mulass 10602 ax-distr 10603 ax-i2m1 10604 ax-1ne0 10605 ax-1rid 10606 ax-rnegex 10607 ax-rrecex 10608 ax-cnre 10609 ax-pre-lttri 10610 ax-pre-lttrn 10611 ax-pre-ltadd 10612 ax-pre-mulgt0 10613 ax-pre-sup 10614 ax-addf 10615 ax-mulf 10616

This theorem depends on definitions: df-bi 209 df-an 399 df-or 844 df-3or 1084 df-3an 1085 df-tru 1536 df-ex 1777 df-nf 1781 df-sb 2066 df-mo 2618 df-eu 2650 df-clab 2800 df-cleq 2814 df-clel 2893 df-nfc 2963 df-ne 3017 df-nel 3124 df-ral 3143 df-rex 3144 df-reu 3145 df-rmo 3146 df-rab 3147 df-v 3496 df-sbc 3772 df-csb 3883 df-dif 3938 df-un 3940 df-in 3942 df-ss 3951 df-pss 3953 df-nul 4291 df-if 4467 df-pw 4540 df-sn 4567 df-pr 4569 df-tp 4571 df-op 4573 df-uni 4838 df-int 4876 df-iun 4920 df-br 5066 df-opab 5128 df-mpt 5146 df-tr 5172 df-id 5459 df-eprel 5464 df-po 5473 df-so 5474 df-fr 5513 df-we 5515 df-xp 5560 df-rel 5561 df-cnv 5562 df-co 5563 df-dm 5564 df-rn 5565 df-res 5566 df-ima 5567 df-pred 6147 df-ord 6193 df-on 6194 df-lim 6195 df-suc 6196 df-iota 6313 df-fun 6356 df-fn 6357 df-f 6358 df-f1 6359 df-fo 6360 df-f1o 6361 df-fv 6362 df-riota 7113 df-ov 7158 df-oprab 7159 df-mpo 7160 df-of 7408 df-om 7580 df-1st 7688 df-2nd 7689 df-supp 7830 df-tpos 7891 df-wrecs 7946 df-recs 8007 df-rdg 8045 df-1o 8101 df-oadd 8105 df-er 8288 df-map 8407 df-ixp 8461 df-en 8509 df-dom 8510 df-sdom 8511 df-fin 8512 df-fsupp 8833 df-sup 8905 df-pnf 10676 df-mnf 10677 df-xr 10678 df-ltxr 10679 df-le 10680 df-sub 10871 df-neg 10872 df-div 11297 df-nn 11638 df-2 11699 df-3 11700 df-4 11701 df-5 11702 df-6 11703 df-7 11704 df-8 11705 df-9 11706 df-n0 11897 df-z 11981 df-dec 12098 df-uz 12243 df-rp 12389 df-fz 12892 df-seq 13369 df-exp 13429 df-cj 14457 df-re 14458 df-im 14459 df-sqrt 14593 df-abs 14594 df-struct 16484 df-ndx 16485 df-slot 16486 df-base 16488 df-sets 16489 df-ress 16490 df-plusg 16577 df-mulr 16578 df-starv 16579 df-sca 16580 df-vsca 16581 df-ip 16582 df-tset 16583 df-ple 16584 df-ds 16586 df-unif 16587 df-hom 16588 df-cco 16589 df-0g 16714 df-prds 16720 df-pws 16722 df-mgm 17851 df-sgrp 17900 df-mnd 17911 df-mhm 17955 df-grp 18105 df-minusg 18106 df-sbg 18107 df-subg 18275 df-ghm 18355 df-cmn 18907 df-mgp 19239 df-ur 19251 df-ring 19298 df-cring 19299 df-oppr 19372 df-dvdsr 19390 df-unit 19391 df-invr 19421 df-dvr 19432 df-rnghom 19466 df-drng 19503 df-field 19504 df-subrg 19532 df-staf 19615 df-srng 19616 df-lmod 19635 df-lss 19703 df-sra 19943 df-rgmod 19944 df-cnfld 20545 df-refld 20748 df-dsmm 20875 df-frlm 20890 df-tng 23193 df-tcph 23772 df-rrx 23987 df-line 44715

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