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Theorem line2 44926
Description: Example for a line 𝐺 passing through two different points in "standard form". (Contributed by AV, 3-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
line2.i 𝐼 = {1, 2}
line2.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
line2.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
line2.l 𝐿 = (LineM𝐸)
line2.g 𝐺 = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
line2.x 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}
line2.y 𝑌 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}
Assertion
Ref Expression
line2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐺 = (𝑋𝐿𝑌))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem line2
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
21adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 line2.i . . . . . . . . . . . . . 14 𝐼 = {1, 2}
4 line2.p . . . . . . . . . . . . . 14 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
53, 4rrx2pxel 44885 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
65adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
72, 6remulcld 10648 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℝ)
87recnd 10646 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
9 simpl2l 1223 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐵 ∈ ℝ)
103, 4rrx2pyel 44886 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
1110adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
129, 11remulcld 10648 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℝ)
1312recnd 10646 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℂ)
14 simpl 486 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
1514recnd 10646 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
16153ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
1716adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐵 ∈ ℂ)
18 simp2r 1197 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
1918adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐵 ≠ 0)
208, 13, 17, 19divdird 11431 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + ((𝐵 · (𝑝‘2)) / 𝐵)))
2110recnd 10646 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
2221adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
2322, 17, 19divcan3d 11398 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐵 · (𝑝‘2)) / 𝐵) = (𝑝‘2))
2423oveq2d 7146 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + ((𝐵 · (𝑝‘2)) / 𝐵)) = (((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝑝‘2)))
2520, 24eqtrd 2856 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝑝‘2)))
2625eqeq1d 2823 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵) ↔ (((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝑝‘2)) = (𝐶 / 𝐵)))
277, 9, 19redivcld 11445 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) ∈ ℝ)
2827recnd 10646 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) ∈ ℂ)
29 simp3 1135 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
30143ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
3129, 30, 18redivcld 11445 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
3231recnd 10646 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℂ)
3332adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℂ)
3428, 22, 33addrsub 11034 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝑝‘2)) = (𝐶 / 𝐵) ↔ (𝑝‘2) = ((𝐶 / 𝐵) − ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵))))
35 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐶 ∈ ℝ)
3635, 9, 19redivcld 11445 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
3736recnd 10646 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℂ)
3828, 37negsubdi2d 10990 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → -(((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)) = ((𝐶 / 𝐵) − ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵)))
3928, 37negsubdid 10989 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → -(((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)) = (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵)))
4038, 39eqtr3d 2858 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐶 / 𝐵) − ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵)) = (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵)))
4140eqeq2d 2832 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘2) = ((𝐶 / 𝐵) − ((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵)) ↔ (𝑝‘2) = (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵))))
4226, 34, 413bitrd 308 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵) ↔ (𝑝‘2) = (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵))))
437, 12readdcld 10647 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) ∈ ℝ)
4443recnd 10646 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) ∈ ℂ)
4529recnd 10646 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
4645adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐶 ∈ ℂ)
47 recn 10604 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
4847anim1i 617 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
49483ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
5049adantr 484 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
51 div11 11303 . . . . . . 7 ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵) ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
5244, 46, 50, 51syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) / 𝐵) = (𝐶 / 𝐵) ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶))
538, 17, 19divnegd 11406 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → -((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = (-(𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵))
541recnd 10646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
5554adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐴 ∈ ℂ)
565recnd 10646 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
5756adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
5855, 57mulneg1d 11070 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (-𝐴 · (𝑝‘1)) = -(𝐴 · (𝑝‘1)))
5958eqcomd 2827 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → -(𝐴 · (𝑝‘1)) = (-𝐴 · (𝑝‘1)))
6059oveq1d 7145 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (-(𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = ((-𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵))
6153, 60eqtrd 2856 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → -((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = ((-𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵))
62 renegcl 10926 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
6362recnd 10646 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℂ)
64633ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐴 ∈ ℂ)
6564adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → -𝐴 ∈ ℂ)
66 div23 11294 . . . . . . . . . 10 ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑝‘1) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((-𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = ((-𝐴 / 𝐵) · (𝑝‘1)))
6765, 57, 50, 66syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((-𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = ((-𝐴 / 𝐵) · (𝑝‘1)))
68 line2.x . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}
6968fveq1i 6644 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋‘1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1)
70 1ex 10614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ∈ V
71 c0ex 10612 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ V
72 1ne2 11823 . . . . . . . . . . . . . . . 16 1 ≠ 2
7370, 71, 723pm3.2i 1336 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ≠ 2)
74 fvpr1g 6927 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0)
7573, 74mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0)
7669, 75syl5eq 2868 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋‘1) = 0)
7776adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘1) = 0)
7877oveq2d 7146 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑝‘1) − 0))
7957subid1d 10963 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘1) − 0) = (𝑝‘1))
8078, 79eqtr2d 2857 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) = ((𝑝‘1) − (𝑋‘1)))
8180oveq2d 7146 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((-𝐴 / 𝐵) · (𝑝‘1)) = ((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))))
8261, 67, 813eqtrd 2860 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → -((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) = ((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))))
8382oveq1d 7145 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵)) = (((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)))
8483eqeq2d 2832 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘2) = (-((𝐴 · (𝑝‘1)) / 𝐵) + (𝐶 / 𝐵)) ↔ (𝑝‘2) = (((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵))))
8542, 52, 843bitr3d 312 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵))))
86 recn 10604 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
8786adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
88 recn 10604 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
8988adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
90 sub32 10897 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐶𝐴) − 𝐶) = ((𝐶𝐶) − 𝐴))
91 subid 10882 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐶 ∈ ℂ → (𝐶𝐶) = 0)
92913ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝐶) = 0)
9392oveq1d 7145 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐶𝐶) − 𝐴) = (0 − 𝐴))
94 df-neg 10850 . . . . . . . . . . . . . 14 -𝐴 = (0 − 𝐴)
9593, 94syl6eqr 2874 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐶𝐶) − 𝐴) = -𝐴)
9690, 95eqtr2d 2857 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → -𝐴 = ((𝐶𝐴) − 𝐶))
9787, 89, 87, 96syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐴 = ((𝐶𝐴) − 𝐶))
98973adant2 1128 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐴 = ((𝐶𝐴) − 𝐶))
9998oveq1d 7145 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐴 / 𝐵) = (((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵))
10099adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (-𝐴 / 𝐵) = (((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵))
101100oveq1d 7145 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) = ((((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))))
102101oveq1d 7145 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) = (((((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)))
103102eqeq2d 2832 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘2) = (((-𝐴 / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) ↔ (𝑝‘2) = (((((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵))))
10485, 103bitrd 282 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (((((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵))))
105 line2.y . . . . . . . . . . 11 𝑌 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}
106105fveq1i 6644 . . . . . . . . . 10 (𝑌‘2) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}‘2)
107 2ex 11692 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ V
108107a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 2 ∈ V)
109 resubcl 10927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐶𝐴) ∈ ℝ)
110109ancoms 462 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐴) ∈ ℝ)
1111103adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐴) ∈ ℝ)
112111, 30, 18redivcld 11445 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ)
11372a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 1 ≠ 2)
114108, 112, 1133jca 1125 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (2 ∈ V ∧ ((𝐶𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2))
115114adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (2 ∈ V ∧ ((𝐶𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2))
116 fvpr2g 6928 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ V ∧ ((𝐶𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}‘2) = ((𝐶𝐴) / 𝐵))
117115, 116syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}‘2) = ((𝐶𝐴) / 𝐵))
118106, 117syl5eq 2868 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑌‘2) = ((𝐶𝐴) / 𝐵))
11968fveq1i 6644 . . . . . . . . . . 11 (𝑋‘2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2)
120 fvpr2g 6928 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ V ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = (𝐶 / 𝐵))
121107, 31, 113, 120mp3an2i 1463 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘2) = (𝐶 / 𝐵))
122119, 121syl5eq 2868 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋‘2) = (𝐶 / 𝐵))
123122adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑋‘2) = (𝐶 / 𝐵))
124118, 123oveq12d 7148 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = (((𝐶𝐴) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)))
12529, 1resubcld 11045 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐴) ∈ ℝ)
126125recnd 10646 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐴) ∈ ℂ)
127 divsubdir 11311 . . . . . . . . . . 11 (((𝐶𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) = (((𝐶𝐴) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)))
128126, 45, 49, 127syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) = (((𝐶𝐴) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)))
129128eqcomd 2827 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐶𝐴) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)) = (((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵))
130129adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐶𝐴) / 𝐵) − (𝐶 / 𝐵)) = (((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵))
131124, 130eqtr2d 2857 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))
132131oveq1d 7145 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))))
133132oveq1d 7145 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)))
134133eqeq2d 2832 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘2) = (((((𝐶𝐴) − 𝐶) / 𝐵) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) ↔ (𝑝‘2) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵))))
135105fveq1i 6644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑌‘1) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}‘1)
13670, 70fvpr1 6925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}‘1) = 1)
13772, 136ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}‘1) = 1
138135, 137eqtri 2844 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌‘1) = 1
13970, 71fvpr1 6925 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1 ≠ 2 → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0)
14072, 139ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0
14169, 140eqtri 2844 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋‘1) = 0
142138, 141oveq12i 7142 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = (1 − 0)
143 1m0e1 11736 . . . . . . . . . . . . 13 (1 − 0) = 1
144142, 143eqtri 2844 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 1
145144a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 1)
146145oveq2d 7146 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / 1))
147107, 112, 113, 116mp3an2i 1463 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}‘2) = ((𝐶𝐴) / 𝐵))
148106, 147syl5eq 2868 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑌‘2) = ((𝐶𝐴) / 𝐵))
149112recnd 10646 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐴) / 𝐵) ∈ ℂ)
150148, 149eqeltrd 2912 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑌‘2) ∈ ℂ)
151122, 32eqeltrd 2912 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋‘2) ∈ ℂ)
152150, 151subcld 10974 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) ∈ ℂ)
153152div1d 11385 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / 1) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))
154146, 153eqtrd 2856 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)))
155154oveq1d 7145 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))))
156155, 122oveq12d 7148 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)))
157156adantr 484 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)))
158157eqcomd 2827 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2)))
159158eqeq2d 2832 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘2) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝐶 / 𝐵)) ↔ (𝑝‘2) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))))
160104, 134, 1593bitrd 308 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))))
161160rabbidva 3455 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘2) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))})
162 line2.g . . 3 𝐺 = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
163162a1i 11 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐺 = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
16470, 107pm3.2i 474 . . . . . . . 8 (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
16531, 71jctil 523 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (0 ∈ V ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ))
166 fprg 6890 . . . . . . . 8 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶{0, (𝐶 / 𝐵)})
167164, 165, 113, 166mp3an2i 1463 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶{0, (𝐶 / 𝐵)})
168 0red 10621 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
169168, 31prssd 4728 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {0, (𝐶 / 𝐵)} ⊆ ℝ)
170167, 169fssd 6501 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
17168feq1i 6478 . . . . . 6 (𝑋:{1, 2}⟶ℝ ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
172170, 171sylibr 237 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑋:{1, 2}⟶ℝ)
173 reex 10605 . . . . . 6 ℝ ∈ V
174 prex 5306 . . . . . 6 {1, 2} ∈ V
175173, 174elmap 8410 . . . . 5 (𝑋 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ 𝑋:{1, 2}⟶ℝ)
176172, 175sylibr 237 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑋 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
1773oveq2i 7141 . . . . 5 (ℝ ↑m 𝐼) = (ℝ ↑m {1, 2})
1784, 177eqtri 2844 . . . 4 𝑃 = (ℝ ↑m {1, 2})
179176, 178eleqtrrdi 2923 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑋𝑃)
180112, 70jctil 523 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (1 ∈ V ∧ ((𝐶𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ))
181 fprg 6890 . . . . . . . 8 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (1 ∈ V ∧ ((𝐶𝐴) / 𝐵) ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶{1, ((𝐶𝐴) / 𝐵)})
182164, 180, 113, 181mp3an2i 1463 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶{1, ((𝐶𝐴) / 𝐵)})
183 1red 10619 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
184183, 112prssd 4728 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {1, ((𝐶𝐴) / 𝐵)} ⊆ ℝ)
185182, 184fssd 6501 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
186105feq1i 6478 . . . . . 6 (𝑌:{1, 2}⟶ℝ ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
187185, 186sylibr 237 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑌:{1, 2}⟶ℝ)
188173, 174elmap 8410 . . . . 5 (𝑌 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}) ↔ 𝑌:{1, 2}⟶ℝ)
189187, 188sylibr 237 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑌 ∈ (ℝ ↑m {1, 2}))
190189, 178eleqtrrdi 2923 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝑌𝑃)
191 0ne1 11686 . . . . 5 0 ≠ 1
19273, 74ax-mp 5 . . . . . . 7 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, (𝐶 / 𝐵)⟩}‘1) = 0
19369, 192eqtri 2844 . . . . . 6 (𝑋‘1) = 0
19470, 70, 723pm3.2i 1336 . . . . . . . 8 (1 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 1 ≠ 2)
195 fvpr1g 6927 . . . . . . . 8 ((1 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}‘1) = 1)
196194, 195ax-mp 5 . . . . . . 7 ({⟨1, 1⟩, ⟨2, ((𝐶𝐴) / 𝐵)⟩}‘1) = 1
197135, 196eqtri 2844 . . . . . 6 (𝑌‘1) = 1
198193, 197neeq12i 3073 . . . . 5 ((𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1) ↔ 0 ≠ 1)
199191, 198mpbir 234 . . . 4 (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)
200199a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
201 line2.e . . . 4 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
202 line2.l . . . 4 𝐿 = (LineM𝐸)
203 eqid 2821 . . . 4 (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) = (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)))
2043, 201, 4, 202, 203rrx2linesl 44917 . . 3 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘2) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))})
205179, 190, 200, 204syl3anc 1368 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘2) = (((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) / ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))) · ((𝑝‘1) − (𝑋‘1))) + (𝑋‘2))})
206161, 163, 2053eqtr4d 2866 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐺 = (𝑋𝐿𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007  {crab 3130  Vcvv 3471  {cpr 4542  cop 4546  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7130  m cmap 8381  cc 10512  cr 10513  0cc0 10514  1c1 10515   + caddc 10517   · cmul 10519  cmin 10847  -cneg 10848   / cdiv 11274  2c2 11670  ℝ^crrx 23965  LineMcline 44901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593  ax-mulf 10594
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-tpos 7867  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-sup 8882  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-rp 12368  df-fz 12876  df-seq 13353  df-exp 13414  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-starv 16558  df-sca 16559  df-vsca 16560  df-ip 16561  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ds 16565  df-unif 16566  df-hom 16567  df-cco 16568  df-0g 16693  df-prds 16699  df-pws 16701  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-mhm 17934  df-grp 18084  df-minusg 18085  df-sbg 18086  df-subg 18254  df-ghm 18334  df-cmn 18886  df-mgp 19218  df-ur 19230  df-ring 19277  df-cring 19278  df-oppr 19351  df-dvdsr 19369  df-unit 19370  df-invr 19400  df-dvr 19411  df-rnghom 19445  df-drng 19479  df-field 19480  df-subrg 19508  df-staf 19591  df-srng 19592  df-lmod 19611  df-lss 19679  df-sra 19919  df-rgmod 19920  df-cnfld 20521  df-refld 20724  df-dsmm 20851  df-frlm 20866  df-tng 23169  df-tcph 23752  df-rrx 23967  df-line 44903
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