Theorem line2x 50081

Description: Example for a horizontal line 𝐺 passing through two different points in "standard form". (Contributed by AV, 3-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
line2.i	⊢ 𝐼 = (0..^2)
line2.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
line2.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
line2.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
line2.g	⊢ 𝐺 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶}
line2x.x	⊢ 𝑋 = ⟨“0𝑀”⟩
line2x.y	⊢ 𝑌 = ⟨“1𝑀”⟩

Assertion

Ref	Expression
line2x	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐺 = (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝   𝑀,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem line2x

Step	Hyp	Ref	Expression
1		line2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶}
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝐺 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶})
3		s2len 15071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘⟨“0𝑀”⟩) = 2
4	3	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (♯‘⟨“0𝑀”⟩)
5	4	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 2 = (♯‘⟨“0𝑀”⟩))
6		0red 11341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
7		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 𝑀 ∈ ℝ)
8	6, 7	s2cld 15053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ⟨“0𝑀”⟩ ∈ Word ℝ)
9	5, 8	wrdfd 14694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ⟨“0𝑀”⟩:(0..^2)⟶ℝ)
10		line2.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = (0..^2)
11	10	feq2i 6726	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“0𝑀”⟩:𝐼⟶ℝ ↔ ⟨“0𝑀”⟩:(0..^2)⟶ℝ)
12	9, 11	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ⟨“0𝑀”⟩:𝐼⟶ℝ)
13		reex 11321	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ V
14	10	ovexi 7480	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 ∈ V
15	13, 14	elmap 8930	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨“0𝑀”⟩ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ ⟨“0𝑀”⟩:𝐼⟶ℝ)
16	12, 15	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ⟨“0𝑀”⟩ ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
17		line2x.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = ⟨“0𝑀”⟩
18		line2.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
19	16, 17, 18	3eltr4g 2881	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ 𝑃)
20		s2len 15071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (♯‘⟨“1𝑀”⟩) = 2
21	20	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 = (♯‘⟨“1𝑀”⟩)
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 2 = (♯‘⟨“1𝑀”⟩))
23		1re 11338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
25	24, 7	s2cld 15053	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ⟨“1𝑀”⟩ ∈ Word ℝ)
26	22, 25	wrdfd 14694	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ⟨“1𝑀”⟩:(0..^2)⟶ℝ)
27	10	feq2i 6726	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“1𝑀”⟩:𝐼⟶ℝ ↔ ⟨“1𝑀”⟩:(0..^2)⟶ℝ)
28	26, 27	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ⟨“1𝑀”⟩:𝐼⟶ℝ)
29	13, 14	pm3.2i 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V)
30		elmapg 8890	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (⟨“1𝑀”⟩ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ ⟨“1𝑀”⟩:𝐼⟶ℝ))
31	29, 30	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (⟨“1𝑀”⟩ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ ⟨“1𝑀”⟩:𝐼⟶ℝ))
32	28, 31	mpbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ⟨“1𝑀”⟩ ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
33		line2x.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = ⟨“1𝑀”⟩
34	32, 33, 18	3eltr4g 2881	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 𝑌 ∈ 𝑃)
35		0ne1 12444	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≠ 1
36	35	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 0 ≠ 1)
37		0red 11341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ⟨“0𝑀”⟩ = ⟨“1𝑀”⟩) → 0 ∈ ℝ)
38		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ⟨“0𝑀”⟩ = ⟨“1𝑀”⟩) → 𝑀 ∈ ℝ)
39	38, 23	jctil 529	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ⟨“0𝑀”⟩ = ⟨“1𝑀”⟩) → (1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
40		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ⟨“0𝑀”⟩ = ⟨“1𝑀”⟩) → ⟨“0𝑀”⟩ = ⟨“1𝑀”⟩)
41		s2eq2seq 15120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (⟨“0𝑀”⟩ = ⟨“1𝑀”⟩ ↔ (0 = 1 ∧ 𝑀 = 𝑀)))
42	41	simprbda 504	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) ∧ ⟨“0𝑀”⟩ = ⟨“1𝑀”⟩) → 0 = 1)
43	37, 38, 39, 40, 42	syl1111anc 854	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ⟨“0𝑀”⟩ = ⟨“1𝑀”⟩) → 0 = 1)
44	36, 43	mteqand 3050	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ⟨“0𝑀”⟩ ≠ ⟨“1𝑀”⟩)
45	44, 17, 33	3netr4g 3038	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 𝑋 ≠ 𝑌)
46	19, 34, 45	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
47	46	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
48		line2.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
49		line2.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
50		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) = ((𝑌‘0) − (𝑋‘0))
51		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
52		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1))) = (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)))
53	10, 48, 18, 49, 50, 51, 52	rrx2linest 50069	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (𝑝‘1)) = ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘0)) + (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1))))})
54	47, 53	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (𝑝‘1)) = ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘0)) + (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1))))})
55	2, 54	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐺 = (𝑋𝐿𝑌) ↔ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (𝑝‘1)) = ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘0)) + (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1))))}))
56		rabbi 3445	. . 3 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (𝑝‘1)) = ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘0)) + (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1))))) ↔ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (𝑝‘1)) = ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘0)) + (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1))))})
57	33	fveq1i 6912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌‘0) = (⟨“1𝑀”⟩‘0)
58		s2fv0 15069	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ ℝ → (⟨“1𝑀”⟩‘0) = 1)
59	23, 58	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (⟨“1𝑀”⟩‘0) = 1)
60	57, 59	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑌‘0) = 1)
61	17	fveq1i 6912	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋‘0) = (⟨“0𝑀”⟩‘0)
62		0re 11340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
63		s2fv0 15069	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0 ∈ ℝ → (⟨“0𝑀”⟩‘0) = 0)
64	62, 63	mp1i 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (⟨“0𝑀”⟩‘0) = 0)
65	61, 64	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑋‘0) = 0)
66	60, 65	oveq12d 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) = (1 − 0))
67		1m0e1 12492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − 0) = 1
68	66, 67	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) = 1)
69	68	oveq1d 7461	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (𝑝‘1)) = (1 · (𝑝‘1)))
70	33	fveq1i 6912	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌‘1) = (⟨“1𝑀”⟩‘1)
71		s2fv1 15070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (⟨“1𝑀”⟩‘1) = 𝑀)
72	70, 71	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑌‘1) = 𝑀)
73	17	fveq1i 6912	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋‘1) = (⟨“0𝑀”⟩‘1)
74		s2fv1 15070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (⟨“0𝑀”⟩‘1) = 𝑀)
75	73, 74	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑋‘1) = 𝑀)
76	72, 75	oveq12d 7464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = (𝑀 − 𝑀))
77		recn 11320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 𝑀 ∈ ℂ)
78	77	subidd 11687	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 𝑀) = 0)
79	76, 78	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 0)
80	79	oveq1d 7461	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘0)) = (0 · (𝑝‘0)))
81	75, 60	oveq12d 7464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) = (𝑀 · 1))
82		ax-1rid 11300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 · 1) = 𝑀)
83	81, 82	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) = 𝑀)
84	65, 72	oveq12d 7464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)) = (0 · 𝑀))
85	77	mul02d 11538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (0 · 𝑀) = 0)
86	84, 85	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)) = 0)
87	83, 86	oveq12d 7464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1))) = (𝑀 − 0))
88	77	subid1d 11688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 0) = 𝑀)
89	87, 88	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1))) = 𝑀)
90	80, 89	oveq12d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘0)) + (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)))) = ((0 · (𝑝‘0)) + 𝑀))
91	69, 90	eqeq12d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ((((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (𝑝‘1)) = ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘0)) + (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)))) ↔ (1 · (𝑝‘1)) = ((0 · (𝑝‘0)) + 𝑀)))
92	91	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (𝑝‘1)) = ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘0)) + (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)))) ↔ (1 · (𝑝‘1)) = ((0 · (𝑝‘0)) + 𝑀)))
93	10, 18	rrx2pyel 50039	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
94	93	recnd 11367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
95	94	mullidd 11357	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (1 · (𝑝‘1)) = (𝑝‘1))
96	10, 18	rrx2pxel 50038	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘0) ∈ ℝ)
97	96	recnd 11367	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘0) ∈ ℂ)
98	97	mul02d 11538	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (0 · (𝑝‘0)) = 0)
99	98	oveq1d 7461	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((0 · (𝑝‘0)) + 𝑀) = (0 + 𝑀))
100	95, 99	eqeq12d 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((1 · (𝑝‘1)) = ((0 · (𝑝‘0)) + 𝑀) ↔ (𝑝‘1) = (0 + 𝑀)))
101	92, 100	sylan9bb 519	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (𝑝‘1)) = ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘0)) + (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1)))) ↔ (𝑝‘1) = (0 + 𝑀)))
102	101	bibi2d 345	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (𝑝‘1)) = ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘0)) + (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1))))) ↔ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = (0 + 𝑀))))
103	102	ralbidva 3187	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (𝑝‘1)) = ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘0)) + (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1))))) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = (0 + 𝑀))))
104	77	addlidd 11541	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (0 + 𝑀) = 𝑀)
105	104	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (0 + 𝑀) = 𝑀)
106	105	eqeq2d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘1) = (0 + 𝑀) ↔ (𝑝‘1) = 𝑀))
107	106	bibi2d 345	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = (0 + 𝑀)) ↔ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 𝑀)))
108	107	ralbidva 3187	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = (0 + 𝑀)) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 𝑀)))
109	108	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = (0 + 𝑀)) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 𝑀)))
110	10, 48, 18, 49, 1, 17, 33	line2xlem 50080	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 𝑀) → (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))
111		oveq1 7453	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · (𝑝‘0)) = (0 · (𝑝‘0)))
112	111	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)) → (𝐴 · (𝑝‘0)) = (0 · (𝑝‘0)))
113	112	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘0)) = (0 · (𝑝‘0)))
114	98	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (0 · (𝑝‘0)) = 0)
115	113, 114	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘0)) = 0)
116	115	oveq1d 7461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = (0 + (𝐵 · (𝑝‘1))))
117		recn 11320	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
118	117	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
119	118	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
120	119	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐵 ∈ ℂ)
121	94	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
122	120, 121	mulcld 11359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
123	122	addlidd 11541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (0 + (𝐵 · (𝑝‘1))) = (𝐵 · (𝑝‘1)))
124	116, 123	eqtrd 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = (𝐵 · (𝑝‘1)))
125	124	eqeq1d 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝐵 · (𝑝‘1)) = 𝐶))
126		simp3 1156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
127	126	recnd 11367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
128	127	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐶 ∈ ℂ)
129		simp2r 1219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
130	129	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐵 ≠ 0)
131	128, 120, 121, 130	divmuld 12145	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐶 / 𝐵) = (𝑝‘1) ↔ (𝐵 · (𝑝‘1)) = 𝐶))
132		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)) → 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))
133	132	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)) → (𝐶 / 𝐵) = 𝑀)
134	133	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐶 / 𝐵) = 𝑀)
135	134	eqeq1d 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐶 / 𝐵) = (𝑝‘1) ↔ 𝑀 = (𝑝‘1)))
136	125, 131, 135	3bitr2d 310	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ 𝑀 = (𝑝‘1)))
137		eqcom 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = (𝑝‘1) ↔ (𝑝‘1) = 𝑀)
138	136, 137	bitrdi 290	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 𝑀))
139	138	ralrimiva 3158	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) → ∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 𝑀))
140	139	ex 418	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)) → ∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 𝑀)))
141	110, 140	impbid 215	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 𝑀) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))
142	103, 109, 141	3bitrd 308	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (𝑝‘1)) = ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘0)) + (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1))))) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))
143	56, 142	bitr3id 288	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ({𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑌‘0) − (𝑋‘0)) · (𝑝‘1)) = ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘0)) + (((𝑋‘1) · (𝑌‘0)) − ((𝑋‘0) · (𝑌‘1))))} ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))
144	55, 143	bitrd 282	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐺 = (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  {crab 3416  Vcvv 3454  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   ↑_m cmap 8878  ℂcc 11228  ℝcr 11229  0cc0 11230  1c1 11231   + caddc 11233   · cmul 11235   − cmin 11571   / cdiv 12003  2c2 12427  ..^cfzo 13818  ♯chash 14504  ⟨“cs2 15023  ℝ^crrx 25737  Line_Mcline 50055

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309  ax-mulf 11310

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-tpos 8274  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-sup 9464  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-rp 13151  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-seq 14175  df-exp 14235  df-hash 14505  df-word 14689  df-concat 14746  df-s1 14773  df-substr 14820  df-pfx 14852  df-s2 15030  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-0g 17644  df-prds 17650  df-pws 17652  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-mhm 19010  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-sbg 19181  df-subg 19365  df-ghm 19460  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-cring 20495  df-oppr 20600  df-dvdsr 20620  df-unit 20621  df-invr 20651  df-dvr 20664  df-rhm 20735  df-subrng 20831  df-subrg 20855  df-drng 21015  df-field 21016  df-staf 21129  df-srng 21130  df-lmod 21170  df-lss 21240  df-sra 21481  df-rgmod 21482  df-cnfld 21712  df-refld 21944  df-dsmm 22071  df-frlm 22086  df-tng 24936  df-tcph 25523  df-rrx 25739  df-line 50057

This theorem is used by: (None)