line2x - Mathbox for Alexander van der Vekens

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Theorem line2x 49108

Description: Example for a horizontal line 𝐺 passing through two different points in "standard form". (Contributed by AV, 3-Feb-2023.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
line2.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
line2.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
line2.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
line2.l	⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
line2.g	⊢ 𝐺 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
line2x.x	⊢ 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}
line2x.y	⊢ 𝑌 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}

**Assertion**
Ref	Expression
line2x	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐺 = (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑝 𝐵,𝑝 𝐶,𝑝 𝐸,𝑝 𝐼,𝑝 𝑃,𝑝 𝑋,𝑝 𝑌,𝑝 𝑀,𝑝 Allowed substitution hints: 𝐺(𝑝) 𝐿(𝑝)

**Proof of Theorem line2x**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		line2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝐺 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
3		1ex 11140	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ V
4		2ex 12234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ V
5	3, 4	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
6		c0ex 11138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
7	6	jctl 523	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
8		1ne2 12360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ≠ 2
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 1 ≠ 2)
10		fprg 7110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶{0, 𝑀})
11		0red 11147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) → 0 ∈ ℝ)
12		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
13	11, 12	anim12i 614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
14	13	3adant3 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
15		prssi 4779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → {0, 𝑀} ⊆ ℝ)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {0, 𝑀} ⊆ ℝ)
17	10, 16	fssd 6687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
18	5, 7, 9, 17	mp3an2i 1469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
19		line2.i	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
20	19	feq2i 6662	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
21	18, 20	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ)
22		reex 11129	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ∈ V
23		prex 5384	. . . . . . . . . 10 ⊢ {1, 2} ∈ V
24	19, 23	eqeltri 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 ∈ V
25	22, 24	elmap 8821	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩} ∈ (ℝ ↑_m 𝐼) ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ)
26	21, 25	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩} ∈ (ℝ ↑_m 𝐼))
27		line2x.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}
28		line2.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑_m 𝐼)
29	26, 27, 28	3eltr4g 2854	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ 𝑃)
30	3	jctl 523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (1 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
31		fprg 7110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (1 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶{1, 𝑀})
32	5, 30, 9, 31	mp3an2i 1469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶{1, 𝑀})
33		1re 11144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℝ
34		prssi 4779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → {1, 𝑀} ⊆ ℝ)
35	33, 34	mpan 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → {1, 𝑀} ⊆ ℝ)
36	32, 35	fssd 6687	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
37	19	feq2i 6662	. . . . . . . . 9 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
38	36, 37	sylibr 234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ)
39	22, 24	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V)
40		elmapg 8788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩} ∈ (ℝ ↑_m 𝐼) ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ))
41	39, 40	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩} ∈ (ℝ ↑_m 𝐼) ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ))
42	38, 41	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩} ∈ (ℝ ↑_m 𝐼))
43		line2x.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}
44	42, 43, 28	3eltr4g 2854	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 𝑌 ∈ 𝑃)
45		opex 5419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, 0⟩ ∈ V
46		opex 5419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨2, 𝑀⟩ ∈ V
47	45, 46	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 𝑀⟩ ∈ V)
48		opex 5419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, 1⟩ ∈ V
49	48, 46	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 𝑀⟩ ∈ V)
50	47, 49	pm3.2i 470	. . . . . . . 8 ⊢ ((⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 𝑀⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 𝑀⟩ ∈ V))
51	8	orci 866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ≠ 2 ∨ 0 ≠ 𝑀)
52	3, 6	opthne 5438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨2, 𝑀⟩ ↔ (1 ≠ 2 ∨ 0 ≠ 𝑀))
53	51, 52	mpbir 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨2, 𝑀⟩
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨2, 𝑀⟩)
55		0ne1 12228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ≠ 1
56	55	olci 867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 ≠ 1 ∨ 0 ≠ 1)
57	3, 6	opthne 5438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 0 ≠ 1))
58	56, 57	mpbir 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩
59	54, 58	jctil 519	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨2, 𝑀⟩))
60	59	orcd 874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ((⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨2, 𝑀⟩) ∨ (⟨2, 𝑀⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨2, 𝑀⟩ ≠ ⟨2, 𝑀⟩)))
61		prneimg 4812	. . . . . . . 8 ⊢ (((⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 𝑀⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 𝑀⟩ ∈ V)) → (((⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨2, 𝑀⟩) ∨ (⟨2, 𝑀⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨2, 𝑀⟩ ≠ ⟨2, 𝑀⟩)) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}))
62	50, 60, 61	mpsyl 68	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩})
63	62, 27, 43	3netr4g 3012	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 𝑋 ≠ 𝑌)
64	29, 44, 63	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
65	64	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌))
66		line2.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
67		line2.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (Line_M‘𝐸)
68		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
69		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
70		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
71	19, 66, 28, 67, 68, 69, 70	rrx2linest 49096	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 ≠ 𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))})
72	65, 71	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))})
73	2, 72	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐺 = (𝑋𝐿𝑌) ↔ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))}))
74		rabbi 3431	. . 3 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))})
75	43	fveq1i 6843	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌‘1) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1)
76	3, 3, 8	3pm3.2i 1341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 1 ≠ 2)
77		fvpr1g 7146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1) = 1)
78	76, 77	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1) = 1)
79	75, 78	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑌‘1) = 1)
80	27	fveq1i 6843	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑋‘1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1)
81	3, 6, 8	3pm3.2i 1341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ≠ 2)
82		fvpr1g 7146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1) = 0)
83	81, 82	mp1i 13	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1) = 0)
84	80, 83	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑋‘1) = 0)
85	79, 84	oveq12d 7386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = (1 − 0))
86		1m0e1 12273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − 0) = 1
87	85, 86	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 1)
88	87	oveq1d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = (1 · (𝑝‘2)))
89	43	fveq1i 6843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑌‘2) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘2)
90		fvpr2g 7147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘2) = 𝑀)
91	4, 8, 90	mp3an13 1455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘2) = 𝑀)
92	89, 91	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑌‘2) = 𝑀)
93	27	fveq1i 6843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋‘2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘2)
94		fvpr2g 7147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘2) = 𝑀)
95	4, 8, 94	mp3an13 1455	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘2) = 𝑀)
96	93, 95	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑋‘2) = 𝑀)
97	92, 96	oveq12d 7386	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = (𝑀 − 𝑀))
98		recn 11128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 𝑀 ∈ ℂ)
99	98	subidd 11492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 𝑀) = 0)
100	97, 99	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0)
101	100	oveq1d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = (0 · (𝑝‘1)))
102	3, 3, 9, 77	mp3an12i 1468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1) = 1)
103	75, 102	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑌‘1) = 1)
104	96, 103	oveq12d 7386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) = (𝑀 · 1))
105		ax-1rid 11108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 · 1) = 𝑀)
106	104, 105	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) = 𝑀)
107	3, 6, 9, 82	mp3an12i 1468	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1) = 0)
108	80, 107	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑋‘1) = 0)
109	108, 92	oveq12d 7386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) = (0 · 𝑀))
110	98	mul02d 11343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (0 · 𝑀) = 0)
111	109, 110	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) = 0)
112	106, 111	oveq12d 7386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = (𝑀 − 0))
113	98	subid1d 11493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 0) = 𝑀)
114	112, 113	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = 𝑀)
115	101, 114	oveq12d 7386	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) = ((0 · (𝑝‘1)) + 𝑀))
116	88, 115	eqeq12d 2753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ (1 · (𝑝‘2)) = ((0 · (𝑝‘1)) + 𝑀)))
117	116	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ (1 · (𝑝‘2)) = ((0 · (𝑝‘1)) + 𝑀)))
118	19, 28	rrx2pyel 49066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
119	118	recnd 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
120	119	mullidd 11162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (1 · (𝑝‘2)) = (𝑝‘2))
121	19, 28	rrx2pxel 49065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
122	121	recnd 11172	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
123	122	mul02d 11343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (0 · (𝑝‘1)) = 0)
124	123	oveq1d 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((0 · (𝑝‘1)) + 𝑀) = (0 + 𝑀))
125	120, 124	eqeq12d 2753	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → ((1 · (𝑝‘2)) = ((0 · (𝑝‘1)) + 𝑀) ↔ (𝑝‘2) = (0 + 𝑀)))
126	117, 125	sylan9bb 509	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ (𝑝‘2) = (0 + 𝑀)))
127	126	bibi2d 342	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (0 + 𝑀))))
128	127	ralbidva 3159	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (0 + 𝑀))))
129	98	addlidd 11346	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (0 + 𝑀) = 𝑀)
130	129	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (0 + 𝑀) = 𝑀)
131	130	eqeq2d 2748	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘2) = (0 + 𝑀) ↔ (𝑝‘2) = 𝑀))
132	131	bibi2d 342	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (0 + 𝑀)) ↔ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
133	132	ralbidva 3159	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (0 + 𝑀)) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
134	133	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (0 + 𝑀)) ↔ ∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
135	19, 66, 28, 67, 1, 27, 43	line2xlem 49107	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀) → (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))
136		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (0 · (𝑝‘1)))
137	136	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)) → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (0 · (𝑝‘1)))
138	137	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (0 · (𝑝‘1)))
139	123	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (0 · (𝑝‘1)) = 0)
140	138, 139	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) = 0)
141	140	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = (0 + (𝐵 · (𝑝‘2))))
142		recn 11128	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
143	142	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
144	143	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
145	144	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐵 ∈ ℂ)
146	119	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
147	145, 146	mulcld 11164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℂ)
148	147	addlidd 11346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (0 + (𝐵 · (𝑝‘2))) = (𝐵 · (𝑝‘2)))
149	141, 148	eqtrd 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = (𝐵 · (𝑝‘2)))
150	149	eqeq1d 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝐵 · (𝑝‘2)) = 𝐶))
151		simp3 1139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
152	151	recnd 11172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
153	152	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐶 ∈ ℂ)
154		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
155	154	recnd 11172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
156	155	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
157	156	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐵 ∈ ℂ)
158		simp2r 1202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
159	158	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐵 ≠ 0)
160	153, 157, 146, 159	divmuld 11951	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐶 / 𝐵) = (𝑝‘2) ↔ (𝐵 · (𝑝‘2)) = 𝐶))
161		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)) → 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))
162	161	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)) → (𝐶 / 𝐵) = 𝑀)
163	162	ad2antlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐶 / 𝐵) = 𝑀)
164	163	eqeq1d 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐶 / 𝐵) = (𝑝‘2) ↔ 𝑀 = (𝑝‘2)))
165	150, 160, 164	3bitr2d 307	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ 𝑀 = (𝑝‘2)))
166		eqcom 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = (𝑝‘2) ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)
167	165, 166	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀))
168	167	ralrimiva 3130	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) → ∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀))
169	168	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)) → ∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
170	135, 169	impbid 212	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))
171	128, 134, 170	3bitrd 305	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))
172	74, 171	bitr3id 285	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ({𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))} ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))
173	73, 172	bitrd 279	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐺 = (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 206 ∧ wa 395 ∨ wo 848 ∧ w3a 1087 = wceq 1542 ∈ wcel 2114 ≠ wne 2933 ∀wral 3052 {crab 3401 Vcvv 3442 ⊆ wss 3903 {cpr 4584 ⟨cop 4588 ⟶wf 6496 ‘cfv 6500 (class class class)co 7368 ↑_m cmap 8775 ℂcc 11036 ℝcr 11037 0cc0 11038 1c1 11039 + caddc 11041 · cmul 11043 − cmin 11376 / cdiv 11806 2c2 12212 ℝ^crrx 25351 Line_Mcline 49081

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1912 ax-6 1969 ax-7 2010 ax-8 2116 ax-9 2124 ax-10 2147 ax-11 2163 ax-12 2185 ax-ext 2709 ax-rep 5226 ax-sep 5243 ax-nul 5253 ax-pow 5312 ax-pr 5379 ax-un 7690 ax-cnex 11094 ax-resscn 11095 ax-1cn 11096 ax-icn 11097 ax-addcl 11098 ax-addrcl 11099 ax-mulcl 11100 ax-mulrcl 11101 ax-mulcom 11102 ax-addass 11103 ax-mulass 11104 ax-distr 11105 ax-i2m1 11106 ax-1ne0 11107 ax-1rid 11108 ax-rnegex 11109 ax-rrecex 11110 ax-cnre 11111 ax-pre-lttri 11112 ax-pre-lttrn 11113 ax-pre-ltadd 11114 ax-pre-mulgt0 11115 ax-pre-sup 11116 ax-addf 11117 ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 849 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2069 df-mo 2540 df-eu 2570 df-clab 2716 df-cleq 2729 df-clel 2812 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3063 df-rmo 3352 df-reu 3353 df-rab 3402 df-v 3444 df-sbc 3743 df-csb 3852 df-dif 3906 df-un 3908 df-in 3910 df-ss 3920 df-pss 3923 df-nul 4288 df-if 4482 df-pw 4558 df-sn 4583 df-pr 4585 df-tp 4587 df-op 4589 df-uni 4866 df-iun 4950 df-br 5101 df-opab 5163 df-mpt 5182 df-tr 5208 df-id 5527 df-eprel 5532 df-po 5540 df-so 5541 df-fr 5585 df-we 5587 df-xp 5638 df-rel 5639 df-cnv 5640 df-co 5641 df-dm 5642 df-rn 5643 df-res 5644 df-ima 5645 df-pred 6267 df-ord 6328 df-on 6329 df-lim 6330 df-suc 6331 df-iota 6456 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-riota 7325 df-ov 7371 df-oprab 7372 df-mpo 7373 df-of 7632 df-om 7819 df-1st 7943 df-2nd 7944 df-supp 8113 df-tpos 8178 df-frecs 8233 df-wrecs 8264 df-recs 8313 df-rdg 8351 df-1o 8407 df-2o 8408 df-er 8645 df-map 8777 df-ixp 8848 df-en 8896 df-dom 8897 df-sdom 8898 df-fin 8899 df-fsupp 9277 df-sup 9357 df-pnf 11180 df-mnf 11181 df-xr 11182 df-ltxr 11183 df-le 11184 df-sub 11378 df-neg 11379 df-div 11807 df-nn 12158 df-2 12220 df-3 12221 df-4 12222 df-5 12223 df-6 12224 df-7 12225 df-8 12226 df-9 12227 df-n0 12414 df-z 12501 df-dec 12620 df-uz 12764 df-rp 12918 df-fz 13436 df-seq 13937 df-exp 13997 df-cj 15034 df-re 15035 df-im 15036 df-sqrt 15170 df-abs 15171 df-struct 17086 df-sets 17103 df-slot 17121 df-ndx 17133 df-base 17149 df-ress 17170 df-plusg 17202 df-mulr 17203 df-starv 17204 df-sca 17205 df-vsca 17206 df-ip 17207 df-tset 17208 df-ple 17209 df-ds 17211 df-unif 17212 df-hom 17213 df-cco 17214 df-0g 17373 df-prds 17379 df-pws 17381 df-mgm 18577 df-sgrp 18656 df-mnd 18672 df-mhm 18720 df-grp 18878 df-minusg 18879 df-sbg 18880 df-subg 19065 df-ghm 19154 df-cmn 19723 df-abl 19724 df-mgp 20088 df-rng 20100 df-ur 20129 df-ring 20182 df-cring 20183 df-oppr 20285 df-dvdsr 20305 df-unit 20306 df-invr 20336 df-dvr 20349 df-rhm 20420 df-subrng 20491 df-subrg 20515 df-drng 20676 df-field 20677 df-staf 20784 df-srng 20785 df-lmod 20825 df-lss 20895 df-sra 21137 df-rgmod 21138 df-cnfld 21322 df-refld 21572 df-dsmm 21699 df-frlm 21714 df-tng 24540 df-tcph 25137 df-rrx 25353 df-line 49083

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