Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  line2x Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem line2x 47878
Description: Example for a horizontal line 𝐺 passing through two different points in "standard form". (Contributed by AV, 3-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
line2.i 𝐼 = {1, 2}
line2.e 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
line2.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
line2.l 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
line2.g 𝐺 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢}
line2x.x 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}
line2x.y π‘Œ = {⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}
Assertion
Ref Expression
line2x (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (𝐺 = (π‘‹πΏπ‘Œ) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐡,𝑝   𝐢,𝑝   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝   𝑀,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem line2x
StepHypRef Expression
1 line2.g . . . 4 𝐺 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢}
21a1i 11 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ 𝐺 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢})
3 1ex 11246 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ V
4 2ex 12325 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ V
53, 4pm3.2i 469 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
6 c0ex 11244 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
76jctl 522 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
8 1ne2 12456 . . . . . . . . . . 11 1 β‰  2
98a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ β†’ 1 β‰  2)
10 fprg 7168 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 β‰  2) β†’ {⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:{1, 2}⟢{0, 𝑀})
11 0red 11253 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) β†’ 0 ∈ ℝ)
12 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
1311, 12anim12i 611 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) β†’ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
14133adant3 1129 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 β‰  2) β†’ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
15 prssi 4827 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ {0, 𝑀} βŠ† ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 β‰  2) β†’ {0, 𝑀} βŠ† ℝ)
1710, 16fssd 6743 . . . . . . . . . 10 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 β‰  2) β†’ {⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:{1, 2}βŸΆβ„)
185, 7, 9, 17mp3an2i 1462 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ β†’ {⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:{1, 2}βŸΆβ„)
19 line2.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = {1, 2}
2019feq2i 6717 . . . . . . . . 9 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:πΌβŸΆβ„ ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:{1, 2}βŸΆβ„)
2118, 20sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ β†’ {⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:πΌβŸΆβ„)
22 reex 11235 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
23 prex 5436 . . . . . . . . . 10 {1, 2} ∈ V
2419, 23eqeltri 2824 . . . . . . . . 9 𝐼 ∈ V
2522, 24elmap 8894 . . . . . . . 8 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©} ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:πΌβŸΆβ„)
2621, 25sylibr 233 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℝ β†’ {⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©} ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
27 line2x.x . . . . . . 7 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}
28 line2.p . . . . . . 7 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2926, 27, 283eltr4g 2845 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℝ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
303jctl 522 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (1 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
31 fprg 7168 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (1 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 β‰  2) β†’ {⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:{1, 2}⟢{1, 𝑀})
325, 30, 9, 31mp3an2i 1462 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ β†’ {⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:{1, 2}⟢{1, 𝑀})
33 1re 11250 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
34 prssi 4827 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ {1, 𝑀} βŠ† ℝ)
3533, 34mpan 688 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ β†’ {1, 𝑀} βŠ† ℝ)
3632, 35fssd 6743 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ β†’ {⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:{1, 2}βŸΆβ„)
3719feq2i 6717 . . . . . . . . 9 ({⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:πΌβŸΆβ„ ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:{1, 2}βŸΆβ„)
3836, 37sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ β†’ {⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:πΌβŸΆβ„)
3922, 24pm3.2i 469 . . . . . . . . 9 (ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V)
40 elmapg 8862 . . . . . . . . 9 ((ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) β†’ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©} ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:πΌβŸΆβ„))
4139, 40mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©} ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:πΌβŸΆβ„))
4238, 41mpbird 256 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℝ β†’ {⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©} ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
43 line2x.y . . . . . . 7 π‘Œ = {⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}
4442, 43, 283eltr4g 2845 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℝ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
45 opex 5468 . . . . . . . . . 10 ⟨1, 0⟩ ∈ V
46 opex 5468 . . . . . . . . . 10 ⟨2, π‘€βŸ© ∈ V
4745, 46pm3.2i 469 . . . . . . . . 9 (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨2, π‘€βŸ© ∈ V)
48 opex 5468 . . . . . . . . . 10 ⟨1, 1⟩ ∈ V
4948, 46pm3.2i 469 . . . . . . . . 9 (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, π‘€βŸ© ∈ V)
5047, 49pm3.2i 469 . . . . . . . 8 ((⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨2, π‘€βŸ© ∈ V) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, π‘€βŸ© ∈ V))
518orci 863 . . . . . . . . . . . 12 (1 β‰  2 ∨ 0 β‰  𝑀)
523, 6opthne 5486 . . . . . . . . . . . 12 (⟨1, 0⟩ β‰  ⟨2, π‘€βŸ© ↔ (1 β‰  2 ∨ 0 β‰  𝑀))
5351, 52mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 ⟨1, 0⟩ β‰  ⟨2, π‘€βŸ©
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ⟨1, 0⟩ β‰  ⟨2, π‘€βŸ©)
55 0ne1 12319 . . . . . . . . . . . 12 0 β‰  1
5655olci 864 . . . . . . . . . . 11 (1 β‰  1 ∨ 0 β‰  1)
573, 6opthne 5486 . . . . . . . . . . 11 (⟨1, 0⟩ β‰  ⟨1, 1⟩ ↔ (1 β‰  1 ∨ 0 β‰  1))
5856, 57mpbir 230 . . . . . . . . . 10 ⟨1, 0⟩ β‰  ⟨1, 1⟩
5954, 58jctil 518 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (⟨1, 0⟩ β‰  ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ β‰  ⟨2, π‘€βŸ©))
6059orcd 871 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ((⟨1, 0⟩ β‰  ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ β‰  ⟨2, π‘€βŸ©) ∨ (⟨2, π‘€βŸ© β‰  ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨2, π‘€βŸ© β‰  ⟨2, π‘€βŸ©)))
61 prneimg 4858 . . . . . . . 8 (((⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨2, π‘€βŸ© ∈ V) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, π‘€βŸ© ∈ V)) β†’ (((⟨1, 0⟩ β‰  ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ β‰  ⟨2, π‘€βŸ©) ∨ (⟨2, π‘€βŸ© β‰  ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨2, π‘€βŸ© β‰  ⟨2, π‘€βŸ©)) β†’ {⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©} β‰  {⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}))
6250, 60, 61mpsyl 68 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℝ β†’ {⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©} β‰  {⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©})
6362, 27, 433netr4g 3016 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℝ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
6429, 44, 633jca 1125 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ))
6564adantl 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ))
66 line2.e . . . . 5 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
67 line2.l . . . . 5 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
68 eqid 2727 . . . . 5 ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) = ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))
69 eqid 2727 . . . . 5 ((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) = ((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2))
70 eqid 2727 . . . . 5 (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))
7119, 66, 28, 67, 68, 69, 70rrx2linest 47866 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))})
7265, 71syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))})
732, 72eqeq12d 2743 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (𝐺 = (π‘‹πΏπ‘Œ) ↔ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))}))
74 rabbi 3459 . . 3 (βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))) ↔ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))})
7543fveq1i 6901 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œβ€˜1) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜1)
763, 3, 83pm3.2i 1336 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 1 β‰  2)
77 fvpr1g 7203 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 1 β‰  2) β†’ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜1) = 1)
7876, 77mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜1) = 1)
7975, 78eqtrid 2779 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (π‘Œβ€˜1) = 1)
8027fveq1i 6901 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘‹β€˜1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜1)
813, 6, 83pm3.2i 1336 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 β‰  2)
82 fvpr1g 7203 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 β‰  2) β†’ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜1) = 0)
8381, 82mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜1) = 0)
8480, 83eqtrid 2779 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (π‘‹β€˜1) = 0)
8579, 84oveq12d 7442 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) = (1 βˆ’ 0))
86 1m0e1 12369 . . . . . . . . . . 11 (1 βˆ’ 0) = 1
8785, 86eqtrdi 2783 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) = 1)
8887oveq1d 7439 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘β€˜2)) = (1 Β· (π‘β€˜2)))
8943fveq1i 6901 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Œβ€˜2) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜2)
90 fvpr2g 7204 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 β‰  2) β†’ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜2) = 𝑀)
914, 8, 90mp3an13 1448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜2) = 𝑀)
9289, 91eqtrid 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (π‘Œβ€˜2) = 𝑀)
9327fveq1i 6901 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘‹β€˜2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜2)
94 fvpr2g 7204 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 β‰  2) β†’ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜2) = 𝑀)
954, 8, 94mp3an13 1448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜2) = 𝑀)
9693, 95eqtrid 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (π‘‹β€˜2) = 𝑀)
9792, 96oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) = (𝑀 βˆ’ 𝑀))
98 recn 11234 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
9998subidd 11595 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (𝑀 βˆ’ 𝑀) = 0)
10097, 99eqtrd 2767 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) = 0)
101100oveq1d 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) = (0 Β· (π‘β€˜1)))
1023, 3, 9, 77mp3an12i 1461 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜1) = 1)
10375, 102eqtrid 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (π‘Œβ€˜1) = 1)
10496, 103oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) = (𝑀 Β· 1))
105 ax-1rid 11214 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (𝑀 Β· 1) = 𝑀)
106104, 105eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) = 𝑀)
1073, 6, 9, 82mp3an12i 1461 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜1) = 0)
10880, 107eqtrid 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (π‘‹β€˜1) = 0)
109108, 92oveq12d 7442 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)) = (0 Β· 𝑀))
11098mul02d 11448 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (0 Β· 𝑀) = 0)
111109, 110eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)) = 0)
112106, 111oveq12d 7442 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))) = (𝑀 βˆ’ 0))
11398subid1d 11596 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (𝑀 βˆ’ 0) = 𝑀)
114112, 113eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))) = 𝑀)
115101, 114oveq12d 7442 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))) = ((0 Β· (π‘β€˜1)) + 𝑀))
11688, 115eqeq12d 2743 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))) ↔ (1 Β· (π‘β€˜2)) = ((0 Β· (π‘β€˜1)) + 𝑀)))
117116adantl 480 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))) ↔ (1 Β· (π‘β€˜2)) = ((0 Β· (π‘β€˜1)) + 𝑀)))
11819, 28rrx2pyel 47836 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
119118recnd 11278 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜2) ∈ β„‚)
120119mullidd 11268 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (1 Β· (π‘β€˜2)) = (π‘β€˜2))
12119, 28rrx2pxel 47835 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
122121recnd 11278 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜1) ∈ β„‚)
123122mul02d 11448 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (0 Β· (π‘β€˜1)) = 0)
124123oveq1d 7439 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ ((0 Β· (π‘β€˜1)) + 𝑀) = (0 + 𝑀))
125120, 124eqeq12d 2743 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ ((1 Β· (π‘β€˜2)) = ((0 Β· (π‘β€˜1)) + 𝑀) ↔ (π‘β€˜2) = (0 + 𝑀)))
126117, 125sylan9bb 508 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))) ↔ (π‘β€˜2) = (0 + 𝑀)))
127126bibi2d 341 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))) ↔ (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (π‘β€˜2) = (0 + 𝑀))))
128127ralbidva 3171 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (π‘β€˜2) = (0 + 𝑀))))
12998addlidd 11451 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (0 + 𝑀) = 𝑀)
130129adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (0 + 𝑀) = 𝑀)
131130eqeq2d 2738 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘β€˜2) = (0 + 𝑀) ↔ (π‘β€˜2) = 𝑀))
132131bibi2d 341 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (π‘β€˜2) = (0 + 𝑀)) ↔ (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (π‘β€˜2) = 𝑀)))
133132ralbidva 3171 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (π‘β€˜2) = (0 + 𝑀)) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (π‘β€˜2) = 𝑀)))
134133adantl 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (π‘β€˜2) = (0 + 𝑀)) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (π‘β€˜2) = 𝑀)))
13519, 66, 28, 67, 1, 27, 43line2xlem 47877 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (π‘β€˜2) = 𝑀) β†’ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))))
136 oveq1 7431 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 = 0 β†’ (𝐴 Β· (π‘β€˜1)) = (0 Β· (π‘β€˜1)))
137136adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡)) β†’ (𝐴 Β· (π‘β€˜1)) = (0 Β· (π‘β€˜1)))
138137ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝐴 Β· (π‘β€˜1)) = (0 Β· (π‘β€˜1)))
139123adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (0 Β· (π‘β€˜1)) = 0)
140138, 139eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝐴 Β· (π‘β€˜1)) = 0)
141140oveq1d 7439 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = (0 + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))))
142 recn 11234 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐡 ∈ ℝ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
143142adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1441433ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
145144ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
146119adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜2) ∈ β„‚)
147145, 146mulcld 11270 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝐡 Β· (π‘β€˜2)) ∈ β„‚)
148147addlidd 11451 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (0 + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = (𝐡 Β· (π‘β€˜2)))
149141, 148eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = (𝐡 Β· (π‘β€˜2)))
150149eqeq1d 2729 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (𝐡 Β· (π‘β€˜2)) = 𝐢))
151 simp3 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
152151recnd 11278 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
153152ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
154 simpl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
155154recnd 11278 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1561553ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
157156ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
158 simp2r 1197 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ 𝐡 β‰  0)
159158ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 𝐡 β‰  0)
160153, 157, 146, 159divmuld 12048 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((𝐢 / 𝐡) = (π‘β€˜2) ↔ (𝐡 Β· (π‘β€˜2)) = 𝐢))
161 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡)) β†’ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))
162161eqcomd 2733 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡)) β†’ (𝐢 / 𝐡) = 𝑀)
163162ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝐢 / 𝐡) = 𝑀)
164163eqeq1d 2729 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((𝐢 / 𝐡) = (π‘β€˜2) ↔ 𝑀 = (π‘β€˜2)))
165150, 160, 1643bitr2d 306 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ 𝑀 = (π‘β€˜2)))
166 eqcom 2734 . . . . . . . 8 (𝑀 = (π‘β€˜2) ↔ (π‘β€˜2) = 𝑀)
167165, 166bitrdi 286 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (π‘β€˜2) = 𝑀))
168167ralrimiva 3142 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (π‘β€˜2) = 𝑀))
169168ex 411 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡)) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (π‘β€˜2) = 𝑀)))
170135, 169impbid 211 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (π‘β€˜2) = 𝑀) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))))
171128, 134, 1703bitrd 304 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))))
17274, 171bitr3id 284 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ ({𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))} ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))))
17373, 172bitrd 278 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (𝐺 = (π‘‹πΏπ‘Œ) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2936  βˆ€wral 3057  {crab 3428  Vcvv 3471   βŠ† wss 3947  {cpr 4632  βŸ¨cop 4636  βŸΆwf 6547  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424   ↑m cmap 8849  β„‚cc 11142  β„cr 11143  0cc0 11144  1c1 11145   + caddc 11147   Β· cmul 11149   βˆ’ cmin 11480   / cdiv 11907  2c2 12303  β„^crrx 25329  LineMcline 47851
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223  ax-mulf 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-tpos 8236  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-map 8851  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-rp 13013  df-fz 13523  df-seq 14005  df-exp 14065  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-hom 17262  df-cco 17263  df-0g 17428  df-prds 17434  df-pws 17436  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-mhm 18745  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-sbg 18900  df-subg 19083  df-ghm 19173  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-rng 20098  df-ur 20127  df-ring 20180  df-cring 20181  df-oppr 20278  df-dvdsr 20301  df-unit 20302  df-invr 20332  df-dvr 20345  df-rhm 20416  df-subrng 20488  df-subrg 20513  df-drng 20631  df-field 20632  df-staf 20730  df-srng 20731  df-lmod 20750  df-lss 20821  df-sra 21063  df-rgmod 21064  df-cnfld 21285  df-refld 21542  df-dsmm 21671  df-frlm 21686  df-tng 24511  df-tcph 25115  df-rrx 25331  df-line 47853
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator