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Theorem line2x 44575
Description: Example for a horizontal line 𝐺 passing through two different points in "standard form". (Contributed by AV, 3-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
line2.i 𝐼 = {1, 2}
line2.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
line2.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
line2.l 𝐿 = (LineM𝐸)
line2.g 𝐺 = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
line2x.x 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}
line2x.y 𝑌 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}
Assertion
Ref Expression
line2x (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐺 = (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝   𝑀,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem line2x
StepHypRef Expression
1 line2.g . . . 4 𝐺 = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
21a1i 11 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝐺 = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
3 1ex 10629 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ V
4 2ex 11706 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ V
53, 4pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
6 c0ex 10627 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
76jctl 524 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ → (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
8 1ne2 11837 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 2
98a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ → 1 ≠ 2)
10 fprg 6912 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶{0, 𝑀})
11 0red 10636 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) → 0 ∈ ℝ)
12 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
1311, 12anim12i 612 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
14133adant3 1126 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
15 prssi 4752 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → {0, 𝑀} ⊆ ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {0, 𝑀} ⊆ ℝ)
1710, 16fssd 6524 . . . . . . . . . 10 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
185, 7, 9, 17mp3an2i 1459 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
19 line2.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = {1, 2}
2019feq2i 6502 . . . . . . . . 9 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
2118, 20sylibr 235 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ)
22 reex 10620 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
23 prex 5328 . . . . . . . . . 10 {1, 2} ∈ V
2419, 23eqeltri 2913 . . . . . . . . 9 𝐼 ∈ V
2522, 24elmap 8428 . . . . . . . 8 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩} ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ)
2621, 25sylibr 235 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩} ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
27 line2x.x . . . . . . 7 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}
28 line2.p . . . . . . 7 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2926, 27, 283eltr4g 2934 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℝ → 𝑋𝑃)
303jctl 524 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ → (1 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
31 fprg 6912 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (1 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶{1, 𝑀})
325, 30, 9, 31mp3an2i 1459 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶{1, 𝑀})
33 1re 10633 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
34 prssi 4752 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → {1, 𝑀} ⊆ ℝ)
3533, 34mpan 686 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ → {1, 𝑀} ⊆ ℝ)
3632, 35fssd 6524 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
3719feq2i 6502 . . . . . . . . 9 ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
3836, 37sylibr 235 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ)
3922, 24pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 (ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V)
40 elmapg 8412 . . . . . . . . 9 ((ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩} ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ))
4139, 40mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩} ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ))
4238, 41mpbird 258 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩} ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
43 line2x.y . . . . . . 7 𝑌 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}
4442, 43, 283eltr4g 2934 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℝ → 𝑌𝑃)
45 opex 5352 . . . . . . . . . 10 ⟨1, 0⟩ ∈ V
46 opex 5352 . . . . . . . . . 10 ⟨2, 𝑀⟩ ∈ V
4745, 46pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 𝑀⟩ ∈ V)
48 opex 5352 . . . . . . . . . 10 ⟨1, 1⟩ ∈ V
4948, 46pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 𝑀⟩ ∈ V)
5047, 49pm3.2i 471 . . . . . . . 8 ((⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 𝑀⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 𝑀⟩ ∈ V))
518orci 861 . . . . . . . . . . . 12 (1 ≠ 2 ∨ 0 ≠ 𝑀)
523, 6opthne 5370 . . . . . . . . . . . 12 (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨2, 𝑀⟩ ↔ (1 ≠ 2 ∨ 0 ≠ 𝑀))
5351, 52mpbir 232 . . . . . . . . . . 11 ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨2, 𝑀
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ → ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨2, 𝑀⟩)
55 0ne1 11700 . . . . . . . . . . . 12 0 ≠ 1
5655olci 862 . . . . . . . . . . 11 (1 ≠ 1 ∨ 0 ≠ 1)
573, 6opthne 5370 . . . . . . . . . . 11 (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 0 ≠ 1))
5856, 57mpbir 232 . . . . . . . . . 10 ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩
5954, 58jctil 520 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ → (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨2, 𝑀⟩))
6059orcd 871 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ → ((⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨2, 𝑀⟩) ∨ (⟨2, 𝑀⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨2, 𝑀⟩ ≠ ⟨2, 𝑀⟩)))
61 prneimg 4783 . . . . . . . 8 (((⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 𝑀⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 𝑀⟩ ∈ V)) → (((⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨2, 𝑀⟩) ∨ (⟨2, 𝑀⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨2, 𝑀⟩ ≠ ⟨2, 𝑀⟩)) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}))
6250, 60, 61mpsyl 68 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩})
6362, 27, 433netr4g 3099 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℝ → 𝑋𝑌)
6429, 44, 633jca 1122 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌))
6564adantl 482 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌))
66 line2.e . . . . 5 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
67 line2.l . . . . 5 𝐿 = (LineM𝐸)
68 eqid 2825 . . . . 5 ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
69 eqid 2825 . . . . 5 ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
70 eqid 2825 . . . . 5 (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
7119, 66, 28, 67, 68, 69, 70rrx2linest 44563 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))})
7265, 71syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))})
732, 72eqeq12d 2841 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐺 = (𝑋𝐿𝑌) ↔ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))}))
74 rabbi 3388 . . 3 (∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))})
7543fveq1i 6667 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌‘1) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1)
763, 3, 83pm3.2i 1333 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 1 ≠ 2)
77 fvpr1g 6953 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1) = 1)
7876, 77mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1) = 1)
7975, 78syl5eq 2872 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑌‘1) = 1)
8027fveq1i 6667 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋‘1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1)
813, 6, 83pm3.2i 1333 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ≠ 2)
82 fvpr1g 6953 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1) = 0)
8381, 82mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1) = 0)
8480, 83syl5eq 2872 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑋‘1) = 0)
8579, 84oveq12d 7169 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = (1 − 0))
86 1m0e1 11750 . . . . . . . . . . 11 (1 − 0) = 1
8785, 86syl6eq 2876 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 1)
8887oveq1d 7166 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = (1 · (𝑝‘2)))
8943fveq1i 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌‘2) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘2)
90 fvpr2g 6954 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘2) = 𝑀)
914, 8, 90mp3an13 1445 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℝ → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘2) = 𝑀)
9289, 91syl5eq 2872 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑌‘2) = 𝑀)
9327fveq1i 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋‘2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘2)
94 fvpr2g 6954 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘2) = 𝑀)
954, 8, 94mp3an13 1445 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℝ → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘2) = 𝑀)
9693, 95syl5eq 2872 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑋‘2) = 𝑀)
9792, 96oveq12d 7169 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = (𝑀𝑀))
98 recn 10619 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ → 𝑀 ∈ ℂ)
9998subidd 10977 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀𝑀) = 0)
10097, 99eqtrd 2860 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0)
101100oveq1d 7166 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = (0 · (𝑝‘1)))
1023, 3, 9, 77mp3an12i 1458 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℝ → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1) = 1)
10375, 102syl5eq 2872 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑌‘1) = 1)
10496, 103oveq12d 7169 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) = (𝑀 · 1))
105 ax-1rid 10599 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 · 1) = 𝑀)
106104, 105eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) = 𝑀)
1073, 6, 9, 82mp3an12i 1458 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℝ → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1) = 0)
10880, 107syl5eq 2872 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑋‘1) = 0)
109108, 92oveq12d 7169 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) = (0 · 𝑀))
11098mul02d 10830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ → (0 · 𝑀) = 0)
111109, 110eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) = 0)
112106, 111oveq12d 7169 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = (𝑀 − 0))
11398subid1d 10978 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 0) = 𝑀)
114112, 113eqtrd 2860 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = 𝑀)
115101, 114oveq12d 7169 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) = ((0 · (𝑝‘1)) + 𝑀))
11688, 115eqeq12d 2841 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ (1 · (𝑝‘2)) = ((0 · (𝑝‘1)) + 𝑀)))
117116adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ (1 · (𝑝‘2)) = ((0 · (𝑝‘1)) + 𝑀)))
11819, 28rrx2pyel 44533 . . . . . . . . . 10 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
119118recnd 10661 . . . . . . . . 9 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
120119mulid2d 10651 . . . . . . . 8 (𝑝𝑃 → (1 · (𝑝‘2)) = (𝑝‘2))
12119, 28rrx2pxel 44532 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
122121recnd 10661 . . . . . . . . . 10 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
123122mul02d 10830 . . . . . . . . 9 (𝑝𝑃 → (0 · (𝑝‘1)) = 0)
124123oveq1d 7166 . . . . . . . 8 (𝑝𝑃 → ((0 · (𝑝‘1)) + 𝑀) = (0 + 𝑀))
125120, 124eqeq12d 2841 . . . . . . 7 (𝑝𝑃 → ((1 · (𝑝‘2)) = ((0 · (𝑝‘1)) + 𝑀) ↔ (𝑝‘2) = (0 + 𝑀)))
126117, 125sylan9bb 510 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ (𝑝‘2) = (0 + 𝑀)))
127126bibi2d 344 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (0 + 𝑀))))
128127ralbidva 3200 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (0 + 𝑀))))
12998addid2d 10833 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ → (0 + 𝑀) = 𝑀)
130129adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑝𝑃) → (0 + 𝑀) = 𝑀)
131130eqeq2d 2836 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘2) = (0 + 𝑀) ↔ (𝑝‘2) = 𝑀))
132131bibi2d 344 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (0 + 𝑀)) ↔ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
133132ralbidva 3200 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ → (∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (0 + 𝑀)) ↔ ∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
134133adantl 482 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (0 + 𝑀)) ↔ ∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
13519, 66, 28, 67, 1, 27, 43line2xlem 44574 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀) → (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))
136 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 = 0 → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (0 · (𝑝‘1)))
137136adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)) → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (0 · (𝑝‘1)))
138137ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (0 · (𝑝‘1)))
139123adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → (0 · (𝑝‘1)) = 0)
140138, 139eqtrd 2860 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) = 0)
141140oveq1d 7166 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = (0 + (𝐵 · (𝑝‘2))))
142 recn 10619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
143142adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
1441433ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
145144ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐵 ∈ ℂ)
146119adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
147145, 146mulcld 10653 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℂ)
148147addid2d 10833 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → (0 + (𝐵 · (𝑝‘2))) = (𝐵 · (𝑝‘2)))
149141, 148eqtrd 2860 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = (𝐵 · (𝑝‘2)))
150149eqeq1d 2827 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝐵 · (𝑝‘2)) = 𝐶))
151 simp3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
152151recnd 10661 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
153152ad3antrrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐶 ∈ ℂ)
154 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
155154recnd 10661 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
1561553ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
157156ad3antrrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐵 ∈ ℂ)
158 simp2r 1194 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
159158ad3antrrr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐵 ≠ 0)
160153, 157, 146, 159divmuld 11430 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐶 / 𝐵) = (𝑝‘2) ↔ (𝐵 · (𝑝‘2)) = 𝐶))
161 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)) → 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))
162161eqcomd 2831 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)) → (𝐶 / 𝐵) = 𝑀)
163162ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐶 / 𝐵) = 𝑀)
164163eqeq1d 2827 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐶 / 𝐵) = (𝑝‘2) ↔ 𝑀 = (𝑝‘2)))
165150, 160, 1643bitr2d 308 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶𝑀 = (𝑝‘2)))
166 eqcom 2832 . . . . . . . 8 (𝑀 = (𝑝‘2) ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)
167165, 166syl6bb 288 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀))
168167ralrimiva 3186 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) → ∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀))
169168ex 413 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)) → ∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
170135, 169impbid 213 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))
171128, 134, 1703bitrd 306 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))
17274, 171syl5bbr 286 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ({𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))} ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))
17373, 172bitrd 280 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐺 = (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  wral 3142  {crab 3146  Vcvv 3499  wss 3939  {cpr 4565  cop 4569  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  m cmap 8399  cc 10527  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  cmin 10862   / cdiv 11289  2c2 11684  ℝ^crrx 23903  LineMcline 44548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608  ax-mulf 10609
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fz 12886  df-seq 13363  df-exp 13423  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mgm 17844  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17946  df-grp 18038  df-minusg 18039  df-sbg 18040  df-subg 18208  df-ghm 18288  df-cmn 18830  df-mgp 19162  df-ur 19174  df-ring 19221  df-cring 19222  df-oppr 19295  df-dvdsr 19313  df-unit 19314  df-invr 19344  df-dvr 19355  df-rnghom 19389  df-drng 19426  df-field 19427  df-subrg 19455  df-staf 19538  df-srng 19539  df-lmod 19558  df-lss 19626  df-sra 19866  df-rgmod 19867  df-cnfld 20464  df-refld 20667  df-dsmm 20794  df-frlm 20809  df-tng 23111  df-tcph 23690  df-rrx 23905  df-line 44550
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