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Theorem line2x 43316
 Description: Example for a horizontal line 𝐺 passing through two different points in "standard form". (Contributed by AV, 3-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
line2.i 𝐼 = {1, 2}
line2.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
line2.p 𝑃 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
line2.l 𝐿 = (LineM𝐸)
line2.g 𝐺 = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
line2x.x 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}
line2x.y 𝑌 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}
Assertion
Ref Expression
line2x (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐺 = (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝   𝑀,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem line2x
StepHypRef Expression
1 line2.g . . . 4 𝐺 = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
21a1i 11 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝐺 = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
3 1ex 10359 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ V
4 2ex 11435 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ V
53, 4pm3.2i 464 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
6 c0ex 10357 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
76jctl 519 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ → (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
8 1ne2 11573 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 2
98a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ → 1 ≠ 2)
10 fprg 6678 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶{0, 𝑀})
11 0red 10367 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) → 0 ∈ ℝ)
12 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
1311, 12anim12i 606 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
14133adant3 1166 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
15 prssi 4572 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → {0, 𝑀} ⊆ ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {0, 𝑀} ⊆ ℝ)
1710, 16fssd 6296 . . . . . . . . . 10 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
185, 7, 9, 17mp3an2i 1594 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
19 line2.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = {1, 2}
2019feq2i 6274 . . . . . . . . 9 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
2118, 20sylibr 226 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ)
22 reex 10350 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
23 prex 5132 . . . . . . . . . 10 {1, 2} ∈ V
2419, 23eqeltri 2902 . . . . . . . . 9 𝐼 ∈ V
2522, 24elmap 8156 . . . . . . . 8 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩} ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ)
2621, 25sylibr 226 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩} ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
27 line2x.x . . . . . . 7 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}
28 line2.p . . . . . . 7 𝑃 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
2926, 27, 283eltr4g 2923 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℝ → 𝑋𝑃)
303jctl 519 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ → (1 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
31 fprg 6678 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (1 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶{1, 𝑀})
325, 30, 9, 31mp3an2i 1594 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶{1, 𝑀})
33 1re 10363 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
34 prssi 4572 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → {1, 𝑀} ⊆ ℝ)
3533, 34mpan 681 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ → {1, 𝑀} ⊆ ℝ)
3632, 35fssd 6296 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
3719feq2i 6274 . . . . . . . . 9 ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
3836, 37sylibr 226 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ)
3922, 24pm3.2i 464 . . . . . . . . 9 (ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V)
40 elmapg 8140 . . . . . . . . 9 ((ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩} ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ))
4139, 40mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩} ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ))
4238, 41mpbird 249 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩} ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
43 line2x.y . . . . . . 7 𝑌 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}
4442, 43, 283eltr4g 2923 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℝ → 𝑌𝑃)
45 opex 5155 . . . . . . . . . 10 ⟨1, 0⟩ ∈ V
46 opex 5155 . . . . . . . . . 10 ⟨2, 𝑀⟩ ∈ V
4745, 46pm3.2i 464 . . . . . . . . 9 (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 𝑀⟩ ∈ V)
48 opex 5155 . . . . . . . . . 10 ⟨1, 1⟩ ∈ V
4948, 46pm3.2i 464 . . . . . . . . 9 (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 𝑀⟩ ∈ V)
5047, 49pm3.2i 464 . . . . . . . 8 ((⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 𝑀⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 𝑀⟩ ∈ V))
518orci 896 . . . . . . . . . . . 12 (1 ≠ 2 ∨ 0 ≠ 𝑀)
523, 6opthne 5173 . . . . . . . . . . . 12 (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨2, 𝑀⟩ ↔ (1 ≠ 2 ∨ 0 ≠ 𝑀))
5351, 52mpbir 223 . . . . . . . . . . 11 ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨2, 𝑀
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ → ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨2, 𝑀⟩)
55 0ne1 11429 . . . . . . . . . . . 12 0 ≠ 1
5655olci 897 . . . . . . . . . . 11 (1 ≠ 1 ∨ 0 ≠ 1)
573, 6opthne 5173 . . . . . . . . . . 11 (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ↔ (1 ≠ 1 ∨ 0 ≠ 1))
5856, 57mpbir 223 . . . . . . . . . 10 ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩
5954, 58jctil 515 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ → (⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨2, 𝑀⟩))
6059orcd 904 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ → ((⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨2, 𝑀⟩) ∨ (⟨2, 𝑀⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨2, 𝑀⟩ ≠ ⟨2, 𝑀⟩)))
61 prneimg 4605 . . . . . . . 8 (((⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 𝑀⟩ ∈ V) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, 𝑀⟩ ∈ V)) → (((⟨1, 0⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ ≠ ⟨2, 𝑀⟩) ∨ (⟨2, 𝑀⟩ ≠ ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨2, 𝑀⟩ ≠ ⟨2, 𝑀⟩)) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}))
6250, 60, 61mpsyl 68 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩} ≠ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩})
6362, 27, 433netr4g 3078 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℝ → 𝑋𝑌)
6429, 44, 633jca 1162 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌))
6564adantl 475 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌))
66 line2.e . . . . 5 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
67 line2.l . . . . 5 𝐿 = (LineM𝐸)
68 eqid 2825 . . . . 5 ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = ((𝑌‘1) − (𝑋‘1))
69 eqid 2825 . . . . 5 ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = ((𝑌‘2) − (𝑋‘2))
70 eqid 2825 . . . . 5 (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))
7119, 66, 28, 67, 68, 69, 70rrx2linest 43306 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑌𝑃𝑋𝑌) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))})
7265, 71syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))})
732, 72eqeq12d 2840 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐺 = (𝑋𝐿𝑌) ↔ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))}))
74 rabbi 3331 . . 3 (∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))})
7543fveq1i 6438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌‘1) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1)
763, 3, 83pm3.2i 1442 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 1 ≠ 2)
77 fvpr1g 6719 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1) = 1)
7876, 77mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1) = 1)
7975, 78syl5eq 2873 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑌‘1) = 1)
8027fveq1i 6438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋‘1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1)
813, 6, 83pm3.2i 1442 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ≠ 2)
82 fvpr1g 6719 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1) = 0)
8381, 82mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1) = 0)
8480, 83syl5eq 2873 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑋‘1) = 0)
8579, 84oveq12d 6928 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = (1 − 0))
86 1m0e1 11486 . . . . . . . . . . 11 (1 − 0) = 1
8785, 86syl6eq 2877 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) = 1)
8887oveq1d 6925 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ → (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = (1 · (𝑝‘2)))
8943fveq1i 6438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑌‘2) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘2)
90 fvpr2g 6720 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘2) = 𝑀)
914, 8, 90mp3an13 1580 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℝ → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘2) = 𝑀)
9289, 91syl5eq 2873 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑌‘2) = 𝑀)
9327fveq1i 6438 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋‘2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘2)
94 fvpr2g 6720 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘2) = 𝑀)
954, 8, 94mp3an13 1580 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℝ → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘2) = 𝑀)
9693, 95syl5eq 2873 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑋‘2) = 𝑀)
9792, 96oveq12d 6928 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = (𝑀𝑀))
98 recn 10349 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ → 𝑀 ∈ ℂ)
9998subidd 10708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀𝑀) = 0)
10097, 99eqtrd 2861 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) = 0)
101100oveq1d 6925 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ → (((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) = (0 · (𝑝‘1)))
1023, 3, 9, 77mp3an12i 1593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℝ → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1) = 1)
10375, 102syl5eq 2873 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑌‘1) = 1)
10496, 103oveq12d 6928 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) = (𝑀 · 1))
105 ax-1rid 10329 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 · 1) = 𝑀)
106104, 105eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) = 𝑀)
1073, 6, 9, 82mp3an12i 1593 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℝ → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1) = 0)
10880, 107syl5eq 2873 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑋‘1) = 0)
109108, 92oveq12d 6928 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) = (0 · 𝑀))
11098mul02d 10560 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ → (0 · 𝑀) = 0)
111109, 110eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ → ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)) = 0)
112106, 111oveq12d 6928 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = (𝑀 − 0))
11398subid1d 10709 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 0) = 𝑀)
114112, 113eqtrd 2861 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ → (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))) = 𝑀)
115101, 114oveq12d 6928 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ → ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) = ((0 · (𝑝‘1)) + 𝑀))
11688, 115eqeq12d 2840 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ (1 · (𝑝‘2)) = ((0 · (𝑝‘1)) + 𝑀)))
117116adantl 475 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ (1 · (𝑝‘2)) = ((0 · (𝑝‘1)) + 𝑀)))
11819, 28rrx2pyel 42272 . . . . . . . . . 10 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
119118recnd 10392 . . . . . . . . 9 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
120119mulid2d 10382 . . . . . . . 8 (𝑝𝑃 → (1 · (𝑝‘2)) = (𝑝‘2))
12119, 28rrx2pxel 42271 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
122121recnd 10392 . . . . . . . . . 10 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
123122mul02d 10560 . . . . . . . . 9 (𝑝𝑃 → (0 · (𝑝‘1)) = 0)
124123oveq1d 6925 . . . . . . . 8 (𝑝𝑃 → ((0 · (𝑝‘1)) + 𝑀) = (0 + 𝑀))
125120, 124eqeq12d 2840 . . . . . . 7 (𝑝𝑃 → ((1 · (𝑝‘2)) = ((0 · (𝑝‘1)) + 𝑀) ↔ (𝑝‘2) = (0 + 𝑀)))
126117, 125sylan9bb 505 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2)))) ↔ (𝑝‘2) = (0 + 𝑀)))
127126bibi2d 334 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (0 + 𝑀))))
128127ralbidva 3194 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ ∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (0 + 𝑀))))
12998addid2d 10563 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ → (0 + 𝑀) = 𝑀)
130129adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑝𝑃) → (0 + 𝑀) = 𝑀)
131130eqeq2d 2835 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘2) = (0 + 𝑀) ↔ (𝑝‘2) = 𝑀))
132131bibi2d 334 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑝𝑃) → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (0 + 𝑀)) ↔ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
133132ralbidva 3194 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ → (∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (0 + 𝑀)) ↔ ∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
134133adantl 475 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = (0 + 𝑀)) ↔ ∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
13519, 66, 28, 67, 1, 27, 43line2xlem 43315 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀) → (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))
136 oveq1 6917 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 = 0 → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (0 · (𝑝‘1)))
137136adantr 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)) → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (0 · (𝑝‘1)))
138137ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (0 · (𝑝‘1)))
139123adantl 475 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → (0 · (𝑝‘1)) = 0)
140138, 139eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) = 0)
141140oveq1d 6925 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = (0 + (𝐵 · (𝑝‘2))))
142 recn 10349 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
143142adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
1441433ad2ant2 1168 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
145144ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐵 ∈ ℂ)
146119adantl 475 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
147145, 146mulcld 10384 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐵 · (𝑝‘2)) ∈ ℂ)
148147addid2d 10563 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → (0 + (𝐵 · (𝑝‘2))) = (𝐵 · (𝑝‘2)))
149141, 148eqtrd 2861 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = (𝐵 · (𝑝‘2)))
150149eqeq1d 2827 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝐵 · (𝑝‘2)) = 𝐶))
151 simp3 1172 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
152151recnd 10392 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℂ)
153152ad3antrrr 721 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐶 ∈ ℂ)
154 simpl 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
155154recnd 10392 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
1561553ad2ant2 1168 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
157156ad3antrrr 721 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐵 ∈ ℂ)
158 simp2r 1261 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ≠ 0)
159158ad3antrrr 721 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐵 ≠ 0)
160153, 157, 146, 159divmuld 11156 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐶 / 𝐵) = (𝑝‘2) ↔ (𝐵 · (𝑝‘2)) = 𝐶))
161 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)) → 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))
162161eqcomd 2831 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)) → (𝐶 / 𝐵) = 𝑀)
163162ad2antlr 718 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐶 / 𝐵) = 𝑀)
164163eqeq1d 2827 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐶 / 𝐵) = (𝑝‘2) ↔ 𝑀 = (𝑝‘2)))
165150, 160, 1643bitr2d 299 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶𝑀 = (𝑝‘2)))
166 eqcom 2832 . . . . . . . 8 (𝑀 = (𝑝‘2) ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)
167165, 166syl6bb 279 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀))
168167ralrimiva 3175 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))) → ∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀))
169168ex 403 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵)) → ∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀)))
170135, 169impbid 204 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘2) = 𝑀) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))
171128, 134, 1703bitrd 297 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))
17274, 171syl5bbr 277 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ({𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ (((𝑌‘1) − (𝑋‘1)) · (𝑝‘2)) = ((((𝑌‘2) − (𝑋‘2)) · (𝑝‘1)) + (((𝑋‘2) · (𝑌‘1)) − ((𝑋‘1) · (𝑌‘2))))} ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))
17373, 172bitrd 271 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐺 = (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐶 / 𝐵))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 878   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∀wral 3117  {crab 3121  Vcvv 3414   ⊆ wss 3798  {cpr 4401  ⟨cop 4405  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   ↑𝑚 cmap 8127  ℂcc 10257  ℝcr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264   − cmin 10592   / cdiv 11016  2c2 11413  ℝ^crrx 23558  LineMcline 43291 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-tpos 7622  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-sup 8623  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-rp 12120  df-fz 12627  df-seq 13103  df-exp 13162  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-0g 16462  df-prds 16468  df-pws 16470  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-subg 17949  df-ghm 18016  df-cmn 18555  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-cring 18911  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-dvr 19044  df-rnghom 19078  df-drng 19112  df-field 19113  df-subrg 19141  df-staf 19208  df-srng 19209  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-sra 19540  df-rgmod 19541  df-cnfld 20114  df-refld 20319  df-dsmm 20446  df-frlm 20461  df-tng 22766  df-tcph 23345  df-rrx 23560  df-line 43293 This theorem is referenced by: (None)
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