Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  line2x Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem line2x 47696
Description: Example for a horizontal line 𝐺 passing through two different points in "standard form". (Contributed by AV, 3-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
line2.i 𝐼 = {1, 2}
line2.e 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
line2.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
line2.l 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
line2.g 𝐺 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢}
line2x.x 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}
line2x.y π‘Œ = {⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}
Assertion
Ref Expression
line2x (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (𝐺 = (π‘‹πΏπ‘Œ) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐡,𝑝   𝐢,𝑝   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝   𝑀,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem line2x
StepHypRef Expression
1 line2.g . . . 4 𝐺 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢}
21a1i 11 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ 𝐺 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢})
3 1ex 11211 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ V
4 2ex 12290 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ V
53, 4pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
6 c0ex 11209 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
76jctl 523 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
8 1ne2 12421 . . . . . . . . . . 11 1 β‰  2
98a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ β†’ 1 β‰  2)
10 fprg 7148 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 β‰  2) β†’ {⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:{1, 2}⟢{0, 𝑀})
11 0red 11218 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) β†’ 0 ∈ ℝ)
12 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
1311, 12anim12i 612 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ)) β†’ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
14133adant3 1129 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 β‰  2) β†’ (0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
15 prssi 4819 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ {0, 𝑀} βŠ† ℝ)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 β‰  2) β†’ {0, 𝑀} βŠ† ℝ)
1710, 16fssd 6728 . . . . . . . . . 10 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 β‰  2) β†’ {⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:{1, 2}βŸΆβ„)
185, 7, 9, 17mp3an2i 1462 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ β†’ {⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:{1, 2}βŸΆβ„)
19 line2.i . . . . . . . . . 10 𝐼 = {1, 2}
2019feq2i 6702 . . . . . . . . 9 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:πΌβŸΆβ„ ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:{1, 2}βŸΆβ„)
2118, 20sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ β†’ {⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:πΌβŸΆβ„)
22 reex 11200 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ V
23 prex 5425 . . . . . . . . . 10 {1, 2} ∈ V
2419, 23eqeltri 2823 . . . . . . . . 9 𝐼 ∈ V
2522, 24elmap 8864 . . . . . . . 8 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©} ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:πΌβŸΆβ„)
2621, 25sylibr 233 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℝ β†’ {⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©} ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
27 line2x.x . . . . . . 7 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}
28 line2.p . . . . . . 7 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2926, 27, 283eltr4g 2844 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℝ β†’ 𝑋 ∈ 𝑃)
303jctl 523 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (1 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
31 fprg 7148 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (1 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 β‰  2) β†’ {⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:{1, 2}⟢{1, 𝑀})
325, 30, 9, 31mp3an2i 1462 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ β†’ {⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:{1, 2}⟢{1, 𝑀})
33 1re 11215 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ
34 prssi 4819 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ {1, 𝑀} βŠ† ℝ)
3533, 34mpan 687 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ β†’ {1, 𝑀} βŠ† ℝ)
3632, 35fssd 6728 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ β†’ {⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:{1, 2}βŸΆβ„)
3719feq2i 6702 . . . . . . . . 9 ({⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:πΌβŸΆβ„ ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:{1, 2}βŸΆβ„)
3836, 37sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ β†’ {⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:πΌβŸΆβ„)
3922, 24pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V)
40 elmapg 8832 . . . . . . . . 9 ((ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) β†’ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©} ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:πΌβŸΆβ„))
4139, 40mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©} ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ {⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}:πΌβŸΆβ„))
4238, 41mpbird 257 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℝ β†’ {⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©} ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
43 line2x.y . . . . . . 7 π‘Œ = {⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}
4442, 43, 283eltr4g 2844 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℝ β†’ π‘Œ ∈ 𝑃)
45 opex 5457 . . . . . . . . . 10 ⟨1, 0⟩ ∈ V
46 opex 5457 . . . . . . . . . 10 ⟨2, π‘€βŸ© ∈ V
4745, 46pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨2, π‘€βŸ© ∈ V)
48 opex 5457 . . . . . . . . . 10 ⟨1, 1⟩ ∈ V
4948, 46pm3.2i 470 . . . . . . . . 9 (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, π‘€βŸ© ∈ V)
5047, 49pm3.2i 470 . . . . . . . 8 ((⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨2, π‘€βŸ© ∈ V) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, π‘€βŸ© ∈ V))
518orci 862 . . . . . . . . . . . 12 (1 β‰  2 ∨ 0 β‰  𝑀)
523, 6opthne 5475 . . . . . . . . . . . 12 (⟨1, 0⟩ β‰  ⟨2, π‘€βŸ© ↔ (1 β‰  2 ∨ 0 β‰  𝑀))
5351, 52mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 ⟨1, 0⟩ β‰  ⟨2, π‘€βŸ©
5453a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ⟨1, 0⟩ β‰  ⟨2, π‘€βŸ©)
55 0ne1 12284 . . . . . . . . . . . 12 0 β‰  1
5655olci 863 . . . . . . . . . . 11 (1 β‰  1 ∨ 0 β‰  1)
573, 6opthne 5475 . . . . . . . . . . 11 (⟨1, 0⟩ β‰  ⟨1, 1⟩ ↔ (1 β‰  1 ∨ 0 β‰  1))
5856, 57mpbir 230 . . . . . . . . . 10 ⟨1, 0⟩ β‰  ⟨1, 1⟩
5954, 58jctil 519 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (⟨1, 0⟩ β‰  ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ β‰  ⟨2, π‘€βŸ©))
6059orcd 870 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ((⟨1, 0⟩ β‰  ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ β‰  ⟨2, π‘€βŸ©) ∨ (⟨2, π‘€βŸ© β‰  ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨2, π‘€βŸ© β‰  ⟨2, π‘€βŸ©)))
61 prneimg 4850 . . . . . . . 8 (((⟨1, 0⟩ ∈ V ∧ ⟨2, π‘€βŸ© ∈ V) ∧ (⟨1, 1⟩ ∈ V ∧ ⟨2, π‘€βŸ© ∈ V)) β†’ (((⟨1, 0⟩ β‰  ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨1, 0⟩ β‰  ⟨2, π‘€βŸ©) ∨ (⟨2, π‘€βŸ© β‰  ⟨1, 1⟩ ∧ ⟨2, π‘€βŸ© β‰  ⟨2, π‘€βŸ©)) β†’ {⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©} β‰  {⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}))
6250, 60, 61mpsyl 68 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℝ β†’ {⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©} β‰  {⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©})
6362, 27, 433netr4g 3014 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℝ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
6429, 44, 633jca 1125 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ))
6564adantl 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ))
66 line2.e . . . . 5 𝐸 = (ℝ^β€˜πΌ)
67 line2.l . . . . 5 𝐿 = (LineMβ€˜πΈ)
68 eqid 2726 . . . . 5 ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) = ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1))
69 eqid 2726 . . . . 5 ((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) = ((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2))
70 eqid 2726 . . . . 5 (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))) = (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))
7119, 66, 28, 67, 68, 69, 70rrx2linest 47684 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ π‘Œ ∈ 𝑃 ∧ 𝑋 β‰  π‘Œ) β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))})
7265, 71syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (π‘‹πΏπ‘Œ) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))})
732, 72eqeq12d 2742 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (𝐺 = (π‘‹πΏπ‘Œ) ↔ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))}))
74 rabbi 3456 . . 3 (βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))) ↔ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))})
7543fveq1i 6885 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œβ€˜1) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜1)
763, 3, 83pm3.2i 1336 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 1 β‰  2)
77 fvpr1g 7183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 1 β‰  2) β†’ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜1) = 1)
7876, 77mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜1) = 1)
7975, 78eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (π‘Œβ€˜1) = 1)
8027fveq1i 6885 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘‹β€˜1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜1)
813, 6, 83pm3.2i 1336 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 β‰  2)
82 fvpr1g 7183 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 β‰  2) β†’ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜1) = 0)
8381, 82mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜1) = 0)
8480, 83eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (π‘‹β€˜1) = 0)
8579, 84oveq12d 7422 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) = (1 βˆ’ 0))
86 1m0e1 12334 . . . . . . . . . . 11 (1 βˆ’ 0) = 1
8785, 86eqtrdi 2782 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) = 1)
8887oveq1d 7419 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘β€˜2)) = (1 Β· (π‘β€˜2)))
8943fveq1i 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Œβ€˜2) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜2)
90 fvpr2g 7184 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 β‰  2) β†’ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜2) = 𝑀)
914, 8, 90mp3an13 1448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜2) = 𝑀)
9289, 91eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (π‘Œβ€˜2) = 𝑀)
9327fveq1i 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘‹β€˜2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜2)
94 fvpr2g 7184 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 β‰  2) β†’ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜2) = 𝑀)
954, 8, 94mp3an13 1448 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜2) = 𝑀)
9693, 95eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (π‘‹β€˜2) = 𝑀)
9792, 96oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) = (𝑀 βˆ’ 𝑀))
98 recn 11199 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
9998subidd 11560 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (𝑀 βˆ’ 𝑀) = 0)
10097, 99eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) = 0)
101100oveq1d 7419 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) = (0 Β· (π‘β€˜1)))
1023, 3, 9, 77mp3an12i 1461 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜1) = 1)
10375, 102eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (π‘Œβ€˜1) = 1)
10496, 103oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) = (𝑀 Β· 1))
105 ax-1rid 11179 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (𝑀 Β· 1) = 𝑀)
106104, 105eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) = 𝑀)
1073, 6, 9, 82mp3an12i 1461 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, π‘€βŸ©}β€˜1) = 0)
10880, 107eqtrid 2778 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (π‘‹β€˜1) = 0)
109108, 92oveq12d 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)) = (0 Β· 𝑀))
11098mul02d 11413 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (0 Β· 𝑀) = 0)
111109, 110eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)) = 0)
112106, 111oveq12d 7422 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))) = (𝑀 βˆ’ 0))
11398subid1d 11561 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (𝑀 βˆ’ 0) = 𝑀)
114112, 113eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))) = 𝑀)
115101, 114oveq12d 7422 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))) = ((0 Β· (π‘β€˜1)) + 𝑀))
11688, 115eqeq12d 2742 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ β†’ ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))) ↔ (1 Β· (π‘β€˜2)) = ((0 Β· (π‘β€˜1)) + 𝑀)))
117116adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))) ↔ (1 Β· (π‘β€˜2)) = ((0 Β· (π‘β€˜1)) + 𝑀)))
11819, 28rrx2pyel 47654 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜2) ∈ ℝ)
119118recnd 11243 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜2) ∈ β„‚)
120119mullidd 11233 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (1 Β· (π‘β€˜2)) = (π‘β€˜2))
12119, 28rrx2pxel 47653 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜1) ∈ ℝ)
122121recnd 11243 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (π‘β€˜1) ∈ β„‚)
123122mul02d 11413 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ (0 Β· (π‘β€˜1)) = 0)
124123oveq1d 7419 . . . . . . . 8 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ ((0 Β· (π‘β€˜1)) + 𝑀) = (0 + 𝑀))
125120, 124eqeq12d 2742 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ 𝑃 β†’ ((1 Β· (π‘β€˜2)) = ((0 Β· (π‘β€˜1)) + 𝑀) ↔ (π‘β€˜2) = (0 + 𝑀)))
126117, 125sylan9bb 509 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2)))) ↔ (π‘β€˜2) = (0 + 𝑀)))
127126bibi2d 342 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))) ↔ (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (π‘β€˜2) = (0 + 𝑀))))
128127ralbidva 3169 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (π‘β€˜2) = (0 + 𝑀))))
12998addlidd 11416 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (0 + 𝑀) = 𝑀)
130129adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (0 + 𝑀) = 𝑀)
131130eqeq2d 2737 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((π‘β€˜2) = (0 + 𝑀) ↔ (π‘β€˜2) = 𝑀))
132131bibi2d 342 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (π‘β€˜2) = (0 + 𝑀)) ↔ (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (π‘β€˜2) = 𝑀)))
133132ralbidva 3169 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (π‘β€˜2) = (0 + 𝑀)) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (π‘β€˜2) = 𝑀)))
134133adantl 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (π‘β€˜2) = (0 + 𝑀)) ↔ βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (π‘β€˜2) = 𝑀)))
13519, 66, 28, 67, 1, 27, 43line2xlem 47695 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (π‘β€˜2) = 𝑀) β†’ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))))
136 oveq1 7411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 = 0 β†’ (𝐴 Β· (π‘β€˜1)) = (0 Β· (π‘β€˜1)))
137136adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡)) β†’ (𝐴 Β· (π‘β€˜1)) = (0 Β· (π‘β€˜1)))
138137ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝐴 Β· (π‘β€˜1)) = (0 Β· (π‘β€˜1)))
139123adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (0 Β· (π‘β€˜1)) = 0)
140138, 139eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝐴 Β· (π‘β€˜1)) = 0)
141140oveq1d 7419 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = (0 + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))))
142 recn 11199 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐡 ∈ ℝ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
143142adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1441433ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
145144ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
146119adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (π‘β€˜2) ∈ β„‚)
147145, 146mulcld 11235 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝐡 Β· (π‘β€˜2)) ∈ β„‚)
148147addlidd 11416 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (0 + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = (𝐡 Β· (π‘β€˜2)))
149141, 148eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = (𝐡 Β· (π‘β€˜2)))
150149eqeq1d 2728 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (𝐡 Β· (π‘β€˜2)) = 𝐢))
151 simp3 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
152151recnd 11243 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
153152ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
154 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
155154recnd 11243 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
1561553ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
157156ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
158 simp2r 1197 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) β†’ 𝐡 β‰  0)
159158ad3antrrr 727 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ 𝐡 β‰  0)
160153, 157, 146, 159divmuld 12013 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((𝐢 / 𝐡) = (π‘β€˜2) ↔ (𝐡 Β· (π‘β€˜2)) = 𝐢))
161 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡)) β†’ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))
162161eqcomd 2732 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡)) β†’ (𝐢 / 𝐡) = 𝑀)
163162ad2antlr 724 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (𝐢 / 𝐡) = 𝑀)
164163eqeq1d 2728 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ ((𝐢 / 𝐡) = (π‘β€˜2) ↔ 𝑀 = (π‘β€˜2)))
165150, 160, 1643bitr2d 307 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ 𝑀 = (π‘β€˜2)))
166 eqcom 2733 . . . . . . . 8 (𝑀 = (π‘β€˜2) ↔ (π‘β€˜2) = 𝑀)
167165, 166bitrdi 287 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) β†’ (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (π‘β€˜2) = 𝑀))
168167ralrimiva 3140 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (π‘β€˜2) = 𝑀))
169168ex 412 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ ((𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡)) β†’ βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (π‘β€˜2) = 𝑀)))
170135, 169impbid 211 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (π‘β€˜2) = 𝑀) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))))
171128, 134, 1703bitrd 305 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘ ∈ 𝑃 (((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢 ↔ (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))))
17274, 171bitr3id 285 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ ({𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 Β· (π‘β€˜1)) + (𝐡 Β· (π‘β€˜2))) = 𝐢} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (((π‘Œβ€˜1) βˆ’ (π‘‹β€˜1)) Β· (π‘β€˜2)) = ((((π‘Œβ€˜2) βˆ’ (π‘‹β€˜2)) Β· (π‘β€˜1)) + (((π‘‹β€˜2) Β· (π‘Œβ€˜1)) βˆ’ ((π‘‹β€˜1) Β· (π‘Œβ€˜2))))} ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))))
17373, 172bitrd 279 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐡 β‰  0) ∧ 𝐢 ∈ ℝ) ∧ 𝑀 ∈ ℝ) β†’ (𝐺 = (π‘‹πΏπ‘Œ) ↔ (𝐴 = 0 ∧ 𝑀 = (𝐢 / 𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  {cpr 4625  βŸ¨cop 4629  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ↑m cmap 8819  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114   βˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  2c2 12268  β„^crrx 25262  LineMcline 47669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-tpos 8209  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-ghm 19137  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-dvr 20301  df-rhm 20372  df-subrng 20444  df-subrg 20469  df-drng 20587  df-field 20588  df-staf 20686  df-srng 20687  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-cnfld 21237  df-refld 21494  df-dsmm 21623  df-frlm 21638  df-tng 24444  df-tcph 25048  df-rrx 25264  df-line 47671
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator