Theorem line2ylem 49956

Description: Lemma for line2y 49960. This proof is based on counterexamples for the following cases: 1. 𝐶 ≠ 0: p = (0,0) (LHS of biconditional is false, RHS is true); 2. 𝐶 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0: p = (1,-A/B) (LHS of biconditional is true, RHS is false); 3. 𝐴 = 𝐵 = 𝐶 = 0: p = (1,1) (LHS of biconditional is true, RHS is false). (Contributed by AV, 4-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
line2ylem.i	⊢ 𝐼 = (0..^2)
line2ylem.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
line2ylem	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0) → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝑃,𝑝

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑝)

Proof of Theorem line2ylem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ianor 997	. . . . 5 ⊢ (¬ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0) ∧ 𝐶 = 0) ↔ (¬ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ ¬ 𝐶 = 0))
2		df-ne 2956	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐶 = 0)
3		0re 11313	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		line2ylem.i	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐼 = (0..^2)
5		line2ylem.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
6	4, 5	prelrrx2 49918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ⟨“00”⟩ ∈ 𝑃)
7	3, 3, 6	mp2an 705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⟨“00”⟩ ∈ 𝑃
8		eqneqall 2966	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝐶 ≠ 0 → ¬ 0 = 0))
9	8	com12 33	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ≠ 0 → (𝐶 = 0 → ¬ 0 = 0))
10		eqid 2760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = 0
11	10	pm2.24i 151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 0 = 0 → 𝐶 = 0)
12	9, 11	impbid1 228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ≠ 0 → (𝐶 = 0 ↔ ¬ 0 = 0))
13	12	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐶 = 0 ↔ ¬ 0 = 0))
14		xor3 385	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ (𝐶 = 0 ↔ 0 = 0) ↔ (𝐶 = 0 ↔ ¬ 0 = 0))
15	13, 14	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≠ 0) → ¬ (𝐶 = 0 ↔ 0 = 0))
16		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	recnd 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
18	17	mul01d 11512	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 0) = 0)
19		simp2 1155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
20	19	recnd 11340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	mul01d 11512	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 0) = 0)
22	18, 21	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 0)) = (0 + 0))
23		00id 11488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 + 0) = 0
24	22, 23	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 0)) = 0)
25	24	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 0) + (𝐵 · 0)) = 𝐶 ↔ 0 = 𝐶))
26		eqcom 2767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 = 𝐶 ↔ 𝐶 = 0)
27	25, 26	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 0) + (𝐵 · 0)) = 𝐶 ↔ 𝐶 = 0))
28	27	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (((𝐴 · 0) + (𝐵 · 0)) = 𝐶 ↔ 𝐶 = 0))
29	28	bibi1d 346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((((𝐴 · 0) + (𝐵 · 0)) = 𝐶 ↔ 0 = 0) ↔ (𝐶 = 0 ↔ 0 = 0)))
30	15, 29	mtbird 328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≠ 0) → ¬ (((𝐴 · 0) + (𝐵 · 0)) = 𝐶 ↔ 0 = 0))
31		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = ⟨“00”⟩ → (𝑝‘0) = (⟨“00”⟩‘0))
32		c0ex 11303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ V
33		s2fv0 15042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 ∈ V → (⟨“00”⟩‘0) = 0)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨“00”⟩‘0) = 0
35	31, 34	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = ⟨“00”⟩ → (𝑝‘0) = 0)
36	35	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = ⟨“00”⟩ → (𝐴 · (𝑝‘0)) = (𝐴 · 0))
37		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = ⟨“00”⟩ → (𝑝‘1) = (⟨“00”⟩‘1))
38		s2fv1 15043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (0 ∈ V → (⟨“00”⟩‘1) = 0)
39	32, 38	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (⟨“00”⟩‘1) = 0
40	37, 39	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = ⟨“00”⟩ → (𝑝‘1) = 0)
41	40	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = ⟨“00”⟩ → (𝐵 · (𝑝‘1)) = (𝐵 · 0))
42	36, 41	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = ⟨“00”⟩ → ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 0)))
43	42	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = ⟨“00”⟩ → (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 0)) = 𝐶))
44	35	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = ⟨“00”⟩ → ((𝑝‘0) = 0 ↔ 0 = 0))
45	43, 44	bibi12d 348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = ⟨“00”⟩ → ((((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0) ↔ (((𝐴 · 0) + (𝐵 · 0)) = 𝐶 ↔ 0 = 0)))
46	45	notbid 321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = ⟨“00”⟩ → (¬ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0) ↔ ¬ (((𝐴 · 0) + (𝐵 · 0)) = 𝐶 ↔ 0 = 0)))
47	46	rspcev 3576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⟨“00”⟩ ∈ 𝑃 ∧ ¬ (((𝐴 · 0) + (𝐵 · 0)) = 𝐶 ↔ 0 = 0)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0))
48	7, 30, 47	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0))
49	48	expcom 419	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ≠ 0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0)))
50	2, 49	sylbir 238	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐶 = 0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0)))
51		notnotb 318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = 0 ↔ ¬ ¬ 𝐶 = 0)
52		ianor 997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0) ↔ (¬ 𝐴 ≠ 0 ∨ ¬ 𝐵 = 0))
53		df-ne 2956	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐵 = 0)
54		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 = ⟨“1( -𝐴 / 𝐵)”⟩ → (𝑝‘0) = (⟨“1( -𝐴 / 𝐵)”⟩‘0))
55		1ex 11306	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ V
56		s2fv0 15042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (1 ∈ V → (⟨“1( -𝐴 / 𝐵)”⟩‘0) = 1)
57	55, 56	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⟨“1( -𝐴 / 𝐵)”⟩‘0) = 1
58	54, 57	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 = ⟨“1( -𝐴 / 𝐵)”⟩ → (𝑝‘0) = 1)
59	58	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 = ⟨“1( -𝐴 / 𝐵)”⟩ → (𝐴 · (𝑝‘0)) = (𝐴 · 1))
60		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 = ⟨“1( -𝐴 / 𝐵)”⟩ → (𝑝‘1) = (⟨“1( -𝐴 / 𝐵)”⟩‘1))
61		ovex 7453	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ( -𝐴 / 𝐵) ∈ V
62		s2fv1 15043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (( -𝐴 / 𝐵) ∈ V → (⟨“1( -𝐴 / 𝐵)”⟩‘1) = ( -𝐴 / 𝐵))
63	61, 62	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (⟨“1( -𝐴 / 𝐵)”⟩‘1) = ( -𝐴 / 𝐵)
64	60, 63	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 = ⟨“1( -𝐴 / 𝐵)”⟩ → (𝑝‘1) = ( -𝐴 / 𝐵))
65	64	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 = ⟨“1( -𝐴 / 𝐵)”⟩ → (𝐵 · (𝑝‘1)) = (𝐵 · ( -𝐴 / 𝐵)))
66	59, 65	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = ⟨“1( -𝐴 / 𝐵)”⟩ → ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · ( -𝐴 / 𝐵))))
67	66	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 = ⟨“1( -𝐴 / 𝐵)”⟩ → (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · 1) + (𝐵 · ( -𝐴 / 𝐵))) = 𝐶))
68	58	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 = ⟨“1( -𝐴 / 𝐵)”⟩ → ((𝑝‘0) = 0 ↔ 1 = 0))
69	67, 68	bibi12d 348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = ⟨“1( -𝐴 / 𝐵)”⟩ → ((((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · ( -𝐴 / 𝐵))) = 𝐶 ↔ 1 = 0)))
70	69	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = ⟨“1( -𝐴 / 𝐵)”⟩ → (¬ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0) ↔ ¬ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · ( -𝐴 / 𝐵))) = 𝐶 ↔ 1 = 0)))
71		1red 11312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → 1 ∈ ℝ)
72	16	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → 𝐴 ∈ ℝ)
73	72	renegcld 11746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → -𝐴 ∈ ℝ)
74	19	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
75		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → 𝐵 ≠ 0)
76	73, 74, 75	redivcld 12148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → ( -𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
77	4, 5	prelrrx2 49918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ ( -𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ) → ⟨“1( -𝐴 / 𝐵)”⟩ ∈ 𝑃)
78	71, 76, 77	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → ⟨“1( -𝐴 / 𝐵)”⟩ ∈ 𝑃)
79		ax-1ne0 11272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ≠ 0
80	79	neii 2957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ¬ 1 = 0
81	10, 80	2th 267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 = 0 ↔ ¬ 1 = 0)
82		xor3 385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (¬ (0 = 0 ↔ 1 = 0) ↔ (0 = 0 ↔ ¬ 1 = 0))
83	81, 82	mpbir 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ¬ (0 = 0 ↔ 1 = 0)
84	17	mulridd 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
85	84	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
86	17	negcld 11659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐴 ∈ ℂ)
87	86	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → -𝐴 ∈ ℂ)
88	20	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
89	87, 88, 75	divcan2d 12098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → (𝐵 · ( -𝐴 / 𝐵)) = -𝐴)
90	85, 89	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · ( -𝐴 / 𝐵))) = (𝐴 + -𝐴))
91	17	negidd 11662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐴) = 0)
92	91	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → (𝐴 + -𝐴) = 0)
93	90, 92	eqtrd 2795	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · ( -𝐴 / 𝐵))) = 0)
94		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → 𝐶 = 0)
95	93, 94	eqeq12d 2776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → (((𝐴 · 1) + (𝐵 · ( -𝐴 / 𝐵))) = 𝐶 ↔ 0 = 0))
96	95	bibi1d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · ( -𝐴 / 𝐵))) = 𝐶 ↔ 1 = 0) ↔ (0 = 0 ↔ 1 = 0)))
97	83, 96	mtbiri 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → ¬ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · ( -𝐴 / 𝐵))) = 𝐶 ↔ 1 = 0))
98	70, 78, 97	rspcedvdw 3579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0))
99	98	expcom 419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0)))
100	99	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ≠ 0 → (𝐶 = 0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0))))
101	53, 100	sylbir 238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝐵 = 0 → (𝐶 = 0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0))))
102		notnotb 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 = 0 ↔ ¬ ¬ 𝐵 = 0)
103		nne 2959	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ 0 ↔ 𝐴 = 0)
104	103	bicomi 227	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = 0 ↔ ¬ 𝐴 ≠ 0)
105		1re 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℝ
106	4, 5	prelrrx2 49918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ⟨“11”⟩ ∈ 𝑃)
107	105, 105, 106	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ⟨“11”⟩ ∈ 𝑃
108		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 1) = (0 · 1))
109	108	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 = 0 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · 1) = (0 · 1))
110		ax-1cn 11261	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℂ
111	110	mul02i 11502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (0 · 1) = 0
112	109, 111	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 = 0 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · 1) = 0)
113		oveq1 7427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 · 1) = (0 · 1))
114	113	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 = 0 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐵 · 1) = (0 · 1))
115	114, 111	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 = 0 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐵 · 1) = 0)
116	112, 115	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐵 = 0 ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = (0 + 0))
117	116, 23	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐵 = 0 ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = 0)
118		id 23	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐶 = 0 → 𝐶 = 0)
119	117, 118	eqeqan12d 2774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐵 = 0 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐶 = 0) → (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = 𝐶 ↔ 0 = 0))
120	119	bibi1d 346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 = 0 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐶 = 0) → ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = 𝐶 ↔ 1 = 0) ↔ (0 = 0 ↔ 1 = 0)))
121	83, 120	mtbiri 330	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 = 0 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐶 = 0) → ¬ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = 𝐶 ↔ 1 = 0))
122		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 = ⟨“11”⟩ → (𝑝‘0) = (⟨“11”⟩‘0))
123		s2fv0 15042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (1 ∈ V → (⟨“11”⟩‘0) = 1)
124	55, 123	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (⟨“11”⟩‘0) = 1
125	122, 124	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 = ⟨“11”⟩ → (𝑝‘0) = 1)
126	125	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 = ⟨“11”⟩ → (𝐴 · (𝑝‘0)) = (𝐴 · 1))
127		fveq1 6884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 = ⟨“11”⟩ → (𝑝‘1) = (⟨“11”⟩‘1))
128		s2fv1 15043	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (1 ∈ V → (⟨“11”⟩‘1) = 1)
129	55, 128	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (⟨“11”⟩‘1) = 1
130	127, 129	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 = ⟨“11”⟩ → (𝑝‘1) = 1)
131	130	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 = ⟨“11”⟩ → (𝐵 · (𝑝‘1)) = (𝐵 · 1))
132	126, 131	oveq12d 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 = ⟨“11”⟩ → ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))
133	132	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = ⟨“11”⟩ → (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = 𝐶))
134	125	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = ⟨“11”⟩ → ((𝑝‘0) = 0 ↔ 1 = 0))
135	133, 134	bibi12d 348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 = ⟨“11”⟩ → ((((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = 𝐶 ↔ 1 = 0)))
136	135	notbid 321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = ⟨“11”⟩ → (¬ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0) ↔ ¬ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = 𝐶 ↔ 1 = 0)))
137	136	rspcev 3576	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⟨“11”⟩ ∈ 𝑃 ∧ ¬ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = 𝐶 ↔ 1 = 0)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0))
138	107, 121, 137	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 = 0 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐶 = 0) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0))
139	138	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 = 0 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐶 = 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0)))
140	139	ex 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 = 0 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐶 = 0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0))))
141	102, 104, 140	syl2anbr 611	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ ¬ 𝐵 = 0 ∧ ¬ 𝐴 ≠ 0) → (𝐶 = 0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0))))
142	101, 141	jaoi3 1076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ 𝐵 = 0 ∨ ¬ 𝐴 ≠ 0) → (𝐶 = 0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0))))
143	142	orcoms 886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐴 ≠ 0 ∨ ¬ 𝐵 = 0) → (𝐶 = 0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0))))
144	52, 143	sylbi 220	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐶 = 0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0))))
145	144	com12 33	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = 0 → (¬ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0))))
146	51, 145	sylbir 238	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ¬ 𝐶 = 0 → (¬ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0))))
147	146	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ¬ 𝐶 = 0 ∧ ¬ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0)))
148	50, 147	jaoi3 1076	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐶 = 0 ∨ ¬ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0)))
149	148	orcoms 886	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ ¬ 𝐶 = 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0)))
150	149	com12 33	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((¬ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ ¬ 𝐶 = 0) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0)))
151	1, 150	biimtrid 245	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0) ∧ 𝐶 = 0) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0)))
152		rexnal 3114	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0))
153	151, 152	imbitrdi 254	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0) ∧ 𝐶 = 0) → ¬ ∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0)))
154	153	con4d 116	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0) → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0) ∧ 𝐶 = 0)))
155		df-3an 1105	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) ↔ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0) ∧ 𝐶 = 0))
156	154, 155	imbitrrdi 255	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0) → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  Vcvv 3450  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8850  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   -cneg 11545   / cdiv 11976  2c2 12400  ..^cfzo 13791  ⟨“cs2 14996

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-hash 14478  df-word 14662  df-concat 14719  df-s1 14746  df-s2 15003

This theorem is used by:  line2y  49960