Theorem line2ylem 43313

Description: Lemma for line2y 43317. This proof is based on counterexamples for the following cases: 1. 𝐶 ≠ 0: p = (0,0) (LHS of bicondional is false, RHS is true); 2. 𝐶 = 0 ∧ 𝐵 ≠ 0: p = (1,-A/B) (LHS of bicondional is true, RHS is false); 3. 𝐴 = 𝐵 = 𝐶 = 0: p = (1,1) (LHS of bicondional is true, RHS is false). (Contributed by AV, 4-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
line2ylem.i	⊢ 𝐼 = {1, 2}
line2ylem.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)

Assertion

Ref	Expression
line2ylem	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0) → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝑃,𝑝

Allowed substitution hint:   𝐼(𝑝)

Proof of Theorem line2ylem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ianor 1009	. . . . 5 ⊢ (¬ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0) ∧ 𝐶 = 0) ↔ (¬ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ ¬ 𝐶 = 0))
2		df-ne 3000	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐶 = 0)
3		0re 10365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		line2ylem.i	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐼 = {1, 2}
5		line2ylem.p	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
6	4, 5	prelrrx2 42273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∈ 𝑃)
7	3, 3, 6	mp2an 683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∈ 𝑃
8		eqneqall 3010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐶 = 0 → (𝐶 ≠ 0 → ¬ 0 = 0))
9	8	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐶 ≠ 0 → (𝐶 = 0 → ¬ 0 = 0))
10		eqid 2825	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = 0
11	10	pm2.24i 148	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 0 = 0 → 𝐶 = 0)
12	9, 11	impbid1 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ≠ 0 → (𝐶 = 0 ↔ ¬ 0 = 0))
13	12	adantl 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (𝐶 = 0 ↔ ¬ 0 = 0))
14		xor3 374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ (𝐶 = 0 ↔ 0 = 0) ↔ (𝐶 = 0 ↔ ¬ 0 = 0))
15	13, 14	sylibr 226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≠ 0) → ¬ (𝐶 = 0 ↔ 0 = 0))
16		simp1 1170	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	recnd 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
18	17	mul01d 10561	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 0) = 0)
19		simp2 1171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ)
20	19	recnd 10392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℂ)
21	20	mul01d 10561	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 · 0) = 0)
22	18, 21	oveq12d 6928	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 0)) = (0 + 0))
23		00id 10537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 + 0) = 0
24	22, 23	syl6eq 2877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 0)) = 0)
25	24	eqeq1d 2827	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 0) + (𝐵 · 0)) = 𝐶 ↔ 0 = 𝐶))
26		eqcom 2832	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0 = 𝐶 ↔ 𝐶 = 0)
27	25, 26	syl6bb 279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝐴 · 0) + (𝐵 · 0)) = 𝐶 ↔ 𝐶 = 0))
28	27	adantr 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≠ 0) → (((𝐴 · 0) + (𝐵 · 0)) = 𝐶 ↔ 𝐶 = 0))
29	28	bibi1d 335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≠ 0) → ((((𝐴 · 0) + (𝐵 · 0)) = 𝐶 ↔ 0 = 0) ↔ (𝐶 = 0 ↔ 0 = 0)))
30	15, 29	mtbird 317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≠ 0) → ¬ (((𝐴 · 0) + (𝐵 · 0)) = 𝐶 ↔ 0 = 0))
31		fveq1 6436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} → (𝑝‘1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘1))
32		1ex 10359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ V
33		c0ex 10357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 0 ∈ V
34		1ne2 11573	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ≠ 2
35		fvpr1g 6719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘1) = 0)
36	32, 33, 34, 35	mp3an 1589	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘1) = 0
37	31, 36	syl6eq 2877	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} → (𝑝‘1) = 0)
38	37	oveq2d 6926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (𝐴 · 0))
39		fveq1 6436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} → (𝑝‘2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘2))
40		2ex 11435	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ V
41		fvpr2g 6720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘2) = 0)
42	40, 33, 34, 41	mp3an 1589	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩}‘2) = 0
43	39, 42	syl6eq 2877	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} → (𝑝‘2) = 0)
44	43	oveq2d 6926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} → (𝐵 · (𝑝‘2)) = (𝐵 · 0))
45	38, 44	oveq12d 6928	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 0)))
46	45	eqeq1d 2827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · 0) + (𝐵 · 0)) = 𝐶))
47	37	eqeq1d 2827	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} → ((𝑝‘1) = 0 ↔ 0 = 0))
48	46, 47	bibi12d 337	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0) ↔ (((𝐴 · 0) + (𝐵 · 0)) = 𝐶 ↔ 0 = 0)))
49	48	notbid 310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} → (¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0) ↔ ¬ (((𝐴 · 0) + (𝐵 · 0)) = 𝐶 ↔ 0 = 0)))
50	49	rspcev 3526	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (({⟨1, 0⟩, ⟨2, 0⟩} ∈ 𝑃 ∧ ¬ (((𝐴 · 0) + (𝐵 · 0)) = 𝐶 ↔ 0 = 0)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0))
51	7, 30, 50	sylancr 581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0))
52	51	expcom 404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ≠ 0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0)))
53	2, 52	sylbir 227	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐶 = 0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0)))
54		notnotb 307	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = 0 ↔ ¬ ¬ 𝐶 = 0)
55		ianor 1009	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0) ↔ (¬ 𝐴 ≠ 0 ∨ ¬ 𝐵 = 0))
56		df-ne 3000	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ≠ 0 ↔ ¬ 𝐵 = 0)
57		1red 10364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → 1 ∈ ℝ)
58	16	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → 𝐴 ∈ ℝ)
59	58	renegcld 10788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → -𝐴 ∈ ℝ)
60	19	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
61		simprl 787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → 𝐵 ≠ 0)
62	59, 60, 61	redivcld 11186	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → (-𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
63	4, 5	prelrrx2 42273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, (-𝐴 / 𝐵)⟩} ∈ 𝑃)
64	57, 62, 63	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, (-𝐴 / 𝐵)⟩} ∈ 𝑃)
65		ax-1ne0 10328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 1 ≠ 0
66	65	neii 3001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ¬ 1 = 0
67	10, 66	2th 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 = 0 ↔ ¬ 1 = 0)
68		xor3 374	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (¬ (0 = 0 ↔ 1 = 0) ↔ (0 = 0 ↔ ¬ 1 = 0))
69	67, 68	mpbir 223	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ¬ (0 = 0 ↔ 1 = 0)
70	17	mulid1d 10381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
71	70	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → (𝐴 · 1) = 𝐴)
72	17	negcld 10707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → -𝐴 ∈ ℂ)
73	72	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → -𝐴 ∈ ℂ)
74	20	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → 𝐵 ∈ ℂ)
75	73, 74, 61	divcan2d 11136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → (𝐵 · (-𝐴 / 𝐵)) = -𝐴)
76	71, 75	oveq12d 6928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · (-𝐴 / 𝐵))) = (𝐴 + -𝐴))
77	17	negidd 10710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + -𝐴) = 0)
78	77	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → (𝐴 + -𝐴) = 0)
79	76, 78	eqtrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · (-𝐴 / 𝐵))) = 0)
80		simprr 789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → 𝐶 = 0)
81	79, 80	eqeq12d 2840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → (((𝐴 · 1) + (𝐵 · (-𝐴 / 𝐵))) = 𝐶 ↔ 0 = 0))
82	81	bibi1d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · (-𝐴 / 𝐵))) = 𝐶 ↔ 1 = 0) ↔ (0 = 0 ↔ 1 = 0)))
83	69, 82	mtbiri 319	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → ¬ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · (-𝐴 / 𝐵))) = 𝐶 ↔ 1 = 0))
84		fveq1 6436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (-𝐴 / 𝐵)⟩} → (𝑝‘1) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (-𝐴 / 𝐵)⟩}‘1))
85		fvpr1g 6719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (-𝐴 / 𝐵)⟩}‘1) = 1)
86	32, 32, 34, 85	mp3an 1589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (-𝐴 / 𝐵)⟩}‘1) = 1
87	84, 86	syl6eq 2877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (-𝐴 / 𝐵)⟩} → (𝑝‘1) = 1)
88	87	oveq2d 6926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (-𝐴 / 𝐵)⟩} → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (𝐴 · 1))
89		fveq1 6436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (-𝐴 / 𝐵)⟩} → (𝑝‘2) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (-𝐴 / 𝐵)⟩}‘2))
90		ovex 6942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (-𝐴 / 𝐵) ∈ V
91		fvpr2g 6720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((2 ∈ V ∧ (-𝐴 / 𝐵) ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (-𝐴 / 𝐵)⟩}‘2) = (-𝐴 / 𝐵))
92	40, 90, 34, 91	mp3an 1589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, (-𝐴 / 𝐵)⟩}‘2) = (-𝐴 / 𝐵)
93	89, 92	syl6eq 2877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (-𝐴 / 𝐵)⟩} → (𝑝‘2) = (-𝐴 / 𝐵))
94	93	oveq2d 6926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (-𝐴 / 𝐵)⟩} → (𝐵 · (𝑝‘2)) = (𝐵 · (-𝐴 / 𝐵)))
95	88, 94	oveq12d 6928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (-𝐴 / 𝐵)⟩} → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · (-𝐴 / 𝐵))))
96	95	eqeq1d 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (-𝐴 / 𝐵)⟩} → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · 1) + (𝐵 · (-𝐴 / 𝐵))) = 𝐶))
97	87	eqeq1d 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (-𝐴 / 𝐵)⟩} → ((𝑝‘1) = 0 ↔ 1 = 0))
98	96, 97	bibi12d 337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (-𝐴 / 𝐵)⟩} → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · (-𝐴 / 𝐵))) = 𝐶 ↔ 1 = 0)))
99	98	notbid 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, (-𝐴 / 𝐵)⟩} → (¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0) ↔ ¬ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · (-𝐴 / 𝐵))) = 𝐶 ↔ 1 = 0)))
100	99	rspcev 3526	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, (-𝐴 / 𝐵)⟩} ∈ 𝑃 ∧ ¬ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · (-𝐴 / 𝐵))) = 𝐶 ↔ 1 = 0)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0))
101	64, 83, 100	syl2anc 579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0))
102	101	expcom 404	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐵 ≠ 0 ∧ 𝐶 = 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0)))
103	102	ex 403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 ≠ 0 → (𝐶 = 0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0))))
104	56, 103	sylbir 227	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝐵 = 0 → (𝐶 = 0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0))))
105		notnotb 307	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐵 = 0 ↔ ¬ ¬ 𝐵 = 0)
106		nne 3003	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝐴 ≠ 0 ↔ 𝐴 = 0)
107	106	bicomi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐴 = 0 ↔ ¬ 𝐴 ≠ 0)
108		1re 10363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ∈ ℝ
109	4, 5	prelrrx2 42273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → {⟨1, 1⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑃)
110	108, 108, 109	mp2an 683	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ {⟨1, 1⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑃
111		oveq1 6917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 · 1) = (0 · 1))
112	111	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 = 0 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · 1) = (0 · 1))
113		ax-1cn 10317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 1 ∈ ℂ
114	113	mul02i 10551	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (0 · 1) = 0
115	112, 114	syl6eq 2877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 = 0 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐴 · 1) = 0)
116		oveq1 6917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 · 1) = (0 · 1))
117	116	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 = 0 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐵 · 1) = (0 · 1))
118	117, 114	syl6eq 2877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 = 0 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐵 · 1) = 0)
119	115, 118	oveq12d 6928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐵 = 0 ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = (0 + 0))
120	119, 23	syl6eq 2877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝐵 = 0 ∧ 𝐴 = 0) → ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = 0)
121		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐶 = 0 → 𝐶 = 0)
122	120, 121	eqeqan12d 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐵 = 0 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐶 = 0) → (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = 𝐶 ↔ 0 = 0))
123	122	bibi1d 335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐵 = 0 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐶 = 0) → ((((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = 𝐶 ↔ 1 = 0) ↔ (0 = 0 ↔ 1 = 0)))
124	69, 123	mtbiri 319	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 = 0 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐶 = 0) → ¬ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = 𝐶 ↔ 1 = 0))
125		fveq1 6436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑝‘1) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 1⟩}‘1))
126		fvpr1g 6719	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 1⟩}‘1) = 1)
127	32, 32, 34, 126	mp3an 1589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 1⟩}‘1) = 1
128	125, 127	syl6eq 2877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑝‘1) = 1)
129	128	oveq2d 6926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝐴 · (𝑝‘1)) = (𝐴 · 1))
130		fveq1 6436	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑝‘2) = ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 1⟩}‘2))
131		fvpr2g 6720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((2 ∈ V ∧ 1 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 1⟩}‘2) = 1)
132	40, 32, 34, 131	mp3an 1589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ({⟨1, 1⟩, ⟨2, 1⟩}‘2) = 1
133	130, 132	syl6eq 2877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝑝‘2) = 1)
134	133	oveq2d 6926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 1⟩} → (𝐵 · (𝑝‘2)) = (𝐵 · 1))
135	129, 134	oveq12d 6928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 1⟩} → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)))
136	135	eqeq1d 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 1⟩} → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = 𝐶))
137	128	eqeq1d 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 1⟩} → ((𝑝‘1) = 0 ↔ 1 = 0))
138	136, 137	bibi12d 337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 1⟩} → ((((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0) ↔ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = 𝐶 ↔ 1 = 0)))
139	138	notbid 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = {⟨1, 1⟩, ⟨2, 1⟩} → (¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0) ↔ ¬ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = 𝐶 ↔ 1 = 0)))
140	139	rspcev 3526	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (({⟨1, 1⟩, ⟨2, 1⟩} ∈ 𝑃 ∧ ¬ (((𝐴 · 1) + (𝐵 · 1)) = 𝐶 ↔ 1 = 0)) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0))
141	110, 124, 140	sylancr 581	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 = 0 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐶 = 0) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0))
142	141	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 = 0 ∧ 𝐴 = 0) ∧ 𝐶 = 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0)))
143	142	ex 403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐵 = 0 ∧ 𝐴 = 0) → (𝐶 = 0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0))))
144	105, 107, 143	syl2anbr 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ ¬ 𝐵 = 0 ∧ ¬ 𝐴 ≠ 0) → (𝐶 = 0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0))))
145	104, 144	jaoi3 1087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((¬ 𝐵 = 0 ∨ ¬ 𝐴 ≠ 0) → (𝐶 = 0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0))))
146	145	orcoms 903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 𝐴 ≠ 0 ∨ ¬ 𝐵 = 0) → (𝐶 = 0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0))))
147	55, 146	sylbi 209	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐶 = 0 → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0))))
148	147	com12 32	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 = 0 → (¬ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0))))
149	54, 148	sylbir 227	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ ¬ 𝐶 = 0 → (¬ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0))))
150	149	imp 397	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ ¬ 𝐶 = 0 ∧ ¬ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0)))
151	53, 150	jaoi3 1087	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐶 = 0 ∨ ¬ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0)) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0)))
152	151	orcoms 903	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ ¬ 𝐶 = 0) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0)))
153	152	com12 32	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((¬ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0) ∨ ¬ 𝐶 = 0) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0)))
154	1, 153	syl5bi 234	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0) ∧ 𝐶 = 0) → ∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0)))
155		rexnal 3203	. . . 4 ⊢ (∃𝑝 ∈ 𝑃 ¬ (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0) ↔ ¬ ∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0))
156	154, 155	syl6ib 243	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0) ∧ 𝐶 = 0) → ¬ ∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0)))
157	156	con4d 115	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0) → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0) ∧ 𝐶 = 0)))
158		df-3an 1113	. 2 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) ↔ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0) ∧ 𝐶 = 0))
159	157, 158	syl6ibr 244	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0) → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 878   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∀wral 3117  ∃wrex 3118  Vcvv 3414  {cpr 4401  ⟨cop 4405  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   ↑_𝑚 cmap 8127  ℂcc 10257  ℝcr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264  -cneg 10593   / cdiv 11016  2c2 11413

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-2 11421

This theorem is referenced by:  line2y  43317