Theorem fvpr1o 17616

Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fvpr1o	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)

Proof of Theorem fvpr1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8686	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 8534	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
3	2	necomi 2995	. 2 ⊢ ∅ ≠ 1o
4		fvpr2g 7218	. 2 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ≠ 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
5	1, 3, 4	mp3an13 1453	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∅c0 4342  {cpr 4636  ⟨cop 4640  ‘cfv 6569  ωcom 7894  1_oc1o 8507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pr 5441

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3483  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-br 5152  df-opab 5214  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-res 5705  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fv 6577  df-om 7895  df-1o 8514

This theorem is referenced by:  fvprif  17617  xpsfeq  17619  xpsfrnel2  17620  xpsff1o  17623  xpsle  17635  dmdprdpr  20093  dprdpr  20094  xpstopnlem1  23842  xpstopnlem2  23844  xpsxmetlem  24414  xpsdsval  24416  xpsmet  24417