Theorem fvpr1o 17576

Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fvpr1o	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)

Proof of Theorem fvpr1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8660	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 8508	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
3	2	necomi 2985	. 2 ⊢ ∅ ≠ 1o
4		fvpr2g 7193	. 2 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ≠ 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
5	1, 3, 4	mp3an13 1453	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∅c0 4313  {cpr 4608  ⟨cop 4612  ‘cfv 6541  ωcom 7869  1_oc1o 8481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pr 5412

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3420  df-v 3465  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-res 5677  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fv 6549  df-om 7870  df-1o 8488

This theorem is referenced by:  fvprif  17577  xpsfeq  17579  xpsfrnel2  17580  xpsff1o  17583  xpsle  17595  dmdprdpr  20037  dprdpr  20038  xpstopnlem1  23763  xpstopnlem2  23765  xpsxmetlem  24334  xpsdsval  24336  xpsmet  24337