Theorem fvpr1o 17741

Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fvpr1o	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)

Proof of Theorem fvpr1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8656	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 8502	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
3	2	necomi 3009	. 2 ⊢ ∅ ≠ 1o
4		fvpr2g 7200	. 2 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ≠ 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
5	1, 3, 4	mp3an13 1481	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∅c0 4277  {cpr 4586  ⟨cop 4834  ‘cfv 6543  ωcom 7881  1_oc1o 8476

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-res 5663  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fv 6551  df-om 7882  df-1o 8483

This theorem is used by:  fvprif  17742  xpsfeq  17744  xpsfrnel2  17745  xpsff1o  17748  xpsle  17760  dmdprdpr  20274  dprdpr  20275  xpstopnlem1  24137  xpstopnlem2  24139  xpsxmetlem  24707  xpsdsval  24709  xpsmet  24710