MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvpr1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvpr1o 16835
Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)
Assertion
Ref Expression
fvpr1o (𝐵𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)

Proof of Theorem fvpr1o
StepHypRef Expression
1 1onn 8267 . 2 1o ∈ ω
2 1n0 8121 . . 3 1o ≠ ∅
32necomi 3072 . 2 ∅ ≠ 1o
4 fvpr2g 6957 . 2 ((1o ∈ ω ∧ 𝐵𝑉 ∧ ∅ ≠ 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
51, 3, 4mp3an13 1448 1 (𝐵𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2114  wne 3018  c0 4293  {cpr 4571  cop 4575  cfv 6357  ωcom 7582  1oc1o 8097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-res 5569  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fv 6365  df-om 7583  df-1o 8104
This theorem is referenced by:  fvprif  16836  xpsfeq  16838  xpsfrnel2  16839  xpsff1o  16842  xpsle  16854  dmdprdpr  19173  dprdpr  19174  xpstopnlem1  22419  xpstopnlem2  22421  xpsxmetlem  22991  xpsdsval  22993  xpsmet  22994
  Copyright terms: Public domain W3C validator