Theorem fvpr1o 17515

Description: The value of a function with a domain of (at most) two elements. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Sep-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fvpr1o	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)

Proof of Theorem fvpr1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1onn 8566	. 2 ⊢ 1o ∈ ω
2		1n0 8413	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
3	2	necomi 2988	. 2 ⊢ ∅ ≠ 1o
4		fvpr2g 7135	. 2 ⊢ ((1o ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ≠ 1o) → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)
5	1, 3, 4	mp3an13 1460	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1o, 𝐵⟩}‘1o) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∅c0 4261  {cpr 4557  ⟨cop 4561  ‘cfv 6485  ωcom 7806  1_oc1o 8388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-res 5630  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fv 6493  df-om 7807  df-1o 8395

This theorem is referenced by:  fvprif  17516  xpsfeq  17518  xpsfrnel2  17519  xpsff1o  17522  xpsle  17534  dmdprdpr  20017  dprdpr  20018  xpstopnlem1  23792  xpstopnlem2  23794  xpsxmetlem  24362  xpsdsval  24364  xpsmet  24365