Theorem wrdlen2i 15005

Description: Implications of a word of length two. (Contributed by AV, 27-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
wrdlen2i	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇))))

Proof of Theorem wrdlen2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11218	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2		1ex 11221	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
4		simpl 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉))
5		0ne1 12330	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 1
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → 0 ≠ 1)
7		fprg 7159	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇})
8	3, 4, 6, 7	mp3an2i 1495	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇})
9		fzo0to2pr 13798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
10	9	eqcomi 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {0, 1} = (0..^2)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → {0, 1} = (0..^2))
12	11	feq2d 6696	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶{𝑆, 𝑇}))
13	12	biimpa 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇}) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶{𝑆, 𝑇})
14		prssi 4792	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → {𝑆, 𝑇} ⊆ 𝑉)
15	14	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇}) → {𝑆, 𝑇} ⊆ 𝑉)
16	13, 15	fssd 6730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇}) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉)
17	16	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
18	17	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
19	18	impcom 413	. . . . . 6 ⊢ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩})) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉)
20		feq1 6690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (𝑊:(0..^2)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
21	20	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (𝑊:(0..^2)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
22	21	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩})) → (𝑊:(0..^2)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
23	19, 22	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩})) → 𝑊:(0..^2)⟶𝑉)
24	8, 23	mpancom 701	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → 𝑊:(0..^2)⟶𝑉)
25		iswrdi 14574	. . . 4 ⊢ (𝑊:(0..^2)⟶𝑉 → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
26	24, 25	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
27		fveq2 6888	. . . 4 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (♯‘𝑊) = (♯‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}))
28	5	neii 2963	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 = 1
29		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ 𝑉)
30		opth1g 5465	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (⟨0, 𝑆⟩ = ⟨1, 𝑇⟩ → 0 = 1))
31	1, 29, 30	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (⟨0, 𝑆⟩ = ⟨1, 𝑇⟩ → 0 = 1))
32	28, 31	mtoi 202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ¬ ⟨0, 𝑆⟩ = ⟨1, 𝑇⟩)
33	32	neqned 2968	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ⟨0, 𝑆⟩ ≠ ⟨1, 𝑇⟩)
34		opex 5450	. . . . . . 7 ⊢ ⟨0, 𝑆⟩ ∈ V
35		opex 5450	. . . . . . 7 ⊢ ⟨1, 𝑇⟩ ∈ V
36	34, 35	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, 𝑆⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑇⟩ ∈ V)
37		hashprg 14451	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 𝑆⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑇⟩ ∈ V) → (⟨0, 𝑆⟩ ≠ ⟨1, 𝑇⟩ ↔ (♯‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) = 2))
38	36, 37	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (⟨0, 𝑆⟩ ≠ ⟨1, 𝑇⟩ ↔ (♯‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) = 2))
39	33, 38	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (♯‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) = 2)
40	27, 39	sylan9eqr 2823	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (♯‘𝑊) = 2)
41	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → 0 ≠ 1)
42		fvpr1g 7195	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆)
43	1, 29, 41, 42	mp3an2i 1495	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆)
44		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ 𝑉)
45		fvpr2g 7196	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ 𝑉 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)
46	2, 44, 41, 45	mp3an2i 1495	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)
47	43, 46	jca 521	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇))
48	47	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇))
49		fveq1 6887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (𝑊‘0) = ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0))
50	49	eqeq1d 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊‘0) = 𝑆 ↔ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆))
51		fveq1 6887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (𝑊‘1) = ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1))
52	51	eqeq1d 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊‘1) = 𝑇 ↔ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇))
53	50, 52	anbi12d 644	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇) ↔ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)))
54	53	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇) ↔ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)))
55	48, 54	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇))
56	26, 40, 55	jca31 524	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇)))
57	56	ex 418	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  {cpr 4596  ⟨cop 4600  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  0cc0 11118  1c1 11119  2c2 12313  ..^cfzo 13701  ♯chash 14386  Word cword 14570

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702  df-hash 14387  df-word 14571

This theorem is used by:  wrdlen2  15007  wwlktovfo  15021