Theorem wrdlen2i 14295

Description: Implications of a word of length two. (Contributed by AV, 27-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
wrdlen2i	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇))))

Proof of Theorem wrdlen2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 10624	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2		1ex 10626	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 474	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
4		simpl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉))
5		0ne1 11696	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 1
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → 0 ≠ 1)
7		fprg 6894	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇})
8	3, 4, 6, 7	mp3an2i 1463	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇})
9		fzo0to2pr 13117	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
10	9	eqcomi 2807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {0, 1} = (0..^2)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → {0, 1} = (0..^2))
12	11	feq2d 6473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶{𝑆, 𝑇}))
13	12	biimpa 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇}) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶{𝑆, 𝑇})
14		prssi 4714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → {𝑆, 𝑇} ⊆ 𝑉)
15	14	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇}) → {𝑆, 𝑇} ⊆ 𝑉)
16	13, 15	fssd 6502	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇}) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉)
17	16	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
18	17	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
19	18	impcom 411	. . . . . 6 ⊢ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩})) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉)
20		feq1 6468	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (𝑊:(0..^2)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
21	20	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (𝑊:(0..^2)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
22	21	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩})) → (𝑊:(0..^2)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
23	19, 22	mpbird 260	. . . . 5 ⊢ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩})) → 𝑊:(0..^2)⟶𝑉)
24	8, 23	mpancom 687	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → 𝑊:(0..^2)⟶𝑉)
25		iswrdi 13861	. . . 4 ⊢ (𝑊:(0..^2)⟶𝑉 → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
26	24, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
27		fveq2 6645	. . . 4 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (♯‘𝑊) = (♯‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}))
28	5	neii 2989	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 = 1
29		simpl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ 𝑉)
30		opth1g 5335	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (⟨0, 𝑆⟩ = ⟨1, 𝑇⟩ → 0 = 1))
31	1, 29, 30	sylancr 590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (⟨0, 𝑆⟩ = ⟨1, 𝑇⟩ → 0 = 1))
32	28, 31	mtoi 202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ¬ ⟨0, 𝑆⟩ = ⟨1, 𝑇⟩)
33	32	neqned 2994	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ⟨0, 𝑆⟩ ≠ ⟨1, 𝑇⟩)
34		opex 5321	. . . . . . 7 ⊢ ⟨0, 𝑆⟩ ∈ V
35		opex 5321	. . . . . . 7 ⊢ ⟨1, 𝑇⟩ ∈ V
36	34, 35	pm3.2i 474	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, 𝑆⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑇⟩ ∈ V)
37		hashprg 13752	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 𝑆⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑇⟩ ∈ V) → (⟨0, 𝑆⟩ ≠ ⟨1, 𝑇⟩ ↔ (♯‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) = 2))
38	36, 37	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (⟨0, 𝑆⟩ ≠ ⟨1, 𝑇⟩ ↔ (♯‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) = 2))
39	33, 38	mpbid 235	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (♯‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) = 2)
40	27, 39	sylan9eqr 2855	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (♯‘𝑊) = 2)
41	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → 0 ≠ 1)
42		fvpr1g 6931	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆)
43	1, 29, 41, 42	mp3an2i 1463	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆)
44		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ 𝑉)
45		fvpr2g 6932	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ 𝑉 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)
46	2, 44, 41, 45	mp3an2i 1463	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)
47	43, 46	jca 515	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇))
48	47	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇))
49		fveq1 6644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (𝑊‘0) = ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0))
50	49	eqeq1d 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊‘0) = 𝑆 ↔ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆))
51		fveq1 6644	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (𝑊‘1) = ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1))
52	51	eqeq1d 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊‘1) = 𝑇 ↔ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇))
53	50, 52	anbi12d 633	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇) ↔ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)))
54	53	adantl 485	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇) ↔ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)))
55	48, 54	mpbird 260	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇))
56	26, 40, 55	jca31 518	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇)))
57	56	ex 416	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441   ⊆ wss 3881  {cpr 4527  ⟨cop 4531  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527  2c2 11680  ..^cfzo 13028  ♯chash 13686  Word cword 13857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-hash 13687  df-word 13858

This theorem is referenced by:  wrdlen2  14297  wwlktovfo  14313