Theorem wrdlen2i 14583

Description: Implications of a word of length two. (Contributed by AV, 27-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
wrdlen2i	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇))))

Proof of Theorem wrdlen2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 10900	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2		1ex 10902	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
4		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉))
5		0ne1 11974	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 1
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → 0 ≠ 1)
7		fprg 7009	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇})
8	3, 4, 6, 7	mp3an2i 1464	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇})
9		fzo0to2pr 13400	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
10	9	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {0, 1} = (0..^2)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → {0, 1} = (0..^2))
12	11	feq2d 6570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶{𝑆, 𝑇}))
13	12	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇}) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶{𝑆, 𝑇})
14		prssi 4751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → {𝑆, 𝑇} ⊆ 𝑉)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇}) → {𝑆, 𝑇} ⊆ 𝑉)
16	13, 15	fssd 6602	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇}) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉)
17	16	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
19	18	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩})) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉)
20		feq1 6565	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (𝑊:(0..^2)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
21	20	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (𝑊:(0..^2)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
22	21	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩})) → (𝑊:(0..^2)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
23	19, 22	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩})) → 𝑊:(0..^2)⟶𝑉)
24	8, 23	mpancom 684	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → 𝑊:(0..^2)⟶𝑉)
25		iswrdi 14149	. . . 4 ⊢ (𝑊:(0..^2)⟶𝑉 → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
26	24, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
27		fveq2 6756	. . . 4 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (♯‘𝑊) = (♯‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}))
28	5	neii 2944	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 = 1
29		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ 𝑉)
30		opth1g 5387	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (⟨0, 𝑆⟩ = ⟨1, 𝑇⟩ → 0 = 1))
31	1, 29, 30	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (⟨0, 𝑆⟩ = ⟨1, 𝑇⟩ → 0 = 1))
32	28, 31	mtoi 198	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ¬ ⟨0, 𝑆⟩ = ⟨1, 𝑇⟩)
33	32	neqned 2949	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ⟨0, 𝑆⟩ ≠ ⟨1, 𝑇⟩)
34		opex 5373	. . . . . . 7 ⊢ ⟨0, 𝑆⟩ ∈ V
35		opex 5373	. . . . . . 7 ⊢ ⟨1, 𝑇⟩ ∈ V
36	34, 35	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, 𝑆⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑇⟩ ∈ V)
37		hashprg 14038	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 𝑆⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑇⟩ ∈ V) → (⟨0, 𝑆⟩ ≠ ⟨1, 𝑇⟩ ↔ (♯‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) = 2))
38	36, 37	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (⟨0, 𝑆⟩ ≠ ⟨1, 𝑇⟩ ↔ (♯‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) = 2))
39	33, 38	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (♯‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) = 2)
40	27, 39	sylan9eqr 2801	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (♯‘𝑊) = 2)
41	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → 0 ≠ 1)
42		fvpr1g 7044	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆)
43	1, 29, 41, 42	mp3an2i 1464	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆)
44		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ 𝑉)
45		fvpr2g 7045	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ 𝑉 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)
46	2, 44, 41, 45	mp3an2i 1464	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)
47	43, 46	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇))
48	47	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇))
49		fveq1 6755	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (𝑊‘0) = ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0))
50	49	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊‘0) = 𝑆 ↔ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆))
51		fveq1 6755	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (𝑊‘1) = ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1))
52	51	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊‘1) = 𝑇 ↔ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇))
53	50, 52	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇) ↔ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)))
54	53	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇) ↔ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)))
55	48, 54	mpbird 256	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇))
56	26, 40, 55	jca31 514	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇)))
57	56	ex 412	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  {cpr 4560  ⟨cop 4564  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  1c1 10803  2c2 11958  ..^cfzo 13311  ♯chash 13972  Word cword 14145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-oadd 8271  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146

This theorem is referenced by:  wrdlen2  14585  wwlktovfo  14601