Theorem wrdlen2i 14919

Description: Implications of a word of length two. (Contributed by AV, 27-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
wrdlen2i	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇))))

Proof of Theorem wrdlen2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 11232	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2		1ex 11234	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
4		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉))
5		0ne1 12307	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 1
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → 0 ≠ 1)
7		fprg 7158	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇})
8	3, 4, 6, 7	mp3an2i 1463	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇})
9		fzo0to2pr 13743	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
10	9	eqcomi 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {0, 1} = (0..^2)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → {0, 1} = (0..^2))
12	11	feq2d 6702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶{𝑆, 𝑇}))
13	12	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇}) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶{𝑆, 𝑇})
14		prssi 4820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → {𝑆, 𝑇} ⊆ 𝑉)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇}) → {𝑆, 𝑇} ⊆ 𝑉)
16	13, 15	fssd 6734	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇}) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉)
17	16	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
18	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
19	18	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩})) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉)
20		feq1 6697	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (𝑊:(0..^2)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
21	20	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (𝑊:(0..^2)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
22	21	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩})) → (𝑊:(0..^2)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
23	19, 22	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩})) → 𝑊:(0..^2)⟶𝑉)
24	8, 23	mpancom 687	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → 𝑊:(0..^2)⟶𝑉)
25		iswrdi 14494	. . . 4 ⊢ (𝑊:(0..^2)⟶𝑉 → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
26	24, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
27		fveq2 6891	. . . 4 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (♯‘𝑊) = (♯‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}))
28	5	neii 2937	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 = 1
29		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ 𝑉)
30		opth1g 5474	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (⟨0, 𝑆⟩ = ⟨1, 𝑇⟩ → 0 = 1))
31	1, 29, 30	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (⟨0, 𝑆⟩ = ⟨1, 𝑇⟩ → 0 = 1))
32	28, 31	mtoi 198	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ¬ ⟨0, 𝑆⟩ = ⟨1, 𝑇⟩)
33	32	neqned 2942	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ⟨0, 𝑆⟩ ≠ ⟨1, 𝑇⟩)
34		opex 5460	. . . . . . 7 ⊢ ⟨0, 𝑆⟩ ∈ V
35		opex 5460	. . . . . . 7 ⊢ ⟨1, 𝑇⟩ ∈ V
36	34, 35	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, 𝑆⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑇⟩ ∈ V)
37		hashprg 14380	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 𝑆⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑇⟩ ∈ V) → (⟨0, 𝑆⟩ ≠ ⟨1, 𝑇⟩ ↔ (♯‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) = 2))
38	36, 37	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (⟨0, 𝑆⟩ ≠ ⟨1, 𝑇⟩ ↔ (♯‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) = 2))
39	33, 38	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (♯‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) = 2)
40	27, 39	sylan9eqr 2789	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (♯‘𝑊) = 2)
41	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → 0 ≠ 1)
42		fvpr1g 7193	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆)
43	1, 29, 41, 42	mp3an2i 1463	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆)
44		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ 𝑉)
45		fvpr2g 7194	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ 𝑉 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)
46	2, 44, 41, 45	mp3an2i 1463	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)
47	43, 46	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇))
48	47	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇))
49		fveq1 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (𝑊‘0) = ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0))
50	49	eqeq1d 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊‘0) = 𝑆 ↔ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆))
51		fveq1 6890	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (𝑊‘1) = ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1))
52	51	eqeq1d 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊‘1) = 𝑇 ↔ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇))
53	50, 52	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇) ↔ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)))
54	53	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇) ↔ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)))
55	48, 54	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇))
56	26, 40, 55	jca31 514	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇)))
57	56	ex 412	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  Vcvv 3469   ⊆ wss 3944  {cpr 4626  ⟨cop 4630  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11132  1c1 11133  2c2 12291  ..^cfzo 13653  ♯chash 14315  Word cword 14490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9918  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-hash 14316  df-word 14491

This theorem is referenced by:  wrdlen2  14921  wwlktovfo  14935