Theorem wrdlen2i 14070

Description: Implications of a word of length two. (Contributed by AV, 27-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
wrdlen2i	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇))))

Proof of Theorem wrdlen2i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		c0ex 10357	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ V
2		1ex 10359	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ V
3	1, 2	pm3.2i 464	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
4		simpl 476	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉))
5		0ne1 11429	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ 1
6	5	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → 0 ≠ 1)
7		fprg 6678	. . . . . 6 ⊢ (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇})
8	3, 4, 6, 7	mp3an2i 1594	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇})
9		fzo0to2pr 12855	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
10	9	eqcomi 2834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {0, 1} = (0..^2)
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → {0, 1} = (0..^2))
12	11	feq2d 6268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶{𝑆, 𝑇}))
13	12	biimpa 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇}) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶{𝑆, 𝑇})
14		prssi 4572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → {𝑆, 𝑇} ⊆ 𝑉)
15	14	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇}) → {𝑆, 𝑇} ⊆ 𝑉)
16	13, 15	fssd 6296	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇}) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉)
17	16	ex 403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
18	17	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
19	18	impcom 398	. . . . . 6 ⊢ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩})) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉)
20		feq1 6263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (𝑊:(0..^2)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
21	20	adantl 475	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (𝑊:(0..^2)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
22	21	adantl 475	. . . . . 6 ⊢ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩})) → (𝑊:(0..^2)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
23	19, 22	mpbird 249	. . . . 5 ⊢ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ∧ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩})) → 𝑊:(0..^2)⟶𝑉)
24	8, 23	mpancom 679	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → 𝑊:(0..^2)⟶𝑉)
25		iswrdi 13585	. . . 4 ⊢ (𝑊:(0..^2)⟶𝑉 → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
26	24, 25	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
27		fveq2 6437	. . . 4 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (♯‘𝑊) = (♯‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}))
28	5	neii 3001	. . . . . . 7 ⊢ ¬ 0 = 1
29		simpl 476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → 𝑆 ∈ 𝑉)
30		opth1g 5169	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (⟨0, 𝑆⟩ = ⟨1, 𝑇⟩ → 0 = 1))
31	1, 29, 30	sylancr 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (⟨0, 𝑆⟩ = ⟨1, 𝑇⟩ → 0 = 1))
32	28, 31	mtoi 191	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ¬ ⟨0, 𝑆⟩ = ⟨1, 𝑇⟩)
33	32	neqned 3006	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ⟨0, 𝑆⟩ ≠ ⟨1, 𝑇⟩)
34		opex 5155	. . . . . . 7 ⊢ ⟨0, 𝑆⟩ ∈ V
35		opex 5155	. . . . . . 7 ⊢ ⟨1, 𝑇⟩ ∈ V
36	34, 35	pm3.2i 464	. . . . . 6 ⊢ (⟨0, 𝑆⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑇⟩ ∈ V)
37		hashprg 13479	. . . . . 6 ⊢ ((⟨0, 𝑆⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑇⟩ ∈ V) → (⟨0, 𝑆⟩ ≠ ⟨1, 𝑇⟩ ↔ (♯‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) = 2))
38	36, 37	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (⟨0, 𝑆⟩ ≠ ⟨1, 𝑇⟩ ↔ (♯‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) = 2))
39	33, 38	mpbid 224	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (♯‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) = 2)
40	27, 39	sylan9eqr 2883	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (♯‘𝑊) = 2)
41	5	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → 0 ≠ 1)
42		fvpr1g 6719	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆)
43	1, 29, 41, 42	mp3an2i 1594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆)
44		simpr 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → 𝑇 ∈ 𝑉)
45		fvpr2g 6720	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ V ∧ 𝑇 ∈ 𝑉 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)
46	2, 44, 41, 45	mp3an2i 1594	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)
47	43, 46	jca 507	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇))
48	47	adantr 474	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇))
49		fveq1 6436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (𝑊‘0) = ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0))
50	49	eqeq1d 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊‘0) = 𝑆 ↔ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆))
51		fveq1 6436	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (𝑊‘1) = ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1))
52	51	eqeq1d 2827	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊‘1) = 𝑇 ↔ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇))
53	50, 52	anbi12d 624	. . . . 5 ⊢ (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇) ↔ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)))
54	53	adantl 475	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇) ↔ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)))
55	48, 54	mpbird 249	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇))
56	26, 40, 55	jca31 510	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇)))
57	56	ex 403	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑉 ∧ 𝑇 ∈ 𝑉) → (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  Vcvv 3414   ⊆ wss 3798  {cpr 4401  ⟨cop 4405  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  0cc0 10259  1c1 10260  2c2 11413  ..^cfzo 12767  ♯chash 13417  Word cword 13581

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-card 9085  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-hash 13418  df-word 13582

This theorem is referenced by:  wrdlen2  14072  wwlktovfo  14087