MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdlen2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdlen2i 14919
Description: Implications of a word of length two. (Contributed by AV, 27-Jul-2018.) (Proof shortened by AV, 14-Oct-2018.)
Assertion
Ref Expression
wrdlen2i ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇))))

Proof of Theorem wrdlen2i
StepHypRef Expression
1 c0ex 11232 . . . . . . 7 0 ∈ V
2 1ex 11234 . . . . . . 7 1 ∈ V
31, 2pm3.2i 470 . . . . . 6 (0 ∈ V ∧ 1 ∈ V)
4 simpl 482 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (𝑆𝑉𝑇𝑉))
5 0ne1 12307 . . . . . . 7 0 ≠ 1
65a1i 11 . . . . . 6 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → 0 ≠ 1)
7 fprg 7158 . . . . . 6 (((0 ∈ V ∧ 1 ∈ V) ∧ (𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 0 ≠ 1) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇})
83, 4, 6, 7mp3an2i 1463 . . . . 5 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇})
9 fzo0to2pr 13743 . . . . . . . . . . . . . 14 (0..^2) = {0, 1}
109eqcomi 2736 . . . . . . . . . . . . 13 {0, 1} = (0..^2)
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → {0, 1} = (0..^2))
1211feq2d 6702 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶{𝑆, 𝑇}))
1312biimpa 476 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇}) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶{𝑆, 𝑇})
14 prssi 4820 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → {𝑆, 𝑇} ⊆ 𝑉)
1514adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇}) → {𝑆, 𝑇} ⊆ 𝑉)
1613, 15fssd 6734 . . . . . . . . 9 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇}) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉)
1716ex 412 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
1817adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
1918impcom 407 . . . . . 6 (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ∧ ((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩})) → {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉)
20 feq1 6697 . . . . . . . 8 (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (𝑊:(0..^2)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
2120adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (𝑊:(0..^2)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
2221adantl 481 . . . . . 6 (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ∧ ((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩})) → (𝑊:(0..^2)⟶𝑉 ↔ {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:(0..^2)⟶𝑉))
2319, 22mpbird 257 . . . . 5 (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}:{0, 1}⟶{𝑆, 𝑇} ∧ ((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩})) → 𝑊:(0..^2)⟶𝑉)
248, 23mpancom 687 . . . 4 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → 𝑊:(0..^2)⟶𝑉)
25 iswrdi 14494 . . . 4 (𝑊:(0..^2)⟶𝑉𝑊 ∈ Word 𝑉)
2624, 25syl 17 . . 3 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
27 fveq2 6891 . . . 4 (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (♯‘𝑊) = (♯‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}))
285neii 2937 . . . . . . 7 ¬ 0 = 1
29 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → 𝑆𝑉)
30 opth1g 5474 . . . . . . . 8 ((0 ∈ V ∧ 𝑆𝑉) → (⟨0, 𝑆⟩ = ⟨1, 𝑇⟩ → 0 = 1))
311, 29, 30sylancr 586 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → (⟨0, 𝑆⟩ = ⟨1, 𝑇⟩ → 0 = 1))
3228, 31mtoi 198 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → ¬ ⟨0, 𝑆⟩ = ⟨1, 𝑇⟩)
3332neqned 2942 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → ⟨0, 𝑆⟩ ≠ ⟨1, 𝑇⟩)
34 opex 5460 . . . . . . 7 ⟨0, 𝑆⟩ ∈ V
35 opex 5460 . . . . . . 7 ⟨1, 𝑇⟩ ∈ V
3634, 35pm3.2i 470 . . . . . 6 (⟨0, 𝑆⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑇⟩ ∈ V)
37 hashprg 14380 . . . . . 6 ((⟨0, 𝑆⟩ ∈ V ∧ ⟨1, 𝑇⟩ ∈ V) → (⟨0, 𝑆⟩ ≠ ⟨1, 𝑇⟩ ↔ (♯‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) = 2))
3836, 37mp1i 13 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → (⟨0, 𝑆⟩ ≠ ⟨1, 𝑇⟩ ↔ (♯‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) = 2))
3933, 38mpbid 231 . . . 4 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → (♯‘{⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) = 2)
4027, 39sylan9eqr 2789 . . 3 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (♯‘𝑊) = 2)
415a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → 0 ≠ 1)
42 fvpr1g 7193 . . . . . . 7 ((0 ∈ V ∧ 𝑆𝑉 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆)
431, 29, 41, 42mp3an2i 1463 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆)
44 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → 𝑇𝑉)
45 fvpr2g 7194 . . . . . . 7 ((1 ∈ V ∧ 𝑇𝑉 ∧ 0 ≠ 1) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)
462, 44, 41, 45mp3an2i 1463 . . . . . 6 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)
4743, 46jca 511 . . . . 5 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇))
4847adantr 480 . . . 4 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇))
49 fveq1 6890 . . . . . . 7 (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (𝑊‘0) = ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0))
5049eqeq1d 2729 . . . . . 6 (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊‘0) = 𝑆 ↔ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆))
51 fveq1 6890 . . . . . . 7 (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (𝑊‘1) = ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1))
5251eqeq1d 2729 . . . . . 6 (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊‘1) = 𝑇 ↔ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇))
5350, 52anbi12d 630 . . . . 5 (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → (((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇) ↔ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)))
5453adantl 481 . . . 4 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → (((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇) ↔ (({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘0) = 𝑆 ∧ ({⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}‘1) = 𝑇)))
5548, 54mpbird 257 . . 3 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇))
5626, 40, 55jca31 514 . 2 (((𝑆𝑉𝑇𝑉) ∧ 𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩}) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇)))
5756ex 412 1 ((𝑆𝑉𝑇𝑉) → (𝑊 = {⟨0, 𝑆⟩, ⟨1, 𝑇⟩} → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = 2) ∧ ((𝑊‘0) = 𝑆 ∧ (𝑊‘1) = 𝑇))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  Vcvv 3469  wss 3944  {cpr 4626  cop 4630  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11132  1c1 11133  2c2 12291  ..^cfzo 13653  chash 14315  Word cword 14490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9918  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-hash 14316  df-word 14491
This theorem is referenced by:  wrdlen2  14921  wwlktovfo  14935
  Copyright terms: Public domain W3C validator