Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  line2y Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem line2y 45108
 Description: Example for a vertical line 𝐺 passing through two different points in "standard form". (Contributed by AV, 3-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
line2.i 𝐼 = {1, 2}
line2.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
line2.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
line2.l 𝐿 = (LineM𝐸)
line2.g 𝐺 = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
line2y.x 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}
line2y.y 𝑌 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}
Assertion
Ref Expression
line2y (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → (𝐺 = (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝   𝑀,𝑝   𝑁,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem line2y
StepHypRef Expression
1 line2.g . . . 4 𝐺 = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
21a1i 11 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → 𝐺 = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
3 1ex 10626 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
4 2ex 11702 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ V
53, 4pm3.2i 474 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
6 c0ex 10624 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
76jctl 527 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ → (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
8 1ne2 11833 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ 2
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ → 1 ≠ 2)
10 fprg 6899 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶{0, 𝑀})
11 0red 10633 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → 0 ∈ ℝ)
12 simp2r 1197 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → 𝑀 ∈ ℝ)
1311, 12prssd 4728 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {0, 𝑀} ⊆ ℝ)
1410, 13fssd 6509 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
155, 7, 9, 14mp3an2i 1463 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
16 line2.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = {1, 2}
1716feq2i 6486 . . . . . . . . . 10 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
1815, 17sylibr 237 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ)
19 reex 10617 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
20 prex 5310 . . . . . . . . . . 11 {1, 2} ∈ V
2116, 20eqeltri 2910 . . . . . . . . . 10 𝐼 ∈ V
2219, 21elmap 8422 . . . . . . . . 9 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩} ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ)
2318, 22sylibr 237 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩} ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
24 line2y.x . . . . . . . 8 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}
25 line2.p . . . . . . . 8 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2623, 24, 253eltr4g 2931 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℝ → 𝑋𝑃)
27263ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑋𝑃)
286jctl 527 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → (0 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
298a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → 1 ≠ 2)
30 fprg 6899 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}:{1, 2}⟶{0, 𝑁})
315, 28, 29, 30mp3an2i 1463 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}:{1, 2}⟶{0, 𝑁})
32 0re 10632 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
33 prssi 4727 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → {0, 𝑁} ⊆ ℝ)
3432, 33mpan 689 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → {0, 𝑁} ⊆ ℝ)
3531, 34fssd 6509 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
3616feq2i 6486 . . . . . . . . . 10 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}:𝐼⟶ℝ ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
3735, 36sylibr 237 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}:𝐼⟶ℝ)
3819, 21pm3.2i 474 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V)
39 elmapg 8406 . . . . . . . . . 10 ((ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩} ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}:𝐼⟶ℝ))
4038, 39mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩} ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}:𝐼⟶ℝ))
4137, 40mpbird 260 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩} ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
42 line2y.y . . . . . . . 8 𝑌 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}
4341, 42, 253eltr4g 2931 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑌𝑃)
44433ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑌𝑃)
4524fveq1i 6653 . . . . . . . . 9 (𝑋‘1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1)
463, 6, 83pm3.2i 1336 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ≠ 2)
47 fvpr1g 6936 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1) = 0)
4846, 47mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1) = 0)
4945, 48syl5eq 2869 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑋‘1) = 0)
5042fveq1i 6653 . . . . . . . . 9 (𝑌‘1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}‘1)
51 fvpr1g 6936 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}‘1) = 0)
5246, 51mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}‘1) = 0)
5350, 52syl5eq 2869 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑌‘1) = 0)
5449, 53eqtr4d 2860 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
55 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀𝑁)
5624fveq1i 6653 . . . . . . . . 9 (𝑋‘2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘2)
57 simp1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
588a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → 1 ≠ 2)
59 fvpr2g 6937 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘2) = 𝑀)
604, 57, 58, 59mp3an2i 1463 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘2) = 𝑀)
6156, 60syl5eq 2869 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑋‘2) = 𝑀)
6242fveq1i 6653 . . . . . . . . 9 (𝑌‘2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}‘2)
63 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
64 fvpr2g 6937 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}‘2) = 𝑁)
654, 63, 58, 64mp3an2i 1463 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}‘2) = 𝑁)
6662, 65syl5eq 2869 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑌‘2) = 𝑁)
6755, 61, 663netr4d 3088 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))
6854, 67jca 515 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
6927, 44, 683jca 1125 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
7069adantl 485 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → (𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
71 line2.e . . . . 5 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
72 line2.l . . . . 5 𝐿 = (LineM𝐸)
7316, 71, 25, 72rrx2vlinest 45094 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})
7470, 73syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})
752, 74eqeq12d 2838 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → (𝐺 = (𝑋𝐿𝑌) ↔ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)}))
7646, 47ax-mp 5 . . . . . . 7 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1) = 0
7745, 76eqtri 2845 . . . . . 6 (𝑋‘1) = 0
7877a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → (𝑋‘1) = 0)
7978eqeq2d 2833 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ↔ (𝑝‘1) = 0))
8079rabbidv 3455 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = 0})
8180eqeq2d 2833 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → ({𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)} ↔ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = 0}))
82 rabbi 3364 . . 3 (∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0) ↔ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = 0})
8316, 25line2ylem 45104 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0) → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))
8483adantr 484 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → (∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0) → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))
85 oveq1 7147 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = 0 → (𝐵 · (𝑝‘2)) = (0 · (𝑝‘2)))
86853ad2ant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 · (𝑝‘2)) = (0 · (𝑝‘2)))
8786oveq2d 7156 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (0 · (𝑝‘2))))
88 simp3 1135 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → 𝐶 = 0)
8987, 88eqeq12d 2838 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (0 · (𝑝‘2))) = 0))
9089ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (0 · (𝑝‘2))) = 0))
9116, 25rrx2pyel 45065 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
9291recnd 10658 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
9392mul02d 10827 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝑃 → (0 · (𝑝‘2)) = 0)
9493adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → (0 · (𝑝‘2)) = 0)
9594oveq2d 7156 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (0 · (𝑝‘2))) = ((𝐴 · (𝑝‘1)) + 0))
96 simp1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
9796recnd 10658 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9897ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐴 ∈ ℂ)
9916, 25rrx2pxel 45064 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
10099recnd 10658 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
101100adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
10298, 101mulcld 10650 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
103102addid1d 10829 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + 0) = (𝐴 · (𝑝‘1)))
10495, 103eqtrd 2857 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (0 · (𝑝‘2))) = (𝐴 · (𝑝‘1)))
105104eqeq1d 2824 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (0 · (𝑝‘2))) = 0 ↔ (𝐴 · (𝑝‘1)) = 0))
10698, 101mul0ord 11279 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑝‘1) = 0)))
107 eqneqall 3022 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = 0 → (𝐴 ≠ 0 → (𝑝‘1) = 0))
108107com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 = 0 → (𝑝‘1) = 0))
1091083ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → (𝐴 = 0 → (𝑝‘1) = 0))
110109ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 = 0 → (𝑝‘1) = 0))
111 idd 24 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘1) = 0 → (𝑝‘1) = 0))
112110, 111jaod 856 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 = 0 ∨ (𝑝‘1) = 0) → (𝑝‘1) = 0))
113 olc 865 . . . . . . . . 9 ((𝑝‘1) = 0 → (𝐴 = 0 ∨ (𝑝‘1) = 0))
114112, 113impbid1 228 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 = 0 ∨ (𝑝‘1) = 0) ↔ (𝑝‘1) = 0))
115106, 114bitrd 282 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) = 0 ↔ (𝑝‘1) = 0))
11690, 105, 1153bitrd 308 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0))
117116ralrimiva 3174 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) → ∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0))
118117ex 416 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → ∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0)))
11984, 118impbid 215 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → (∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))
12082, 119bitr3id 288 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → ({𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = 0} ↔ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))
12175, 81, 1203bitrd 308 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → (𝐺 = (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3011  ∀wral 3130  {crab 3134  Vcvv 3469   ⊆ wss 3908  {cpr 4541  ⟨cop 4545  ⟶wf 6330  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140   ↑m cmap 8393  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  2c2 11680  ℝ^crrx 23985  LineMcline 45080 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-0g 16706  df-prds 16712  df-pws 16714  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-mhm 17947  df-grp 18097  df-minusg 18098  df-sbg 18099  df-subg 18267  df-ghm 18347  df-cmn 18899  df-mgp 19231  df-ur 19243  df-ring 19290  df-cring 19291  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-rnghom 19461  df-drng 19495  df-field 19496  df-subrg 19524  df-staf 19607  df-srng 19608  df-lmod 19627  df-lss 19695  df-sra 19935  df-rgmod 19936  df-cnfld 20090  df-refld 20292  df-dsmm 20419  df-frlm 20434  df-tng 23189  df-tcph 23772  df-rrx 23987  df-line 45082 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator