Theorem line2y 50072

Description: Example for a vertical line 𝐺 passing through two different points in "standard form". (Contributed by AV, 3-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
line2.i	⊢ 𝐼 = (0..^2)
line2.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
line2.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
line2.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
line2.g	⊢ 𝐺 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶}
line2y.x	⊢ 𝑋 = ⟨“0𝑀”⟩
line2y.y	⊢ 𝑌 = ⟨“0𝑁”⟩

Assertion

Ref	Expression
line2y	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → (𝐺 = (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝   𝑀,𝑝   𝑁,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem line2y

Step	Hyp	Ref	Expression
1		line2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶}
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → 𝐺 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶})
3		s2len 15068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘⟨“0𝑀”⟩) = 2
4	3	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 = (♯‘⟨“0𝑀”⟩)
5	4	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 2 = (♯‘⟨“0𝑀”⟩))
6		0red 11338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
7		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 𝑀 ∈ ℝ)
8	6, 7	s2cld 15050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ⟨“0𝑀”⟩ ∈ Word ℝ)
9	5, 8	wrdfd 14691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ⟨“0𝑀”⟩:(0..^2)⟶ℝ)
10		line2.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (0..^2)
11	10	feq2i 6723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨“0𝑀”⟩:𝐼⟶ℝ ↔ ⟨“0𝑀”⟩:(0..^2)⟶ℝ)
12	9, 11	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ⟨“0𝑀”⟩:𝐼⟶ℝ)
13		reex 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ V
14	10	ovexi 7477	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 ∈ V
15	13, 14	elmap 8927	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“0𝑀”⟩ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ ⟨“0𝑀”⟩:𝐼⟶ℝ)
16	12, 15	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ⟨“0𝑀”⟩ ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
17		line2y.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ⟨“0𝑀”⟩
18		line2.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
19	16, 17, 18	3eltr4g 2881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ 𝑃)
20	19	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝑃)
21		s2len 15068	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘⟨“0𝑁”⟩) = 2
22	21	eqcomi 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 = (♯‘⟨“0𝑁”⟩)
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 2 = (♯‘⟨“0𝑁”⟩))
24		0red 11338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
25		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
26	24, 25	s2cld 15050	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ⟨“0𝑁”⟩ ∈ Word ℝ)
27	23, 26	wrdfd 14691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ⟨“0𝑁”⟩:(0..^2)⟶ℝ)
28	10	feq2i 6723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨“0𝑁”⟩:𝐼⟶ℝ ↔ ⟨“0𝑁”⟩:(0..^2)⟶ℝ)
29	27, 28	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ⟨“0𝑁”⟩:𝐼⟶ℝ)
30	13, 14	pm3.2i 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V)
31		elmapg 8887	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (⟨“0𝑁”⟩ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ ⟨“0𝑁”⟩:𝐼⟶ℝ))
32	30, 31	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⟨“0𝑁”⟩ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ ⟨“0𝑁”⟩:𝐼⟶ℝ))
33	29, 32	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ⟨“0𝑁”⟩ ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
34		line2y.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = ⟨“0𝑁”⟩
35	33, 34, 18	3eltr4g 2881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑌 ∈ 𝑃)
36	35	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝑃)
37	17	fveq1i 6909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋‘0) = (⟨“0𝑀”⟩‘0)
38		0re 11337	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
39		s2fv0 15066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℝ → (⟨“0𝑀”⟩‘0) = 0)
40	38, 39	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → (⟨“0𝑀”⟩‘0) = 0)
41	37, 40	eqtrid 2810	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → (𝑋‘0) = 0)
42	34	fveq1i 6909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌‘0) = (⟨“0𝑁”⟩‘0)
43		s2fv0 15066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℝ → (⟨“0𝑁”⟩‘0) = 0)
44	38, 43	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → (⟨“0𝑁”⟩‘0) = 0)
45	42, 44	eqtrid 2810	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → (𝑌‘0) = 0)
46	41, 45	eqtr4d 2801	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → (𝑋‘0) = (𝑌‘0))
47		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → 𝑀 ≠ 𝑁)
48	17	fveq1i 6909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋‘1) = (⟨“0𝑀”⟩‘1)
49		s2fv1 15067	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (⟨“0𝑀”⟩‘1) = 𝑀)
50	49	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → (⟨“0𝑀”⟩‘1) = 𝑀)
51	48, 50	eqtrid 2810	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → (𝑋‘1) = 𝑀)
52	34	fveq1i 6909	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌‘1) = (⟨“0𝑁”⟩‘1)
53		s2fv1 15067	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⟨“0𝑁”⟩‘1) = 𝑁)
54	53	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → (⟨“0𝑁”⟩‘1) = 𝑁)
55	52, 54	eqtrid 2810	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → (𝑌‘1) = 𝑁)
56	47, 51, 55	3netr4d 3036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
57	46, 56	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)))
58	20, 36, 57	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))))
59	58	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))))
60		line2.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
61		line2.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
62	10, 60, 18, 61	rrx2vlinest 50058	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)})
63	59, 62	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)})
64	2, 63	eqeq12d 2779	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → (𝐺 = (𝑋𝐿𝑌) ↔ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)}))
65	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“0𝑀”⟩‘0) = 0
66	37, 65	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝑋‘0) = 0
67	66	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → (𝑋‘0) = 0)
68	67	eqeq2d 2774	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → ((𝑝‘0) = (𝑋‘0) ↔ (𝑝‘0) = 0))
69	68	rabbidv 3423	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘0) = 0})
70	69	eqeq2d 2774	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → ({𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)} ↔ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘0) = 0}))
71		rabbi 3445	. . 3 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0) ↔ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘0) = 0})
72	10, 18	line2ylem 50068	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0) → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))
73	72	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0) → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))
74		oveq1 7450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 · (𝑝‘1)) = (0 · (𝑝‘1)))
75	74	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 · (𝑝‘1)) = (0 · (𝑝‘1)))
76	75	oveq2d 7459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (0 · (𝑝‘1))))
77		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → 𝐶 = 0)
78	76, 77	eqeq12d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (0 · (𝑝‘1))) = 0))
79	78	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (0 · (𝑝‘1))) = 0))
80	10, 18	rrx2pyel 50029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
81	80	recnd 11364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
82	81	mul02d 11535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (0 · (𝑝‘1)) = 0)
83	82	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (0 · (𝑝‘1)) = 0)
84	83	oveq2d 7459	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (0 · (𝑝‘1))) = ((𝐴 · (𝑝‘0)) + 0))
85		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
86	85	recnd 11364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
87	86	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐴 ∈ ℂ)
88	10, 18	rrx2pxel 50028	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘0) ∈ ℝ)
89	88	recnd 11364	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘0) ∈ ℂ)
90	89	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘0) ∈ ℂ)
91	87, 90	mulcld 11356	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘0)) ∈ ℂ)
92	91	addridd 11537	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘0)) + 0) = (𝐴 · (𝑝‘0)))
93	84, 92	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (0 · (𝑝‘1))) = (𝐴 · (𝑝‘0)))
94	93	eqeq1d 2765	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (0 · (𝑝‘1))) = 0 ↔ (𝐴 · (𝑝‘0)) = 0))
95	87, 90	mul0ord 11991	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘0)) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑝‘0) = 0)))
96		eqneqall 2970	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ≠ 0 → (𝑝‘0) = 0))
97	96	com12 33	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 = 0 → (𝑝‘0) = 0))
98	97	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → (𝐴 = 0 → (𝑝‘0) = 0))
99	98	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐴 = 0 → (𝑝‘0) = 0))
100		idd 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘0) = 0 → (𝑝‘0) = 0))
101	99, 100	jaod 873	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 = 0 ∨ (𝑝‘0) = 0) → (𝑝‘0) = 0))
102		olc 882	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝‘0) = 0 → (𝐴 = 0 ∨ (𝑝‘0) = 0))
103	101, 102	impbid1 228	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 = 0 ∨ (𝑝‘0) = 0) ↔ (𝑝‘0) = 0))
104	95, 103	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘0)) = 0 ↔ (𝑝‘0) = 0))
105	79, 94, 104	3bitrd 308	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0))
106	105	ralrimiva 3158	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) → ∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0))
107	106	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → ∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0)))
108	73, 107	impbid 215	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))
109	71, 108	bitr3id 288	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → ({𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘0) = 0} ↔ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))
110	64, 70, 109	3bitrd 308	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → (𝐺 = (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  {crab 3416  Vcvv 3454  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ↑_m cmap 8875  ℂcc 11225  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232  2c2 12424  ..^cfzo 13815  ♯chash 14501  ⟨“cs2 15020  ℝ^crrx 25734  Line_Mcline 50045

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306  ax-mulf 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-tpos 8271  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-sup 9461  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-seq 14172  df-exp 14232  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-s1 14770  df-s2 15027  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-0g 17641  df-prds 17647  df-pws 17649  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-mhm 19007  df-grp 19176  df-minusg 19177  df-sbg 19178  df-subg 19362  df-ghm 19457  df-cmn 20026  df-abl 20027  df-mgp 20391  df-rng 20405  df-ur 20438  df-ring 20491  df-cring 20492  df-oppr 20597  df-dvdsr 20617  df-unit 20618  df-invr 20648  df-dvr 20661  df-rhm 20732  df-subrng 20828  df-subrg 20852  df-drng 21012  df-field 21013  df-staf 21126  df-srng 21127  df-lmod 21167  df-lss 21237  df-sra 21478  df-rgmod 21479  df-cnfld 21709  df-refld 21941  df-dsmm 22068  df-frlm 22083  df-tng 24933  df-tcph 25520  df-rrx 25736  df-line 50047

This theorem is used by: (None)