Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  line2y Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem line2y 43317
Description: Example for a vertical line 𝐺 passing through two different points in "standard form". (Contributed by AV, 3-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
line2.i 𝐼 = {1, 2}
line2.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
line2.p 𝑃 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
line2.l 𝐿 = (LineM𝐸)
line2.g 𝐺 = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
line2y.x 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}
line2y.y 𝑌 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}
Assertion
Ref Expression
line2y (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → (𝐺 = (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝   𝑀,𝑝   𝑁,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem line2y
StepHypRef Expression
1 line2.g . . . 4 𝐺 = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
21a1i 11 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → 𝐺 = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
3 1ex 10359 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
4 2ex 11435 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ V
53, 4pm3.2i 464 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
6 c0ex 10357 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
76jctl 519 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ → (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
8 1ne2 11573 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ 2
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ → 1 ≠ 2)
10 fprg 6678 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶{0, 𝑀})
11 0red 10367 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → 0 ∈ ℝ)
12 simp2r 1261 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → 𝑀 ∈ ℝ)
1311, 12prssd 4573 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {0, 𝑀} ⊆ ℝ)
1410, 13fssd 6296 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
155, 7, 9, 14mp3an2i 1594 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
16 line2.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = {1, 2}
1716feq2i 6274 . . . . . . . . . 10 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
1815, 17sylibr 226 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ)
19 reex 10350 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
20 prex 5132 . . . . . . . . . . 11 {1, 2} ∈ V
2116, 20eqeltri 2902 . . . . . . . . . 10 𝐼 ∈ V
2219, 21elmap 8156 . . . . . . . . 9 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩} ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ)
2318, 22sylibr 226 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩} ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
24 line2y.x . . . . . . . 8 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}
25 line2.p . . . . . . . 8 𝑃 = (ℝ ↑𝑚 𝐼)
2623, 24, 253eltr4g 2923 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℝ → 𝑋𝑃)
27263ad2ant1 1167 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑋𝑃)
286jctl 519 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → (0 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
298a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → 1 ≠ 2)
30 fprg 6678 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}:{1, 2}⟶{0, 𝑁})
315, 28, 29, 30mp3an2i 1594 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}:{1, 2}⟶{0, 𝑁})
32 0re 10365 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
33 prssi 4572 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → {0, 𝑁} ⊆ ℝ)
3432, 33mpan 681 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → {0, 𝑁} ⊆ ℝ)
3531, 34fssd 6296 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
3616feq2i 6274 . . . . . . . . . 10 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}:𝐼⟶ℝ ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
3735, 36sylibr 226 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}:𝐼⟶ℝ)
3819, 21pm3.2i 464 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V)
39 elmapg 8140 . . . . . . . . . 10 ((ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩} ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}:𝐼⟶ℝ))
4038, 39mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩} ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼) ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}:𝐼⟶ℝ))
4137, 40mpbird 249 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩} ∈ (ℝ ↑𝑚 𝐼))
42 line2y.y . . . . . . . 8 𝑌 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}
4341, 42, 253eltr4g 2923 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑌𝑃)
44433ad2ant2 1168 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑌𝑃)
4524fveq1i 6438 . . . . . . . . 9 (𝑋‘1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1)
463, 6, 83pm3.2i 1442 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ≠ 2)
47 fvpr1g 6719 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1) = 0)
4846, 47mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1) = 0)
4945, 48syl5eq 2873 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑋‘1) = 0)
5042fveq1i 6438 . . . . . . . . 9 (𝑌‘1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}‘1)
51 fvpr1g 6719 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}‘1) = 0)
5246, 51mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}‘1) = 0)
5350, 52syl5eq 2873 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑌‘1) = 0)
5449, 53eqtr4d 2864 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
55 simp3 1172 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀𝑁)
5624fveq1i 6438 . . . . . . . . 9 (𝑋‘2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘2)
57 simp1 1170 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
588a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → 1 ≠ 2)
59 fvpr2g 6720 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘2) = 𝑀)
604, 57, 58, 59mp3an2i 1594 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘2) = 𝑀)
6156, 60syl5eq 2873 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑋‘2) = 𝑀)
6242fveq1i 6438 . . . . . . . . 9 (𝑌‘2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}‘2)
63 simp2 1171 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
64 fvpr2g 6720 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}‘2) = 𝑁)
654, 63, 58, 64mp3an2i 1594 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}‘2) = 𝑁)
6662, 65syl5eq 2873 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑌‘2) = 𝑁)
6755, 61, 663netr4d 3076 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))
6854, 67jca 507 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
6927, 44, 683jca 1162 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
7069adantl 475 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → (𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
71 line2.e . . . . 5 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
72 line2.l . . . . 5 𝐿 = (LineM𝐸)
7316, 71, 25, 72rrx2vlinest 43305 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})
7470, 73syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})
752, 74eqeq12d 2840 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → (𝐺 = (𝑋𝐿𝑌) ↔ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)}))
7646, 47ax-mp 5 . . . . . . 7 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1) = 0
7745, 76eqtri 2849 . . . . . 6 (𝑋‘1) = 0
7877a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → (𝑋‘1) = 0)
7978eqeq2d 2835 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ↔ (𝑝‘1) = 0))
8079rabbidv 3402 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = 0})
8180eqeq2d 2835 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → ({𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)} ↔ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = 0}))
82 rabbi 3331 . . 3 (∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0) ↔ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = 0})
8316, 25line2ylem 43313 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0) → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))
8483adantr 474 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → (∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0) → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))
85 oveq1 6917 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = 0 → (𝐵 · (𝑝‘2)) = (0 · (𝑝‘2)))
86853ad2ant2 1168 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 · (𝑝‘2)) = (0 · (𝑝‘2)))
8786oveq2d 6926 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (0 · (𝑝‘2))))
88 simp3 1172 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → 𝐶 = 0)
8987, 88eqeq12d 2840 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (0 · (𝑝‘2))) = 0))
9089ad2antlr 718 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (0 · (𝑝‘2))) = 0))
9116, 25rrx2pyel 42272 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
9291recnd 10392 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
9392mul02d 10560 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝑃 → (0 · (𝑝‘2)) = 0)
9493adantl 475 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → (0 · (𝑝‘2)) = 0)
9594oveq2d 6926 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (0 · (𝑝‘2))) = ((𝐴 · (𝑝‘1)) + 0))
96 simp1 1170 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
9796recnd 10392 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9897ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐴 ∈ ℂ)
9916, 25rrx2pxel 42271 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
10099recnd 10392 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
101100adantl 475 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
10298, 101mulcld 10384 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
103102addid1d 10562 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + 0) = (𝐴 · (𝑝‘1)))
10495, 103eqtrd 2861 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (0 · (𝑝‘2))) = (𝐴 · (𝑝‘1)))
105104eqeq1d 2827 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (0 · (𝑝‘2))) = 0 ↔ (𝐴 · (𝑝‘1)) = 0))
10698, 101mul0ord 11009 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑝‘1) = 0)))
107 eqneqall 3010 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = 0 → (𝐴 ≠ 0 → (𝑝‘1) = 0))
108107com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 = 0 → (𝑝‘1) = 0))
1091083ad2ant1 1167 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → (𝐴 = 0 → (𝑝‘1) = 0))
110109ad2antlr 718 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 = 0 → (𝑝‘1) = 0))
111 idd 24 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘1) = 0 → (𝑝‘1) = 0))
112110, 111jaod 890 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 = 0 ∨ (𝑝‘1) = 0) → (𝑝‘1) = 0))
113 olc 899 . . . . . . . . 9 ((𝑝‘1) = 0 → (𝐴 = 0 ∨ (𝑝‘1) = 0))
114112, 113impbid1 217 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 = 0 ∨ (𝑝‘1) = 0) ↔ (𝑝‘1) = 0))
115106, 114bitrd 271 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) = 0 ↔ (𝑝‘1) = 0))
11690, 105, 1153bitrd 297 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0))
117116ralrimiva 3175 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) → ∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0))
118117ex 403 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → ∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0)))
11984, 118impbid 204 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → (∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))
12082, 119syl5bbr 277 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → ({𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = 0} ↔ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))
12175, 81, 1203bitrd 297 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → (𝐺 = (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wo 878  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  wral 3117  {crab 3121  Vcvv 3414  wss 3798  {cpr 4401  cop 4405  wf 6123  cfv 6127  (class class class)co 6910  𝑚 cmap 8127  cc 10257  cr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264  2c2 11413  ℝ^crrx 23558  LineMcline 43291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-tpos 7622  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-sup 8623  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-rp 12120  df-fz 12627  df-seq 13103  df-exp 13162  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-0g 16462  df-prds 16468  df-pws 16470  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-mhm 17695  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-subg 17949  df-ghm 18016  df-cmn 18555  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-cring 18911  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-dvr 19044  df-rnghom 19078  df-drng 19112  df-field 19113  df-subrg 19141  df-staf 19208  df-srng 19209  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-sra 19540  df-rgmod 19541  df-cnfld 20114  df-refld 20319  df-dsmm 20446  df-frlm 20461  df-tng 22766  df-tcph 23345  df-rrx 23560  df-line 43293
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator