Theorem line2y 49960

Description: Example for a vertical line 𝐺 passing through two different points in "standard form". (Contributed by AV, 3-Feb-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
line2.i	⊢ 𝐼 = (0..^2)
line2.e	⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
line2.p	⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
line2.l	⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
line2.g	⊢ 𝐺 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶}
line2y.x	⊢ 𝑋 = ⟨“0𝑀”⟩
line2y.y	⊢ 𝑌 = ⟨“0𝑁”⟩

Assertion

Ref	Expression
line2y	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → (𝐺 = (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝   𝑀,𝑝   𝑁,𝑝

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem line2y

Step	Hyp	Ref	Expression
1		line2.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶}
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → 𝐺 = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶})
3		s2len 15044	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘⟨“0𝑀”⟩) = 2
4	3	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 = (♯‘⟨“0𝑀”⟩)
5	4	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 2 = (♯‘⟨“0𝑀”⟩))
6		0red 11314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
7		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 𝑀 ∈ ℝ)
8	6, 7	s2cld 15026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ⟨“0𝑀”⟩ ∈ Word ℝ)
9	5, 8	wrdfd 14667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ⟨“0𝑀”⟩:(0..^2)⟶ℝ)
10		line2.i	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐼 = (0..^2)
11	10	feq2i 6701	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨“0𝑀”⟩:𝐼⟶ℝ ↔ ⟨“0𝑀”⟩:(0..^2)⟶ℝ)
12	9, 11	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ⟨“0𝑀”⟩:𝐼⟶ℝ)
13		reex 11294	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ V
14	10	ovexi 7454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐼 ∈ V
15	13, 14	elmap 8902	. . . . . . . . 9 ⊢ (⟨“0𝑀”⟩ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ ⟨“0𝑀”⟩:𝐼⟶ℝ)
16	12, 15	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → ⟨“0𝑀”⟩ ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
17		line2y.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = ⟨“0𝑀”⟩
18		line2.p	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
19	16, 17, 18	3eltr4g 2877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → 𝑋 ∈ 𝑃)
20	19	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → 𝑋 ∈ 𝑃)
21		s2len 15044	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (♯‘⟨“0𝑁”⟩) = 2
22	21	eqcomi 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 = (♯‘⟨“0𝑁”⟩)
23	22	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 2 = (♯‘⟨“0𝑁”⟩))
24		0red 11314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
25		id 23	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
26	24, 25	s2cld 15026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ⟨“0𝑁”⟩ ∈ Word ℝ)
27	23, 26	wrdfd 14667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ⟨“0𝑁”⟩:(0..^2)⟶ℝ)
28	10	feq2i 6701	. . . . . . . . . 10 ⊢ (⟨“0𝑁”⟩:𝐼⟶ℝ ↔ ⟨“0𝑁”⟩:(0..^2)⟶ℝ)
29	27, 28	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ⟨“0𝑁”⟩:𝐼⟶ℝ)
30	13, 14	pm3.2i 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V)
31		elmapg 8862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → (⟨“0𝑁”⟩ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ ⟨“0𝑁”⟩:𝐼⟶ℝ))
32	30, 31	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⟨“0𝑁”⟩ ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ ⟨“0𝑁”⟩:𝐼⟶ℝ))
33	29, 32	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ⟨“0𝑁”⟩ ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
34		line2y.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = ⟨“0𝑁”⟩
35	33, 34, 18	3eltr4g 2877	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑌 ∈ 𝑃)
36	35	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → 𝑌 ∈ 𝑃)
37	17	fveq1i 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋‘0) = (⟨“0𝑀”⟩‘0)
38		0re 11313	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
39		s2fv0 15042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℝ → (⟨“0𝑀”⟩‘0) = 0)
40	38, 39	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → (⟨“0𝑀”⟩‘0) = 0)
41	37, 40	eqtrid 2807	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → (𝑋‘0) = 0)
42	34	fveq1i 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌‘0) = (⟨“0𝑁”⟩‘0)
43		s2fv0 15042	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ ℝ → (⟨“0𝑁”⟩‘0) = 0)
44	38, 43	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → (⟨“0𝑁”⟩‘0) = 0)
45	42, 44	eqtrid 2807	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → (𝑌‘0) = 0)
46	41, 45	eqtr4d 2798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → (𝑋‘0) = (𝑌‘0))
47		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → 𝑀 ≠ 𝑁)
48	17	fveq1i 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋‘1) = (⟨“0𝑀”⟩‘1)
49		s2fv1 15043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (⟨“0𝑀”⟩‘1) = 𝑀)
50	49	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → (⟨“0𝑀”⟩‘1) = 𝑀)
51	48, 50	eqtrid 2807	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → (𝑋‘1) = 𝑀)
52	34	fveq1i 6886	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌‘1) = (⟨“0𝑁”⟩‘1)
53		s2fv1 15043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (⟨“0𝑁”⟩‘1) = 𝑁)
54	53	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → (⟨“0𝑁”⟩‘1) = 𝑁)
55	52, 54	eqtrid 2807	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → (𝑌‘1) = 𝑁)
56	47, 51, 55	3netr4d 3032	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))
57	46, 56	jca 521	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1)))
58	20, 36, 57	3jca 1146	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))))
59	58	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → (𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))))
60		line2.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
61		line2.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LineM‘𝐸)
62	10, 60, 18, 61	rrx2vlinest 49946	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑃 ∧ 𝑌 ∈ 𝑃 ∧ ((𝑋‘0) = (𝑌‘0) ∧ (𝑋‘1) ≠ (𝑌‘1))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)})
63	59, 62	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)})
64	2, 63	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → (𝐺 = (𝑋𝐿𝑌) ↔ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)}))
65	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (⟨“0𝑀”⟩‘0) = 0
66	37, 65	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝑋‘0) = 0
67	66	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → (𝑋‘0) = 0)
68	67	eqeq2d 2771	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → ((𝑝‘0) = (𝑋‘0) ↔ (𝑝‘0) = 0))
69	68	rabbidv 3419	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘0) = 0})
70	69	eqeq2d 2771	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → ({𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘0) = (𝑋‘0)} ↔ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘0) = 0}))
71		rabbi 3441	. . 3 ⊢ (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0) ↔ {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘0) = 0})
72	10, 18	line2ylem 49956	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0) → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))
73	72	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0) → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))
74		oveq1 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵 · (𝑝‘1)) = (0 · (𝑝‘1)))
75	74	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 · (𝑝‘1)) = (0 · (𝑝‘1)))
76	75	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (0 · (𝑝‘1))))
77		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → 𝐶 = 0)
78	76, 77	eqeq12d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (0 · (𝑝‘1))) = 0))
79	78	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (0 · (𝑝‘1))) = 0))
80	10, 18	rrx2pyel 49917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
81	80	recnd 11340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
82	81	mul02d 11511	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (0 · (𝑝‘1)) = 0)
83	82	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (0 · (𝑝‘1)) = 0)
84	83	oveq2d 7436	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (0 · (𝑝‘1))) = ((𝐴 · (𝑝‘0)) + 0))
85		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
86	85	recnd 11340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
87	86	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → 𝐴 ∈ ℂ)
88	10, 18	rrx2pxel 49916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘0) ∈ ℝ)
89	88	recnd 11340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑝 ∈ 𝑃 → (𝑝‘0) ∈ ℂ)
90	89	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝑝‘0) ∈ ℂ)
91	87, 90	mulcld 11332	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘0)) ∈ ℂ)
92	91	addridd 11513	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘0)) + 0) = (𝐴 · (𝑝‘0)))
93	84, 92	eqtrd 2795	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (0 · (𝑝‘1))) = (𝐴 · (𝑝‘0)))
94	93	eqeq1d 2762	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (0 · (𝑝‘1))) = 0 ↔ (𝐴 · (𝑝‘0)) = 0))
95	87, 90	mul0ord 11967	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘0)) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑝‘0) = 0)))
96		eqneqall 2966	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ≠ 0 → (𝑝‘0) = 0))
97	96	com12 33	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 = 0 → (𝑝‘0) = 0))
98	97	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → (𝐴 = 0 → (𝑝‘0) = 0))
99	98	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (𝐴 = 0 → (𝑝‘0) = 0))
100		idd 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝑝‘0) = 0 → (𝑝‘0) = 0))
101	99, 100	jaod 873	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 = 0 ∨ (𝑝‘0) = 0) → (𝑝‘0) = 0))
102		olc 882	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝‘0) = 0 → (𝐴 = 0 ∨ (𝑝‘0) = 0))
103	101, 102	impbid1 228	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 = 0 ∨ (𝑝‘0) = 0) ↔ (𝑝‘0) = 0))
104	95, 103	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘0)) = 0 ↔ (𝑝‘0) = 0))
105	79, 94, 104	3bitrd 308	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝 ∈ 𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0))
106	105	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) → ∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0))
107	106	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → ∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0)))
108	73, 107	impbid 215	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → (∀𝑝 ∈ 𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘0) = 0) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))
109	71, 108	bitr3id 288	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → ({𝑝 ∈ 𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘0)) + (𝐵 · (𝑝‘1))) = 𝐶} = {𝑝 ∈ 𝑃 ∣ (𝑝‘0) = 0} ↔ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))
110	64, 70, 109	3bitrd 308	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 𝑁)) → (𝐺 = (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8850  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208  2c2 12400  ..^cfzo 13791  ♯chash 14477  ⟨“cs2 14996  ℝ^crrx 25709  Line_Mcline 49933

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282  ax-mulf 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-tpos 8246  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-sup 9437  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-rp 13124  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-seq 14148  df-exp 14208  df-hash 14478  df-word 14662  df-concat 14719  df-s1 14746  df-s2 15003  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-0g 17617  df-prds 17623  df-pws 17625  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-mhm 18983  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-sbg 19154  df-subg 19338  df-ghm 19433  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-cring 20467  df-oppr 20572  df-dvdsr 20592  df-unit 20593  df-invr 20623  df-dvr 20636  df-rhm 20707  df-subrng 20803  df-subrg 20827  df-drng 20987  df-field 20988  df-staf 21101  df-srng 21102  df-lmod 21142  df-lss 21212  df-sra 21453  df-rgmod 21454  df-cnfld 21684  df-refld 21916  df-dsmm 22043  df-frlm 22058  df-tng 24908  df-tcph 25495  df-rrx 25711  df-line 49935

This theorem is used by: (None)