Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  line2y Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem line2y 47800
Description: Example for a vertical line 𝐺 passing through two different points in "standard form". (Contributed by AV, 3-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
line2.i 𝐼 = {1, 2}
line2.e 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
line2.p 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
line2.l 𝐿 = (LineM𝐸)
line2.g 𝐺 = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
line2y.x 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}
line2y.y 𝑌 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}
Assertion
Ref Expression
line2y (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → (𝐺 = (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐸,𝑝   𝐼,𝑝   𝑃,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝   𝑀,𝑝   𝑁,𝑝
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑝)   𝐿(𝑝)

Proof of Theorem line2y
StepHypRef Expression
1 line2.g . . . 4 𝐺 = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶}
21a1i 11 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → 𝐺 = {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶})
3 1ex 11234 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ V
4 2ex 12313 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ V
53, 4pm3.2i 470 . . . . . . . . . . 11 (1 ∈ V ∧ 2 ∈ V)
6 c0ex 11232 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
76jctl 523 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ → (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
8 1ne2 12444 . . . . . . . . . . . 12 1 ≠ 2
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℝ → 1 ≠ 2)
10 fprg 7158 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶{0, 𝑀})
11 0red 11241 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → 0 ∈ ℝ)
12 simp2r 1198 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → 𝑀 ∈ ℝ)
1311, 12prssd 4821 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {0, 𝑀} ⊆ ℝ)
1410, 13fssd 6734 . . . . . . . . . . 11 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
155, 7, 9, 14mp3an2i 1463 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
16 line2.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 = {1, 2}
1716feq2i 6708 . . . . . . . . . 10 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
1815, 17sylibr 233 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ)
19 reex 11223 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
20 prex 5428 . . . . . . . . . . 11 {1, 2} ∈ V
2116, 20eqeltri 2824 . . . . . . . . . 10 𝐼 ∈ V
2219, 21elmap 8883 . . . . . . . . 9 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩} ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}:𝐼⟶ℝ)
2318, 22sylibr 233 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩} ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
24 line2y.x . . . . . . . 8 𝑋 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}
25 line2.p . . . . . . . 8 𝑃 = (ℝ ↑m 𝐼)
2623, 24, 253eltr4g 2845 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℝ → 𝑋𝑃)
27263ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑋𝑃)
286jctl 523 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → (0 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
298a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℝ → 1 ≠ 2)
30 fprg 7158 . . . . . . . . . . . 12 (((1 ∈ V ∧ 2 ∈ V) ∧ (0 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 1 ≠ 2) → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}:{1, 2}⟶{0, 𝑁})
315, 28, 29, 30mp3an2i 1463 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}:{1, 2}⟶{0, 𝑁})
32 0re 11240 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
33 prssi 4820 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → {0, 𝑁} ⊆ ℝ)
3432, 33mpan 689 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → {0, 𝑁} ⊆ ℝ)
3531, 34fssd 6734 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
3616feq2i 6708 . . . . . . . . . 10 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}:𝐼⟶ℝ ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}:{1, 2}⟶ℝ)
3735, 36sylibr 233 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}:𝐼⟶ℝ)
3819, 21pm3.2i 470 . . . . . . . . . 10 (ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V)
39 elmapg 8851 . . . . . . . . . 10 ((ℝ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩} ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}:𝐼⟶ℝ))
4038, 39mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℝ → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩} ∈ (ℝ ↑m 𝐼) ↔ {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}:𝐼⟶ℝ))
4137, 40mpbird 257 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℝ → {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩} ∈ (ℝ ↑m 𝐼))
42 line2y.y . . . . . . . 8 𝑌 = {⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}
4341, 42, 253eltr4g 2845 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℝ → 𝑌𝑃)
44433ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑌𝑃)
4524fveq1i 6892 . . . . . . . . 9 (𝑋‘1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1)
463, 6, 83pm3.2i 1337 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ≠ 2)
47 fvpr1g 7193 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1) = 0)
4846, 47mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1) = 0)
4945, 48eqtrid 2779 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑋‘1) = 0)
5042fveq1i 6892 . . . . . . . . 9 (𝑌‘1) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}‘1)
51 fvpr1g 7193 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ V ∧ 0 ∈ V ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}‘1) = 0)
5246, 51mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}‘1) = 0)
5350, 52eqtrid 2779 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑌‘1) = 0)
5449, 53eqtr4d 2770 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑋‘1) = (𝑌‘1))
55 simp3 1136 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀𝑁)
5624fveq1i 6892 . . . . . . . . 9 (𝑋‘2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘2)
57 simp1 1134 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
588a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → 1 ≠ 2)
59 fvpr2g 7194 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ V ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘2) = 𝑀)
604, 57, 58, 59mp3an2i 1463 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘2) = 𝑀)
6156, 60eqtrid 2779 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑋‘2) = 𝑀)
6242fveq1i 6892 . . . . . . . . 9 (𝑌‘2) = ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}‘2)
63 simp2 1135 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
64 fvpr2g 7194 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 2) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}‘2) = 𝑁)
654, 63, 58, 64mp3an2i 1463 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑁⟩}‘2) = 𝑁)
6662, 65eqtrid 2779 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑌‘2) = 𝑁)
6755, 61, 663netr4d 3013 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))
6854, 67jca 511 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2)))
6927, 44, 683jca 1126 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
7069adantl 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → (𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))))
71 line2.e . . . . 5 𝐸 = (ℝ^‘𝐼)
72 line2.l . . . . 5 𝐿 = (LineM𝐸)
7316, 71, 25, 72rrx2vlinest 47786 . . . 4 ((𝑋𝑃𝑌𝑃 ∧ ((𝑋‘1) = (𝑌‘1) ∧ (𝑋‘2) ≠ (𝑌‘2))) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})
7470, 73syl 17 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → (𝑋𝐿𝑌) = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)})
752, 74eqeq12d 2743 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → (𝐺 = (𝑋𝐿𝑌) ↔ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)}))
7646, 47ax-mp 5 . . . . . . 7 ({⟨1, 0⟩, ⟨2, 𝑀⟩}‘1) = 0
7745, 76eqtri 2755 . . . . . 6 (𝑋‘1) = 0
7877a1i 11 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → (𝑋‘1) = 0)
7978eqeq2d 2738 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → ((𝑝‘1) = (𝑋‘1) ↔ (𝑝‘1) = 0))
8079rabbidv 3435 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = 0})
8180eqeq2d 2738 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → ({𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = (𝑋‘1)} ↔ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = 0}))
82 rabbi 3457 . . 3 (∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0) ↔ {𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = 0})
8316, 25line2ylem 47796 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0) → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))
8483adantr 480 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → (∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0) → (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))
85 oveq1 7421 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 = 0 → (𝐵 · (𝑝‘2)) = (0 · (𝑝‘2)))
86853ad2ant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → (𝐵 · (𝑝‘2)) = (0 · (𝑝‘2)))
8786oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (0 · (𝑝‘2))))
88 simp3 1136 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → 𝐶 = 0)
8987, 88eqeq12d 2743 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (0 · (𝑝‘2))) = 0))
9089ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (0 · (𝑝‘2))) = 0))
9116, 25rrx2pyel 47757 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℝ)
9291recnd 11266 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘2) ∈ ℂ)
9392mul02d 11436 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝑃 → (0 · (𝑝‘2)) = 0)
9493adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → (0 · (𝑝‘2)) = 0)
9594oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (0 · (𝑝‘2))) = ((𝐴 · (𝑝‘1)) + 0))
96 simp1 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ)
9796recnd 11266 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℂ)
9897ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → 𝐴 ∈ ℂ)
9916, 25rrx2pxel 47756 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℝ)
10099recnd 11266 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝑃 → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
101100adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝑝‘1) ∈ ℂ)
10298, 101mulcld 11258 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 · (𝑝‘1)) ∈ ℂ)
103102addridd 11438 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + 0) = (𝐴 · (𝑝‘1)))
10495, 103eqtrd 2767 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (0 · (𝑝‘2))) = (𝐴 · (𝑝‘1)))
105104eqeq1d 2729 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (0 · (𝑝‘2))) = 0 ↔ (𝐴 · (𝑝‘1)) = 0))
10698, 101mul0ord 11888 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) = 0 ↔ (𝐴 = 0 ∨ (𝑝‘1) = 0)))
107 eqneqall 2946 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = 0 → (𝐴 ≠ 0 → (𝑝‘1) = 0))
108107com12 32 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ≠ 0 → (𝐴 = 0 → (𝑝‘1) = 0))
1091083ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → (𝐴 = 0 → (𝑝‘1) = 0))
110109ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → (𝐴 = 0 → (𝑝‘1) = 0))
111 idd 24 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝑝‘1) = 0 → (𝑝‘1) = 0))
112110, 111jaod 858 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 = 0 ∨ (𝑝‘1) = 0) → (𝑝‘1) = 0))
113 olc 867 . . . . . . . . 9 ((𝑝‘1) = 0 → (𝐴 = 0 ∨ (𝑝‘1) = 0))
114112, 113impbid1 224 . . . . . . . 8 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 = 0 ∨ (𝑝‘1) = 0) ↔ (𝑝‘1) = 0))
115106, 114bitrd 279 . . . . . . 7 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → ((𝐴 · (𝑝‘1)) = 0 ↔ (𝑝‘1) = 0))
11690, 105, 1153bitrd 305 . . . . . 6 (((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) ∧ 𝑝𝑃) → (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0))
117116ralrimiva 3141 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)) → ∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0))
118117ex 412 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → ((𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0) → ∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0)))
11984, 118impbid 211 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → (∀𝑝𝑃 (((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶 ↔ (𝑝‘1) = 0) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))
12082, 119bitr3id 285 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → ({𝑝𝑃 ∣ ((𝐴 · (𝑝‘1)) + (𝐵 · (𝑝‘2))) = 𝐶} = {𝑝𝑃 ∣ (𝑝‘1) = 0} ↔ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))
12175, 81, 1203bitrd 305 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀𝑁)) → (𝐺 = (𝑋𝐿𝑌) ↔ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 = 0 ∧ 𝐶 = 0)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wo 846  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  wral 3056  {crab 3427  Vcvv 3469  wss 3944  {cpr 4626  cop 4630  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  m cmap 8838  cc 11130  cr 11131  0cc0 11132  1c1 11133   + caddc 11135   · cmul 11137  2c2 12291  ℝ^crrx 25304  LineMcline 47772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210  ax-addf 11211  ax-mulf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-sup 9459  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-rp 13001  df-fz 13511  df-seq 13993  df-exp 14053  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-0g 17416  df-prds 17422  df-pws 17424  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-mhm 18733  df-grp 18886  df-minusg 18887  df-sbg 18888  df-subg 19071  df-ghm 19161  df-cmn 19730  df-abl 19731  df-mgp 20068  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-cring 20169  df-oppr 20266  df-dvdsr 20289  df-unit 20290  df-invr 20320  df-dvr 20333  df-rhm 20404  df-subrng 20476  df-subrg 20501  df-drng 20619  df-field 20620  df-staf 20718  df-srng 20719  df-lmod 20738  df-lss 20809  df-sra 21051  df-rgmod 21052  df-cnfld 21273  df-refld 21530  df-dsmm 21659  df-frlm 21674  df-tng 24486  df-tcph 25090  df-rrx 25306  df-line 47774
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator