Theorem grpinvnz 18997

Description: The inverse of a nonzero group element is not zero. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvnzcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvnzcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpinvnzcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvnz	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘𝑋) ≠ 0 )

Proof of Theorem grpinvnz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6886	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁‘𝑋) = 0 → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘ 0 ))
2	1	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁‘𝑋) = 0 ) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘ 0 ))
3		grpinvnzcl.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4		grpinvnzcl.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
5	3, 4	grpinvinv 18992	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁‘𝑋) = 0 ) → (𝑁‘(𝑁‘𝑋)) = 𝑋)
7		grpinvnzcl.z	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	7, 4	grpinvid 18986	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑁‘ 0 ) = 0 )
9	8	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁‘𝑋) = 0 ) → (𝑁‘ 0 ) = 0 )
10	2, 6, 9	3eqtr3d 2777	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) ∧ (𝑁‘𝑋) = 0 ) → 𝑋 = 0 )
11	10	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘𝑋) = 0 → 𝑋 = 0 ))
12	11	necon3d 2952	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 ≠ 0 → (𝑁‘𝑋) ≠ 0 ))
13	12	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘𝑋) ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ‘cfv 6541  Basecbs 17229  0_gc0g 17455  Grpcgrp 18920  inv_gcminusg 18921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-id 5558  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-0g 17457  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-grp 18923  df-minusg 18924

This theorem is referenced by:  grpinvnzcl  18998