Theorem grpinvid 18938

Description: The inverse of the identity element of a group. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvid.u	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpinvid.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvid	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑁‘ 0 ) = 0 )

Proof of Theorem grpinvid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		grpinvid.u	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18904	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
4		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5	1, 4, 2	grplid 18906	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
6	3, 5	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
7		grpinvid.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
8	1, 4, 2, 7	grpinvid1 18930	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑁‘ 0 ) = 0 ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 ))
9	3, 3, 8	mpd3an23 1465	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑁‘ 0 ) = 0 ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 ))
10	6, 9	mpbird 257	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑁‘ 0 ) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  0_gc0g 17409  Grpcgrp 18872  inv_gcminusg 18873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876

This theorem is referenced by:  grpinvnz  18949  grpsubid1  18964  mulgneg  19031  mulginvcom  19038  mulgz  19041  0subg  19090  0subgOLD  19091  eqgid  19119  odnncl  19482  gexdvds  19521  gsumzinv  19882  gsumsub  19885  dprdfinv  19958  dsmmsubg  21659  mplsubglem  21915  mhpinvcl  22046  dchrisum0re  27431  erler  33223  qusker  33327  qsnzr  33433  baerlem3lem1  41708  primrootscoprbij  42097