Theorem grpinvid 19018

Description: The inverse of the identity element of a group. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvid.u	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpinvid.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvid	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑁‘ 0 ) = 0 )

Proof of Theorem grpinvid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		grpinvid.u	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18984	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5	1, 4, 2	grplid 18986	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
6	3, 5	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
7		grpinvid.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
8	1, 4, 2, 7	grpinvid1 19010	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑁‘ 0 ) = 0 ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 ))
9	3, 3, 8	mpd3an23 1464	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑁‘ 0 ) = 0 ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 ))
10	6, 9	mpbird 257	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑁‘ 0 ) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17485  Grpcgrp 18952  inv_gcminusg 18953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956

This theorem is referenced by:  grpinvnz  19029  grpsubid1  19044  mulgneg  19111  mulginvcom  19118  mulgz  19121  0subg  19170  0subgOLD  19171  eqgid  19199  odnncl  19564  gexdvds  19603  gsumzinv  19964  gsumsub  19967  dprdfinv  20040  dsmmsubg  21764  mplsubglem  22020  mhpinvcl  22157  dchrisum0re  27558  erler  33270  qusker  33378  qsnzr  33484  baerlem3lem1  41710  primrootscoprbij  42104