Theorem grpinvid 18927

Description: The inverse of the identity element of a group. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvid.u	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpinvid.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvid	⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑁‘ 0 ) = 0 )

Proof of Theorem grpinvid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2		grpinvid.u	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3	1, 2	grpidcl 18893	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
4		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
5	1, 4, 2	grplid 18895	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
6	3, 5	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 )
7		grpinvid.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
8	1, 4, 2, 7	grpinvid1 18919	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑁‘ 0 ) = 0 ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 ))
9	3, 3, 8	mpd3an23 1465	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑁‘ 0 ) = 0 ↔ ( 0 (+g‘𝐺) 0 ) = 0 ))
10	6, 9	mpbird 257	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑁‘ 0 ) = 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175  0_gc0g 17357  Grpcgrp 18861  inv_gcminusg 18862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865

This theorem is referenced by:  grpinvnz  18938  grpsubid1  18953  mulgneg  19020  mulginvcom  19027  mulgz  19030  0subg  19079  eqgid  19107  odnncl  19472  gexdvds  19511  gsumzinv  19872  gsumsub  19875  dprdfinv  19948  dsmmsubg  21696  mplsubglem  21952  mhpinvcl  22093  dchrisum0re  27478  erler  33296  qusker  33379  qsnzr  33485  baerlem3lem1  41906  primrootscoprbij  42295