MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpinvid 18884
Description: The inverse of the identity element of a group. (Contributed by NM, 24-Aug-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvid.u 0 = (0g𝐺)
grpinvid.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpinvid (𝐺 ∈ Grp → (𝑁0 ) = 0 )

Proof of Theorem grpinvid
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . . 4 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2 grpinvid.u . . . 4 0 = (0g𝐺)
31, 2grpidcl 18850 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
4 eqid 2733 . . . 4 (+g𝐺) = (+g𝐺)
51, 4, 2grplid 18852 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
63, 5mpdan 686 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 )
7 grpinvid.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
81, 4, 2, 7grpinvid1 18876 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 0 ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝑁0 ) = 0 ↔ ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 ))
93, 3, 8mpd3an23 1464 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑁0 ) = 0 ↔ ( 0 (+g𝐺) 0 ) = 0 ))
106, 9mpbird 257 1 (𝐺 ∈ Grp → (𝑁0 ) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  0gc0g 17385  Grpcgrp 18819  invgcminusg 18820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823
This theorem is referenced by:  grpinvnz  18894  grpsubid1  18908  mulgneg  18972  mulginvcom  18979  mulgz  18982  0subg  19031  0subgOLD  19032  eqgid  19060  odnncl  19413  gexdvds  19452  gsumzinv  19813  gsumsub  19816  dprdfinv  19889  dsmmsubg  21298  mplsubglem  21558  mhpinvcl  21695  dchrisum0re  27016  qusker  32464  qsnzr  32574  baerlem3lem1  40578
  Copyright terms: Public domain W3C validator