MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpinvf1o 18299
Description: The group inverse is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
grpinv11.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
Assertion
Ref Expression
grpinvf1o (𝜑𝑁:𝐵1-1-onto𝐵)

Proof of Theorem grpinvf1o
StepHypRef Expression
1 grpinv11.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2 grpinvinv.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 grpinvinv.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝐺)
42, 3grpinvf 18280 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵𝐵)
51, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝑁:𝐵𝐵)
65ffnd 6515 . 2 (𝜑𝑁 Fn 𝐵)
72, 3grpinvcnv 18297 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 = 𝑁)
81, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 = 𝑁)
98fneq1d 6441 . . 3 (𝜑 → (𝑁 Fn 𝐵𝑁 Fn 𝐵))
106, 9mpbird 260 . 2 (𝜑𝑁 Fn 𝐵)
11 dff1o4 6638 . 2 (𝑁:𝐵1-1-onto𝐵 ↔ (𝑁 Fn 𝐵𝑁 Fn 𝐵))
126, 10, 11sylanbrc 586 1 (𝜑𝑁:𝐵1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2114  ccnv 5534   Fn wfn 6344  wf 6345  1-1-ontowf1o 6348  cfv 6349  Basecbs 16598  Grpcgrp 18231  invgcminusg 18232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-0g 16830  df-mgm 17980  df-sgrp 18029  df-mnd 18040  df-grp 18234  df-minusg 18235
This theorem is referenced by:  invoppggim  18618  gsumsub  19199  dprdfsub  19274  psrnegcl  20787  psrlinv  20788  mdetleib2  21351  lflnegl  36745
  Copyright terms: Public domain W3C validator