MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpinvf1o 19040
Description: The group inverse is a one-to-one onto function. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvinv.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvinv.n 𝑁 = (invg𝐺)
grpinv11.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
Assertion
Ref Expression
grpinvf1o (𝜑𝑁:𝐵1-1-onto𝐵)

Proof of Theorem grpinvf1o
StepHypRef Expression
1 grpinv11.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2 grpinvinv.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 grpinvinv.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝐺)
42, 3grpinvf 19017 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁:𝐵𝐵)
51, 4syl 17 . . 3 (𝜑𝑁:𝐵𝐵)
65ffnd 6738 . 2 (𝜑𝑁 Fn 𝐵)
72, 3grpinvcnv 19037 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 = 𝑁)
81, 7syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 = 𝑁)
98fneq1d 6662 . . 3 (𝜑 → (𝑁 Fn 𝐵𝑁 Fn 𝐵))
106, 9mpbird 257 . 2 (𝜑𝑁 Fn 𝐵)
11 dff1o4 6857 . 2 (𝑁:𝐵1-1-onto𝐵 ↔ (𝑁 Fn 𝐵𝑁 Fn 𝐵))
126, 10, 11sylanbrc 583 1 (𝜑𝑁:𝐵1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  ccnv 5688   Fn wfn 6558  wf 6559  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  Basecbs 17245  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968
This theorem is referenced by:  invoppggim  19394  gsumsub  19981  dprdfsub  20056  psrnegcl  21992  psrlinv  21993  mdetleib2  22610  ply1divalg3  35627  lflnegl  39058
  Copyright terms: Public domain W3C validator