MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvnzcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpinvnzcl 17695
Description: The inverse of a nonzero group element is a nonzero group element. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvnzcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvnzcl.z 0 = (0g𝐺)
grpinvnzcl.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpinvnzcl ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Proof of Theorem grpinvnzcl
StepHypRef Expression
1 eldifi 3883 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑋𝐵)
2 grpinvnzcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 grpinvnzcl.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
42, 3grpinvcl 17675 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
51, 4sylan2 580 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
6 eldifsn 4454 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋𝐵𝑋0 ))
7 grpinvnzcl.z . . . . 5 0 = (0g𝐺)
82, 7, 3grpinvnz 17694 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → (𝑁𝑋) ≠ 0 )
983expb 1113 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝑁𝑋) ≠ 0 )
106, 9sylan2b 581 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁𝑋) ≠ 0 )
11 eldifsn 4454 . 2 ((𝑁𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑁𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁𝑋) ≠ 0 ))
125, 10, 11sylanbrc 572 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cdif 3720  {csn 4317  cfv 6030  Basecbs 16064  0gc0g 16308  Grpcgrp 17630  invgcminusg 17631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634
This theorem is referenced by:  islindf4  20394  baerlem5amN  37524  baerlem5bmN  37525  baerlem5abmN  37526  lindslinindsimp1  42769  lindslinindsimp2lem5  42774
  Copyright terms: Public domain W3C validator