Theorem grpinvnzcl 17695

Description: The inverse of a nonzero group element is a nonzero group element. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvnzcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvnzcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpinvnzcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvnzcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁‘𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Proof of Theorem grpinvnzcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 3883	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		grpinvnzcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpinvnzcl.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
4	2, 3	grpinvcl 17675	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
5	1, 4	sylan2 580	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
6		eldifsn 4454	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
7		grpinvnzcl.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	2, 7, 3	grpinvnz 17694	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘𝑋) ≠ 0 )
9	8	3expb 1113	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝑁‘𝑋) ≠ 0 )
10	6, 9	sylan2b 581	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁‘𝑋) ≠ 0 )
11		eldifsn 4454	. 2 ⊢ ((𝑁‘𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ≠ 0 ))
12	5, 10, 11	sylanbrc 572	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁‘𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943   ∖ cdif 3720  {csn 4317  ‘cfv 6030  Basecbs 16064  0_gc0g 16308  Grpcgrp 17630  inv_gcminusg 17631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634

This theorem is referenced by:  islindf4  20394  baerlem5amN  37524  baerlem5bmN  37525  baerlem5abmN  37526  lindslinindsimp1  42769  lindslinindsimp2lem5  42774