Theorem grpinvnzcl 19123

Description: The inverse of a nonzero group element is a nonzero group element. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvnzcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvnzcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpinvnzcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvnzcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁‘𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Proof of Theorem grpinvnzcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4085	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		grpinvnzcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpinvnzcl.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
4	2, 3	grpinvcl 19100	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
5	1, 4	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
6		eldifsn 4755	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
7		grpinvnzcl.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	2, 7, 3	grpinvnz 19122	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘𝑋) ≠ 0 )
9	8	3expb 1138	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝑁‘𝑋) ≠ 0 )
10	6, 9	sylan2b 606	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁‘𝑋) ≠ 0 )
11		eldifsn 4755	. 2 ⊢ ((𝑁‘𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ≠ 0 ))
12	5, 10, 11	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁‘𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   ∖ cdif 3903  {csn 4591  ‘cfv 6540  Basecbs 17293  0_gc0g 17516  Grpcgrp 19046  inv_gcminusg 19047

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-0g 17518  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-grp 19049  df-minusg 19050

This theorem is used by:  islindf4  22040  baerlem5amN  42550  baerlem5bmN  42551  baerlem5abmN  42552  lindslinindsimp1  49296  lindslinindsimp2lem5  49301