MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpinvnzcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpinvnzcl 18824
Description: The inverse of a nonzero group element is a nonzero group element. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
grpinvnzcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvnzcl.z 0 = (0g𝐺)
grpinvnzcl.n 𝑁 = (invg𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpinvnzcl ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Proof of Theorem grpinvnzcl
StepHypRef Expression
1 eldifi 4087 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑋𝐵)
2 grpinvnzcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 grpinvnzcl.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐺)
42, 3grpinvcl 18803 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
51, 4sylan2 594 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁𝑋) ∈ 𝐵)
6 eldifsn 4748 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋𝐵𝑋0 ))
7 grpinvnzcl.z . . . . 5 0 = (0g𝐺)
82, 7, 3grpinvnz 18823 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → (𝑁𝑋) ≠ 0 )
983expb 1121 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋𝐵𝑋0 )) → (𝑁𝑋) ≠ 0 )
106, 9sylan2b 595 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁𝑋) ≠ 0 )
11 eldifsn 4748 . 2 ((𝑁𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑁𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁𝑋) ≠ 0 ))
125, 10, 11sylanbrc 584 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  cdif 3908  {csn 4587  cfv 6497  Basecbs 17088  0gc0g 17326  Grpcgrp 18753  invgcminusg 18754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757
This theorem is referenced by:  islindf4  21260  baerlem5amN  40225  baerlem5bmN  40226  baerlem5abmN  40227  lindslinindsimp1  46624  lindslinindsimp2lem5  46629
  Copyright terms: Public domain W3C validator