Theorem grpinvnzcl 19236

Description: The inverse of a nonzero group element is a nonzero group element. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpinvnzcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpinvnzcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpinvnzcl.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpinvnzcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁‘𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

Proof of Theorem grpinvnzcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifi 4070	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		grpinvnzcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpinvnzcl.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝐺)
4	2, 3	grpinvcl 19213	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
5	1, 4	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
6		eldifsn 4748	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
7		grpinvnzcl.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8	2, 7, 3	grpinvnz 19235	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘𝑋) ≠ 0 )
9	8	3expb 1138	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )) → (𝑁‘𝑋) ≠ 0 )
10	6, 9	sylan2b 606	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁‘𝑋) ≠ 0 )
11		eldifsn 4748	. 2 ⊢ ((𝑁‘𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ≠ 0 ))
12	5, 10, 11	sylanbrc 595	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })) → (𝑁‘𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2959   ∖ cdif 4048  {csn 4588  ‘cfv 6547  Basecbs 17402  0_gc0g 17625  Grpcgrp 19159  inv_gcminusg 19160

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-0g 17627  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-grp 19162  df-minusg 19163

This theorem is used by:  islindf4  22159  baerlem5amN  42916  baerlem5bmN  42917  baerlem5abmN  42918  lindslinindsimp1  49711  lindslinindsimp2lem5  49716