Theorem pjadj2coi 32493

Description: Adjoint of double composition of projections. Generalization of special case of Theorem 3.11(viii) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 1-Dec-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjadj2co.1	⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
pjadj2co.2	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
pjadj2co.3	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjadj2coi	⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝐵)))

Proof of Theorem pjadj2coi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjadj2co.3	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2	1	pjhcli 31707	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ)
3		pjadj2co.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ Cℋ
4		pjadj2co.2	. . . . 5 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
5	3, 4	pjadjcoi 32450	. . . 4 ⊢ ((((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺))‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐵) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ·ih (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝐵)))
6	2, 5	sylan 591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺))‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐵) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ·ih (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝐵)))
7	4, 3	pjcohcli 32449	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝐵) ∈ ℋ)
8	1	pjadji 31974	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝐵) ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ·ih (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝐵)) = (𝐴 ·ih ((projℎ‘𝐻)‘(((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝐵))))
9	7, 8	sylan2 604	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ·ih (((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝐵)) = (𝐴 ·ih ((projℎ‘𝐻)‘(((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝐵))))
10	6, 9	eqtrd 2804	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺))‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((projℎ‘𝐻)‘(((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝐵))))
11	3	pjfi 31993	. . . . . 6 ⊢ (projℎ‘𝐹): ℋ⟶ ℋ
12	4	pjfi 31993	. . . . . 6 ⊢ (projℎ‘𝐺): ℋ⟶ ℋ
13	11, 12	hocofi 32055	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)): ℋ⟶ ℋ
14	1	pjfi 31993	. . . . 5 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
15	13, 14	hocoi 32053	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) = (((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺))‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
16	15	oveq1d 7423	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) ·ih 𝐵) = ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺))‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐵))
17	16	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) ·ih 𝐵) = ((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺))‘((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ·ih 𝐵))
18		coass 6264	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹)) = ((projℎ‘𝐻) ∘ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)))
19	18	fveq1i 6880	. . . . 5 ⊢ ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝐵) = (((projℎ‘𝐻) ∘ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)))‘𝐵)
20	12, 11	hocofi 32055	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)): ℋ⟶ ℋ
21	14, 20	hocoi 32053	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) ∘ ((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹)))‘𝐵) = ((projℎ‘𝐻)‘(((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝐵)))
22	19, 21	eqtrid 2816	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝐵) = ((projℎ‘𝐻)‘(((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝐵)))
23	22	oveq2d 7424	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 ·ih ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝐵)) = (𝐴 ·ih ((projℎ‘𝐻)‘(((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝐵))))
24	23	adantl 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝐵)) = (𝐴 ·ih ((projℎ‘𝐻)‘(((projℎ‘𝐺) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝐵))))
25	10, 17, 24	3eqtr4d 2814	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (((((projℎ‘𝐹) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐻))‘𝐴) ·ih 𝐵) = (𝐴 ·ih ((((projℎ‘𝐻) ∘ (projℎ‘𝐺)) ∘ (projℎ‘𝐹))‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408   ℋchba 31208   ·_ih csp 31211   C_ℋ cch 31218  proj_ℎcpjh 31226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-inf2 9606  ax-cc 10415  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174  ax-addf 11175  ax-mulf 11176  ax-hilex 31288  ax-hfvadd 31289  ax-hvcom 31290  ax-hvass 31291  ax-hv0cl 31292  ax-hvaddid 31293  ax-hfvmul 31294  ax-hvmulid 31295  ax-hvmulass 31296  ax-hvdistr1 31297  ax-hvdistr2 31298  ax-hvmul0 31299  ax-hfi 31368  ax-his1 31371  ax-his2 31372  ax-his3 31373  ax-his4 31374  ax-hcompl 31491

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7672  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-omul 8454  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9921  df-acn 9924  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13372  df-ico 13374  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-clim 15535  df-rlim 15536  df-sum 15734  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-starv 17321  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-unif 17329  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17471  df-topn 17472  df-0g 17490  df-gsum 17491  df-topgen 17492  df-pt 17493  df-prds 17496  df-xrs 17552  df-qtop 17557  df-imas 17558  df-xps 17560  df-mre 17634  df-mrc 17635  df-acs 17637  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-mulg 19130  df-cntz 19383  df-cmn 19848  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-fbas 21484  df-fg 21485  df-cnfld 21488  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-cld 23141  df-ntr 23142  df-cls 23143  df-nei 23220  df-cn 23349  df-cnp 23350  df-lm 23351  df-haus 23437  df-tx 23684  df-hmeo 23877  df-fil 23968  df-fm 24060  df-flim 24061  df-flf 24062  df-xms 24442  df-ms 24443  df-tms 24444  df-cfil 25379  df-cau 25380  df-cmet 25381  df-grpo 30782  df-gid 30783  df-ginv 30784  df-gdiv 30785  df-ablo 30834  df-vc 30848  df-nv 30881  df-va 30884  df-ba 30885  df-sm 30886  df-0v 30887  df-vs 30888  df-nmcv 30889  df-ims 30890  df-dip 30990  df-ssp 31011  df-ph 31102  df-cbn 31152  df-hnorm 31257  df-hba 31258  df-hvsub 31260  df-hlim 31261  df-hcau 31262  df-sh 31496  df-ch 31510  df-oc 31541  df-ch0 31542  df-shs 31597  df-pjh 31684

This theorem is referenced by:  pj3si  32496  pj3cor1i  32498