Theorem lnopco0i 31252

Description: The composition of a linear operator with one whose norm is zero. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnopco.1	⊢ 𝑆 ∈ LinOp
lnopco.2	⊢ 𝑇 ∈ LinOp

Assertion

Ref	Expression
lnopco0i	⊢ ((normop‘𝑇) = 0 → (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) = 0)

Proof of Theorem lnopco0i

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		coeq2 5858	. . 3 ⊢ (𝑇 = 0hop → (𝑆 ∘ 𝑇) = (𝑆 ∘ 0hop ))
2		lnopco.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ∈ LinOp
3		0lnop 31232	. . . . . . . 8 ⊢ 0hop ∈ LinOp
4	2, 3	lnopcoi 31251	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∘ 0hop ) ∈ LinOp
5	4	lnopfi 31217	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∘ 0hop ): ℋ⟶ ℋ
6		ffn 6717	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∘ 0hop ): ℋ⟶ ℋ → (𝑆 ∘ 0hop ) Fn ℋ)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∘ 0hop ) Fn ℋ
8		ho0f 30999	. . . . . 6 ⊢ 0hop : ℋ⟶ ℋ
9		ffn 6717	. . . . . 6 ⊢ ( 0hop : ℋ⟶ ℋ → 0hop Fn ℋ)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0hop Fn ℋ
11		eqfnfv 7032	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∘ 0hop ) Fn ℋ ∧ 0hop Fn ℋ) → ((𝑆 ∘ 0hop ) = 0hop ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 ∘ 0hop )‘𝑥) = ( 0hop ‘𝑥)))
12	7, 10, 11	mp2an 690	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∘ 0hop ) = 0hop ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑆 ∘ 0hop )‘𝑥) = ( 0hop ‘𝑥))
13		ho0val 30998	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ( 0hop ‘𝑥) = 0ℎ)
14	13	fveq2d 6895	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆‘( 0hop ‘𝑥)) = (𝑆‘0ℎ))
15	2	lnop0i 31218	. . . . . 6 ⊢ (𝑆‘0ℎ) = 0ℎ
16	14, 15	eqtrdi 2788	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆‘( 0hop ‘𝑥)) = 0ℎ)
17	2	lnopfi 31217	. . . . . 6 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
18	17, 8	hocoi 31012	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 0hop )‘𝑥) = (𝑆‘( 0hop ‘𝑥)))
19	16, 18, 13	3eqtr4d 2782	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 0hop )‘𝑥) = ( 0hop ‘𝑥))
20	12, 19	mprgbir 3068	. . 3 ⊢ (𝑆 ∘ 0hop ) = 0hop
21	1, 20	eqtrdi 2788	. 2 ⊢ (𝑇 = 0hop → (𝑆 ∘ 𝑇) = 0hop )
22		lnopco.2	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
23	22	nmlnop0iHIL 31244	. 2 ⊢ ((normop‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 0hop )
24	2, 22	lnopcoi 31251	. . 3 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ LinOp
25	24	nmlnop0iHIL 31244	. 2 ⊢ ((normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) = 0 ↔ (𝑆 ∘ 𝑇) = 0hop )
26	21, 23, 25	3imtr4i 291	1 ⊢ ((normop‘𝑇) = 0 → (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  0cc0 11109   ℋchba 30167  0_ℎc0v 30172   0_hop ch0o 30191  norm_opcnop 30193  LinOpclo 30195

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cc 10429  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189  ax-hilex 30247  ax-hfvadd 30248  ax-hvcom 30249  ax-hvass 30250  ax-hv0cl 30251  ax-hvaddid 30252  ax-hfvmul 30253  ax-hvmulid 30254  ax-hvmulass 30255  ax-hvdistr1 30256  ax-hvdistr2 30257  ax-hvmul0 30258  ax-hfi 30327  ax-his1 30330  ax-his2 30331  ax-his3 30332  ax-his4 30333  ax-hcompl 30450

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-lm 22732  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cfil 24771  df-cau 24772  df-cmet 24773  df-grpo 29741  df-gid 29742  df-ginv 29743  df-gdiv 29744  df-ablo 29793  df-vc 29807  df-nv 29840  df-va 29843  df-ba 29844  df-sm 29845  df-0v 29846  df-vs 29847  df-nmcv 29848  df-ims 29849  df-dip 29949  df-ssp 29970  df-lno 29992  df-nmoo 29993  df-0o 29995  df-ph 30061  df-cbn 30111  df-hnorm 30216  df-hba 30217  df-hvsub 30219  df-hlim 30220  df-hcau 30221  df-sh 30455  df-ch 30469  df-oc 30500  df-ch0 30501  df-shs 30556  df-pjh 30643  df-h0op 30996  df-nmop 31087  df-lnop 31089  df-hmop 31092

This theorem is referenced by:  nmopcoi  31343