HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopcoi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnopcoi 31833
Description: The composition of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 8-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopco.1 ๐‘† โˆˆ LinOp
lnopco.2 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopcoi (๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ LinOp
Proof of Theorem lnopcoi
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopco.1 . . . 4 ๐‘† โˆˆ LinOp
21lnopfi 31799 . . 3 ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹
3 lnopco.2 . . . 4 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
43lnopfi 31799 . . 3 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
52, 4hocofi 31596 . 2 (๐‘† โˆ˜ ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹
63lnopli 31798 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
76fveq2d 6906 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
8 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
94ffvelcdmi 7098 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
104ffvelcdmi 7098 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
111lnopli 31798 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) +โ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
128, 9, 10, 11syl3an 1157 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) +โ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
137, 12eqtrd 2768 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) +โ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
14133expa 1115 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) +โ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
15 hvmulcl 30843 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
16 hvaddcl 30842 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
1715, 16sylan 578 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
182, 4hocoi 31594 . . . . . 6 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))))
1917, 18syl 17 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))))
202, 4hocoi 31594 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
2120oveq2d 7442 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
2221adantl 480 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
232, 4hocoi 31594 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ง) = (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
2422, 23oveqan12d 7445 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) +โ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
2514, 19, 243eqtr4d 2778 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ง)))
26253impa 1107 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ง)))
2726rgen3 3200 . 2 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ง))
28 ellnop 31688 . 2 ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ LinOp โ†” ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
295, 27, 28mpbir2an 709 1 (๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ LinOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058   โˆ˜ ccom 5686  โŸถwf 6549  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144   โ„‹chba 30749   +โ„Ž cva 30750   ยทโ„Ž csm 30751  LinOpclo 30777
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-hilex 30829  ax-hfvadd 30830  ax-hfvmul 30835
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-map 8853  df-lnop 31671
This theorem is referenced by:  lnopco0i  31834  nmopcoi  31925  bdopcoi  31928  nmopcoadj0i  31933
  Copyright terms: Public domain W3C validator