HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  lnopcoi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnopcoi 31243
Description: The composition of two linear operators is linear. (Contributed by NM, 8-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnopco.1 ๐‘† โˆˆ LinOp
lnopco.2 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
Assertion
Ref Expression
lnopcoi (๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ LinOp
Proof of Theorem lnopcoi
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lnopco.1 . . . 4 ๐‘† โˆˆ LinOp
21lnopfi 31209 . . 3 ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹
3 lnopco.2 . . . 4 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
43lnopfi 31209 . . 3 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
52, 4hocofi 31006 . 2 (๐‘† โˆ˜ ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹
63lnopli 31208 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
76fveq2d 6892 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = (๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
8 id 22 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„‚)
94ffvelcdmi 7082 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
104ffvelcdmi 7082 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
111lnopli 31208 . . . . . . . 8 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) +โ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
128, 9, 10, 11syl3an 1160 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ง))) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) +โ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
137, 12eqtrd 2772 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) +โ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
14133expa 1118 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) +โ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
15 hvmulcl 30253 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
16 hvaddcl 30252 . . . . . . 7 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
1715, 16sylan 580 . . . . . 6 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹)
182, 4hocoi 31004 . . . . . 6 (((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง) โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))))
1917, 18syl 17 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง))))
202, 4hocoi 31004 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
2120oveq2d 7421 . . . . . . 7 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
2221adantl 482 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))))
232, 4hocoi 31004 . . . . . 6 (๐‘ง โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ง) = (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง)))
2422, 23oveqan12d 7424 . . . . 5 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ))) +โ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ง))))
2514, 19, 243eqtr4d 2782 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ง)))
26253impa 1110 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ง)))
2726rgen3 3202 . 2 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ง))
28 ellnop 31098 . 2 ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ LinOp โ†” ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‚ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ง โˆˆ โ„‹ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜((๐‘ฅ ยทโ„Ž ๐‘ฆ) +โ„Ž ๐‘ง)) = ((๐‘ฅ ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฆ)) +โ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ง))))
295, 27, 28mpbir2an 709 1 (๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ LinOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061   โˆ˜ ccom 5679  โŸถwf 6536  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11104   โ„‹chba 30159   +โ„Ž cva 30160   ยทโ„Ž csm 30161  LinOpclo 30187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-hilex 30239  ax-hfvadd 30240  ax-hfvmul 30245
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8818  df-lnop 31081
This theorem is referenced by:  lnopco0i  31244  nmopcoi  31335  bdopcoi  31338  nmopcoadj0i  31343
  Copyright terms: Public domain W3C validator