HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopidmchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmopidmchi 29582
Description: An idempotent Hermitian operator generates a closed subspace. Part of proof of Theorem of [AkhiezerGlazman] p. 64. (Contributed by NM, 21-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hmopidmch.1 𝑇 ∈ HrmOp
hmopidmch.2 (𝑇𝑇) = 𝑇
Assertion
Ref Expression
hmopidmchi ran 𝑇C

Proof of Theorem hmopidmchi
Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopidmch.1 . . . 4 𝑇 ∈ HrmOp
2 hmoplin 29373 . . . 4 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
31, 2ax-mp 5 . . 3 𝑇 ∈ LinOp
43rnelshi 29490 . 2 ran 𝑇S
5 eqid 2778 . . . . . . . 8 (norm ∘ − ) = (norm ∘ − )
65hilxmet 28624 . . . . . . 7 (norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ)
7 eqid 2778 . . . . . . . 8 (MetOpen‘(norm ∘ − )) = (MetOpen‘(norm ∘ − ))
87methaus 22733 . . . . . . 7 ((norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ Haus)
96, 8mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ Haus)
10 eqid 2778 . . . . . . . . . . . 12 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
1110, 5hhims 28601 . . . . . . . . . . . 12 (norm ∘ − ) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
1210, 11, 7hhlm 28628 . . . . . . . . . . 11 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ))
13 resss 5671 . . . . . . . . . . 11 ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑𝑚 ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
1412, 13eqsstri 3854 . . . . . . . . . 10 𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
1514ssbri 4931 . . . . . . . . 9 (𝑓𝑣 𝑥𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))𝑥)
1615adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))𝑥)
177mopntopon 22652 . . . . . . . . . 10 ((norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
186, 17mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
193lnopfi 29400 . . . . . . . . . . . 12 𝑇: ℋ⟶ ℋ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2120feqmptd 6509 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑇 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑇𝑦)))
22 hmopbdoptHIL 29419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ BndLinOp)
231, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝑇 ∈ BndLinOp
24 lnopcnbd 29467 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ContOp ↔ 𝑇 ∈ BndLinOp))
253, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ContOp ↔ 𝑇 ∈ BndLinOp)
2623, 25mpbir 223 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ ContOp
275, 7hhcno 29335 . . . . . . . . . . 11 ContOp = ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − )))
2826, 27eleqtri 2857 . . . . . . . . . 10 𝑇 ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − )))
2921, 28syl6eqelr 2868 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑇𝑦)) ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3018cnmptid 21873 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝑦) ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3110hhnv 28594 . . . . . . . . . 10 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec
3210hhvs 28599 . . . . . . . . . . 11 = ( −𝑣 ‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
3311, 7, 32vmcn 28126 . . . . . . . . . 10 (⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec → − ∈ (((MetOpen‘(norm ∘ − )) ×t (MetOpen‘(norm ∘ − ))) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3431, 33mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → − ∈ (((MetOpen‘(norm ∘ − )) ×t (MetOpen‘(norm ∘ − ))) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3518, 29, 30, 34cnmpt12f 21878 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3616, 35lmcn 21517 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘𝑥))
37 simpl 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶ran 𝑇)
384shssii 28642 . . . . . . . . . . . . . 14 ran 𝑇 ⊆ ℋ
39 fss 6304 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇 ∧ ran 𝑇 ⊆ ℋ) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
4037, 38, 39sylancl 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
4140ffvelrnda 6623 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) ∈ ℋ)
42 fveq2 6446 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑓𝑘) → (𝑇𝑦) = (𝑇‘(𝑓𝑘)))
43 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑓𝑘) → 𝑦 = (𝑓𝑘))
4442, 43oveq12d 6940 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑓𝑘) → ((𝑇𝑦) − 𝑦) = ((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)))
45 eqid 2778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))
46 ovex 6954 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)) ∈ V
4744, 45, 46fvmpt 6542 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑘) ∈ ℋ → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘(𝑓𝑘)) = ((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)))
4841, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘(𝑓𝑘)) = ((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)))
49 ffn 6291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 Fn ℋ)
5019, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 Fn ℋ
51 fveq2 6446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑇𝑥) → (𝑇𝑦) = (𝑇‘(𝑇𝑥)))
52 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑇𝑥) → 𝑦 = (𝑇𝑥))
5351, 52eqeq12d 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑇𝑥) → ((𝑇𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑇‘(𝑇𝑥)) = (𝑇𝑥)))
5453ralrn 6626 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 Fn ℋ → (∀𝑦 ∈ ran 𝑇(𝑇𝑦) = 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘(𝑇𝑥)) = (𝑇𝑥)))
5550, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑦 ∈ ran 𝑇(𝑇𝑦) = 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘(𝑇𝑥)) = (𝑇𝑥))
56 hmopidmch.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇𝑇) = 𝑇
5756fveq1i 6447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇𝑇)‘𝑥) = (𝑇𝑥)
5819, 19hocoi 29195 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑇𝑥)))
5957, 58syl5reqr 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘(𝑇𝑥)) = (𝑇𝑥))
6055, 59mprgbir 3109 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ ran 𝑇(𝑇𝑦) = 𝑦
61 ffvelrn 6621 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) ∈ ran 𝑇)
6261adantlr 705 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) ∈ ran 𝑇)
6342, 43eqeq12d 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑓𝑘) → ((𝑇𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑇‘(𝑓𝑘)) = (𝑓𝑘)))
6463rspccv 3508 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑦 ∈ ran 𝑇(𝑇𝑦) = 𝑦 → ((𝑓𝑘) ∈ ran 𝑇 → (𝑇‘(𝑓𝑘)) = (𝑓𝑘)))
6560, 62, 64mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘(𝑓𝑘)) = (𝑓𝑘))
6665, 41eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘(𝑓𝑘)) ∈ ℋ)
67 hvsubeq0 28497 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇‘(𝑓𝑘)) ∈ ℋ ∧ (𝑓𝑘) ∈ ℋ) → (((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)) = 0 ↔ (𝑇‘(𝑓𝑘)) = (𝑓𝑘)))
6866, 41, 67syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)) = 0 ↔ (𝑇‘(𝑓𝑘)) = (𝑓𝑘)))
6965, 68mpbird 249 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)) = 0)
7048, 69eqtrd 2814 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘(𝑓𝑘)) = 0)
71 fvco3 6535 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘(𝑓𝑘)))
7271adantlr 705 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘(𝑓𝑘)))
73 ax-hv0cl 28432 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℋ
7473elexi 3415 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
7574fvconst2 6741 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑘) = 0)
7675adantl 475 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑘) = 0)
7770, 72, 763eqtr4d 2824 . . . . . . . . 9 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘))
7877ralrimiva 3148 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘))
79 ovex 6954 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇𝑦) − 𝑦) ∈ V
8079, 45fnmpti 6268 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) Fn ℋ
81 fnfco 6319 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) Fn ℋ ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) Fn ℕ)
8280, 40, 81sylancr 581 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) Fn ℕ)
8374fconst 6341 . . . . . . . . . 10 (ℕ × {0}):ℕ⟶{0}
84 ffn 6291 . . . . . . . . . 10 ((ℕ × {0}):ℕ⟶{0} → (ℕ × {0}) Fn ℕ)
8583, 84ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℕ × {0}) Fn ℕ
86 eqfnfv 6574 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) Fn ℕ ∧ (ℕ × {0}) Fn ℕ) → (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘)))
8782, 85, 86sylancl 580 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘)))
8878, 87mpbird 249 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}))
89 vex 3401 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
9089hlimveci 28619 . . . . . . . . 9 (𝑓𝑣 𝑥𝑥 ∈ ℋ)
9190adantl 475 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
92 fveq2 6446 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑇𝑦) = (𝑇𝑥))
93 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥𝑦 = 𝑥)
9492, 93oveq12d 6940 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑇𝑦) − 𝑦) = ((𝑇𝑥) − 𝑥))
95 ovex 6954 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑥) − 𝑥) ∈ V
9694, 45, 95fvmpt 6542 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘𝑥) = ((𝑇𝑥) − 𝑥))
9791, 96syl 17 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘𝑥) = ((𝑇𝑥) − 𝑥))
9836, 88, 973brtr3d 4917 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))((𝑇𝑥) − 𝑥))
9973a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 0 ∈ ℋ)
100 1zzd 11760 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
101 nnuz 12029 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
102101lmconst 21473 . . . . . . 7 (((MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ (TopOn‘ ℋ) ∧ 0 ∈ ℋ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))0)
10318, 99, 100, 102syl3anc 1439 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))0)
1049, 98, 103lmmo 21592 . . . . 5 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑇𝑥) − 𝑥) = 0)
10519ffvelrni 6622 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
10691, 105syl 17 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
107 hvsubeq0 28497 . . . . . 6 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑥) − 𝑥) = 0 ↔ (𝑇𝑥) = 𝑥))
108106, 91, 107syl2anc 579 . . . . 5 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (((𝑇𝑥) − 𝑥) = 0 ↔ (𝑇𝑥) = 𝑥))
109104, 108mpbid 224 . . . 4 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑥) = 𝑥)
110 fnfvelrn 6620 . . . . 5 ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ran 𝑇)
11150, 91, 110sylancr 581 . . . 4 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑥) ∈ ran 𝑇)
112109, 111eqeltrrd 2860 . . 3 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ran 𝑇)
113112gen2 1840 . 2 𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ran 𝑇)
114 isch2 28652 . 2 (ran 𝑇C ↔ (ran 𝑇S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ran 𝑇)))
1154, 113, 114mpbir2an 701 1 ran 𝑇C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  wal 1599   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090  wss 3792  {csn 4398  cop 4404   class class class wbr 4886  cmpt 4965   × cxp 5353  ran crn 5356  cres 5357  ccom 5359   Fn wfn 6130  wf 6131  cfv 6135  (class class class)co 6922  𝑚 cmap 8140  1c1 10273  cn 11374  cz 11728  ∞Metcxmet 20127  MetOpencmopn 20132  TopOnctopon 21122   Cn ccn 21436  𝑡clm 21438  Hauscha 21520   ×t ctx 21772  NrmCVeccnv 28011  chba 28348   + cva 28349   · csm 28350  normcno 28352  0c0v 28353   cmv 28354  𝑣 chli 28356   S csh 28357   C cch 28358  ContOpccop 28375  LinOpclo 28376  BndLinOpcbo 28377  HrmOpcho 28379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cc 9592  ax-dc 9603  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352  ax-hilex 28428  ax-hfvadd 28429  ax-hvcom 28430  ax-hvass 28431  ax-hv0cl 28432  ax-hvaddid 28433  ax-hfvmul 28434  ax-hvmulid 28435  ax-hvmulass 28436  ax-hvdistr1 28437  ax-hvdistr2 28438  ax-hvmul0 28439  ax-hfi 28508  ax-his1 28511  ax-his2 28512  ax-his3 28513  ax-his4 28514  ax-hcompl 28631
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-omul 7848  df-er 8026  df-map 8142  df-pm 8143  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-fi 8605  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-acn 9101  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ioo 12491  df-ico 12493  df-icc 12494  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-fl 12912  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-rlim 14628  df-sum 14825  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-pt 16491  df-prds 16494  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-xps 16556  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-fbas 20139  df-fg 20140  df-cnfld 20143  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-cld 21231  df-ntr 21232  df-cls 21233  df-nei 21310  df-cn 21439  df-cnp 21440  df-lm 21441  df-t1 21526  df-haus 21527  df-cmp 21599  df-tx 21774  df-hmeo 21967  df-fil 22058  df-fm 22150  df-flim 22151  df-flf 22152  df-fcls 22153  df-xms 22533  df-ms 22534  df-tms 22535  df-cncf 23089  df-cfil 23461  df-cau 23462  df-cmet 23463  df-grpo 27920  df-gid 27921  df-ginv 27922  df-gdiv 27923  df-ablo 27972  df-vc 27986  df-nv 28019  df-va 28022  df-ba 28023  df-sm 28024  df-0v 28025  df-vs 28026  df-nmcv 28027  df-ims 28028  df-dip 28128  df-ssp 28149  df-lno 28171  df-nmoo 28172  df-blo 28173  df-0o 28174  df-ph 28240  df-cbn 28291  df-hlo 28314  df-hnorm 28397  df-hba 28398  df-hvsub 28400  df-hlim 28401  df-hcau 28402  df-sh 28636  df-ch 28650  df-oc 28681  df-ch0 28682  df-shs 28739  df-pjh 28826  df-h0op 29179  df-nmop 29270  df-cnop 29271  df-lnop 29272  df-bdop 29273  df-unop 29274  df-hmop 29275
This theorem is referenced by:  hmopidmpji  29583  hmopidmch  29584
  Copyright terms: Public domain W3C validator