HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopidmchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmopidmchi 31135
Description: An idempotent Hermitian operator generates a closed subspace. Part of proof of Theorem of [AkhiezerGlazman] p. 64. (Contributed by NM, 21-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hmopidmch.1 𝑇 ∈ HrmOp
hmopidmch.2 (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇
Assertion
Ref Expression
hmopidmchi ran 𝑇 ∈ Cβ„‹

Proof of Theorem hmopidmchi
Dummy variables 𝑓 π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopidmch.1 . . . 4 𝑇 ∈ HrmOp
2 hmoplin 30926 . . . 4 (𝑇 ∈ HrmOp β†’ 𝑇 ∈ LinOp)
31, 2ax-mp 5 . . 3 𝑇 ∈ LinOp
43rnelshi 31043 . 2 ran 𝑇 ∈ Sβ„‹
5 eqid 2733 . . . . . . . 8 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) = (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )
65hilxmet 30179 . . . . . . 7 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹)
7 eqid 2733 . . . . . . . 8 (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) = (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))
87methaus 23892 . . . . . . 7 ((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹) β†’ (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∈ Haus)
96, 8mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∈ Haus)
10 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
1110, 5hhims 30156 . . . . . . . . . . . 12 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) = (IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
1210, 11, 7hhlm 30183 . . . . . . . . . . 11 ⇝𝑣 = ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•))
13 resss 5963 . . . . . . . . . . 11 ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)) βŠ† (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
1412, 13eqsstri 3979 . . . . . . . . . 10 ⇝𝑣 βŠ† (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
1514ssbri 5151 . . . . . . . . 9 (𝑓 ⇝𝑣 π‘₯ β†’ 𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))π‘₯)
1615adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))π‘₯)
177mopntopon 23808 . . . . . . . . . 10 ((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹) β†’ (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∈ (TopOnβ€˜ β„‹))
186, 17mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∈ (TopOnβ€˜ β„‹))
193lnopfi 30953 . . . . . . . . . . . 12 𝑇: β„‹βŸΆ β„‹
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 𝑇: β„‹βŸΆ β„‹)
2120feqmptd 6911 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 𝑇 = (𝑦 ∈ β„‹ ↦ (π‘‡β€˜π‘¦)))
22 hmopbdoptHIL 30972 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ HrmOp β†’ 𝑇 ∈ BndLinOp)
231, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝑇 ∈ BndLinOp
24 lnopcnbd 31020 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ LinOp β†’ (𝑇 ∈ ContOp ↔ 𝑇 ∈ BndLinOp))
253, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ContOp ↔ 𝑇 ∈ BndLinOp)
2623, 25mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ ContOp
275, 7hhcno 30888 . . . . . . . . . . 11 ContOp = ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Cn (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
2826, 27eleqtri 2832 . . . . . . . . . 10 𝑇 ∈ ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Cn (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
2921, 28eqeltrrdi 2843 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ β„‹ ↦ (π‘‡β€˜π‘¦)) ∈ ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Cn (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))))
3018cnmptid 23028 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ β„‹ ↦ 𝑦) ∈ ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Cn (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))))
3110hhnv 30149 . . . . . . . . . 10 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec
3210hhvs 30154 . . . . . . . . . . 11 βˆ’β„Ž = ( βˆ’π‘£ β€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
3311, 7, 32vmcn 29683 . . . . . . . . . 10 (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec β†’ βˆ’β„Ž ∈ (((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Γ—t (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) Cn (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))))
3431, 33mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ βˆ’β„Ž ∈ (((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Γ—t (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) Cn (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))))
3518, 29, 30, 34cnmpt12f 23033 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∈ ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Cn (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))))
3616, 35lmcn 22672 . . . . . . 7 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦))β€˜π‘₯))
37 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 𝑓:β„•βŸΆran 𝑇)
384shssii 30197 . . . . . . . . . . . . . 14 ran 𝑇 βŠ† β„‹
39 fss 6686 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ ran 𝑇 βŠ† β„‹) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
4037, 38, 39sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
4140ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹)
42 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) = (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)))
43 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ 𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜))
4442, 43oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦) = ((π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜)))
45 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦))
46 ovex 7391 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜)) ∈ V
4744, 45, 46fvmpt 6949 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹ β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦))β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = ((π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜)))
4841, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦))β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = ((π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜)))
49 ffn 6669 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇: β„‹βŸΆ β„‹ β†’ 𝑇 Fn β„‹)
5019, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 Fn β„‹
51 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (π‘‡β€˜π‘₯) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) = (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)))
52 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (π‘‡β€˜π‘₯) β†’ 𝑦 = (π‘‡β€˜π‘₯))
5351, 52eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (π‘‡β€˜π‘₯) β†’ ((π‘‡β€˜π‘¦) = 𝑦 ↔ (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) = (π‘‡β€˜π‘₯)))
5453ralrn 7039 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 Fn β„‹ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑇(π‘‡β€˜π‘¦) = 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) = (π‘‡β€˜π‘₯)))
5550, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑇(π‘‡β€˜π‘¦) = 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) = (π‘‡β€˜π‘₯))
5619, 19hocoi 30748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((𝑇 ∘ 𝑇)β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)))
57 hmopidmch.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇
5857fveq1i 6844 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∘ 𝑇)β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘₯)
5956, 58eqtr3di 2788 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) = (π‘‡β€˜π‘₯))
6055, 59mprgbir 3068 . . . . . . . . . . . . 13 βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑇(π‘‡β€˜π‘¦) = 𝑦
61 ffvelcdm 7033 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ ran 𝑇)
6261adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ ran 𝑇)
6342, 43eqeq12d 2749 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ ((π‘‡β€˜π‘¦) = 𝑦 ↔ (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (π‘“β€˜π‘˜)))
6463rspccv 3577 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑇(π‘‡β€˜π‘¦) = 𝑦 β†’ ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ ran 𝑇 β†’ (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (π‘“β€˜π‘˜)))
6560, 62, 64mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (π‘“β€˜π‘˜))
6665, 41eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ∈ β„‹)
67 hvsubeq0 30052 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ∈ β„‹ ∧ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹) β†’ (((π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜)) = 0β„Ž ↔ (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (π‘“β€˜π‘˜)))
6866, 41, 67syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜)) = 0β„Ž ↔ (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (π‘“β€˜π‘˜)))
6965, 68mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜)) = 0β„Ž)
7048, 69eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦))β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = 0β„Ž)
71 fvco3 6941 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦))β€˜(π‘“β€˜π‘˜)))
7271adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦))β€˜(π‘“β€˜π‘˜)))
73 ax-hv0cl 29987 . . . . . . . . . . . . 13 0β„Ž ∈ β„‹
7473elexi 3463 . . . . . . . . . . . 12 0β„Ž ∈ V
7574fvconst2 7154 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((β„• Γ— {0β„Ž})β€˜π‘˜) = 0β„Ž)
7675adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {0β„Ž})β€˜π‘˜) = 0β„Ž)
7770, 72, 763eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = ((β„• Γ— {0β„Ž})β€˜π‘˜))
7877ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = ((β„• Γ— {0β„Ž})β€˜π‘˜))
79 ovex 7391 . . . . . . . . . . 11 ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ V
8079, 45fnmpti 6645 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) Fn β„‹
81 fnfco 6708 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) Fn β„‹ ∧ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹) β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓) Fn β„•)
8280, 40, 81sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓) Fn β„•)
8374fconst 6729 . . . . . . . . . 10 (β„• Γ— {0β„Ž}):β„•βŸΆ{0β„Ž}
84 ffn 6669 . . . . . . . . . 10 ((β„• Γ— {0β„Ž}):β„•βŸΆ{0β„Ž} β†’ (β„• Γ— {0β„Ž}) Fn β„•)
8583, 84ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (β„• Γ— {0β„Ž}) Fn β„•
86 eqfnfv 6983 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓) Fn β„• ∧ (β„• Γ— {0β„Ž}) Fn β„•) β†’ (((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓) = (β„• Γ— {0β„Ž}) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = ((β„• Γ— {0β„Ž})β€˜π‘˜)))
8782, 85, 86sylancl 587 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓) = (β„• Γ— {0β„Ž}) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = ((β„• Γ— {0β„Ž})β€˜π‘˜)))
8878, 87mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓) = (β„• Γ— {0β„Ž}))
89 vex 3448 . . . . . . . . . 10 π‘₯ ∈ V
9089hlimveci 30174 . . . . . . . . 9 (𝑓 ⇝𝑣 π‘₯ β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
9190adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
92 fveq2 6843 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) = (π‘‡β€˜π‘₯))
93 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ 𝑦 = π‘₯)
9492, 93oveq12d 7376 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦) = ((π‘‡β€˜π‘₯) βˆ’β„Ž π‘₯))
95 ovex 7391 . . . . . . . . 9 ((π‘‡β€˜π‘₯) βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ V
9694, 45, 95fvmpt 6949 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦))β€˜π‘₯) = ((π‘‡β€˜π‘₯) βˆ’β„Ž π‘₯))
9791, 96syl 17 . . . . . . 7 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦))β€˜π‘₯) = ((π‘‡β€˜π‘₯) βˆ’β„Ž π‘₯))
9836, 88, 973brtr3d 5137 . . . . . 6 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (β„• Γ— {0β„Ž})(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))((π‘‡β€˜π‘₯) βˆ’β„Ž π‘₯))
9973a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 0β„Ž ∈ β„‹)
100 1zzd 12539 . . . . . . 7 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 1 ∈ β„€)
101 nnuz 12811 . . . . . . . 8 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
102101lmconst 22628 . . . . . . 7 (((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∈ (TopOnβ€˜ β„‹) ∧ 0β„Ž ∈ β„‹ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (β„• Γ— {0β„Ž})(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))0β„Ž)
10318, 99, 100, 102syl3anc 1372 . . . . . 6 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (β„• Γ— {0β„Ž})(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))0β„Ž)
1049, 98, 103lmmo 22747 . . . . 5 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) βˆ’β„Ž π‘₯) = 0β„Ž)
10519ffvelcdmi 7035 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‹)
10691, 105syl 17 . . . . . 6 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‹)
107 hvsubeq0 30052 . . . . . 6 (((π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (((π‘‡β€˜π‘₯) βˆ’β„Ž π‘₯) = 0β„Ž ↔ (π‘‡β€˜π‘₯) = π‘₯))
108106, 91, 107syl2anc 585 . . . . 5 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (((π‘‡β€˜π‘₯) βˆ’β„Ž π‘₯) = 0β„Ž ↔ (π‘‡β€˜π‘₯) = π‘₯))
109104, 108mpbid 231 . . . 4 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = π‘₯)
110 fnfvelrn 7032 . . . . 5 ((𝑇 Fn β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑇)
11150, 91, 110sylancr 588 . . . 4 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑇)
112109, 111eqeltrrd 2835 . . 3 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ran 𝑇)
113112gen2 1799 . 2 βˆ€π‘“βˆ€π‘₯((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ran 𝑇)
114 isch2 30207 . 2 (ran 𝑇 ∈ Cβ„‹ ↔ (ran 𝑇 ∈ Sβ„‹ ∧ βˆ€π‘“βˆ€π‘₯((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ran 𝑇)))
1154, 113, 114mpbir2an 710 1 ran 𝑇 ∈ Cβ„‹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆ€wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3911  {csn 4587  βŸ¨cop 4593   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   ∘ ccom 5638   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8768  1c1 11057  β„•cn 12158  β„€cz 12504  βˆžMetcxmet 20797  MetOpencmopn 20802  TopOnctopon 22275   Cn ccn 22591  β‡π‘‘clm 22593  Hauscha 22675   Γ—t ctx 22927  NrmCVeccnv 29568   β„‹chba 29903   +β„Ž cva 29904   Β·β„Ž csm 29905  normβ„Žcno 29907  0β„Žc0v 29908   βˆ’β„Ž cmv 29909   ⇝𝑣 chli 29911   Sβ„‹ csh 29912   Cβ„‹ cch 29913  ContOpccop 29930  LinOpclo 29931  BndLinOpcbo 29932  HrmOpcho 29934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cc 10376  ax-dc 10387  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136  ax-hilex 29983  ax-hfvadd 29984  ax-hvcom 29985  ax-hvass 29986  ax-hv0cl 29987  ax-hvaddid 29988  ax-hfvmul 29989  ax-hvmulid 29990  ax-hvmulass 29991  ax-hvdistr1 29992  ax-hvdistr2 29993  ax-hvmul0 29994  ax-hfi 30063  ax-his1 30066  ax-his2 30067  ax-his3 30068  ax-his4 30069  ax-hcompl 30186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-acn 9883  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-hash 14237  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-lm 22596  df-t1 22681  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-fcls 23308  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-cfil 24635  df-cau 24636  df-cmet 24637  df-grpo 29477  df-gid 29478  df-ginv 29479  df-gdiv 29480  df-ablo 29529  df-vc 29543  df-nv 29576  df-va 29579  df-ba 29580  df-sm 29581  df-0v 29582  df-vs 29583  df-nmcv 29584  df-ims 29585  df-dip 29685  df-ssp 29706  df-lno 29728  df-nmoo 29729  df-blo 29730  df-0o 29731  df-ph 29797  df-cbn 29847  df-hlo 29870  df-hnorm 29952  df-hba 29953  df-hvsub 29955  df-hlim 29956  df-hcau 29957  df-sh 30191  df-ch 30205  df-oc 30236  df-ch0 30237  df-shs 30292  df-pjh 30379  df-h0op 30732  df-nmop 30823  df-cnop 30824  df-lnop 30825  df-bdop 30826  df-unop 30827  df-hmop 30828
This theorem is referenced by:  hmopidmpji  31136  hmopidmch  31137
  Copyright terms: Public domain W3C validator