HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopidmchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmopidmchi 31948
Description: An idempotent Hermitian operator generates a closed subspace. Part of proof of Theorem of [AkhiezerGlazman] p. 64. (Contributed by NM, 21-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hmopidmch.1 𝑇 ∈ HrmOp
hmopidmch.2 (𝑇𝑇) = 𝑇
Assertion
Ref Expression
hmopidmchi ran 𝑇C

Proof of Theorem hmopidmchi
Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopidmch.1 . . . 4 𝑇 ∈ HrmOp
2 hmoplin 31739 . . . 4 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
31, 2ax-mp 5 . . 3 𝑇 ∈ LinOp
43rnelshi 31856 . 2 ran 𝑇S
5 eqid 2727 . . . . . . . 8 (norm ∘ − ) = (norm ∘ − )
65hilxmet 30992 . . . . . . 7 (norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ)
7 eqid 2727 . . . . . . . 8 (MetOpen‘(norm ∘ − )) = (MetOpen‘(norm ∘ − ))
87methaus 24416 . . . . . . 7 ((norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ Haus)
96, 8mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ Haus)
10 eqid 2727 . . . . . . . . . . . 12 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
1110, 5hhims 30969 . . . . . . . . . . . 12 (norm ∘ − ) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
1210, 11, 7hhlm 30996 . . . . . . . . . . 11 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
13 resss 6004 . . . . . . . . . . 11 ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
1412, 13eqsstri 4012 . . . . . . . . . 10 𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
1514ssbri 5187 . . . . . . . . 9 (𝑓𝑣 𝑥𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))𝑥)
1615adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))𝑥)
177mopntopon 24332 . . . . . . . . . 10 ((norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
186, 17mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
193lnopfi 31766 . . . . . . . . . . . 12 𝑇: ℋ⟶ ℋ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2120feqmptd 6961 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑇 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑇𝑦)))
22 hmopbdoptHIL 31785 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ BndLinOp)
231, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝑇 ∈ BndLinOp
24 lnopcnbd 31833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ContOp ↔ 𝑇 ∈ BndLinOp))
253, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ContOp ↔ 𝑇 ∈ BndLinOp)
2623, 25mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ ContOp
275, 7hhcno 31701 . . . . . . . . . . 11 ContOp = ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − )))
2826, 27eleqtri 2826 . . . . . . . . . 10 𝑇 ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − )))
2921, 28eqeltrrdi 2837 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑇𝑦)) ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3018cnmptid 23552 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝑦) ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3110hhnv 30962 . . . . . . . . . 10 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec
3210hhvs 30967 . . . . . . . . . . 11 = ( −𝑣 ‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
3311, 7, 32vmcn 30496 . . . . . . . . . 10 (⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec → − ∈ (((MetOpen‘(norm ∘ − )) ×t (MetOpen‘(norm ∘ − ))) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3431, 33mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → − ∈ (((MetOpen‘(norm ∘ − )) ×t (MetOpen‘(norm ∘ − ))) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3518, 29, 30, 34cnmpt12f 23557 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3616, 35lmcn 23196 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘𝑥))
37 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶ran 𝑇)
384shssii 31010 . . . . . . . . . . . . . 14 ran 𝑇 ⊆ ℋ
39 fss 6733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇 ∧ ran 𝑇 ⊆ ℋ) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
4037, 38, 39sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
4140ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) ∈ ℋ)
42 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑓𝑘) → (𝑇𝑦) = (𝑇‘(𝑓𝑘)))
43 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑓𝑘) → 𝑦 = (𝑓𝑘))
4442, 43oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑓𝑘) → ((𝑇𝑦) − 𝑦) = ((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)))
45 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))
46 ovex 7447 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)) ∈ V
4744, 45, 46fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑘) ∈ ℋ → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘(𝑓𝑘)) = ((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)))
4841, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘(𝑓𝑘)) = ((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)))
49 ffn 6716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 Fn ℋ)
5019, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 Fn ℋ
51 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑇𝑥) → (𝑇𝑦) = (𝑇‘(𝑇𝑥)))
52 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑇𝑥) → 𝑦 = (𝑇𝑥))
5351, 52eqeq12d 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑇𝑥) → ((𝑇𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑇‘(𝑇𝑥)) = (𝑇𝑥)))
5453ralrn 7092 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 Fn ℋ → (∀𝑦 ∈ ran 𝑇(𝑇𝑦) = 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘(𝑇𝑥)) = (𝑇𝑥)))
5550, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑦 ∈ ran 𝑇(𝑇𝑦) = 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘(𝑇𝑥)) = (𝑇𝑥))
5619, 19hocoi 31561 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑇𝑥)))
57 hmopidmch.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇𝑇) = 𝑇
5857fveq1i 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇𝑇)‘𝑥) = (𝑇𝑥)
5956, 58eqtr3di 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘(𝑇𝑥)) = (𝑇𝑥))
6055, 59mprgbir 3063 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ ran 𝑇(𝑇𝑦) = 𝑦
61 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) ∈ ran 𝑇)
6261adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) ∈ ran 𝑇)
6342, 43eqeq12d 2743 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑓𝑘) → ((𝑇𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑇‘(𝑓𝑘)) = (𝑓𝑘)))
6463rspccv 3604 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑦 ∈ ran 𝑇(𝑇𝑦) = 𝑦 → ((𝑓𝑘) ∈ ran 𝑇 → (𝑇‘(𝑓𝑘)) = (𝑓𝑘)))
6560, 62, 64mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘(𝑓𝑘)) = (𝑓𝑘))
6665, 41eqeltrd 2828 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘(𝑓𝑘)) ∈ ℋ)
67 hvsubeq0 30865 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇‘(𝑓𝑘)) ∈ ℋ ∧ (𝑓𝑘) ∈ ℋ) → (((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)) = 0 ↔ (𝑇‘(𝑓𝑘)) = (𝑓𝑘)))
6866, 41, 67syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)) = 0 ↔ (𝑇‘(𝑓𝑘)) = (𝑓𝑘)))
6965, 68mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)) = 0)
7048, 69eqtrd 2767 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘(𝑓𝑘)) = 0)
71 fvco3 6991 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘(𝑓𝑘)))
7271adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘(𝑓𝑘)))
73 ax-hv0cl 30800 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℋ
7473elexi 3489 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
7574fvconst2 7210 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑘) = 0)
7675adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑘) = 0)
7770, 72, 763eqtr4d 2777 . . . . . . . . 9 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘))
7877ralrimiva 3141 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘))
79 ovex 7447 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇𝑦) − 𝑦) ∈ V
8079, 45fnmpti 6692 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) Fn ℋ
81 fnfco 6756 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) Fn ℋ ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) Fn ℕ)
8280, 40, 81sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) Fn ℕ)
8374fconst 6777 . . . . . . . . . 10 (ℕ × {0}):ℕ⟶{0}
84 ffn 6716 . . . . . . . . . 10 ((ℕ × {0}):ℕ⟶{0} → (ℕ × {0}) Fn ℕ)
8583, 84ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℕ × {0}) Fn ℕ
86 eqfnfv 7034 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) Fn ℕ ∧ (ℕ × {0}) Fn ℕ) → (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘)))
8782, 85, 86sylancl 585 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘)))
8878, 87mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}))
89 vex 3473 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
9089hlimveci 30987 . . . . . . . . 9 (𝑓𝑣 𝑥𝑥 ∈ ℋ)
9190adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
92 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑇𝑦) = (𝑇𝑥))
93 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥𝑦 = 𝑥)
9492, 93oveq12d 7432 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑇𝑦) − 𝑦) = ((𝑇𝑥) − 𝑥))
95 ovex 7447 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑥) − 𝑥) ∈ V
9694, 45, 95fvmpt 6999 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘𝑥) = ((𝑇𝑥) − 𝑥))
9791, 96syl 17 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘𝑥) = ((𝑇𝑥) − 𝑥))
9836, 88, 973brtr3d 5173 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))((𝑇𝑥) − 𝑥))
9973a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 0 ∈ ℋ)
100 1zzd 12615 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
101 nnuz 12887 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
102101lmconst 23152 . . . . . . 7 (((MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ (TopOn‘ ℋ) ∧ 0 ∈ ℋ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))0)
10318, 99, 100, 102syl3anc 1369 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))0)
1049, 98, 103lmmo 23271 . . . . 5 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑇𝑥) − 𝑥) = 0)
10519ffvelcdmi 7087 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
10691, 105syl 17 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
107 hvsubeq0 30865 . . . . . 6 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑥) − 𝑥) = 0 ↔ (𝑇𝑥) = 𝑥))
108106, 91, 107syl2anc 583 . . . . 5 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (((𝑇𝑥) − 𝑥) = 0 ↔ (𝑇𝑥) = 𝑥))
109104, 108mpbid 231 . . . 4 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑥) = 𝑥)
110 fnfvelrn 7084 . . . . 5 ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ran 𝑇)
11150, 91, 110sylancr 586 . . . 4 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑥) ∈ ran 𝑇)
112109, 111eqeltrrd 2829 . . 3 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ran 𝑇)
113112gen2 1791 . 2 𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ran 𝑇)
114 isch2 31020 . 2 (ran 𝑇C ↔ (ran 𝑇S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ran 𝑇)))
1154, 113, 114mpbir2an 710 1 ran 𝑇C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  wal 1532   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3056  wss 3944  {csn 4624  cop 4630   class class class wbr 5142  cmpt 5225   × cxp 5670  ran crn 5673  cres 5674  ccom 5676   Fn wfn 6537  wf 6538  cfv 6542  (class class class)co 7414  m cmap 8836  1c1 11131  cn 12234  cz 12580  ∞Metcxmet 21251  MetOpencmopn 21256  TopOnctopon 22799   Cn ccn 23115  𝑡clm 23117  Hauscha 23199   ×t ctx 23451  NrmCVeccnv 30381  chba 30716   + cva 30717   · csm 30718  normcno 30720  0c0v 30721   cmv 30722  𝑣 chli 30724   S csh 30725   C cch 30726  ContOpccop 30743  LinOpclo 30744  BndLinOpcbo 30745  HrmOpcho 30747
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cc 10450  ax-dc 10461  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210  ax-hilex 30796  ax-hfvadd 30797  ax-hvcom 30798  ax-hvass 30799  ax-hv0cl 30800  ax-hvaddid 30801  ax-hfvmul 30802  ax-hvmulid 30803  ax-hvmulass 30804  ax-hvdistr1 30805  ax-hvdistr2 30806  ax-hvmul0 30807  ax-hfi 30876  ax-his1 30879  ax-his2 30880  ax-his3 30881  ax-his4 30882  ax-hcompl 30999
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-acn 9957  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-lm 23120  df-t1 23205  df-haus 23206  df-cmp 23278  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-fcls 23832  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-cfil 25170  df-cau 25171  df-cmet 25172  df-grpo 30290  df-gid 30291  df-ginv 30292  df-gdiv 30293  df-ablo 30342  df-vc 30356  df-nv 30389  df-va 30392  df-ba 30393  df-sm 30394  df-0v 30395  df-vs 30396  df-nmcv 30397  df-ims 30398  df-dip 30498  df-ssp 30519  df-lno 30541  df-nmoo 30542  df-blo 30543  df-0o 30544  df-ph 30610  df-cbn 30660  df-hlo 30683  df-hnorm 30765  df-hba 30766  df-hvsub 30768  df-hlim 30769  df-hcau 30770  df-sh 31004  df-ch 31018  df-oc 31049  df-ch0 31050  df-shs 31105  df-pjh 31192  df-h0op 31545  df-nmop 31636  df-cnop 31637  df-lnop 31638  df-bdop 31639  df-unop 31640  df-hmop 31641
This theorem is referenced by:  hmopidmpji  31949  hmopidmch  31950
  Copyright terms: Public domain W3C validator