HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopidmchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmopidmchi 31913
Description: An idempotent Hermitian operator generates a closed subspace. Part of proof of Theorem of [AkhiezerGlazman] p. 64. (Contributed by NM, 21-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hmopidmch.1 𝑇 ∈ HrmOp
hmopidmch.2 (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇
Assertion
Ref Expression
hmopidmchi ran 𝑇 ∈ Cβ„‹

Proof of Theorem hmopidmchi
Dummy variables 𝑓 π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopidmch.1 . . . 4 𝑇 ∈ HrmOp
2 hmoplin 31704 . . . 4 (𝑇 ∈ HrmOp β†’ 𝑇 ∈ LinOp)
31, 2ax-mp 5 . . 3 𝑇 ∈ LinOp
43rnelshi 31821 . 2 ran 𝑇 ∈ Sβ„‹
5 eqid 2726 . . . . . . . 8 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) = (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )
65hilxmet 30957 . . . . . . 7 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹)
7 eqid 2726 . . . . . . . 8 (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) = (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))
87methaus 24384 . . . . . . 7 ((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹) β†’ (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∈ Haus)
96, 8mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∈ Haus)
10 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
1110, 5hhims 30934 . . . . . . . . . . . 12 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) = (IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
1210, 11, 7hhlm 30961 . . . . . . . . . . 11 ⇝𝑣 = ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•))
13 resss 6000 . . . . . . . . . . 11 ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)) βŠ† (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
1412, 13eqsstri 4011 . . . . . . . . . 10 ⇝𝑣 βŠ† (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
1514ssbri 5186 . . . . . . . . 9 (𝑓 ⇝𝑣 π‘₯ β†’ 𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))π‘₯)
1615adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))π‘₯)
177mopntopon 24300 . . . . . . . . . 10 ((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹) β†’ (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∈ (TopOnβ€˜ β„‹))
186, 17mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∈ (TopOnβ€˜ β„‹))
193lnopfi 31731 . . . . . . . . . . . 12 𝑇: β„‹βŸΆ β„‹
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 𝑇: β„‹βŸΆ β„‹)
2120feqmptd 6954 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 𝑇 = (𝑦 ∈ β„‹ ↦ (π‘‡β€˜π‘¦)))
22 hmopbdoptHIL 31750 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ HrmOp β†’ 𝑇 ∈ BndLinOp)
231, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝑇 ∈ BndLinOp
24 lnopcnbd 31798 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ LinOp β†’ (𝑇 ∈ ContOp ↔ 𝑇 ∈ BndLinOp))
253, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ContOp ↔ 𝑇 ∈ BndLinOp)
2623, 25mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ ContOp
275, 7hhcno 31666 . . . . . . . . . . 11 ContOp = ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Cn (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
2826, 27eleqtri 2825 . . . . . . . . . 10 𝑇 ∈ ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Cn (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
2921, 28eqeltrrdi 2836 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ β„‹ ↦ (π‘‡β€˜π‘¦)) ∈ ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Cn (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))))
3018cnmptid 23520 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ β„‹ ↦ 𝑦) ∈ ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Cn (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))))
3110hhnv 30927 . . . . . . . . . 10 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec
3210hhvs 30932 . . . . . . . . . . 11 βˆ’β„Ž = ( βˆ’π‘£ β€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
3311, 7, 32vmcn 30461 . . . . . . . . . 10 (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec β†’ βˆ’β„Ž ∈ (((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Γ—t (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) Cn (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))))
3431, 33mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ βˆ’β„Ž ∈ (((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Γ—t (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) Cn (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))))
3518, 29, 30, 34cnmpt12f 23525 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∈ ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Cn (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))))
3616, 35lmcn 23164 . . . . . . 7 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦))β€˜π‘₯))
37 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 𝑓:β„•βŸΆran 𝑇)
384shssii 30975 . . . . . . . . . . . . . 14 ran 𝑇 βŠ† β„‹
39 fss 6728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ ran 𝑇 βŠ† β„‹) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
4037, 38, 39sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
4140ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹)
42 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) = (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)))
43 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ 𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜))
4442, 43oveq12d 7423 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦) = ((π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜)))
45 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦))
46 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜)) ∈ V
4744, 45, 46fvmpt 6992 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹ β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦))β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = ((π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜)))
4841, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦))β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = ((π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜)))
49 ffn 6711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇: β„‹βŸΆ β„‹ β†’ 𝑇 Fn β„‹)
5019, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 Fn β„‹
51 fveq2 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (π‘‡β€˜π‘₯) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) = (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)))
52 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (π‘‡β€˜π‘₯) β†’ 𝑦 = (π‘‡β€˜π‘₯))
5351, 52eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (π‘‡β€˜π‘₯) β†’ ((π‘‡β€˜π‘¦) = 𝑦 ↔ (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) = (π‘‡β€˜π‘₯)))
5453ralrn 7083 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 Fn β„‹ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑇(π‘‡β€˜π‘¦) = 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) = (π‘‡β€˜π‘₯)))
5550, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑇(π‘‡β€˜π‘¦) = 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) = (π‘‡β€˜π‘₯))
5619, 19hocoi 31526 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((𝑇 ∘ 𝑇)β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)))
57 hmopidmch.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇
5857fveq1i 6886 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∘ 𝑇)β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘₯)
5956, 58eqtr3di 2781 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) = (π‘‡β€˜π‘₯))
6055, 59mprgbir 3062 . . . . . . . . . . . . 13 βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑇(π‘‡β€˜π‘¦) = 𝑦
61 ffvelcdm 7077 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ ran 𝑇)
6261adantlr 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ ran 𝑇)
6342, 43eqeq12d 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ ((π‘‡β€˜π‘¦) = 𝑦 ↔ (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (π‘“β€˜π‘˜)))
6463rspccv 3603 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑇(π‘‡β€˜π‘¦) = 𝑦 β†’ ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ ran 𝑇 β†’ (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (π‘“β€˜π‘˜)))
6560, 62, 64mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (π‘“β€˜π‘˜))
6665, 41eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ∈ β„‹)
67 hvsubeq0 30830 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ∈ β„‹ ∧ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹) β†’ (((π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜)) = 0β„Ž ↔ (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (π‘“β€˜π‘˜)))
6866, 41, 67syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜)) = 0β„Ž ↔ (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (π‘“β€˜π‘˜)))
6965, 68mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜)) = 0β„Ž)
7048, 69eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦))β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = 0β„Ž)
71 fvco3 6984 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦))β€˜(π‘“β€˜π‘˜)))
7271adantlr 712 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦))β€˜(π‘“β€˜π‘˜)))
73 ax-hv0cl 30765 . . . . . . . . . . . . 13 0β„Ž ∈ β„‹
7473elexi 3488 . . . . . . . . . . . 12 0β„Ž ∈ V
7574fvconst2 7201 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((β„• Γ— {0β„Ž})β€˜π‘˜) = 0β„Ž)
7675adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {0β„Ž})β€˜π‘˜) = 0β„Ž)
7770, 72, 763eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = ((β„• Γ— {0β„Ž})β€˜π‘˜))
7877ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = ((β„• Γ— {0β„Ž})β€˜π‘˜))
79 ovex 7438 . . . . . . . . . . 11 ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ V
8079, 45fnmpti 6687 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) Fn β„‹
81 fnfco 6750 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) Fn β„‹ ∧ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹) β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓) Fn β„•)
8280, 40, 81sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓) Fn β„•)
8374fconst 6771 . . . . . . . . . 10 (β„• Γ— {0β„Ž}):β„•βŸΆ{0β„Ž}
84 ffn 6711 . . . . . . . . . 10 ((β„• Γ— {0β„Ž}):β„•βŸΆ{0β„Ž} β†’ (β„• Γ— {0β„Ž}) Fn β„•)
8583, 84ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (β„• Γ— {0β„Ž}) Fn β„•
86 eqfnfv 7026 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓) Fn β„• ∧ (β„• Γ— {0β„Ž}) Fn β„•) β†’ (((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓) = (β„• Γ— {0β„Ž}) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = ((β„• Γ— {0β„Ž})β€˜π‘˜)))
8782, 85, 86sylancl 585 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓) = (β„• Γ— {0β„Ž}) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = ((β„• Γ— {0β„Ž})β€˜π‘˜)))
8878, 87mpbird 257 . . . . . . 7 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓) = (β„• Γ— {0β„Ž}))
89 vex 3472 . . . . . . . . . 10 π‘₯ ∈ V
9089hlimveci 30952 . . . . . . . . 9 (𝑓 ⇝𝑣 π‘₯ β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
9190adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
92 fveq2 6885 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) = (π‘‡β€˜π‘₯))
93 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ 𝑦 = π‘₯)
9492, 93oveq12d 7423 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦) = ((π‘‡β€˜π‘₯) βˆ’β„Ž π‘₯))
95 ovex 7438 . . . . . . . . 9 ((π‘‡β€˜π‘₯) βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ V
9694, 45, 95fvmpt 6992 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦))β€˜π‘₯) = ((π‘‡β€˜π‘₯) βˆ’β„Ž π‘₯))
9791, 96syl 17 . . . . . . 7 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦))β€˜π‘₯) = ((π‘‡β€˜π‘₯) βˆ’β„Ž π‘₯))
9836, 88, 973brtr3d 5172 . . . . . 6 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (β„• Γ— {0β„Ž})(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))((π‘‡β€˜π‘₯) βˆ’β„Ž π‘₯))
9973a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 0β„Ž ∈ β„‹)
100 1zzd 12597 . . . . . . 7 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 1 ∈ β„€)
101 nnuz 12869 . . . . . . . 8 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
102101lmconst 23120 . . . . . . 7 (((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∈ (TopOnβ€˜ β„‹) ∧ 0β„Ž ∈ β„‹ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (β„• Γ— {0β„Ž})(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))0β„Ž)
10318, 99, 100, 102syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (β„• Γ— {0β„Ž})(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))0β„Ž)
1049, 98, 103lmmo 23239 . . . . 5 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) βˆ’β„Ž π‘₯) = 0β„Ž)
10519ffvelcdmi 7079 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‹)
10691, 105syl 17 . . . . . 6 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‹)
107 hvsubeq0 30830 . . . . . 6 (((π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (((π‘‡β€˜π‘₯) βˆ’β„Ž π‘₯) = 0β„Ž ↔ (π‘‡β€˜π‘₯) = π‘₯))
108106, 91, 107syl2anc 583 . . . . 5 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (((π‘‡β€˜π‘₯) βˆ’β„Ž π‘₯) = 0β„Ž ↔ (π‘‡β€˜π‘₯) = π‘₯))
109104, 108mpbid 231 . . . 4 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = π‘₯)
110 fnfvelrn 7076 . . . . 5 ((𝑇 Fn β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑇)
11150, 91, 110sylancr 586 . . . 4 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑇)
112109, 111eqeltrrd 2828 . . 3 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ran 𝑇)
113112gen2 1790 . 2 βˆ€π‘“βˆ€π‘₯((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ran 𝑇)
114 isch2 30985 . 2 (ran 𝑇 ∈ Cβ„‹ ↔ (ran 𝑇 ∈ Sβ„‹ ∧ βˆ€π‘“βˆ€π‘₯((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ran 𝑇)))
1154, 113, 114mpbir2an 708 1 ran 𝑇 ∈ Cβ„‹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  βˆ€wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055   βŠ† wss 3943  {csn 4623  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224   Γ— cxp 5667  ran crn 5670   β†Ύ cres 5671   ∘ ccom 5673   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ↑m cmap 8822  1c1 11113  β„•cn 12216  β„€cz 12562  βˆžMetcxmet 21225  MetOpencmopn 21230  TopOnctopon 22767   Cn ccn 23083  β‡π‘‘clm 23085  Hauscha 23167   Γ—t ctx 23419  NrmCVeccnv 30346   β„‹chba 30681   +β„Ž cva 30682   Β·β„Ž csm 30683  normβ„Žcno 30685  0β„Žc0v 30686   βˆ’β„Ž cmv 30687   ⇝𝑣 chli 30689   Sβ„‹ csh 30690   Cβ„‹ cch 30691  ContOpccop 30708  LinOpclo 30709  BndLinOpcbo 30710  HrmOpcho 30712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-dc 10443  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30761  ax-hfvadd 30762  ax-hvcom 30763  ax-hvass 30764  ax-hv0cl 30765  ax-hvaddid 30766  ax-hfvmul 30767  ax-hvmulid 30768  ax-hvmulass 30769  ax-hvdistr1 30770  ax-hvdistr2 30771  ax-hvmul0 30772  ax-hfi 30841  ax-his1 30844  ax-his2 30845  ax-his3 30846  ax-his4 30847  ax-hcompl 30964
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-lm 23088  df-t1 23173  df-haus 23174  df-cmp 23246  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-fcls 23800  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-cfil 25138  df-cau 25139  df-cmet 25140  df-grpo 30255  df-gid 30256  df-ginv 30257  df-gdiv 30258  df-ablo 30307  df-vc 30321  df-nv 30354  df-va 30357  df-ba 30358  df-sm 30359  df-0v 30360  df-vs 30361  df-nmcv 30362  df-ims 30363  df-dip 30463  df-ssp 30484  df-lno 30506  df-nmoo 30507  df-blo 30508  df-0o 30509  df-ph 30575  df-cbn 30625  df-hlo 30648  df-hnorm 30730  df-hba 30731  df-hvsub 30733  df-hlim 30734  df-hcau 30735  df-sh 30969  df-ch 30983  df-oc 31014  df-ch0 31015  df-shs 31070  df-pjh 31157  df-h0op 31510  df-nmop 31601  df-cnop 31602  df-lnop 31603  df-bdop 31604  df-unop 31605  df-hmop 31606
This theorem is referenced by:  hmopidmpji  31914  hmopidmch  31915
  Copyright terms: Public domain W3C validator