HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopidmchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmopidmchi 32003
Description: An idempotent Hermitian operator generates a closed subspace. Part of proof of Theorem of [AkhiezerGlazman] p. 64. (Contributed by NM, 21-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hmopidmch.1 𝑇 ∈ HrmOp
hmopidmch.2 (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇
Assertion
Ref Expression
hmopidmchi ran 𝑇 ∈ Cβ„‹

Proof of Theorem hmopidmchi
Dummy variables 𝑓 π‘˜ π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopidmch.1 . . . 4 𝑇 ∈ HrmOp
2 hmoplin 31794 . . . 4 (𝑇 ∈ HrmOp β†’ 𝑇 ∈ LinOp)
31, 2ax-mp 5 . . 3 𝑇 ∈ LinOp
43rnelshi 31911 . 2 ran 𝑇 ∈ Sβ„‹
5 eqid 2725 . . . . . . . 8 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) = (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )
65hilxmet 31047 . . . . . . 7 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹)
7 eqid 2725 . . . . . . . 8 (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) = (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))
87methaus 24445 . . . . . . 7 ((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹) β†’ (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∈ Haus)
96, 8mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∈ Haus)
10 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© = ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©
1110, 5hhims 31024 . . . . . . . . . . . 12 (normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) = (IndMetβ€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
1210, 11, 7hhlm 31051 . . . . . . . . . . 11 ⇝𝑣 = ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•))
13 resss 6001 . . . . . . . . . . 11 ((β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) β†Ύ ( β„‹ ↑m β„•)) βŠ† (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
1412, 13eqsstri 4007 . . . . . . . . . 10 ⇝𝑣 βŠ† (β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
1514ssbri 5188 . . . . . . . . 9 (𝑓 ⇝𝑣 π‘₯ β†’ 𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))π‘₯)
1615adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 𝑓(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))π‘₯)
177mopntopon 24361 . . . . . . . . . 10 ((normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ) ∈ (∞Metβ€˜ β„‹) β†’ (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∈ (TopOnβ€˜ β„‹))
186, 17mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∈ (TopOnβ€˜ β„‹))
193lnopfi 31821 . . . . . . . . . . . 12 𝑇: β„‹βŸΆ β„‹
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 𝑇: β„‹βŸΆ β„‹)
2120feqmptd 6961 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 𝑇 = (𝑦 ∈ β„‹ ↦ (π‘‡β€˜π‘¦)))
22 hmopbdoptHIL 31840 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ HrmOp β†’ 𝑇 ∈ BndLinOp)
231, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝑇 ∈ BndLinOp
24 lnopcnbd 31888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ LinOp β†’ (𝑇 ∈ ContOp ↔ 𝑇 ∈ BndLinOp))
253, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ContOp ↔ 𝑇 ∈ BndLinOp)
2623, 25mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ ContOp
275, 7hhcno 31756 . . . . . . . . . . 11 ContOp = ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Cn (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
2826, 27eleqtri 2823 . . . . . . . . . 10 𝑇 ∈ ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Cn (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))
2921, 28eqeltrrdi 2834 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ β„‹ ↦ (π‘‡β€˜π‘¦)) ∈ ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Cn (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))))
3018cnmptid 23581 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ β„‹ ↦ 𝑦) ∈ ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Cn (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))))
3110hhnv 31017 . . . . . . . . . 10 ⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec
3210hhvs 31022 . . . . . . . . . . 11 βˆ’β„Ž = ( βˆ’π‘£ β€˜βŸ¨βŸ¨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ©)
3311, 7, 32vmcn 30551 . . . . . . . . . 10 (⟨⟨ +β„Ž , Β·β„Ž ⟩, normβ„ŽβŸ© ∈ NrmCVec β†’ βˆ’β„Ž ∈ (((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Γ—t (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) Cn (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))))
3431, 33mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ βˆ’β„Ž ∈ (((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Γ—t (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))) Cn (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))))
3518, 29, 30, 34cnmpt12f 23586 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∈ ((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) Cn (MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž ))))
3616, 35lmcn 23225 . . . . . . 7 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓)(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦))β€˜π‘₯))
37 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 𝑓:β„•βŸΆran 𝑇)
384shssii 31065 . . . . . . . . . . . . . 14 ran 𝑇 βŠ† β„‹
39 fss 6733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ ran 𝑇 βŠ† β„‹) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
4037, 38, 39sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹)
4140ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹)
42 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) = (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)))
43 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ 𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜))
4442, 43oveq12d 7433 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦) = ((π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜)))
45 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) = (𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦))
46 ovex 7448 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜)) ∈ V
4744, 45, 46fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹ β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦))β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = ((π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜)))
4841, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦))β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = ((π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜)))
49 ffn 6716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇: β„‹βŸΆ β„‹ β†’ 𝑇 Fn β„‹)
5019, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 Fn β„‹
51 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (π‘‡β€˜π‘₯) β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) = (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)))
52 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (π‘‡β€˜π‘₯) β†’ 𝑦 = (π‘‡β€˜π‘₯))
5351, 52eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (π‘‡β€˜π‘₯) β†’ ((π‘‡β€˜π‘¦) = 𝑦 ↔ (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) = (π‘‡β€˜π‘₯)))
5453ralrn 7092 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 Fn β„‹ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑇(π‘‡β€˜π‘¦) = 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) = (π‘‡β€˜π‘₯)))
5550, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑇(π‘‡β€˜π‘¦) = 𝑦 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ β„‹ (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) = (π‘‡β€˜π‘₯))
5619, 19hocoi 31616 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((𝑇 ∘ 𝑇)β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)))
57 hmopidmch.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇 ∘ 𝑇) = 𝑇
5857fveq1i 6892 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇 ∘ 𝑇)β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘₯)
5956, 58eqtr3di 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜(π‘‡β€˜π‘₯)) = (π‘‡β€˜π‘₯))
6055, 59mprgbir 3058 . . . . . . . . . . . . 13 βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑇(π‘‡β€˜π‘¦) = 𝑦
61 ffvelcdm 7085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ ran 𝑇)
6261adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ ran 𝑇)
6342, 43eqeq12d 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘˜) β†’ ((π‘‡β€˜π‘¦) = 𝑦 ↔ (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (π‘“β€˜π‘˜)))
6463rspccv 3599 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘¦ ∈ ran 𝑇(π‘‡β€˜π‘¦) = 𝑦 β†’ ((π‘“β€˜π‘˜) ∈ ran 𝑇 β†’ (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (π‘“β€˜π‘˜)))
6560, 62, 64mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (π‘“β€˜π‘˜))
6665, 41eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ∈ β„‹)
67 hvsubeq0 30920 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) ∈ β„‹ ∧ (π‘“β€˜π‘˜) ∈ β„‹) β†’ (((π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜)) = 0β„Ž ↔ (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (π‘“β€˜π‘˜)))
6866, 41, 67syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜)) = 0β„Ž ↔ (π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = (π‘“β€˜π‘˜)))
6965, 68mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘‡β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) βˆ’β„Ž (π‘“β€˜π‘˜)) = 0β„Ž)
7048, 69eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦))β€˜(π‘“β€˜π‘˜)) = 0β„Ž)
71 fvco3 6991 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦))β€˜(π‘“β€˜π‘˜)))
7271adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦))β€˜(π‘“β€˜π‘˜)))
73 ax-hv0cl 30855 . . . . . . . . . . . . 13 0β„Ž ∈ β„‹
7473elexi 3484 . . . . . . . . . . . 12 0β„Ž ∈ V
7574fvconst2 7211 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((β„• Γ— {0β„Ž})β€˜π‘˜) = 0β„Ž)
7675adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((β„• Γ— {0β„Ž})β€˜π‘˜) = 0β„Ž)
7770, 72, 763eqtr4d 2775 . . . . . . . . 9 (((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = ((β„• Γ— {0β„Ž})β€˜π‘˜))
7877ralrimiva 3136 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = ((β„• Γ— {0β„Ž})β€˜π‘˜))
79 ovex 7448 . . . . . . . . . . 11 ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦) ∈ V
8079, 45fnmpti 6692 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) Fn β„‹
81 fnfco 6756 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) Fn β„‹ ∧ 𝑓:β„•βŸΆ β„‹) β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓) Fn β„•)
8280, 40, 81sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓) Fn β„•)
8374fconst 6777 . . . . . . . . . 10 (β„• Γ— {0β„Ž}):β„•βŸΆ{0β„Ž}
84 ffn 6716 . . . . . . . . . 10 ((β„• Γ— {0β„Ž}):β„•βŸΆ{0β„Ž} β†’ (β„• Γ— {0β„Ž}) Fn β„•)
8583, 84ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (β„• Γ— {0β„Ž}) Fn β„•
86 eqfnfv 7034 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓) Fn β„• ∧ (β„• Γ— {0β„Ž}) Fn β„•) β†’ (((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓) = (β„• Γ— {0β„Ž}) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = ((β„• Γ— {0β„Ž})β€˜π‘˜)))
8782, 85, 86sylancl 584 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓) = (β„• Γ— {0β„Ž}) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓)β€˜π‘˜) = ((β„• Γ— {0β„Ž})β€˜π‘˜)))
8878, 87mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦)) ∘ 𝑓) = (β„• Γ— {0β„Ž}))
89 vex 3467 . . . . . . . . . 10 π‘₯ ∈ V
9089hlimveci 31042 . . . . . . . . 9 (𝑓 ⇝𝑣 π‘₯ β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
9190adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ β„‹)
92 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ (π‘‡β€˜π‘¦) = (π‘‡β€˜π‘₯))
93 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ 𝑦 = π‘₯)
9492, 93oveq12d 7433 . . . . . . . . 9 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦) = ((π‘‡β€˜π‘₯) βˆ’β„Ž π‘₯))
95 ovex 7448 . . . . . . . . 9 ((π‘‡β€˜π‘₯) βˆ’β„Ž π‘₯) ∈ V
9694, 45, 95fvmpt 6999 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦))β€˜π‘₯) = ((π‘‡β€˜π‘₯) βˆ’β„Ž π‘₯))
9791, 96syl 17 . . . . . . 7 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ ((𝑦 ∈ β„‹ ↦ ((π‘‡β€˜π‘¦) βˆ’β„Ž 𝑦))β€˜π‘₯) = ((π‘‡β€˜π‘₯) βˆ’β„Ž π‘₯))
9836, 88, 973brtr3d 5174 . . . . . 6 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (β„• Γ— {0β„Ž})(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))((π‘‡β€˜π‘₯) βˆ’β„Ž π‘₯))
9973a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 0β„Ž ∈ β„‹)
100 1zzd 12621 . . . . . . 7 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ 1 ∈ β„€)
101 nnuz 12893 . . . . . . . 8 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
102101lmconst 23181 . . . . . . 7 (((MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )) ∈ (TopOnβ€˜ β„‹) ∧ 0β„Ž ∈ β„‹ ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (β„• Γ— {0β„Ž})(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))0β„Ž)
10318, 99, 100, 102syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (β„• Γ— {0β„Ž})(β‡π‘‘β€˜(MetOpenβ€˜(normβ„Ž ∘ βˆ’β„Ž )))0β„Ž)
1049, 98, 103lmmo 23300 . . . . 5 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ ((π‘‡β€˜π‘₯) βˆ’β„Ž π‘₯) = 0β„Ž)
10519ffvelcdmi 7087 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ β„‹ β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‹)
10691, 105syl 17 . . . . . 6 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‹)
107 hvsubeq0 30920 . . . . . 6 (((π‘‡β€˜π‘₯) ∈ β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (((π‘‡β€˜π‘₯) βˆ’β„Ž π‘₯) = 0β„Ž ↔ (π‘‡β€˜π‘₯) = π‘₯))
108106, 91, 107syl2anc 582 . . . . 5 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (((π‘‡β€˜π‘₯) βˆ’β„Ž π‘₯) = 0β„Ž ↔ (π‘‡β€˜π‘₯) = π‘₯))
109104, 108mpbid 231 . . . 4 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = π‘₯)
110 fnfvelrn 7084 . . . . 5 ((𝑇 Fn β„‹ ∧ π‘₯ ∈ β„‹) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑇)
11150, 91, 110sylancr 585 . . . 4 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑇)
112109, 111eqeltrrd 2826 . . 3 ((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ran 𝑇)
113112gen2 1790 . 2 βˆ€π‘“βˆ€π‘₯((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ran 𝑇)
114 isch2 31075 . 2 (ran 𝑇 ∈ Cβ„‹ ↔ (ran 𝑇 ∈ Sβ„‹ ∧ βˆ€π‘“βˆ€π‘₯((𝑓:β„•βŸΆran 𝑇 ∧ 𝑓 ⇝𝑣 π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ran 𝑇)))
1154, 113, 114mpbir2an 709 1 ran 𝑇 ∈ Cβ„‹
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394  βˆ€wal 1531   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051   βŠ† wss 3940  {csn 4624  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   Γ— cxp 5670  ran crn 5673   β†Ύ cres 5674   ∘ ccom 5676   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   ↑m cmap 8841  1c1 11137  β„•cn 12240  β„€cz 12586  βˆžMetcxmet 21266  MetOpencmopn 21271  TopOnctopon 22828   Cn ccn 23144  β‡π‘‘clm 23146  Hauscha 23228   Γ—t ctx 23480  NrmCVeccnv 30436   β„‹chba 30771   +β„Ž cva 30772   Β·β„Ž csm 30773  normβ„Žcno 30775  0β„Žc0v 30776   βˆ’β„Ž cmv 30777   ⇝𝑣 chli 30779   Sβ„‹ csh 30780   Cβ„‹ cch 30781  ContOpccop 30798  LinOpclo 30799  BndLinOpcbo 30800  HrmOpcho 30802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-inf2 9662  ax-cc 10456  ax-dc 10467  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215  ax-mulf 11216  ax-hilex 30851  ax-hfvadd 30852  ax-hvcom 30853  ax-hvass 30854  ax-hv0cl 30855  ax-hvaddid 30856  ax-hfvmul 30857  ax-hvmulid 30858  ax-hvmulass 30859  ax-hvdistr1 30860  ax-hvdistr2 30861  ax-hvmul0 30862  ax-hfi 30931  ax-his1 30934  ax-his2 30935  ax-his3 30936  ax-his4 30937  ax-hcompl 31054
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-oadd 8487  df-omul 8488  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-acn 9963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-hash 14320  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-lm 23149  df-t1 23234  df-haus 23235  df-cmp 23307  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-fcls 23861  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-cfil 25199  df-cau 25200  df-cmet 25201  df-grpo 30345  df-gid 30346  df-ginv 30347  df-gdiv 30348  df-ablo 30397  df-vc 30411  df-nv 30444  df-va 30447  df-ba 30448  df-sm 30449  df-0v 30450  df-vs 30451  df-nmcv 30452  df-ims 30453  df-dip 30553  df-ssp 30574  df-lno 30596  df-nmoo 30597  df-blo 30598  df-0o 30599  df-ph 30665  df-cbn 30715  df-hlo 30738  df-hnorm 30820  df-hba 30821  df-hvsub 30823  df-hlim 30824  df-hcau 30825  df-sh 31059  df-ch 31073  df-oc 31104  df-ch0 31105  df-shs 31160  df-pjh 31247  df-h0op 31600  df-nmop 31691  df-cnop 31692  df-lnop 31693  df-bdop 31694  df-unop 31695  df-hmop 31696
This theorem is referenced by:  hmopidmpji  32004  hmopidmch  32005
  Copyright terms: Public domain W3C validator