HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopidmchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmopidmchi 31093
Description: An idempotent Hermitian operator generates a closed subspace. Part of proof of Theorem of [AkhiezerGlazman] p. 64. (Contributed by NM, 21-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hmopidmch.1 𝑇 ∈ HrmOp
hmopidmch.2 (𝑇𝑇) = 𝑇
Assertion
Ref Expression
hmopidmchi ran 𝑇C

Proof of Theorem hmopidmchi
Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopidmch.1 . . . 4 𝑇 ∈ HrmOp
2 hmoplin 30884 . . . 4 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
31, 2ax-mp 5 . . 3 𝑇 ∈ LinOp
43rnelshi 31001 . 2 ran 𝑇S
5 eqid 2736 . . . . . . . 8 (norm ∘ − ) = (norm ∘ − )
65hilxmet 30137 . . . . . . 7 (norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ)
7 eqid 2736 . . . . . . . 8 (MetOpen‘(norm ∘ − )) = (MetOpen‘(norm ∘ − ))
87methaus 23876 . . . . . . 7 ((norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ Haus)
96, 8mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ Haus)
10 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
1110, 5hhims 30114 . . . . . . . . . . . 12 (norm ∘ − ) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
1210, 11, 7hhlm 30141 . . . . . . . . . . 11 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
13 resss 5962 . . . . . . . . . . 11 ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
1412, 13eqsstri 3978 . . . . . . . . . 10 𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
1514ssbri 5150 . . . . . . . . 9 (𝑓𝑣 𝑥𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))𝑥)
1615adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))𝑥)
177mopntopon 23792 . . . . . . . . . 10 ((norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
186, 17mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
193lnopfi 30911 . . . . . . . . . . . 12 𝑇: ℋ⟶ ℋ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2120feqmptd 6910 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑇 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑇𝑦)))
22 hmopbdoptHIL 30930 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ BndLinOp)
231, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝑇 ∈ BndLinOp
24 lnopcnbd 30978 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ContOp ↔ 𝑇 ∈ BndLinOp))
253, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ContOp ↔ 𝑇 ∈ BndLinOp)
2623, 25mpbir 230 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ ContOp
275, 7hhcno 30846 . . . . . . . . . . 11 ContOp = ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − )))
2826, 27eleqtri 2836 . . . . . . . . . 10 𝑇 ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − )))
2921, 28eqeltrrdi 2847 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑇𝑦)) ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3018cnmptid 23012 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝑦) ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3110hhnv 30107 . . . . . . . . . 10 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec
3210hhvs 30112 . . . . . . . . . . 11 = ( −𝑣 ‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
3311, 7, 32vmcn 29641 . . . . . . . . . 10 (⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec → − ∈ (((MetOpen‘(norm ∘ − )) ×t (MetOpen‘(norm ∘ − ))) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3431, 33mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → − ∈ (((MetOpen‘(norm ∘ − )) ×t (MetOpen‘(norm ∘ − ))) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3518, 29, 30, 34cnmpt12f 23017 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3616, 35lmcn 22656 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘𝑥))
37 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶ran 𝑇)
384shssii 30155 . . . . . . . . . . . . . 14 ran 𝑇 ⊆ ℋ
39 fss 6685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇 ∧ ran 𝑇 ⊆ ℋ) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
4037, 38, 39sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
4140ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) ∈ ℋ)
42 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑓𝑘) → (𝑇𝑦) = (𝑇‘(𝑓𝑘)))
43 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑓𝑘) → 𝑦 = (𝑓𝑘))
4442, 43oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑓𝑘) → ((𝑇𝑦) − 𝑦) = ((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)))
45 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))
46 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)) ∈ V
4744, 45, 46fvmpt 6948 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑘) ∈ ℋ → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘(𝑓𝑘)) = ((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)))
4841, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘(𝑓𝑘)) = ((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)))
49 ffn 6668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 Fn ℋ)
5019, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 Fn ℋ
51 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑇𝑥) → (𝑇𝑦) = (𝑇‘(𝑇𝑥)))
52 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑇𝑥) → 𝑦 = (𝑇𝑥))
5351, 52eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑇𝑥) → ((𝑇𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑇‘(𝑇𝑥)) = (𝑇𝑥)))
5453ralrn 7038 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 Fn ℋ → (∀𝑦 ∈ ran 𝑇(𝑇𝑦) = 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘(𝑇𝑥)) = (𝑇𝑥)))
5550, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑦 ∈ ran 𝑇(𝑇𝑦) = 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘(𝑇𝑥)) = (𝑇𝑥))
5619, 19hocoi 30706 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑇𝑥)))
57 hmopidmch.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇𝑇) = 𝑇
5857fveq1i 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇𝑇)‘𝑥) = (𝑇𝑥)
5956, 58eqtr3di 2791 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘(𝑇𝑥)) = (𝑇𝑥))
6055, 59mprgbir 3071 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ ran 𝑇(𝑇𝑦) = 𝑦
61 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) ∈ ran 𝑇)
6261adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) ∈ ran 𝑇)
6342, 43eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑓𝑘) → ((𝑇𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑇‘(𝑓𝑘)) = (𝑓𝑘)))
6463rspccv 3578 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑦 ∈ ran 𝑇(𝑇𝑦) = 𝑦 → ((𝑓𝑘) ∈ ran 𝑇 → (𝑇‘(𝑓𝑘)) = (𝑓𝑘)))
6560, 62, 64mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘(𝑓𝑘)) = (𝑓𝑘))
6665, 41eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘(𝑓𝑘)) ∈ ℋ)
67 hvsubeq0 30010 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇‘(𝑓𝑘)) ∈ ℋ ∧ (𝑓𝑘) ∈ ℋ) → (((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)) = 0 ↔ (𝑇‘(𝑓𝑘)) = (𝑓𝑘)))
6866, 41, 67syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)) = 0 ↔ (𝑇‘(𝑓𝑘)) = (𝑓𝑘)))
6965, 68mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)) = 0)
7048, 69eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘(𝑓𝑘)) = 0)
71 fvco3 6940 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘(𝑓𝑘)))
7271adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘(𝑓𝑘)))
73 ax-hv0cl 29945 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℋ
7473elexi 3464 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
7574fvconst2 7153 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑘) = 0)
7675adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑘) = 0)
7770, 72, 763eqtr4d 2786 . . . . . . . . 9 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘))
7877ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘))
79 ovex 7390 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇𝑦) − 𝑦) ∈ V
8079, 45fnmpti 6644 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) Fn ℋ
81 fnfco 6707 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) Fn ℋ ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) Fn ℕ)
8280, 40, 81sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) Fn ℕ)
8374fconst 6728 . . . . . . . . . 10 (ℕ × {0}):ℕ⟶{0}
84 ffn 6668 . . . . . . . . . 10 ((ℕ × {0}):ℕ⟶{0} → (ℕ × {0}) Fn ℕ)
8583, 84ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℕ × {0}) Fn ℕ
86 eqfnfv 6982 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) Fn ℕ ∧ (ℕ × {0}) Fn ℕ) → (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘)))
8782, 85, 86sylancl 586 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘)))
8878, 87mpbird 256 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}))
89 vex 3449 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
9089hlimveci 30132 . . . . . . . . 9 (𝑓𝑣 𝑥𝑥 ∈ ℋ)
9190adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
92 fveq2 6842 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑇𝑦) = (𝑇𝑥))
93 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥𝑦 = 𝑥)
9492, 93oveq12d 7375 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑇𝑦) − 𝑦) = ((𝑇𝑥) − 𝑥))
95 ovex 7390 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑥) − 𝑥) ∈ V
9694, 45, 95fvmpt 6948 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘𝑥) = ((𝑇𝑥) − 𝑥))
9791, 96syl 17 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘𝑥) = ((𝑇𝑥) − 𝑥))
9836, 88, 973brtr3d 5136 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))((𝑇𝑥) − 𝑥))
9973a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 0 ∈ ℋ)
100 1zzd 12534 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
101 nnuz 12806 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
102101lmconst 22612 . . . . . . 7 (((MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ (TopOn‘ ℋ) ∧ 0 ∈ ℋ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))0)
10318, 99, 100, 102syl3anc 1371 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))0)
1049, 98, 103lmmo 22731 . . . . 5 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑇𝑥) − 𝑥) = 0)
10519ffvelcdmi 7034 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
10691, 105syl 17 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
107 hvsubeq0 30010 . . . . . 6 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑥) − 𝑥) = 0 ↔ (𝑇𝑥) = 𝑥))
108106, 91, 107syl2anc 584 . . . . 5 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (((𝑇𝑥) − 𝑥) = 0 ↔ (𝑇𝑥) = 𝑥))
109104, 108mpbid 231 . . . 4 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑥) = 𝑥)
110 fnfvelrn 7031 . . . . 5 ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ran 𝑇)
11150, 91, 110sylancr 587 . . . 4 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑥) ∈ ran 𝑇)
112109, 111eqeltrrd 2839 . . 3 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ran 𝑇)
113112gen2 1798 . 2 𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ran 𝑇)
114 isch2 30165 . 2 (ran 𝑇C ↔ (ran 𝑇S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ran 𝑇)))
1154, 113, 114mpbir2an 709 1 ran 𝑇C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wal 1539   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3064  wss 3910  {csn 4586  cop 4592   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  ran crn 5634  cres 5635  ccom 5637   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  m cmap 8765  1c1 11052  cn 12153  cz 12499  ∞Metcxmet 20781  MetOpencmopn 20786  TopOnctopon 22259   Cn ccn 22575  𝑡clm 22577  Hauscha 22659   ×t ctx 22911  NrmCVeccnv 29526  chba 29861   + cva 29862   · csm 29863  normcno 29865  0c0v 29866   cmv 29867  𝑣 chli 29869   S csh 29870   C cch 29871  ContOpccop 29888  LinOpclo 29889  BndLinOpcbo 29890  HrmOpcho 29892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-dc 10382  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131  ax-hilex 29941  ax-hfvadd 29942  ax-hvcom 29943  ax-hvass 29944  ax-hv0cl 29945  ax-hvaddid 29946  ax-hfvmul 29947  ax-hvmulid 29948  ax-hvmulass 29949  ax-hvdistr1 29950  ax-hvdistr2 29951  ax-hvmul0 29952  ax-hfi 30021  ax-his1 30024  ax-his2 30025  ax-his3 30026  ax-his4 30027  ax-hcompl 30144
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-lm 22580  df-t1 22665  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-fcls 23292  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-cfil 24619  df-cau 24620  df-cmet 24621  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-gdiv 29438  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-vs 29541  df-nmcv 29542  df-ims 29543  df-dip 29643  df-ssp 29664  df-lno 29686  df-nmoo 29687  df-blo 29688  df-0o 29689  df-ph 29755  df-cbn 29805  df-hlo 29828  df-hnorm 29910  df-hba 29911  df-hvsub 29913  df-hlim 29914  df-hcau 29915  df-sh 30149  df-ch 30163  df-oc 30194  df-ch0 30195  df-shs 30250  df-pjh 30337  df-h0op 30690  df-nmop 30781  df-cnop 30782  df-lnop 30783  df-bdop 30784  df-unop 30785  df-hmop 30786
This theorem is referenced by:  hmopidmpji  31094  hmopidmch  31095
  Copyright terms: Public domain W3C validator