HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hmopidmchi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hmopidmchi 29937
Description: An idempotent Hermitian operator generates a closed subspace. Part of proof of Theorem of [AkhiezerGlazman] p. 64. (Contributed by NM, 21-Apr-2006.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-May-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hmopidmch.1 𝑇 ∈ HrmOp
hmopidmch.2 (𝑇𝑇) = 𝑇
Assertion
Ref Expression
hmopidmchi ran 𝑇C

Proof of Theorem hmopidmchi
Dummy variables 𝑓 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hmopidmch.1 . . . 4 𝑇 ∈ HrmOp
2 hmoplin 29728 . . . 4 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ LinOp)
31, 2ax-mp 5 . . 3 𝑇 ∈ LinOp
43rnelshi 29845 . 2 ran 𝑇S
5 eqid 2824 . . . . . . . 8 (norm ∘ − ) = (norm ∘ − )
65hilxmet 28981 . . . . . . 7 (norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ)
7 eqid 2824 . . . . . . . 8 (MetOpen‘(norm ∘ − )) = (MetOpen‘(norm ∘ − ))
87methaus 23130 . . . . . . 7 ((norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ Haus)
96, 8mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ Haus)
10 eqid 2824 . . . . . . . . . . . 12 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ = ⟨⟨ + , · ⟩, norm
1110, 5hhims 28958 . . . . . . . . . . . 12 (norm ∘ − ) = (IndMet‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
1210, 11, 7hhlm 28985 . . . . . . . . . . 11 𝑣 = ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ))
13 resss 5865 . . . . . . . . . . 11 ((⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − ))) ↾ ( ℋ ↑m ℕ)) ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
1412, 13eqsstri 3987 . . . . . . . . . 10 𝑣 ⊆ (⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))
1514ssbri 5097 . . . . . . . . 9 (𝑓𝑣 𝑥𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))𝑥)
1615adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑓(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))𝑥)
177mopntopon 23049 . . . . . . . . . 10 ((norm ∘ − ) ∈ (∞Met‘ ℋ) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
186, 17mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ (TopOn‘ ℋ))
193lnopfi 29755 . . . . . . . . . . . 12 𝑇: ℋ⟶ ℋ
2019a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
2120feqmptd 6724 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑇 = (𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑇𝑦)))
22 hmopbdoptHIL 29774 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ HrmOp → 𝑇 ∈ BndLinOp)
231, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝑇 ∈ BndLinOp
24 lnopcnbd 29822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑇 ∈ LinOp → (𝑇 ∈ ContOp ↔ 𝑇 ∈ BndLinOp))
253, 24ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ContOp ↔ 𝑇 ∈ BndLinOp)
2623, 25mpbir 234 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ ContOp
275, 7hhcno 29690 . . . . . . . . . . 11 ContOp = ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − )))
2826, 27eleqtri 2914 . . . . . . . . . 10 𝑇 ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − )))
2921, 28eqeltrrdi 2925 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑦 ∈ ℋ ↦ (𝑇𝑦)) ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3018cnmptid 22269 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑦 ∈ ℋ ↦ 𝑦) ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3110hhnv 28951 . . . . . . . . . 10 ⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec
3210hhvs 28956 . . . . . . . . . . 11 = ( −𝑣 ‘⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩)
3311, 7, 32vmcn 28485 . . . . . . . . . 10 (⟨⟨ + , · ⟩, norm⟩ ∈ NrmCVec → − ∈ (((MetOpen‘(norm ∘ − )) ×t (MetOpen‘(norm ∘ − ))) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3431, 33mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → − ∈ (((MetOpen‘(norm ∘ − )) ×t (MetOpen‘(norm ∘ − ))) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3518, 29, 30, 34cnmpt12f 22274 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∈ ((MetOpen‘(norm ∘ − )) Cn (MetOpen‘(norm ∘ − ))))
3616, 35lmcn 21913 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘𝑥))
37 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶ran 𝑇)
384shssii 28999 . . . . . . . . . . . . . 14 ran 𝑇 ⊆ ℋ
39 fss 6517 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇 ∧ ran 𝑇 ⊆ ℋ) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
4037, 38, 39sylancl 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑓:ℕ⟶ ℋ)
4140ffvelrnda 6842 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) ∈ ℋ)
42 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑓𝑘) → (𝑇𝑦) = (𝑇‘(𝑓𝑘)))
43 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑓𝑘) → 𝑦 = (𝑓𝑘))
4442, 43oveq12d 7167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑓𝑘) → ((𝑇𝑦) − 𝑦) = ((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)))
45 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))
46 ovex 7182 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)) ∈ V
4744, 45, 46fvmpt 6759 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑘) ∈ ℋ → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘(𝑓𝑘)) = ((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)))
4841, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘(𝑓𝑘)) = ((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)))
49 ffn 6503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → 𝑇 Fn ℋ)
5019, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑇 Fn ℋ
51 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑇𝑥) → (𝑇𝑦) = (𝑇‘(𝑇𝑥)))
52 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑇𝑥) → 𝑦 = (𝑇𝑥))
5351, 52eqeq12d 2840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑇𝑥) → ((𝑇𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑇‘(𝑇𝑥)) = (𝑇𝑥)))
5453ralrn 6845 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑇 Fn ℋ → (∀𝑦 ∈ ran 𝑇(𝑇𝑦) = 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘(𝑇𝑥)) = (𝑇𝑥)))
5550, 54ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑦 ∈ ran 𝑇(𝑇𝑦) = 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ (𝑇‘(𝑇𝑥)) = (𝑇𝑥))
56 hmopidmch.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑇𝑇) = 𝑇
5756fveq1i 6662 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑇𝑇)‘𝑥) = (𝑇𝑥)
5819, 19hocoi 29550 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑇𝑇)‘𝑥) = (𝑇‘(𝑇𝑥)))
5957, 58syl5reqr 2874 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘(𝑇𝑥)) = (𝑇𝑥))
6055, 59mprgbir 3148 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ ran 𝑇(𝑇𝑦) = 𝑦
61 ffvelrn 6840 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) ∈ ran 𝑇)
6261adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑓𝑘) ∈ ran 𝑇)
6342, 43eqeq12d 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑓𝑘) → ((𝑇𝑦) = 𝑦 ↔ (𝑇‘(𝑓𝑘)) = (𝑓𝑘)))
6463rspccv 3606 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑦 ∈ ran 𝑇(𝑇𝑦) = 𝑦 → ((𝑓𝑘) ∈ ran 𝑇 → (𝑇‘(𝑓𝑘)) = (𝑓𝑘)))
6560, 62, 64mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘(𝑓𝑘)) = (𝑓𝑘))
6665, 41eqeltrd 2916 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (𝑇‘(𝑓𝑘)) ∈ ℋ)
67 hvsubeq0 28854 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇‘(𝑓𝑘)) ∈ ℋ ∧ (𝑓𝑘) ∈ ℋ) → (((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)) = 0 ↔ (𝑇‘(𝑓𝑘)) = (𝑓𝑘)))
6866, 41, 67syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)) = 0 ↔ (𝑇‘(𝑓𝑘)) = (𝑓𝑘)))
6965, 68mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑇‘(𝑓𝑘)) − (𝑓𝑘)) = 0)
7048, 69eqtrd 2859 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘(𝑓𝑘)) = 0)
71 fvco3 6751 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘(𝑓𝑘)))
7271adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘(𝑓𝑘)))
73 ax-hv0cl 28789 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℋ
7473elexi 3499 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
7574fvconst2 6957 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑘) = 0)
7675adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((ℕ × {0})‘𝑘) = 0)
7770, 72, 763eqtr4d 2869 . . . . . . . . 9 (((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘))
7877ralrimiva 3177 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘))
79 ovex 7182 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇𝑦) − 𝑦) ∈ V
8079, 45fnmpti 6480 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) Fn ℋ
81 fnfco 6533 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) Fn ℋ ∧ 𝑓:ℕ⟶ ℋ) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) Fn ℕ)
8280, 40, 81sylancr 590 . . . . . . . . 9 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) Fn ℕ)
8374fconst 6555 . . . . . . . . . 10 (ℕ × {0}):ℕ⟶{0}
84 ffn 6503 . . . . . . . . . 10 ((ℕ × {0}):ℕ⟶{0} → (ℕ × {0}) Fn ℕ)
8583, 84ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (ℕ × {0}) Fn ℕ
86 eqfnfv 6793 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) Fn ℕ ∧ (ℕ × {0}) Fn ℕ) → (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘)))
8782, 85, 86sylancl 589 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓)‘𝑘) = ((ℕ × {0})‘𝑘)))
8878, 87mpbird 260 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦)) ∘ 𝑓) = (ℕ × {0}))
89 vex 3483 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
9089hlimveci 28976 . . . . . . . . 9 (𝑓𝑣 𝑥𝑥 ∈ ℋ)
9190adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ℋ)
92 fveq2 6661 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → (𝑇𝑦) = (𝑇𝑥))
93 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥𝑦 = 𝑥)
9492, 93oveq12d 7167 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑇𝑦) − 𝑦) = ((𝑇𝑥) − 𝑥))
95 ovex 7182 . . . . . . . . 9 ((𝑇𝑥) − 𝑥) ∈ V
9694, 45, 95fvmpt 6759 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘𝑥) = ((𝑇𝑥) − 𝑥))
9791, 96syl 17 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑦 ∈ ℋ ↦ ((𝑇𝑦) − 𝑦))‘𝑥) = ((𝑇𝑥) − 𝑥))
9836, 88, 973brtr3d 5083 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))((𝑇𝑥) − 𝑥))
9973a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 0 ∈ ℋ)
100 1zzd 12010 . . . . . . 7 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 1 ∈ ℤ)
101 nnuz 12278 . . . . . . . 8 ℕ = (ℤ‘1)
102101lmconst 21869 . . . . . . 7 (((MetOpen‘(norm ∘ − )) ∈ (TopOn‘ ℋ) ∧ 0 ∈ ℋ ∧ 1 ∈ ℤ) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))0)
10318, 99, 100, 102syl3anc 1368 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (ℕ × {0})(⇝𝑡‘(MetOpen‘(norm ∘ − )))0)
1049, 98, 103lmmo 21988 . . . . 5 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → ((𝑇𝑥) − 𝑥) = 0)
10519ffvelrni 6841 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
10691, 105syl 17 . . . . . 6 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
107 hvsubeq0 28854 . . . . . 6 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑇𝑥) − 𝑥) = 0 ↔ (𝑇𝑥) = 𝑥))
108106, 91, 107syl2anc 587 . . . . 5 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (((𝑇𝑥) − 𝑥) = 0 ↔ (𝑇𝑥) = 𝑥))
109104, 108mpbid 235 . . . 4 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑥) = 𝑥)
110 fnfvelrn 6839 . . . . 5 ((𝑇 Fn ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑇𝑥) ∈ ran 𝑇)
11150, 91, 110sylancr 590 . . . 4 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → (𝑇𝑥) ∈ ran 𝑇)
112109, 111eqeltrrd 2917 . . 3 ((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ran 𝑇)
113112gen2 1798 . 2 𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ran 𝑇)
114 isch2 29009 . 2 (ran 𝑇C ↔ (ran 𝑇S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶ran 𝑇𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ ran 𝑇)))
1154, 113, 114mpbir2an 710 1 ran 𝑇C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wal 1536   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  wss 3919  {csn 4550  cop 4556   class class class wbr 5052  cmpt 5132   × cxp 5540  ran crn 5543  cres 5544  ccom 5546   Fn wfn 6338  wf 6339  cfv 6343  (class class class)co 7149  m cmap 8402  1c1 10536  cn 11634  cz 11978  ∞Metcxmet 20530  MetOpencmopn 20535  TopOnctopon 21518   Cn ccn 21832  𝑡clm 21834  Hauscha 21916   ×t ctx 22168  NrmCVeccnv 28370  chba 28705   + cva 28706   · csm 28707  normcno 28709  0c0v 28710   cmv 28711  𝑣 chli 28713   S csh 28714   C cch 28715  ContOpccop 28732  LinOpclo 28733  BndLinOpcbo 28734  HrmOpcho 28736
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cc 9855  ax-dc 9866  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615  ax-hilex 28785  ax-hfvadd 28786  ax-hvcom 28787  ax-hvass 28788  ax-hv0cl 28789  ax-hvaddid 28790  ax-hfvmul 28791  ax-hvmulid 28792  ax-hvmulass 28793  ax-hvdistr1 28794  ax-hvdistr2 28795  ax-hvmul0 28796  ax-hfi 28865  ax-his1 28868  ax-his2 28869  ax-his3 28870  ax-his4 28871  ax-hcompl 28988
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-omul 8103  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-acn 9368  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-seq 13374  df-exp 13435  df-hash 13696  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-lm 21837  df-t1 21922  df-haus 21923  df-cmp 21995  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-fcls 22549  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-cfil 23862  df-cau 23863  df-cmet 23864  df-grpo 28279  df-gid 28280  df-ginv 28281  df-gdiv 28282  df-ablo 28331  df-vc 28345  df-nv 28378  df-va 28381  df-ba 28382  df-sm 28383  df-0v 28384  df-vs 28385  df-nmcv 28386  df-ims 28387  df-dip 28487  df-ssp 28508  df-lno 28530  df-nmoo 28531  df-blo 28532  df-0o 28533  df-ph 28599  df-cbn 28649  df-hlo 28672  df-hnorm 28754  df-hba 28755  df-hvsub 28757  df-hlim 28758  df-hcau 28759  df-sh 28993  df-ch 29007  df-oc 29038  df-ch0 29039  df-shs 29094  df-pjh 29181  df-h0op 29534  df-nmop 29625  df-cnop 29626  df-lnop 29627  df-bdop 29628  df-unop 29629  df-hmop 29630
This theorem is referenced by:  hmopidmpji  29938  hmopidmch  29939
  Copyright terms: Public domain W3C validator