HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hoddii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoddii 30351
Description: Distributive law for Hilbert space operator difference. (Interestingly, the reverse distributive law hocsubdiri 30142 does not require linearity.) (Contributed by NM, 11-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hoddi.1 𝑅 ∈ LinOp
hoddi.2 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hoddi.3 𝑇: ℋ⟶ ℋ
Assertion
Ref Expression
hoddii (𝑅 ∘ (𝑆op 𝑇)) = ((𝑅𝑆) −op (𝑅𝑇))

Proof of Theorem hoddii
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hoddi.2 . . . . . . 7 𝑆: ℋ⟶ ℋ
21ffvelrni 6960 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆𝑥) ∈ ℋ)
3 hoddi.3 . . . . . . 7 𝑇: ℋ⟶ ℋ
43ffvelrni 6960 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
5 hoddi.1 . . . . . . 7 𝑅 ∈ LinOp
65lnopsubi 30336 . . . . . 6 (((𝑆𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → (𝑅‘((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥))) = ((𝑅‘(𝑆𝑥)) − (𝑅‘(𝑇𝑥))))
72, 4, 6syl2anc 584 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑅‘((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥))) = ((𝑅‘(𝑆𝑥)) − (𝑅‘(𝑇𝑥))))
8 hodval 30104 . . . . . . 7 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)))
91, 3, 8mp3an12 1450 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥)))
109fveq2d 6778 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑅‘((𝑆op 𝑇)‘𝑥)) = (𝑅‘((𝑆𝑥) − (𝑇𝑥))))
115lnopfi 30331 . . . . . . 7 𝑅: ℋ⟶ ℋ
1211, 1hocoi 30126 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅𝑆)‘𝑥) = (𝑅‘(𝑆𝑥)))
1311, 3hocoi 30126 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅𝑇)‘𝑥) = (𝑅‘(𝑇𝑥)))
1412, 13oveq12d 7293 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅𝑆)‘𝑥) − ((𝑅𝑇)‘𝑥)) = ((𝑅‘(𝑆𝑥)) − (𝑅‘(𝑇𝑥))))
157, 10, 143eqtr4d 2788 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑅‘((𝑆op 𝑇)‘𝑥)) = (((𝑅𝑆)‘𝑥) − ((𝑅𝑇)‘𝑥)))
161, 3hosubcli 30131 . . . . 5 (𝑆op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
1711, 16hocoi 30126 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅 ∘ (𝑆op 𝑇))‘𝑥) = (𝑅‘((𝑆op 𝑇)‘𝑥)))
1811, 1hocofi 30128 . . . . 5 (𝑅𝑆): ℋ⟶ ℋ
1911, 3hocofi 30128 . . . . 5 (𝑅𝑇): ℋ⟶ ℋ
20 hodval 30104 . . . . 5 (((𝑅𝑆): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑅𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑅𝑆) −op (𝑅𝑇))‘𝑥) = (((𝑅𝑆)‘𝑥) − ((𝑅𝑇)‘𝑥)))
2118, 19, 20mp3an12 1450 . . . 4 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅𝑆) −op (𝑅𝑇))‘𝑥) = (((𝑅𝑆)‘𝑥) − ((𝑅𝑇)‘𝑥)))
2215, 17, 213eqtr4d 2788 . . 3 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅 ∘ (𝑆op 𝑇))‘𝑥) = (((𝑅𝑆) −op (𝑅𝑇))‘𝑥))
2322rgen 3074 . 2 𝑥 ∈ ℋ ((𝑅 ∘ (𝑆op 𝑇))‘𝑥) = (((𝑅𝑆) −op (𝑅𝑇))‘𝑥)
2411, 16hocofi 30128 . . 3 (𝑅 ∘ (𝑆op 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
2518, 19hosubcli 30131 . . 3 ((𝑅𝑆) −op (𝑅𝑇)): ℋ⟶ ℋ
2624, 25hoeqi 30123 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑅 ∘ (𝑆op 𝑇))‘𝑥) = (((𝑅𝑆) −op (𝑅𝑇))‘𝑥) ↔ (𝑅 ∘ (𝑆op 𝑇)) = ((𝑅𝑆) −op (𝑅𝑇)))
2723, 26mpbi 229 1 (𝑅 ∘ (𝑆op 𝑇)) = ((𝑅𝑆) −op (𝑅𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539  wcel 2106  wral 3064  ccom 5593  wf 6429  cfv 6433  (class class class)co 7275  chba 29281   cmv 29287  op chod 29302  LinOpclo 29309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-hilex 29361  ax-hfvadd 29362  ax-hvass 29364  ax-hv0cl 29365  ax-hvaddid 29366  ax-hfvmul 29367  ax-hvmulid 29368  ax-hvdistr2 29371  ax-hvmul0 29372
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-sub 11207  df-neg 11208  df-hvsub 29333  df-hodif 30094  df-lnop 30203
This theorem is referenced by:  hoddi  30352  unierri  30466
  Copyright terms: Public domain W3C validator