Theorem hoddii 32603

Description: Distributive law for Hilbert space operator difference. (Interestingly, the reverse distributive law hocsubdiri 32394 does not require linearity.) (Contributed by NM, 11-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoddi.1	⊢ 𝑅 ∈ LinOp
hoddi.2	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hoddi.3	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hoddii	⊢ (𝑅 ∘ (𝑆 −op 𝑇)) = ((𝑅 ∘ 𝑆) −op (𝑅 ∘ 𝑇))

Proof of Theorem hoddii

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoddi.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2	1	ffvelcdmi 7091	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆‘𝑥) ∈ ℋ)
3		hoddi.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4	3	ffvelcdmi 7091	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
5		hoddi.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ LinOp
6	5	lnopsubi 32588	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝑅‘((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((𝑅‘(𝑆‘𝑥)) −ℎ (𝑅‘(𝑇‘𝑥))))
7	2, 4, 6	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑅‘((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((𝑅‘(𝑆‘𝑥)) −ℎ (𝑅‘(𝑇‘𝑥))))
8		hodval 32356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)))
9	1, 3, 8	mp3an12 1480	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)))
10	9	fveq2d 6897	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑅‘((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥)) = (𝑅‘((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥))))
11	5	lnopfi 32583	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅: ℋ⟶ ℋ
12	11, 1	hocoi 32378	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅 ∘ 𝑆)‘𝑥) = (𝑅‘(𝑆‘𝑥)))
13	11, 3	hocoi 32378	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅 ∘ 𝑇)‘𝑥) = (𝑅‘(𝑇‘𝑥)))
14	12, 13	oveq12d 7445	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅 ∘ 𝑆)‘𝑥) −ℎ ((𝑅 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = ((𝑅‘(𝑆‘𝑥)) −ℎ (𝑅‘(𝑇‘𝑥))))
15	7, 10, 14	3eqtr4d 2808	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑅‘((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥)) = (((𝑅 ∘ 𝑆)‘𝑥) −ℎ ((𝑅 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
16	1, 3	hosubcli 32383	. . . . 5 ⊢ (𝑆 −op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
17	11, 16	hocoi 32378	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅 ∘ (𝑆 −op 𝑇))‘𝑥) = (𝑅‘((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥)))
18	11, 1	hocofi 32380	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∘ 𝑆): ℋ⟶ ℋ
19	11, 3	hocofi 32380	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
20		hodval 32356	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∘ 𝑆): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑅 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑅 ∘ 𝑆) −op (𝑅 ∘ 𝑇))‘𝑥) = (((𝑅 ∘ 𝑆)‘𝑥) −ℎ ((𝑅 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
21	18, 19, 20	mp3an12 1480	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅 ∘ 𝑆) −op (𝑅 ∘ 𝑇))‘𝑥) = (((𝑅 ∘ 𝑆)‘𝑥) −ℎ ((𝑅 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
22	15, 17, 21	3eqtr4d 2808	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅 ∘ (𝑆 −op 𝑇))‘𝑥) = (((𝑅 ∘ 𝑆) −op (𝑅 ∘ 𝑇))‘𝑥))
23	22	rgen 3081	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑅 ∘ (𝑆 −op 𝑇))‘𝑥) = (((𝑅 ∘ 𝑆) −op (𝑅 ∘ 𝑇))‘𝑥)
24	11, 16	hocofi 32380	. . 3 ⊢ (𝑅 ∘ (𝑆 −op 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
25	18, 19	hosubcli 32383	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∘ 𝑆) −op (𝑅 ∘ 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
26	24, 25	hoeqi 32375	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑅 ∘ (𝑆 −op 𝑇))‘𝑥) = (((𝑅 ∘ 𝑆) −op (𝑅 ∘ 𝑇))‘𝑥) ↔ (𝑅 ∘ (𝑆 −op 𝑇)) = ((𝑅 ∘ 𝑆) −op (𝑅 ∘ 𝑇)))
27	23, 26	mpbi 233	1 ⊢ (𝑅 ∘ (𝑆 −op 𝑇)) = ((𝑅 ∘ 𝑆) −op (𝑅 ∘ 𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3079   ∘ ccom 5658  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   ℋchba 31533   −_ℎ cmv 31539   −_op chod 31554  LinOpclo 31561

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-hilex 31613  ax-hfvadd 31614  ax-hvass 31616  ax-hv0cl 31617  ax-hvaddid 31618  ax-hfvmul 31619  ax-hvmulid 31620  ax-hvdistr2 31623  ax-hvmul0 31624

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-po 5562  df-so 5563  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-ltxr 11358  df-sub 11553  df-neg 11554  df-hvsub 31585  df-hodif 32346  df-lnop 32455

This theorem is used by:  hoddi  32604  unierri  32718