Theorem hoddii 32013

Description: Distributive law for Hilbert space operator difference. (Interestingly, the reverse distributive law hocsubdiri 31804 does not require linearity.) (Contributed by NM, 11-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoddi.1	⊢ 𝑅 ∈ LinOp
hoddi.2	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
hoddi.3	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hoddii	⊢ (𝑅 ∘ (𝑆 −op 𝑇)) = ((𝑅 ∘ 𝑆) −op (𝑅 ∘ 𝑇))

Proof of Theorem hoddii

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoddi.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2	1	ffvelcdmi 7026	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆‘𝑥) ∈ ℋ)
3		hoddi.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4	3	ffvelcdmi 7026	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
5		hoddi.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅 ∈ LinOp
6	5	lnopsubi 31998	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝑅‘((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((𝑅‘(𝑆‘𝑥)) −ℎ (𝑅‘(𝑇‘𝑥))))
7	2, 4, 6	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑅‘((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((𝑅‘(𝑆‘𝑥)) −ℎ (𝑅‘(𝑇‘𝑥))))
8		hodval 31766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)))
9	1, 3, 8	mp3an12 1453	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥)))
10	9	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑅‘((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥)) = (𝑅‘((𝑆‘𝑥) −ℎ (𝑇‘𝑥))))
11	5	lnopfi 31993	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅: ℋ⟶ ℋ
12	11, 1	hocoi 31788	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅 ∘ 𝑆)‘𝑥) = (𝑅‘(𝑆‘𝑥)))
13	11, 3	hocoi 31788	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅 ∘ 𝑇)‘𝑥) = (𝑅‘(𝑇‘𝑥)))
14	12, 13	oveq12d 7374	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅 ∘ 𝑆)‘𝑥) −ℎ ((𝑅 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = ((𝑅‘(𝑆‘𝑥)) −ℎ (𝑅‘(𝑇‘𝑥))))
15	7, 10, 14	3eqtr4d 2779	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑅‘((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥)) = (((𝑅 ∘ 𝑆)‘𝑥) −ℎ ((𝑅 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
16	1, 3	hosubcli 31793	. . . . 5 ⊢ (𝑆 −op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
17	11, 16	hocoi 31788	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅 ∘ (𝑆 −op 𝑇))‘𝑥) = (𝑅‘((𝑆 −op 𝑇)‘𝑥)))
18	11, 1	hocofi 31790	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∘ 𝑆): ℋ⟶ ℋ
19	11, 3	hocofi 31790	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
20		hodval 31766	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∘ 𝑆): ℋ⟶ ℋ ∧ (𝑅 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((𝑅 ∘ 𝑆) −op (𝑅 ∘ 𝑇))‘𝑥) = (((𝑅 ∘ 𝑆)‘𝑥) −ℎ ((𝑅 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
21	18, 19, 20	mp3an12 1453	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑅 ∘ 𝑆) −op (𝑅 ∘ 𝑇))‘𝑥) = (((𝑅 ∘ 𝑆)‘𝑥) −ℎ ((𝑅 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
22	15, 17, 21	3eqtr4d 2779	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑅 ∘ (𝑆 −op 𝑇))‘𝑥) = (((𝑅 ∘ 𝑆) −op (𝑅 ∘ 𝑇))‘𝑥))
23	22	rgen 3051	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑅 ∘ (𝑆 −op 𝑇))‘𝑥) = (((𝑅 ∘ 𝑆) −op (𝑅 ∘ 𝑇))‘𝑥)
24	11, 16	hocofi 31790	. . 3 ⊢ (𝑅 ∘ (𝑆 −op 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
25	18, 19	hosubcli 31793	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∘ 𝑆) −op (𝑅 ∘ 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
26	24, 25	hoeqi 31785	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ((𝑅 ∘ (𝑆 −op 𝑇))‘𝑥) = (((𝑅 ∘ 𝑆) −op (𝑅 ∘ 𝑇))‘𝑥) ↔ (𝑅 ∘ (𝑆 −op 𝑇)) = ((𝑅 ∘ 𝑆) −op (𝑅 ∘ 𝑇)))
27	23, 26	mpbi 230	1 ⊢ (𝑅 ∘ (𝑆 −op 𝑇)) = ((𝑅 ∘ 𝑆) −op (𝑅 ∘ 𝑇))

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049   ∘ ccom 5626  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ℋchba 30943   −_ℎ cmv 30949   −_op chod 30964  LinOpclo 30971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-hilex 31023  ax-hfvadd 31024  ax-hvass 31026  ax-hv0cl 31027  ax-hvaddid 31028  ax-hfvmul 31029  ax-hvmulid 31030  ax-hvdistr2 31033  ax-hvmul0 31034

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-ltxr 11169  df-sub 11364  df-neg 11365  df-hvsub 30995  df-hodif 31756  df-lnop 31865

This theorem is referenced by:  hoddi  32014  unierri  32128