Theorem fvco3 6849

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6584	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐴)
2		fvco2 6847	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
3	1, 2	sylan 579	1 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∘ ccom 5584   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426

This theorem is referenced by:  fvco3d  6850  foco2  6965  f1cofveqaeqALT  7113  f1ocnvfv1  7129  f1ocnvfv2  7130  fcof1  7139  fcofo  7140  cocan1  7143  cocan2  7144  fveqf1o  7155  isotr  7187  fipreima  9055  fsuppco2  9092  fsuppcor  9093  unxpwdom2  9277  wemapwe  9385  ackbij2lem2  9927  cofsmo  9956  cfcoflem  9959  isf32lem6  10045  isf32lem7  10046  isf32lem8  10047  isf34lem7  10066  isf34lem6  10067  axcc3  10125  axdc4lem  10142  inar1  10462  axdc4uzlem  13631  seqf1olem2  13691  seqf1o  13692  lswco  14480  lo1o1  15169  o1co  15223  caucvgrlem2  15314  summolem3  15354  fsumf1o  15363  fsumcl2lem  15371  fsumadd  15380  fsummulc2  15424  fsumrelem  15447  supcvg  15496  prodmolem3  15571  fprodf1o  15584  fprodser  15587  fprodcl2lem  15588  fprodmul  15598  fproddiv  15599  fprodn0  15617  ruclem11  15877  ruclem12  15878  algcvg  16209  eulerthlem2  16411  cofu1  17515  cofu2  17517  cofucl  17519  fucidcl  17599  fuclid  17600  fucrid  17601  homadm  17671  homacd  17672  evlfcl  17856  curfuncf  17872  yonedalem4c  17911  yonedalem3b  17913  mhmco  18377  prdspjmhm  18382  pwsco1mhm  18385  lactghmga  18928  frgpup3lem  19298  gsumval3eu  19420  gsumval3  19423  gsumzaddlem  19437  gsumzmhm  19453  dprdf1o  19550  gsumfsum  20577  zrhpsgninv  20702  zrhpsgnevpm  20708  zrhpsgnodpm  20709  evlssca  21209  evls1val  21396  evls1sca  21399  evl1val  21405  mdetralt  21665  mdetunilem7  21675  cpmadumatpoly  21940  chcoeffeqlem  21942  cnpco  22326  lmcnp  22363  upxp  22682  uptx  22684  cnmpt11  22722  cnmpt21  22730  xkofvcn  22743  prdstmdd  23183  prdstgpd  23184  comet  23575  prdsxmslem2  23591  nrmmetd  23636  isngp3  23660  ngpds  23666  tngnm  23721  nmoco  23807  cnmetdval  23840  climcncf  23969  cncfco  23976  htpyco1  24047  htpyco2  24048  phtpyco2  24059  reparphti  24066  copco  24087  pi1cof  24128  pi1coghm  24130  caubl  24377  caublcls  24378  cniccbdd  24530  ovolfioo  24536  ovolficc  24537  ovolfsval  24539  ovolicc2lem1  24586  ovolicc2lem4  24589  ovolicc2lem5  24590  volsup  24625  uniiccdif  24647  uniioovol  24648  uniiccvol  24649  uniioombllem2  24652  uniioombllem3a  24653  uniioombllem4  24655  uniioombllem5  24656  mbfimaopnlem  24724  limccnp  24960  dvcobr  25015  dvcjbr  25018  dvfre  25020  plycjlem  25342  plycj  25343  coecj  25344  radcnvlem2  25478  radcnvlem3  25479  radcnvlt2  25483  pserulm  25486  resinf1o  25597  jensen  26043  eflgam  26099  ftalem3  26129  dchrinv  26314  dchr2sum  26326  dchrisum0re  26566  motco  26805  motcgrg  26809  ex-co  28703  vafval  28866  smfval  28868  vsfval  28896  imsdval  28949  lnocoi  29020  occllem  29566  hocoi  30027  homco1  30064  counop  30184  homco2  30240  hmopco  30286  nlelchi  30324  kbass2  30380  kbass5  30383  leopsq  30392  hmopidmchi  30414  elpjrn  30453  pjinvari  30454  cycpmco2  31302  derangenlem  33033  subfacp1lem5  33046  cnpconn  33092  txsconnlem  33102  txsconn  33103  cvmliftmolem1  33143  cvmliftlem7  33153  cvmlift2lem3  33167  cvmlift2lem7  33171  cvmlift2lem9  33173  cvmliftphtlem  33179  cvmlift3lem1  33181  cvmlift3lem2  33182  cvmlift3lem4  33184  cvmlift3lem5  33185  cvmlift3lem6  33186  cvmlift3lem7  33187  mrsubco  33383  msubco  33393  mclsppslem  33445  sinccvglem  33530  iprodefisumlem  33612  iprodefisum  33613  poimirlem22  35726  mblfinlem2  35742  ftc1anclem5  35781  ftc1anclem8  35784  cocanfo  35803  f1ocan1fv  35811  upixp  35814  ghomco  35976  rngohomco  36059  lautco  38038  ldilco  38057  ltrncoval  38086  tendocoval  38707  tendoconid  38770  tendospass  38960  dicvscacl  39132  cdlemn3  39138  cdlemn9  39146  brcoffn  41529  fvovco  42621  climexp  43036  stoweidlem27  43458  stoweidlem31  43462  ovolval4lem1  44077  isomushgr  45166  mgmhmco  45243