Theorem fvco3 6921

Description: Value of a function composition. (Contributed by NM, 3-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fvco3	⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Proof of Theorem fvco3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffn 6651	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴⟶𝐵 → 𝐺 Fn 𝐴)
2		fvco2 6919	. 2 ⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))
3	1, 2	sylan 580	1 ⊢ ((𝐺:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝐶) = (𝐹‘(𝐺‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∘ ccom 5618   Fn wfn 6476  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489

This theorem is referenced by:  fvco3d  6922  foco2  7042  f1cofveqaeqALT  7192  f1ocnvfv1  7210  f1ocnvfv2  7211  fcof1  7221  fcofo  7222  cocan1  7225  cocan2  7226  fveqf1o  7236  isotr  7270  fipreima  9242  fsuppco2  9287  fsuppcor  9288  unxpwdom2  9474  wemapwe  9587  ackbij2lem2  10130  cofsmo  10160  cfcoflem  10163  isf32lem6  10249  isf32lem7  10250  isf32lem8  10251  isf34lem7  10270  isf34lem6  10271  axcc3  10329  axdc4lem  10346  inar1  10666  axdc4uzlem  13890  seqf1olem2  13949  seqf1o  13950  lswco  14746  lo1o1  15439  o1co  15493  caucvgrlem2  15582  summolem3  15621  fsumf1o  15630  fsumcl2lem  15638  fsumadd  15647  fsummulc2  15691  fsumrelem  15714  supcvg  15763  prodmolem3  15840  fprodf1o  15853  fprodser  15856  fprodcl2lem  15857  fprodmul  15867  fproddiv  15868  fprodn0  15886  ruclem11  16149  ruclem12  16150  algcvg  16487  eulerthlem2  16693  cofu1  17791  cofu2  17793  cofucl  17795  fucidcl  17875  fuclid  17876  fucrid  17877  homadm  17947  homacd  17948  evlfcl  18128  curfuncf  18144  yonedalem4c  18183  yonedalem3b  18185  mgmhmco  18622  mhmco  18731  prdspjmhm  18737  pwsco1mhm  18740  lactghmga  19317  frgpup3lem  19689  gsumval3eu  19816  gsumval3  19819  gsumzaddlem  19833  gsumzmhm  19849  dprdf1o  19946  gsumfsum  21371  zrhpsgninv  21522  zrhpsgnevpm  21528  zrhpsgnodpm  21529  evlssca  22024  evls1val  22235  evls1sca  22238  evl1val  22244  mdetralt  22523  mdetunilem7  22533  cpmadumatpoly  22798  chcoeffeqlem  22800  cnpco  23182  lmcnp  23219  upxp  23538  uptx  23540  cnmpt11  23578  cnmpt21  23586  xkofvcn  23599  prdstmdd  24039  prdstgpd  24040  comet  24428  prdsxmslem2  24444  nrmmetd  24489  isngp3  24513  ngpds  24519  tngnm  24566  nmoco  24652  cnmetdval  24685  climcncf  24820  cncfco  24827  htpyco1  24904  htpyco2  24905  phtpyco2  24916  reparphti  24923  reparphtiOLD  24924  copco  24945  pi1cof  24986  pi1coghm  24988  caubl  25235  caublcls  25236  cniccbdd  25389  ovolfioo  25395  ovolficc  25396  ovolfsval  25398  ovolicc2lem1  25445  ovolicc2lem4  25448  ovolicc2lem5  25449  volsup  25484  uniiccdif  25506  uniioovol  25507  uniiccvol  25508  uniioombllem2  25511  uniioombllem3a  25512  uniioombllem4  25514  uniioombllem5  25515  mbfimaopnlem  25583  limccnp  25819  dvcobr  25876  dvcobrOLD  25877  dvcjbr  25880  dvfre  25882  plycjlem  26209  plycj  26210  coecj  26211  plycjOLD  26212  coecjOLD  26213  radcnvlem2  26350  radcnvlem3  26351  radcnvlt2  26355  pserulm  26358  resinf1o  26472  jensen  26926  eflgam  26982  ftalem3  27012  dchrinv  27199  dchr2sum  27211  dchrisum0re  27451  motco  28518  motcgrg  28522  ex-co  30418  vafval  30583  smfval  30585  vsfval  30613  imsdval  30666  lnocoi  30737  occllem  31283  hocoi  31744  homco1  31781  counop  31901  homco2  31957  hmopco  32003  nlelchi  32041  kbass2  32097  kbass5  32100  leopsq  32109  hmopidmchi  32131  elpjrn  32170  pjinvari  32171  cycpmco2  33102  derangenlem  35215  subfacp1lem5  35228  cnpconn  35274  txsconnlem  35284  txsconn  35285  cvmliftmolem1  35325  cvmliftlem7  35335  cvmlift2lem3  35349  cvmlift2lem7  35353  cvmlift2lem9  35355  cvmliftphtlem  35361  cvmlift3lem1  35363  cvmlift3lem2  35364  cvmlift3lem4  35366  cvmlift3lem5  35367  cvmlift3lem6  35368  cvmlift3lem7  35369  mrsubco  35565  msubco  35575  mclsppslem  35627  sinccvglem  35716  iprodefisumlem  35784  iprodefisum  35785  poimirlem22  37692  mblfinlem2  37708  ftc1anclem5  37747  ftc1anclem8  37750  cocanfo  37769  f1ocan1fv  37776  upixp  37779  ghomco  37941  rngohomco  38024  lautco  40206  ldilco  40225  ltrncoval  40254  tendocoval  40875  tendoconid  40938  tendospass  41128  dicvscacl  41300  cdlemn3  41306  cdlemn9  41314  brcoffn  44133  fvovco  45300  climexp  45715  stoweidlem27  46135  stoweidlem31  46139  ovolval4lem1  46757  gricushgr  48027  uspgrlimlem3  48100  uspgrlimlem4  48101  grlictr  48125