Theorem nmopcoi 31037

Description: Upper bound for the norm of the composition of two bounded linear operators. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoptri.1	⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
nmopcoi	⊢ (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))

Proof of Theorem nmopcoi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoptri.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
2		bdopln 30803	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ LinOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ LinOp
4		nmoptri.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
5		bdopln 30803	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
7	3, 6	lnopcoi 30945	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ LinOp
8	7	lnopfi 30911	. . 3 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
9		nmopre 30812	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑆) ∈ ℝ)
10	1, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (normop‘𝑆) ∈ ℝ
11		nmopre 30812	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
13	10, 12	remulcli 11171	. . . 4 ⊢ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ
14	13	rexri 11213	. . 3 ⊢ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ*
15		nmopub 30850	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ*) → ((normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))))
16	8, 14, 15	mp2an 690	. 2 ⊢ ((normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))))
17		0le0 12254	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 ≤ 0)
19	3, 6	lnopco0i 30946	. . . . . . . 8 ⊢ ((normop‘𝑇) = 0 → (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) = 0)
20	7	nmlnop0iHIL 30938	. . . . . . . 8 ⊢ ((normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) = 0 ↔ (𝑆 ∘ 𝑇) = 0hop )
21	19, 20	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ ((normop‘𝑇) = 0 → (𝑆 ∘ 𝑇) = 0hop )
22		fveq1 6841	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) = 0hop → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = ( 0hop ‘𝑥))
23	22	fveq2d 6846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) = 0hop → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = (normℎ‘( 0hop ‘𝑥)))
24		ho0val 30692	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ( 0hop ‘𝑥) = 0ℎ)
25	24	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘( 0hop ‘𝑥)) = (normℎ‘0ℎ))
26		norm0 30070	. . . . . . . . 9 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
27	25, 26	eqtrdi 2792	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘( 0hop ‘𝑥)) = 0)
28	23, 27	sylan9eq 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇) = 0hop ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = 0)
29	21, 28	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = 0)
30		oveq2 7365	. . . . . . . 8 ⊢ ((normop‘𝑇) = 0 → ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) = ((normop‘𝑆) · 0))
31	10	recni 11169	. . . . . . . . 9 ⊢ (normop‘𝑆) ∈ ℂ
32	31	mul01i 11345	. . . . . . . 8 ⊢ ((normop‘𝑆) · 0) = 0
33	30, 32	eqtrdi 2792	. . . . . . 7 ⊢ ((normop‘𝑇) = 0 → ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) = 0)
34	33	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) = 0)
35	18, 29, 34	3brtr4d 5137	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))
36	35	adantrr 715	. . . 4 ⊢ (((normop‘𝑇) = 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))
37		df-ne 2944	. . . . 5 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ ¬ (normop‘𝑇) = 0)
38	8	ffvelcdmi 7034	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ)
39		normcl 30067	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
41	40	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℂ)
42	12	recni 11169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
43		divrec2 11830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
44	42, 43	mp3an2 1449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
45	41, 44	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
46	45	ancoms 459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
47	12	rerecclzi 11919	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
48		bdopf 30804	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
49	4, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
50		nmopgt0 30854	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (normop‘𝑇)))
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (normop‘𝑇))
52	12	recgt0i 12060	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 < (normop‘𝑇) → 0 < (1 / (normop‘𝑇)))
53	51, 52	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → 0 < (1 / (normop‘𝑇)))
54		0re 11157	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
55		ltle 11243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ) → (0 < (1 / (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop‘𝑇))))
56	54, 55	mpan 688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ → (0 < (1 / (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop‘𝑇))))
57	47, 53, 56	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → 0 ≤ (1 / (normop‘𝑇)))
58	47, 57	absidd 15307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → (abs‘(1 / (normop‘𝑇))) = (1 / (normop‘𝑇)))
59	58	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(1 / (normop‘𝑇))) = (1 / (normop‘𝑇)))
60	59	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
61	46, 60	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
62	42	recclzi 11880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ)
63		norm-iii 30082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
64	62, 38, 63	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
65	61, 64	eqtr4d 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
66	49	ffvelcdmi 7034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
67	3	lnopmuli 30914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
68	62, 66, 67	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
69		bdopf 30804	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
70	1, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
71	70, 49	hocoi 30706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇‘𝑥)))
72	71	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
73	72	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
74	68, 73	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
75	74	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))) = (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
76	65, 75	eqtr4d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))))
77	76	adantrr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))))
78		hvmulcl 29955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
79	62, 66, 78	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
80	79	adantrr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
81		norm-iii 30082	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
82	62, 66, 81	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
83		normcl 30067	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
84	66, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
85	84	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℂ)
86		divrec2 11830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
87	42, 86	mp3an2 1449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
88	85, 87	sylan 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
89	88	ancoms 459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
90	59	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
91	89, 90	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
92	82, 91	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)))
93	92	adantrr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)))
94		nmoplb 30849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
95	49, 94	mp3an1 1448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
96	42	mulid2i 11160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · (normop‘𝑇)) = (normop‘𝑇)
97	95, 96	breqtrrdi 5147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇)))
98	97	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇)))
99	84	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
100		1red 11156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
101	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
102	51	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → 0 < (normop‘𝑇))
103	102	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 0 < (normop‘𝑇))
104		ledivmul2 12034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (normop‘𝑇))) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ 1 ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇))))
105	99, 100, 101, 103, 104	syl112anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ 1 ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇))))
106	105	ancoms 459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ 1 ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇))))
107	106	adantrr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ 1 ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇))))
108	98, 107	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ 1)
109	93, 108	eqbrtrd 5127	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) ≤ 1)
110		nmoplb 30849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))) ≤ (normop‘𝑆))
111	70, 110	mp3an1 1448	. . . . . . . 8 ⊢ ((((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))) ≤ (normop‘𝑆))
112	80, 109, 111	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))) ≤ (normop‘𝑆))
113	77, 112	eqbrtrd 5127	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘𝑆))
114	40	ad2antrl 726	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
115	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normop‘𝑆) ∈ ℝ)
116	102	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → 0 < (normop‘𝑇))
117	116, 12	jctil 520	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (normop‘𝑇)))
118		ledivmul2 12034	. . . . . . 7 ⊢ (((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑆) ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (normop‘𝑇))) → (((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘𝑆) ↔ (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))))
119	114, 115, 117, 118	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘𝑆) ↔ (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))))
120	113, 119	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))
121	37, 120	sylanbr 582	. . . 4 ⊢ ((¬ (normop‘𝑇) = 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))
122	36, 121	pm2.61ian 810	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))
123	122	ex 413	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))))
124	16, 123	mprgbir 3071	1 ⊢ (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064   class class class wbr 5105   ∘ ccom 5637  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   · cmul 11056  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190   / cdiv 11812  abscabs 15119   ℋchba 29861   ·_ℎ csm 29863  norm_ℎcno 29865  0_ℎc0v 29866   0_hop ch0o 29885  norm_opcnop 29887  LinOpclo 29889  BndLinOpcbo 29890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131  ax-hilex 29941  ax-hfvadd 29942  ax-hvcom 29943  ax-hvass 29944  ax-hv0cl 29945  ax-hvaddid 29946  ax-hfvmul 29947  ax-hvmulid 29948  ax-hvmulass 29949  ax-hvdistr1 29950  ax-hvdistr2 29951  ax-hvmul0 29952  ax-hfi 30021  ax-his1 30024  ax-his2 30025  ax-his3 30026  ax-his4 30027  ax-hcompl 30144

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-lm 22580  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cfil 24619  df-cau 24620  df-cmet 24621  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-gdiv 29438  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-vs 29541  df-nmcv 29542  df-ims 29543  df-dip 29643  df-ssp 29664  df-lno 29686  df-nmoo 29687  df-0o 29689  df-ph 29755  df-cbn 29805  df-hnorm 29910  df-hba 29911  df-hvsub 29913  df-hlim 29914  df-hcau 29915  df-sh 30149  df-ch 30163  df-oc 30194  df-ch0 30195  df-shs 30250  df-pjh 30337  df-h0op 30690  df-nmop 30781  df-lnop 30783  df-bdop 30784  df-hmop 30786

This theorem is referenced by:  bdopcoi  31040  unierri  31046