Theorem nmopcoi 32698

Description: Upper bound for the norm of the composition of two bounded linear operators. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoptri.1	⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
nmopcoi	⊢ (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))

Proof of Theorem nmopcoi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoptri.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
2		bdopln 32464	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ LinOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ LinOp
4		nmoptri.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
5		bdopln 32464	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
7	3, 6	lnopcoi 32606	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ LinOp
8	7	lnopfi 32572	. . 3 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
9		nmopre 32473	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑆) ∈ ℝ)
10	1, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (normop‘𝑆) ∈ ℝ
11		nmopre 32473	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
13	10, 12	remulcli 11326	. . . 4 ⊢ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ
14	13	rexri 11368	. . 3 ⊢ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ*
15		nmopub 32511	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ*) → ((normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))))
16	8, 14, 15	mp2an 705	. 2 ⊢ ((normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))))
17		0le0 12445	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 ≤ 0)
19	3, 6	lnopco0i 32607	. . . . . . . 8 ⊢ ((normop‘𝑇) = 0 → (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) = 0)
20	7	nmlnop0iHIL 32599	. . . . . . . 8 ⊢ ((normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) = 0 ↔ (𝑆 ∘ 𝑇) = 0hop )
21	19, 20	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((normop‘𝑇) = 0 → (𝑆 ∘ 𝑇) = 0hop )
22		fveq1 6884	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) = 0hop → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = ( 0hop ‘𝑥))
23	22	fveq2d 6889	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) = 0hop → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = (normℎ‘( 0hop ‘𝑥)))
24		ho0val 32353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ( 0hop ‘𝑥) = 0ℎ)
25	24	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘( 0hop ‘𝑥)) = (normℎ‘0ℎ))
26		norm0 31731	. . . . . . . . 9 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
27	25, 26	eqtrdi 2811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘( 0hop ‘𝑥)) = 0)
28	23, 27	sylan9eq 2815	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇) = 0hop ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = 0)
29	21, 28	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = 0)
30		oveq2 7428	. . . . . . . 8 ⊢ ((normop‘𝑇) = 0 → ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) = ((normop‘𝑆) · 0))
31	10	recni 11324	. . . . . . . . 9 ⊢ (normop‘𝑆) ∈ ℂ
32	31	mul01i 11501	. . . . . . . 8 ⊢ ((normop‘𝑆) · 0) = 0
33	30, 32	eqtrdi 2811	. . . . . . 7 ⊢ ((normop‘𝑇) = 0 → ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) = 0)
34	33	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) = 0)
35	18, 29, 34	3brtr4d 5136	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))
36	35	adantrr 730	. . . 4 ⊢ (((normop‘𝑇) = 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))
37		df-ne 2956	. . . . 5 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ ¬ (normop‘𝑇) = 0)
38	8	ffvelcdmi 7083	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ)
39		normcl 31728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
40	38, 39	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
41	40	recnd 11338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℂ)
42	12	recni 11324	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
43		divrec2 11992	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
44	42, 43	mp3an2 1478	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
45	41, 44	sylan 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
46	45	ancoms 464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
47	12	rerecclzi 12082	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
48		bdopf 32465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
49	4, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
50		nmopgt0 32515	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (normop‘𝑇)))
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (normop‘𝑇))
52	12	recgt0i 12223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 < (normop‘𝑇) → 0 < (1 / (normop‘𝑇)))
53	51, 52	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → 0 < (1 / (normop‘𝑇)))
54		0re 11311	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
55		ltle 11399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ) → (0 < (1 / (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop‘𝑇))))
56	54, 55	mpan 703	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ → (0 < (1 / (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop‘𝑇))))
57	47, 53, 56	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → 0 ≤ (1 / (normop‘𝑇)))
58	47, 57	absidd 15591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → (abs‘(1 / (normop‘𝑇))) = (1 / (normop‘𝑇)))
59	58	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(1 / (normop‘𝑇))) = (1 / (normop‘𝑇)))
60	59	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
61	46, 60	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
62	42	recclzi 12043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ)
63		norm-iii 31743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
64	62, 38, 63	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
65	61, 64	eqtr4d 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
66	49	ffvelcdmi 7083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
67	3	lnopmuli 32575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
68	62, 66, 67	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
69		bdopf 32465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
70	1, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
71	70, 49	hocoi 32367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇‘𝑥)))
72	71	oveq2d 7436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
73	72	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
74	68, 73	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
75	74	fveq2d 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))) = (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
76	65, 75	eqtr4d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))))
77	76	adantrr 730	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))))
78		hvmulcl 31616	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
79	62, 66, 78	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
80	79	adantrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
81		norm-iii 31743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
82	62, 66, 81	syl2an 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
83		normcl 31728	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
84	66, 83	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
85	84	recnd 11338	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℂ)
86		divrec2 11992	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
87	42, 86	mp3an2 1478	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
88	85, 87	sylan 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
89	88	ancoms 464	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
90	59	oveq1d 7435	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
91	89, 90	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
92	82, 91	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)))
93	92	adantrr 730	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)))
94		nmoplb 32510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
95	49, 94	mp3an1 1477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
96	42	mullidi 11315	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · (normop‘𝑇)) = (normop‘𝑇)
97	95, 96	breqtrrdi 5146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇)))
98	97	adantl 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇)))
99	84	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
100		1red 11310	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
101	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
102	51	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → 0 < (normop‘𝑇))
103	102	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 0 < (normop‘𝑇))
104		ledivmul2 12197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (normop‘𝑇))) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ 1 ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇))))
105	99, 100, 101, 103, 104	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ 1 ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇))))
106	105	ancoms 464	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ 1 ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇))))
107	106	adantrr 730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ 1 ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇))))
108	98, 107	mpbird 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ 1)
109	93, 108	eqbrtrd 5126	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) ≤ 1)
110		nmoplb 32510	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))) ≤ (normop‘𝑆))
111	70, 110	mp3an1 1477	. . . . . . . 8 ⊢ ((((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))) ≤ (normop‘𝑆))
112	80, 109, 111	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))) ≤ (normop‘𝑆))
113	77, 112	eqbrtrd 5126	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘𝑆))
114	40	ad2antrl 741	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
115	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normop‘𝑆) ∈ ℝ)
116	102	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → 0 < (normop‘𝑇))
117	116, 12	jctil 529	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (normop‘𝑇)))
118		ledivmul2 12197	. . . . . . 7 ⊢ (((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑆) ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (normop‘𝑇))) → (((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘𝑆) ↔ (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))))
119	114, 115, 117, 118	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘𝑆) ↔ (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))))
120	113, 119	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))
121	37, 120	sylanbr 594	. . . 4 ⊢ ((¬ (normop‘𝑇) = 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))
122	36, 121	pm2.61ian 824	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))
123	122	ex 418	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))))
124	16, 123	mprgbir 3083	1 ⊢ (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076   class class class wbr 5102   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11199  ℝcr 11200  0cc0 11201  1c1 11202   · cmul 11206  ℝ^*cxr 11343   < clt 11344   ≤ cle 11345   / cdiv 11974  abscabs 15402   ℋchba 31522   ·_ℎ csm 31524  norm_ℎcno 31526  0_ℎc0v 31527   0_hop ch0o 31546  norm_opcnop 31548  LinOpclo 31550  BndLinOpcbo 31551

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9643  ax-cc 10514  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279  ax-addf 11280  ax-mulf 11281  ax-hilex 31602  ax-hfvadd 31603  ax-hvcom 31604  ax-hvass 31605  ax-hv0cl 31606  ax-hvaddid 31607  ax-hfvmul 31608  ax-hvmulid 31609  ax-hvmulass 31610  ax-hvdistr1 31611  ax-hvdistr2 31612  ax-hvmul0 31613  ax-hfi 31682  ax-his1 31685  ax-his2 31686  ax-his3 31687  ax-his4 31688  ax-hcompl 31805

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-oadd 8481  df-omul 8482  df-er 8718  df-map 8850  df-pm 8851  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-fi 9404  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-card 10021  df-acn 10024  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-xneg 13242  df-xadd 13243  df-xmul 13244  df-ioo 13481  df-ico 13483  df-icc 13484  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-seq 14146  df-exp 14206  df-hash 14476  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-clim 15656  df-rlim 15657  df-sum 15855  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-starv 17444  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-unif 17452  df-hom 17453  df-cco 17454  df-rest 17594  df-topn 17595  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-topgen 17615  df-pt 17616  df-prds 17619  df-xrs 17675  df-qtop 17680  df-imas 17681  df-xps 17683  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-submnd 18980  df-mulg 19279  df-cntz 19532  df-cmn 19997  df-psmet 21671  df-xmet 21672  df-met 21673  df-bl 21674  df-mopn 21675  df-fbas 21676  df-fg 21677  df-cnfld 21680  df-top 23213  df-topon 23230  df-topsp 23252  df-bases 23265  df-cld 23338  df-ntr 23339  df-cls 23340  df-nei 23417  df-cn 23546  df-cnp 23547  df-lm 23548  df-haus 23634  df-tx 23882  df-hmeo 24075  df-fil 24166  df-fm 24258  df-flim 24259  df-flf 24260  df-xms 24640  df-ms 24641  df-tms 24642  df-cfil 25577  df-cau 25578  df-cmet 25579  df-grpo 31096  df-gid 31097  df-ginv 31098  df-gdiv 31099  df-ablo 31148  df-vc 31162  df-nv 31195  df-va 31198  df-ba 31199  df-sm 31200  df-0v 31201  df-vs 31202  df-nmcv 31203  df-ims 31204  df-dip 31304  df-ssp 31325  df-lno 31347  df-nmoo 31348  df-0o 31350  df-ph 31416  df-cbn 31466  df-hnorm 31571  df-hba 31572  df-hvsub 31574  df-hlim 31575  df-hcau 31576  df-sh 31810  df-ch 31824  df-oc 31855  df-ch0 31856  df-shs 31911  df-pjh 31998  df-h0op 32351  df-nmop 32442  df-lnop 32444  df-bdop 32445  df-hmop 32447

This theorem is used by:  bdopcoi  32701  unierri  32707