HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopcoi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmopcoi 31615
Description: Upper bound for the norm of the composition of two bounded linear operators. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1 ๐‘† โˆˆ BndLinOp
nmoptri.2 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmopcoi (normopโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡))

Proof of Theorem nmopcoi
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoptri.1 . . . . . 6 ๐‘† โˆˆ BndLinOp
2 bdopln 31381 . . . . . 6 (๐‘† โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘† โˆˆ LinOp)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 ๐‘† โˆˆ LinOp
4 nmoptri.2 . . . . . 6 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
5 bdopln 31381 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘‡ โˆˆ LinOp)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
73, 6lnopcoi 31523 . . . 4 (๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ LinOp
87lnopfi 31489 . . 3 (๐‘† โˆ˜ ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹
9 nmopre 31390 . . . . . 6 (๐‘† โˆˆ BndLinOp โ†’ (normopโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„)
101, 9ax-mp 5 . . . . 5 (normopโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„
11 nmopre 31390 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
124, 11ax-mp 5 . . . . 5 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„
1310, 12remulcli 11234 . . . 4 ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„
1413rexri 11276 . . 3 ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„*
15 nmopub 31428 . . 3 (((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„*) โ†’ ((normopโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))))
168, 14, 15mp2an 688 . 2 ((normopโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡))))
17 0le0 12317 . . . . . . 7 0 โ‰ค 0
1817a1i 11 . . . . . 6 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ 0 โ‰ค 0)
193, 6lnopco0i 31524 . . . . . . . 8 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†’ (normopโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)) = 0)
207nmlnop0iHIL 31516 . . . . . . . 8 ((normopโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)) = 0 โ†” (๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) = 0hop )
2119, 20sylib 217 . . . . . . 7 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†’ (๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) = 0hop )
22 fveq1 6889 . . . . . . . . 9 ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) = 0hop โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ( 0hop โ€˜๐‘ฅ))
2322fveq2d 6894 . . . . . . . 8 ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) = 0hop โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜( 0hop โ€˜๐‘ฅ)))
24 ho0val 31270 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ( 0hop โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
2524fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜( 0hop โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜0โ„Ž))
26 norm0 30648 . . . . . . . . 9 (normโ„Žโ€˜0โ„Ž) = 0
2725, 26eqtrdi 2786 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜( 0hop โ€˜๐‘ฅ)) = 0)
2823, 27sylan9eq 2790 . . . . . . 7 (((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) = 0hop โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = 0)
2921, 28sylan 578 . . . . . 6 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = 0)
30 oveq2 7419 . . . . . . . 8 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†’ ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) = ((normopโ€˜๐‘†) ยท 0))
3110recni 11232 . . . . . . . . 9 (normopโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚
3231mul01i 11408 . . . . . . . 8 ((normopโ€˜๐‘†) ยท 0) = 0
3330, 32eqtrdi 2786 . . . . . . 7 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†’ ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) = 0)
3433adantr 479 . . . . . 6 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) = 0)
3518, 29, 343brtr4d 5179 . . . . 5 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
3635adantrr 713 . . . 4 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
37 df-ne 2939 . . . . 5 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†” ยฌ (normopโ€˜๐‘‡) = 0)
388ffvelcdmi 7084 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
39 normcl 30645 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
4140recnd 11246 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
4212recni 11232 . . . . . . . . . . . . . 14 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚
43 divrec2 11893 . . . . . . . . . . . . . 14 (((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))))
4442, 43mp3an2 1447 . . . . . . . . . . . . 13 (((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))))
4541, 44sylan 578 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))))
4645ancoms 457 . . . . . . . . . . 11 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))))
4712rerecclzi 11982 . . . . . . . . . . . . . 14 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†’ (1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„)
48 bdopf 31382 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
494, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
50 nmopgt0 31432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†” 0 < (normopโ€˜๐‘‡)))
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†” 0 < (normopโ€˜๐‘‡))
5212recgt0i 12123 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < (normopโ€˜๐‘‡) โ†’ 0 < (1 / (normopโ€˜๐‘‡)))
5351, 52sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†’ 0 < (1 / (normopโ€˜๐‘‡)))
54 0re 11220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 โˆˆ โ„
55 ltle 11306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (normopโ€˜๐‘‡))))
5654, 55mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„ โ†’ (0 < (1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (normopโ€˜๐‘‡))))
5747, 53, 56sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†’ 0 โ‰ค (1 / (normopโ€˜๐‘‡)))
5847, 57absidd 15373 . . . . . . . . . . . . 13 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†’ (absโ€˜(1 / (normopโ€˜๐‘‡))) = (1 / (normopโ€˜๐‘‡)))
5958adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(1 / (normopโ€˜๐‘‡))) = (1 / (normopโ€˜๐‘‡)))
6059oveq1d 7426 . . . . . . . . . . 11 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((absโ€˜(1 / (normopโ€˜๐‘‡))) ยท (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))))
6146, 60eqtr4d 2773 . . . . . . . . . 10 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) = ((absโ€˜(1 / (normopโ€˜๐‘‡))) ยท (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))))
6242recclzi 11943 . . . . . . . . . . 11 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†’ (1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚)
63 norm-iii 30660 . . . . . . . . . . 11 (((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))) = ((absโ€˜(1 / (normopโ€˜๐‘‡))) ยท (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))))
6462, 38, 63syl2an 594 . . . . . . . . . 10 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))) = ((absโ€˜(1 / (normopโ€˜๐‘‡))) ยท (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))))
6561, 64eqtr4d 2773 . . . . . . . . 9 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) = (normโ„Žโ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))))
6649ffvelcdmi 7084 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
673lnopmuli 31492 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
6862, 66, 67syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
69 bdopf 31382 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘† โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹)
701, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹
7170, 49hocoi 31284 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
7271oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
7372adantl 480 . . . . . . . . . . 11 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
7468, 73eqtr4d 2773 . . . . . . . . . 10 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
7574fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))) = (normโ„Žโ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))))
7665, 75eqtr4d 2773 . . . . . . . 8 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
7776adantrr 713 . . . . . . 7 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
78 hvmulcl 30533 . . . . . . . . . 10 (((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
7962, 66, 78syl2an 594 . . . . . . . . 9 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
8079adantrr 713 . . . . . . . 8 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
81 norm-iii 30660 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((absโ€˜(1 / (normopโ€˜๐‘‡))) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
8262, 66, 81syl2an 594 . . . . . . . . . . 11 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((absโ€˜(1 / (normopโ€˜๐‘‡))) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
83 normcl 30645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
8466, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
8584recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
86 divrec2 11893 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
8742, 86mp3an2 1447 . . . . . . . . . . . . . 14 (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
8885, 87sylan 578 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
8988ancoms 457 . . . . . . . . . . . 12 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
9059oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((absโ€˜(1 / (normopโ€˜๐‘‡))) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
9189, 90eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . 11 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) = ((absโ€˜(1 / (normopโ€˜๐‘‡))) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
9282, 91eqtr4d 2773 . . . . . . . . . 10 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)))
9392adantrr 713 . . . . . . . . 9 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)))
94 nmoplb 31427 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
9549, 94mp3an1 1446 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
9642mullidi 11223 . . . . . . . . . . . 12 (1 ยท (normopโ€˜๐‘‡)) = (normopโ€˜๐‘‡)
9795, 96breqtrrdi 5189 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (1 ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
9897adantl 480 . . . . . . . . . 10 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (1 ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
9984adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
100 1red 11219 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
10112a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
10251biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†’ 0 < (normopโ€˜๐‘‡))
103102adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ 0 < (normopโ€˜๐‘‡))
104 ledivmul2 12097 . . . . . . . . . . . . 13 (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (normopโ€˜๐‘‡))) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค 1 โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (1 ยท (normopโ€˜๐‘‡))))
10599, 100, 101, 103, 104syl112anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค 1 โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (1 ยท (normopโ€˜๐‘‡))))
106105ancoms 457 . . . . . . . . . . 11 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค 1 โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (1 ยท (normopโ€˜๐‘‡))))
107106adantrr 713 . . . . . . . . . 10 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค 1 โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (1 ยท (normopโ€˜๐‘‡))))
10898, 107mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค 1)
10993, 108eqbrtrd 5169 . . . . . . . 8 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค 1)
110 nmoplb 31427 . . . . . . . . 9 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))) โ‰ค (normopโ€˜๐‘†))
11170, 110mp3an1 1446 . . . . . . . 8 ((((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))) โ‰ค (normopโ€˜๐‘†))
11280, 109, 111syl2anc 582 . . . . . . 7 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))) โ‰ค (normopโ€˜๐‘†))
11377, 112eqbrtrd 5169 . . . . . 6 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘†))
11440ad2antrl 724 . . . . . . 7 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
11510a1i 11 . . . . . . 7 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (normopโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„)
116102adantr 479 . . . . . . . 8 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ 0 < (normopโ€˜๐‘‡))
117116, 12jctil 518 . . . . . . 7 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (normopโ€˜๐‘‡)))
118 ledivmul2 12097 . . . . . . 7 (((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง ((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (normopโ€˜๐‘‡))) โ†’ (((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘†) โ†” (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡))))
119114, 115, 117, 118syl3anc 1369 . . . . . 6 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘†) โ†” (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡))))
120113, 119mpbid 231 . . . . 5 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
12137, 120sylanbr 580 . . . 4 ((ยฌ (normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
12236, 121pm2.61ian 808 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
123122ex 411 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡))))
12416, 123mprgbir 3066 1 (normopโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938  โˆ€wral 3059   class class class wbr 5147   โˆ˜ ccom 5679  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117  โ„*cxr 11251   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   / cdiv 11875  abscabs 15185   โ„‹chba 30439   ยทโ„Ž csm 30441  normโ„Žcno 30443  0โ„Žc0v 30444   0hop ch0o 30463  normopcnop 30465  LinOpclo 30467  BndLinOpcbo 30468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30519  ax-hfvadd 30520  ax-hvcom 30521  ax-hvass 30522  ax-hv0cl 30523  ax-hvaddid 30524  ax-hfvmul 30525  ax-hvmulid 30526  ax-hvmulass 30527  ax-hvdistr1 30528  ax-hvdistr2 30529  ax-hvmul0 30530  ax-hfi 30599  ax-his1 30602  ax-his2 30603  ax-his3 30604  ax-his4 30605  ax-hcompl 30722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-lm 22953  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cfil 25003  df-cau 25004  df-cmet 25005  df-grpo 30013  df-gid 30014  df-ginv 30015  df-gdiv 30016  df-ablo 30065  df-vc 30079  df-nv 30112  df-va 30115  df-ba 30116  df-sm 30117  df-0v 30118  df-vs 30119  df-nmcv 30120  df-ims 30121  df-dip 30221  df-ssp 30242  df-lno 30264  df-nmoo 30265  df-0o 30267  df-ph 30333  df-cbn 30383  df-hnorm 30488  df-hba 30489  df-hvsub 30491  df-hlim 30492  df-hcau 30493  df-sh 30727  df-ch 30741  df-oc 30772  df-ch0 30773  df-shs 30828  df-pjh 30915  df-h0op 31268  df-nmop 31359  df-lnop 31361  df-bdop 31362  df-hmop 31364
This theorem is referenced by:  bdopcoi  31618  unierri  31624
  Copyright terms: Public domain W3C validator