HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopcoi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmopcoi 30030
Description: Upper bound for the norm of the composition of two bounded linear operators. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2 𝑇 ∈ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmopcoi (normop‘(𝑆𝑇)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇))

Proof of Theorem nmopcoi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoptri.1 . . . . . 6 𝑆 ∈ BndLinOp
2 bdopln 29796 . . . . . 6 (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ LinOp)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 𝑆 ∈ LinOp
4 nmoptri.2 . . . . . 6 𝑇 ∈ BndLinOp
5 bdopln 29796 . . . . . 6 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 𝑇 ∈ LinOp
73, 6lnopcoi 29938 . . . 4 (𝑆𝑇) ∈ LinOp
87lnopfi 29904 . . 3 (𝑆𝑇): ℋ⟶ ℋ
9 nmopre 29805 . . . . . 6 (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop𝑆) ∈ ℝ)
101, 9ax-mp 5 . . . . 5 (normop𝑆) ∈ ℝ
11 nmopre 29805 . . . . . 6 (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop𝑇) ∈ ℝ)
124, 11ax-mp 5 . . . . 5 (normop𝑇) ∈ ℝ
1310, 12remulcli 10735 . . . 4 ((normop𝑆) · (normop𝑇)) ∈ ℝ
1413rexri 10777 . . 3 ((normop𝑆) · (normop𝑇)) ∈ ℝ*
15 nmopub 29843 . . 3 (((𝑆𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((normop𝑆) · (normop𝑇)) ∈ ℝ*) → ((normop‘(𝑆𝑇)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇)))))
168, 14, 15mp2an 692 . 2 ((normop‘(𝑆𝑇)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇))))
17 0le0 11817 . . . . . . 7 0 ≤ 0
1817a1i 11 . . . . . 6 (((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 ≤ 0)
193, 6lnopco0i 29939 . . . . . . . 8 ((normop𝑇) = 0 → (normop‘(𝑆𝑇)) = 0)
207nmlnop0iHIL 29931 . . . . . . . 8 ((normop‘(𝑆𝑇)) = 0 ↔ (𝑆𝑇) = 0hop )
2119, 20sylib 221 . . . . . . 7 ((normop𝑇) = 0 → (𝑆𝑇) = 0hop )
22 fveq1 6673 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑇) = 0hop → ((𝑆𝑇)‘𝑥) = ( 0hop𝑥))
2322fveq2d 6678 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑇) = 0hop → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) = (norm‘( 0hop𝑥)))
24 ho0val 29685 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ( 0hop𝑥) = 0)
2524fveq2d 6678 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘( 0hop𝑥)) = (norm‘0))
26 norm0 29063 . . . . . . . . 9 (norm‘0) = 0
2725, 26eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘( 0hop𝑥)) = 0)
2823, 27sylan9eq 2793 . . . . . . 7 (((𝑆𝑇) = 0hop𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) = 0)
2921, 28sylan 583 . . . . . 6 (((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) = 0)
30 oveq2 7178 . . . . . . . 8 ((normop𝑇) = 0 → ((normop𝑆) · (normop𝑇)) = ((normop𝑆) · 0))
3110recni 10733 . . . . . . . . 9 (normop𝑆) ∈ ℂ
3231mul01i 10908 . . . . . . . 8 ((normop𝑆) · 0) = 0
3330, 32eqtrdi 2789 . . . . . . 7 ((normop𝑇) = 0 → ((normop𝑆) · (normop𝑇)) = 0)
3433adantr 484 . . . . . 6 (((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop𝑆) · (normop𝑇)) = 0)
3518, 29, 343brtr4d 5062 . . . . 5 (((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇)))
3635adantrr 717 . . . 4 (((normop𝑇) = 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇)))
37 df-ne 2935 . . . . 5 ((normop𝑇) ≠ 0 ↔ ¬ (normop𝑇) = 0)
388ffvelrni 6860 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ)
39 normcl 29060 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
4140recnd 10747 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ∈ ℂ)
4212recni 10733 . . . . . . . . . . . . . 14 (normop𝑇) ∈ ℂ
43 divrec2 11393 . . . . . . . . . . . . . 14 (((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥))))
4442, 43mp3an2 1450 . . . . . . . . . . . . 13 (((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥))))
4541, 44sylan 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥))))
4645ancoms 462 . . . . . . . . . . 11 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥))))
4712rerecclzi 11482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((normop𝑇) ≠ 0 → (1 / (normop𝑇)) ∈ ℝ)
48 bdopf 29797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
494, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇: ℋ⟶ ℋ
50 nmopgt0 29847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (normop𝑇)))
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((normop𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (normop𝑇))
5212recgt0i 11623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < (normop𝑇) → 0 < (1 / (normop𝑇)))
5351, 52sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normop𝑇) ≠ 0 → 0 < (1 / (normop𝑇)))
54 0re 10721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
55 ltle 10807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / (normop𝑇)) ∈ ℝ) → (0 < (1 / (normop𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop𝑇))))
5654, 55mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / (normop𝑇)) ∈ ℝ → (0 < (1 / (normop𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop𝑇))))
5747, 53, 56sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 ((normop𝑇) ≠ 0 → 0 ≤ (1 / (normop𝑇)))
5847, 57absidd 14872 . . . . . . . . . . . . 13 ((normop𝑇) ≠ 0 → (abs‘(1 / (normop𝑇))) = (1 / (normop𝑇)))
5958adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(1 / (normop𝑇))) = (1 / (normop𝑇)))
6059oveq1d 7185 . . . . . . . . . . 11 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(1 / (normop𝑇))) · (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥))) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥))))
6146, 60eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) = ((abs‘(1 / (normop𝑇))) · (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥))))
6242recclzi 11443 . . . . . . . . . . 11 ((normop𝑇) ≠ 0 → (1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ)
63 norm-iii 29075 . . . . . . . . . . 11 (((1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ ((𝑆𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ) → (norm‘((1 / (normop𝑇)) · ((𝑆𝑇)‘𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop𝑇))) · (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥))))
6462, 38, 63syl2an 599 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘((1 / (normop𝑇)) · ((𝑆𝑇)‘𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop𝑇))) · (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥))))
6561, 64eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) = (norm‘((1 / (normop𝑇)) · ((𝑆𝑇)‘𝑥))))
6649ffvelrni 6860 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
673lnopmuli 29907 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → (𝑆‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) = ((1 / (normop𝑇)) · (𝑆‘(𝑇𝑥))))
6862, 66, 67syl2an 599 . . . . . . . . . . 11 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) = ((1 / (normop𝑇)) · (𝑆‘(𝑇𝑥))))
69 bdopf 29797 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
701, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆: ℋ⟶ ℋ
7170, 49hocoi 29699 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇𝑥)))
7271oveq2d 7186 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((1 / (normop𝑇)) · ((𝑆𝑇)‘𝑥)) = ((1 / (normop𝑇)) · (𝑆‘(𝑇𝑥))))
7372adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 / (normop𝑇)) · ((𝑆𝑇)‘𝑥)) = ((1 / (normop𝑇)) · (𝑆‘(𝑇𝑥))))
7468, 73eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) = ((1 / (normop𝑇)) · ((𝑆𝑇)‘𝑥)))
7574fveq2d 6678 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑆‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)))) = (norm‘((1 / (normop𝑇)) · ((𝑆𝑇)‘𝑥))))
7665, 75eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) = (norm‘(𝑆‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)))))
7776adantrr 717 . . . . . . 7 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → ((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) = (norm‘(𝑆‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)))))
78 hvmulcl 28948 . . . . . . . . . 10 (((1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → ((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
7962, 66, 78syl2an 599 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
8079adantrr 717 . . . . . . . 8 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → ((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
81 norm-iii 29075 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → (norm‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop𝑇))) · (norm‘(𝑇𝑥))))
8262, 66, 81syl2an 599 . . . . . . . . . . 11 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop𝑇))) · (norm‘(𝑇𝑥))))
83 normcl 29060 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
8466, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
8584recnd 10747 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℂ)
86 divrec2 11393 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
8742, 86mp3an2 1450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
8885, 87sylan 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
8988ancoms 462 . . . . . . . . . . . 12 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
9059oveq1d 7185 . . . . . . . . . . . 12 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(1 / (normop𝑇))) · (norm‘(𝑇𝑥))) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
9189, 90eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) = ((abs‘(1 / (normop𝑇))) · (norm‘(𝑇𝑥))))
9282, 91eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) = ((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)))
9392adantrr 717 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (norm‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) = ((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)))
94 nmoplb 29842 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇))
9549, 94mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇))
9642mulid2i 10724 . . . . . . . . . . . 12 (1 · (normop𝑇)) = (normop𝑇)
9795, 96breqtrrdi 5072 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (1 · (normop𝑇)))
9897adantl 485 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (1 · (normop𝑇)))
9984adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
100 1red 10720 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
10112a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → (normop𝑇) ∈ ℝ)
10251biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . 14 ((normop𝑇) ≠ 0 → 0 < (normop𝑇))
103102adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → 0 < (normop𝑇))
104 ledivmul2 11597 . . . . . . . . . . . . 13 (((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (normop𝑇))) → (((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) ≤ 1 ↔ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (1 · (normop𝑇))))
10599, 100, 101, 103, 104syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → (((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) ≤ 1 ↔ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (1 · (normop𝑇))))
106105ancoms 462 . . . . . . . . . . 11 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) ≤ 1 ↔ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (1 · (normop𝑇))))
107106adantrr 717 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) ≤ 1 ↔ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (1 · (normop𝑇))))
10898, 107mpbird 260 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → ((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) ≤ 1)
10993, 108eqbrtrd 5052 . . . . . . . 8 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (norm‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) ≤ 1)
110 nmoplb 29842 . . . . . . . . 9 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ ∧ (norm‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) ≤ 1) → (norm‘(𝑆‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)))) ≤ (normop𝑆))
11170, 110mp3an1 1449 . . . . . . . 8 ((((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ ∧ (norm‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) ≤ 1) → (norm‘(𝑆‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)))) ≤ (normop𝑆))
11280, 109, 111syl2anc 587 . . . . . . 7 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (norm‘(𝑆‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)))) ≤ (normop𝑆))
11377, 112eqbrtrd 5052 . . . . . 6 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → ((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) ≤ (normop𝑆))
11440ad2antrl 728 . . . . . . 7 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
11510a1i 11 . . . . . . 7 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (normop𝑆) ∈ ℝ)
116102adantr 484 . . . . . . . 8 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → 0 < (normop𝑇))
117116, 12jctil 523 . . . . . . 7 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → ((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (normop𝑇)))
118 ledivmul2 11597 . . . . . . 7 (((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop𝑆) ∈ ℝ ∧ ((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (normop𝑇))) → (((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) ≤ (normop𝑆) ↔ (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇))))
119114, 115, 117, 118syl3anc 1372 . . . . . 6 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) ≤ (normop𝑆) ↔ (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇))))
120113, 119mpbid 235 . . . . 5 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇)))
12137, 120sylanbr 585 . . . 4 ((¬ (normop𝑇) = 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇)))
12236, 121pm2.61ian 812 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇)))
123122ex 416 . 2 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇))))
12416, 123mprgbir 3068 1 (normop‘(𝑆𝑇)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  wral 3053   class class class wbr 5030  ccom 5529  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7170  cc 10613  cr 10614  0cc0 10615  1c1 10616   · cmul 10620  *cxr 10752   < clt 10753  cle 10754   / cdiv 11375  abscabs 14683  chba 28854   · csm 28856  normcno 28858  0c0v 28859   0hop ch0o 28878  normopcnop 28880  LinOpclo 28882  BndLinOpcbo 28883
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cc 9935  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695  ax-hilex 28934  ax-hfvadd 28935  ax-hvcom 28936  ax-hvass 28937  ax-hv0cl 28938  ax-hvaddid 28939  ax-hfvmul 28940  ax-hvmulid 28941  ax-hvmulass 28942  ax-hvdistr1 28943  ax-hvdistr2 28944  ax-hvmul0 28945  ax-hfi 29014  ax-his1 29017  ax-his2 29018  ax-his3 29019  ax-his4 29020  ax-hcompl 29137
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-oadd 8135  df-omul 8136  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-card 9441  df-acn 9444  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-seq 13461  df-exp 13522  df-hash 13783  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-clim 14935  df-rlim 14936  df-sum 15136  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-fbas 20214  df-fg 20215  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772  df-nei 21849  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-lm 21980  df-haus 22066  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-fil 22597  df-fm 22689  df-flim 22690  df-flf 22691  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075  df-cfil 24007  df-cau 24008  df-cmet 24009  df-grpo 28428  df-gid 28429  df-ginv 28430  df-gdiv 28431  df-ablo 28480  df-vc 28494  df-nv 28527  df-va 28530  df-ba 28531  df-sm 28532  df-0v 28533  df-vs 28534  df-nmcv 28535  df-ims 28536  df-dip 28636  df-ssp 28657  df-lno 28679  df-nmoo 28680  df-0o 28682  df-ph 28748  df-cbn 28798  df-hnorm 28903  df-hba 28904  df-hvsub 28906  df-hlim 28907  df-hcau 28908  df-sh 29142  df-ch 29156  df-oc 29187  df-ch0 29188  df-shs 29243  df-pjh 29330  df-h0op 29683  df-nmop 29774  df-lnop 29776  df-bdop 29777  df-hmop 29779
This theorem is referenced by:  bdopcoi  30033  unierri  30039
  Copyright terms: Public domain W3C validator