Theorem nmopcoi 32076

Description: Upper bound for the norm of the composition of two bounded linear operators. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoptri.1	⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
nmopcoi	⊢ (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))

Proof of Theorem nmopcoi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoptri.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
2		bdopln 31842	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ LinOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ LinOp
4		nmoptri.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
5		bdopln 31842	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
7	3, 6	lnopcoi 31984	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ LinOp
8	7	lnopfi 31950	. . 3 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
9		nmopre 31851	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑆) ∈ ℝ)
10	1, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (normop‘𝑆) ∈ ℝ
11		nmopre 31851	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
13	10, 12	remulcli 11251	. . . 4 ⊢ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ
14	13	rexri 11293	. . 3 ⊢ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ*
15		nmopub 31889	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ*) → ((normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))))
16	8, 14, 15	mp2an 692	. 2 ⊢ ((normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))))
17		0le0 12341	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 ≤ 0)
19	3, 6	lnopco0i 31985	. . . . . . . 8 ⊢ ((normop‘𝑇) = 0 → (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) = 0)
20	7	nmlnop0iHIL 31977	. . . . . . . 8 ⊢ ((normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) = 0 ↔ (𝑆 ∘ 𝑇) = 0hop )
21	19, 20	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((normop‘𝑇) = 0 → (𝑆 ∘ 𝑇) = 0hop )
22		fveq1 6875	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) = 0hop → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = ( 0hop ‘𝑥))
23	22	fveq2d 6880	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) = 0hop → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = (normℎ‘( 0hop ‘𝑥)))
24		ho0val 31731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ( 0hop ‘𝑥) = 0ℎ)
25	24	fveq2d 6880	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘( 0hop ‘𝑥)) = (normℎ‘0ℎ))
26		norm0 31109	. . . . . . . . 9 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
27	25, 26	eqtrdi 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘( 0hop ‘𝑥)) = 0)
28	23, 27	sylan9eq 2790	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇) = 0hop ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = 0)
29	21, 28	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = 0)
30		oveq2 7413	. . . . . . . 8 ⊢ ((normop‘𝑇) = 0 → ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) = ((normop‘𝑆) · 0))
31	10	recni 11249	. . . . . . . . 9 ⊢ (normop‘𝑆) ∈ ℂ
32	31	mul01i 11425	. . . . . . . 8 ⊢ ((normop‘𝑆) · 0) = 0
33	30, 32	eqtrdi 2786	. . . . . . 7 ⊢ ((normop‘𝑇) = 0 → ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) = 0)
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) = 0)
35	18, 29, 34	3brtr4d 5151	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))
36	35	adantrr 717	. . . 4 ⊢ (((normop‘𝑇) = 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))
37		df-ne 2933	. . . . 5 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ ¬ (normop‘𝑇) = 0)
38	8	ffvelcdmi 7073	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ)
39		normcl 31106	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
41	40	recnd 11263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℂ)
42	12	recni 11249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
43		divrec2 11913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
44	42, 43	mp3an2 1451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
45	41, 44	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
46	45	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
47	12	rerecclzi 12005	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
48		bdopf 31843	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
49	4, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
50		nmopgt0 31893	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (normop‘𝑇)))
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (normop‘𝑇))
52	12	recgt0i 12147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 < (normop‘𝑇) → 0 < (1 / (normop‘𝑇)))
53	51, 52	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → 0 < (1 / (normop‘𝑇)))
54		0re 11237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
55		ltle 11323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ) → (0 < (1 / (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop‘𝑇))))
56	54, 55	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ → (0 < (1 / (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop‘𝑇))))
57	47, 53, 56	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → 0 ≤ (1 / (normop‘𝑇)))
58	47, 57	absidd 15441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → (abs‘(1 / (normop‘𝑇))) = (1 / (normop‘𝑇)))
59	58	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(1 / (normop‘𝑇))) = (1 / (normop‘𝑇)))
60	59	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
61	46, 60	eqtr4d 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
62	42	recclzi 11966	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ)
63		norm-iii 31121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
64	62, 38, 63	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
65	61, 64	eqtr4d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
66	49	ffvelcdmi 7073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
67	3	lnopmuli 31953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
68	62, 66, 67	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
69		bdopf 31843	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
70	1, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
71	70, 49	hocoi 31745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇‘𝑥)))
72	71	oveq2d 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
73	72	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
74	68, 73	eqtr4d 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
75	74	fveq2d 6880	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))) = (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
76	65, 75	eqtr4d 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))))
77	76	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))))
78		hvmulcl 30994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
79	62, 66, 78	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
80	79	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
81		norm-iii 31121	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
82	62, 66, 81	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
83		normcl 31106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
84	66, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
85	84	recnd 11263	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℂ)
86		divrec2 11913	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
87	42, 86	mp3an2 1451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
88	85, 87	sylan 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
89	88	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
90	59	oveq1d 7420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
91	89, 90	eqtr4d 2773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
92	82, 91	eqtr4d 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)))
93	92	adantrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)))
94		nmoplb 31888	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
95	49, 94	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
96	42	mullidi 11240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · (normop‘𝑇)) = (normop‘𝑇)
97	95, 96	breqtrrdi 5161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇)))
98	97	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇)))
99	84	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
100		1red 11236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
101	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
102	51	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → 0 < (normop‘𝑇))
103	102	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 0 < (normop‘𝑇))
104		ledivmul2 12121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (normop‘𝑇))) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ 1 ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇))))
105	99, 100, 101, 103, 104	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ 1 ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇))))
106	105	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ 1 ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇))))
107	106	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ 1 ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇))))
108	98, 107	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ 1)
109	93, 108	eqbrtrd 5141	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) ≤ 1)
110		nmoplb 31888	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))) ≤ (normop‘𝑆))
111	70, 110	mp3an1 1450	. . . . . . . 8 ⊢ ((((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))) ≤ (normop‘𝑆))
112	80, 109, 111	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))) ≤ (normop‘𝑆))
113	77, 112	eqbrtrd 5141	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘𝑆))
114	40	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
115	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normop‘𝑆) ∈ ℝ)
116	102	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → 0 < (normop‘𝑇))
117	116, 12	jctil 519	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (normop‘𝑇)))
118		ledivmul2 12121	. . . . . . 7 ⊢ (((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑆) ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (normop‘𝑇))) → (((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘𝑆) ↔ (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))))
119	114, 115, 117, 118	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘𝑆) ↔ (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))))
120	113, 119	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))
121	37, 120	sylanbr 582	. . . 4 ⊢ ((¬ (normop‘𝑇) = 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))
122	36, 121	pm2.61ian 811	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))
123	122	ex 412	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))))
124	16, 123	mprgbir 3058	1 ⊢ (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   class class class wbr 5119   ∘ ccom 5658  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   · cmul 11134  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270   / cdiv 11894  abscabs 15253   ℋchba 30900   ·_ℎ csm 30902  norm_ℎcno 30904  0_ℎc0v 30905   0_hop ch0o 30924  norm_opcnop 30926  LinOpclo 30928  BndLinOpcbo 30929

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cc 10449  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208  ax-mulf 11209  ax-hilex 30980  ax-hfvadd 30981  ax-hvcom 30982  ax-hvass 30983  ax-hv0cl 30984  ax-hvaddid 30985  ax-hfvmul 30986  ax-hvmulid 30987  ax-hvmulass 30988  ax-hvdistr1 30989  ax-hvdistr2 30990  ax-hvmul0 30991  ax-hfi 31060  ax-his1 31063  ax-his2 31064  ax-his3 31065  ax-his4 31066  ax-hcompl 31183

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-card 9953  df-acn 9956  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-rlim 15505  df-sum 15703  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-hom 17295  df-cco 17296  df-rest 17436  df-topn 17437  df-0g 17455  df-gsum 17456  df-topgen 17457  df-pt 17458  df-prds 17461  df-xrs 17516  df-qtop 17521  df-imas 17522  df-xps 17524  df-mre 17598  df-mrc 17599  df-acs 17601  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-submnd 18762  df-mulg 19051  df-cntz 19300  df-cmn 19763  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-fbas 21312  df-fg 21313  df-cnfld 21316  df-top 22832  df-topon 22849  df-topsp 22871  df-bases 22884  df-cld 22957  df-ntr 22958  df-cls 22959  df-nei 23036  df-cn 23165  df-cnp 23166  df-lm 23167  df-haus 23253  df-tx 23500  df-hmeo 23693  df-fil 23784  df-fm 23876  df-flim 23877  df-flf 23878  df-xms 24259  df-ms 24260  df-tms 24261  df-cfil 25207  df-cau 25208  df-cmet 25209  df-grpo 30474  df-gid 30475  df-ginv 30476  df-gdiv 30477  df-ablo 30526  df-vc 30540  df-nv 30573  df-va 30576  df-ba 30577  df-sm 30578  df-0v 30579  df-vs 30580  df-nmcv 30581  df-ims 30582  df-dip 30682  df-ssp 30703  df-lno 30725  df-nmoo 30726  df-0o 30728  df-ph 30794  df-cbn 30844  df-hnorm 30949  df-hba 30950  df-hvsub 30952  df-hlim 30953  df-hcau 30954  df-sh 31188  df-ch 31202  df-oc 31233  df-ch0 31234  df-shs 31289  df-pjh 31376  df-h0op 31729  df-nmop 31820  df-lnop 31822  df-bdop 31823  df-hmop 31825

This theorem is referenced by:  bdopcoi  32079  unierri  32085