HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopcoi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmopcoi 31348
Description: Upper bound for the norm of the composition of two bounded linear operators. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1 ๐‘† โˆˆ BndLinOp
nmoptri.2 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmopcoi (normopโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡))

Proof of Theorem nmopcoi
Dummy variable ๐‘ฅ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoptri.1 . . . . . 6 ๐‘† โˆˆ BndLinOp
2 bdopln 31114 . . . . . 6 (๐‘† โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘† โˆˆ LinOp)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 ๐‘† โˆˆ LinOp
4 nmoptri.2 . . . . . 6 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
5 bdopln 31114 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘‡ โˆˆ LinOp)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 ๐‘‡ โˆˆ LinOp
73, 6lnopcoi 31256 . . . 4 (๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ LinOp
87lnopfi 31222 . . 3 (๐‘† โˆ˜ ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹
9 nmopre 31123 . . . . . 6 (๐‘† โˆˆ BndLinOp โ†’ (normopโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„)
101, 9ax-mp 5 . . . . 5 (normopโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„
11 nmopre 31123 . . . . . 6 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
124, 11ax-mp 5 . . . . 5 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„
1310, 12remulcli 11230 . . . 4 ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„
1413rexri 11272 . . 3 ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„*
15 nmopub 31161 . . 3 (((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„*) โ†’ ((normopโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))))
168, 14, 15mp2an 691 . 2 ((normopโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡))))
17 0le0 12313 . . . . . . 7 0 โ‰ค 0
1817a1i 11 . . . . . 6 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ 0 โ‰ค 0)
193, 6lnopco0i 31257 . . . . . . . 8 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†’ (normopโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)) = 0)
207nmlnop0iHIL 31249 . . . . . . . 8 ((normopโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)) = 0 โ†” (๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) = 0hop )
2119, 20sylib 217 . . . . . . 7 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†’ (๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) = 0hop )
22 fveq1 6891 . . . . . . . . 9 ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) = 0hop โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ( 0hop โ€˜๐‘ฅ))
2322fveq2d 6896 . . . . . . . 8 ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) = 0hop โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜( 0hop โ€˜๐‘ฅ)))
24 ho0val 31003 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ( 0hop โ€˜๐‘ฅ) = 0โ„Ž)
2524fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜( 0hop โ€˜๐‘ฅ)) = (normโ„Žโ€˜0โ„Ž))
26 norm0 30381 . . . . . . . . 9 (normโ„Žโ€˜0โ„Ž) = 0
2725, 26eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜( 0hop โ€˜๐‘ฅ)) = 0)
2823, 27sylan9eq 2793 . . . . . . 7 (((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) = 0hop โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = 0)
2921, 28sylan 581 . . . . . 6 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = 0)
30 oveq2 7417 . . . . . . . 8 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†’ ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) = ((normopโ€˜๐‘†) ยท 0))
3110recni 11228 . . . . . . . . 9 (normopโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚
3231mul01i 11404 . . . . . . . 8 ((normopโ€˜๐‘†) ยท 0) = 0
3330, 32eqtrdi 2789 . . . . . . 7 ((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โ†’ ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) = 0)
3433adantr 482 . . . . . 6 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)) = 0)
3518, 29, 343brtr4d 5181 . . . . 5 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
3635adantrr 716 . . . 4 (((normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
37 df-ne 2942 . . . . 5 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†” ยฌ (normopโ€˜๐‘‡) = 0)
388ffvelcdmi 7086 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
39 normcl 30378 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
4140recnd 11242 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
4212recni 11228 . . . . . . . . . . . . . 14 (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚
43 divrec2 11889 . . . . . . . . . . . . . 14 (((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))))
4442, 43mp3an2 1450 . . . . . . . . . . . . 13 (((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))))
4541, 44sylan 581 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))))
4645ancoms 460 . . . . . . . . . . 11 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))))
4712rerecclzi 11978 . . . . . . . . . . . . . 14 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†’ (1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„)
48 bdopf 31115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
494, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
50 nmopgt0 31165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†” 0 < (normopโ€˜๐‘‡)))
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†” 0 < (normopโ€˜๐‘‡))
5212recgt0i 12119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < (normopโ€˜๐‘‡) โ†’ 0 < (1 / (normopโ€˜๐‘‡)))
5351, 52sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†’ 0 < (1 / (normopโ€˜๐‘‡)))
54 0re 11216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 โˆˆ โ„
55 ltle 11302 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 โˆˆ โ„ โˆง (1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (normopโ€˜๐‘‡))))
5654, 55mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„ โ†’ (0 < (1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โ†’ 0 โ‰ค (1 / (normopโ€˜๐‘‡))))
5747, 53, 56sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†’ 0 โ‰ค (1 / (normopโ€˜๐‘‡)))
5847, 57absidd 15369 . . . . . . . . . . . . 13 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†’ (absโ€˜(1 / (normopโ€˜๐‘‡))) = (1 / (normopโ€˜๐‘‡)))
5958adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (absโ€˜(1 / (normopโ€˜๐‘‡))) = (1 / (normopโ€˜๐‘‡)))
6059oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((absโ€˜(1 / (normopโ€˜๐‘‡))) ยท (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))))
6146, 60eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) = ((absโ€˜(1 / (normopโ€˜๐‘‡))) ยท (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))))
6242recclzi 11939 . . . . . . . . . . 11 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†’ (1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚)
63 norm-iii 30393 . . . . . . . . . . 11 (((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚ โˆง ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))) = ((absโ€˜(1 / (normopโ€˜๐‘‡))) ยท (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))))
6462, 38, 63syl2an 597 . . . . . . . . . 10 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))) = ((absโ€˜(1 / (normopโ€˜๐‘‡))) ยท (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))))
6561, 64eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) = (normโ„Žโ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))))
6649ffvelcdmi 7086 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
673lnopmuli 31225 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
6862, 66, 67syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
69 bdopf 31115 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘† โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹)
701, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹
7170, 49hocoi 31017 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
7271oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
7372adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
7468, 73eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘†โ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)))
7574fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))) = (normโ„Žโ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))))
7665, 75eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
7776adantrr 716 . . . . . . 7 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) = (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))))
78 hvmulcl 30266 . . . . . . . . . 10 (((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
7962, 66, 78syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
8079adantrr 716 . . . . . . . 8 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹)
81 norm-iii 30393 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((absโ€˜(1 / (normopโ€˜๐‘‡))) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
8262, 66, 81syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((absโ€˜(1 / (normopโ€˜๐‘‡))) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
83 normcl 30378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
8466, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
8584recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚)
86 divrec2 11889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„‚ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
8742, 86mp3an2 1450 . . . . . . . . . . . . . 14 (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‚ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
8885, 87sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
8988ancoms 460 . . . . . . . . . . . 12 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
9059oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . 12 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((absโ€˜(1 / (normopโ€˜๐‘‡))) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
9189, 90eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) = ((absโ€˜(1 / (normopโ€˜๐‘‡))) ยท (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))))
9282, 91eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)))
9392adantrr 716 . . . . . . . . 9 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) = ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)))
94 nmoplb 31160 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
9549, 94mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘‡))
9642mullidi 11219 . . . . . . . . . . . 12 (1 ยท (normopโ€˜๐‘‡)) = (normopโ€˜๐‘‡)
9795, 96breqtrrdi 5191 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (1 ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
9897adantl 483 . . . . . . . . . 10 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (1 ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
9984adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
100 1red 11215 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
10112a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ (normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„)
10251biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . 14 ((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โ†’ 0 < (normopโ€˜๐‘‡))
103102adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ 0 < (normopโ€˜๐‘‡))
104 ledivmul2 12093 . . . . . . . . . . . . 13 (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง 1 โˆˆ โ„ โˆง ((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (normopโ€˜๐‘‡))) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค 1 โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (1 ยท (normopโ€˜๐‘‡))))
10599, 100, 101, 103, 104syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค 1 โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (1 ยท (normopโ€˜๐‘‡))))
106105ancoms 460 . . . . . . . . . . 11 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค 1 โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (1 ยท (normopโ€˜๐‘‡))))
107106adantrr 716 . . . . . . . . . 10 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค 1 โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค (1 ยท (normopโ€˜๐‘‡))))
10898, 107mpbird 257 . . . . . . . . 9 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค 1)
10993, 108eqbrtrd 5171 . . . . . . . 8 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (normโ„Žโ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค 1)
110 nmoplb 31160 . . . . . . . . 9 ((๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))) โ‰ค (normopโ€˜๐‘†))
11170, 110mp3an1 1449 . . . . . . . 8 ((((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ))) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))) โ‰ค (normopโ€˜๐‘†))
11280, 109, 111syl2anc 585 . . . . . . 7 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜((1 / (normopโ€˜๐‘‡)) ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))) โ‰ค (normopโ€˜๐‘†))
11377, 112eqbrtrd 5171 . . . . . 6 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ ((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘†))
11440ad2antrl 727 . . . . . . 7 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„)
11510a1i 11 . . . . . . 7 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (normopโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„)
116102adantr 482 . . . . . . . 8 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ 0 < (normopโ€˜๐‘‡))
117116, 12jctil 521 . . . . . . 7 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ ((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (normopโ€˜๐‘‡)))
118 ledivmul2 12093 . . . . . . 7 (((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โˆˆ โ„ โˆง (normopโ€˜๐‘†) โˆˆ โ„ โˆง ((normopโ€˜๐‘‡) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (normopโ€˜๐‘‡))) โ†’ (((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘†) โ†” (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡))))
119114, 115, 117, 118syl3anc 1372 . . . . . 6 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (((normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) / (normopโ€˜๐‘‡)) โ‰ค (normopโ€˜๐‘†) โ†” (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡))))
120113, 119mpbid 231 . . . . 5 (((normopโ€˜๐‘‡) โ‰  0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
12137, 120sylanbr 583 . . . 4 ((ยฌ (normopโ€˜๐‘‡) = 0 โˆง (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1)) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
12236, 121pm2.61ian 811 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1) โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡)))
123122ex 414 . 2 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((normโ„Žโ€˜๐‘ฅ) โ‰ค 1 โ†’ (normโ„Žโ€˜((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡))))
12416, 123mprgbir 3069 1 (normopโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)) โ‰ค ((normopโ€˜๐‘†) ยท (normopโ€˜๐‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062   class class class wbr 5149   โˆ˜ ccom 5681  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   ยท cmul 11115  โ„*cxr 11247   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   / cdiv 11871  abscabs 15181   โ„‹chba 30172   ยทโ„Ž csm 30174  normโ„Žcno 30176  0โ„Žc0v 30177   0hop ch0o 30196  normopcnop 30198  LinOpclo 30200  BndLinOpcbo 30201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvmulass 30260  ax-hvdistr1 30261  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338  ax-hcompl 30455
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-lm 22733  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cfil 24772  df-cau 24773  df-cmet 24774  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854  df-dip 29954  df-ssp 29975  df-lno 29997  df-nmoo 29998  df-0o 30000  df-ph 30066  df-cbn 30116  df-hnorm 30221  df-hba 30222  df-hvsub 30224  df-hlim 30225  df-hcau 30226  df-sh 30460  df-ch 30474  df-oc 30505  df-ch0 30506  df-shs 30561  df-pjh 30648  df-h0op 31001  df-nmop 31092  df-lnop 31094  df-bdop 31095  df-hmop 31097
This theorem is referenced by:  bdopcoi  31351  unierri  31357
  Copyright terms: Public domain W3C validator