HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  nmopcoi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmopcoi 29871
Description: Upper bound for the norm of the composition of two bounded linear operators. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2 𝑇 ∈ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmopcoi (normop‘(𝑆𝑇)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇))

Proof of Theorem nmopcoi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoptri.1 . . . . . 6 𝑆 ∈ BndLinOp
2 bdopln 29637 . . . . . 6 (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ LinOp)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 𝑆 ∈ LinOp
4 nmoptri.2 . . . . . 6 𝑇 ∈ BndLinOp
5 bdopln 29637 . . . . . 6 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 𝑇 ∈ LinOp
73, 6lnopcoi 29779 . . . 4 (𝑆𝑇) ∈ LinOp
87lnopfi 29745 . . 3 (𝑆𝑇): ℋ⟶ ℋ
9 nmopre 29646 . . . . . 6 (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop𝑆) ∈ ℝ)
101, 9ax-mp 5 . . . . 5 (normop𝑆) ∈ ℝ
11 nmopre 29646 . . . . . 6 (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop𝑇) ∈ ℝ)
124, 11ax-mp 5 . . . . 5 (normop𝑇) ∈ ℝ
1310, 12remulcli 10656 . . . 4 ((normop𝑆) · (normop𝑇)) ∈ ℝ
1413rexri 10698 . . 3 ((normop𝑆) · (normop𝑇)) ∈ ℝ*
15 nmopub 29684 . . 3 (((𝑆𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((normop𝑆) · (normop𝑇)) ∈ ℝ*) → ((normop‘(𝑆𝑇)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇)))))
168, 14, 15mp2an 690 . 2 ((normop‘(𝑆𝑇)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇))))
17 0le0 11737 . . . . . . 7 0 ≤ 0
1817a1i 11 . . . . . 6 (((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 ≤ 0)
193, 6lnopco0i 29780 . . . . . . . 8 ((normop𝑇) = 0 → (normop‘(𝑆𝑇)) = 0)
207nmlnop0iHIL 29772 . . . . . . . 8 ((normop‘(𝑆𝑇)) = 0 ↔ (𝑆𝑇) = 0hop )
2119, 20sylib 220 . . . . . . 7 ((normop𝑇) = 0 → (𝑆𝑇) = 0hop )
22 fveq1 6668 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑇) = 0hop → ((𝑆𝑇)‘𝑥) = ( 0hop𝑥))
2322fveq2d 6673 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑇) = 0hop → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) = (norm‘( 0hop𝑥)))
24 ho0val 29526 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ( 0hop𝑥) = 0)
2524fveq2d 6673 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘( 0hop𝑥)) = (norm‘0))
26 norm0 28904 . . . . . . . . 9 (norm‘0) = 0
2725, 26syl6eq 2872 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘( 0hop𝑥)) = 0)
2823, 27sylan9eq 2876 . . . . . . 7 (((𝑆𝑇) = 0hop𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) = 0)
2921, 28sylan 582 . . . . . 6 (((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) = 0)
30 oveq2 7163 . . . . . . . 8 ((normop𝑇) = 0 → ((normop𝑆) · (normop𝑇)) = ((normop𝑆) · 0))
3110recni 10654 . . . . . . . . 9 (normop𝑆) ∈ ℂ
3231mul01i 10829 . . . . . . . 8 ((normop𝑆) · 0) = 0
3330, 32syl6eq 2872 . . . . . . 7 ((normop𝑇) = 0 → ((normop𝑆) · (normop𝑇)) = 0)
3433adantr 483 . . . . . 6 (((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop𝑆) · (normop𝑇)) = 0)
3518, 29, 343brtr4d 5097 . . . . 5 (((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇)))
3635adantrr 715 . . . 4 (((normop𝑇) = 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇)))
37 df-ne 3017 . . . . 5 ((normop𝑇) ≠ 0 ↔ ¬ (normop𝑇) = 0)
388ffvelrni 6849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ)
39 normcl 28901 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
4140recnd 10668 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ∈ ℂ)
4212recni 10654 . . . . . . . . . . . . . 14 (normop𝑇) ∈ ℂ
43 divrec2 11314 . . . . . . . . . . . . . 14 (((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥))))
4442, 43mp3an2 1445 . . . . . . . . . . . . 13 (((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥))))
4541, 44sylan 582 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥))))
4645ancoms 461 . . . . . . . . . . 11 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥))))
4712rerecclzi 11403 . . . . . . . . . . . . . 14 ((normop𝑇) ≠ 0 → (1 / (normop𝑇)) ∈ ℝ)
48 bdopf 29638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
494, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇: ℋ⟶ ℋ
50 nmopgt0 29688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (normop𝑇)))
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((normop𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (normop𝑇))
5212recgt0i 11544 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < (normop𝑇) → 0 < (1 / (normop𝑇)))
5351, 52sylbi 219 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normop𝑇) ≠ 0 → 0 < (1 / (normop𝑇)))
54 0re 10642 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
55 ltle 10728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / (normop𝑇)) ∈ ℝ) → (0 < (1 / (normop𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop𝑇))))
5654, 55mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / (normop𝑇)) ∈ ℝ → (0 < (1 / (normop𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop𝑇))))
5747, 53, 56sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 ((normop𝑇) ≠ 0 → 0 ≤ (1 / (normop𝑇)))
5847, 57absidd 14781 . . . . . . . . . . . . 13 ((normop𝑇) ≠ 0 → (abs‘(1 / (normop𝑇))) = (1 / (normop𝑇)))
5958adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(1 / (normop𝑇))) = (1 / (normop𝑇)))
6059oveq1d 7170 . . . . . . . . . . 11 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(1 / (normop𝑇))) · (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥))) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥))))
6146, 60eqtr4d 2859 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) = ((abs‘(1 / (normop𝑇))) · (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥))))
6242recclzi 11364 . . . . . . . . . . 11 ((normop𝑇) ≠ 0 → (1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ)
63 norm-iii 28916 . . . . . . . . . . 11 (((1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ ((𝑆𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ) → (norm‘((1 / (normop𝑇)) · ((𝑆𝑇)‘𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop𝑇))) · (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥))))
6462, 38, 63syl2an 597 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘((1 / (normop𝑇)) · ((𝑆𝑇)‘𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop𝑇))) · (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥))))
6561, 64eqtr4d 2859 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) = (norm‘((1 / (normop𝑇)) · ((𝑆𝑇)‘𝑥))))
6649ffvelrni 6849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
673lnopmuli 29748 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → (𝑆‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) = ((1 / (normop𝑇)) · (𝑆‘(𝑇𝑥))))
6862, 66, 67syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) = ((1 / (normop𝑇)) · (𝑆‘(𝑇𝑥))))
69 bdopf 29638 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
701, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆: ℋ⟶ ℋ
7170, 49hocoi 29540 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇𝑥)))
7271oveq2d 7171 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((1 / (normop𝑇)) · ((𝑆𝑇)‘𝑥)) = ((1 / (normop𝑇)) · (𝑆‘(𝑇𝑥))))
7372adantl 484 . . . . . . . . . . 11 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 / (normop𝑇)) · ((𝑆𝑇)‘𝑥)) = ((1 / (normop𝑇)) · (𝑆‘(𝑇𝑥))))
7468, 73eqtr4d 2859 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) = ((1 / (normop𝑇)) · ((𝑆𝑇)‘𝑥)))
7574fveq2d 6673 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑆‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)))) = (norm‘((1 / (normop𝑇)) · ((𝑆𝑇)‘𝑥))))
7665, 75eqtr4d 2859 . . . . . . . 8 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) = (norm‘(𝑆‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)))))
7776adantrr 715 . . . . . . 7 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → ((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) = (norm‘(𝑆‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)))))
78 hvmulcl 28789 . . . . . . . . . 10 (((1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → ((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
7962, 66, 78syl2an 597 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
8079adantrr 715 . . . . . . . 8 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → ((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
81 norm-iii 28916 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → (norm‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop𝑇))) · (norm‘(𝑇𝑥))))
8262, 66, 81syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop𝑇))) · (norm‘(𝑇𝑥))))
83 normcl 28901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
8466, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
8584recnd 10668 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℂ)
86 divrec2 11314 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
8742, 86mp3an2 1445 . . . . . . . . . . . . . 14 (((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
8885, 87sylan 582 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
8988ancoms 461 . . . . . . . . . . . 12 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
9059oveq1d 7170 . . . . . . . . . . . 12 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(1 / (normop𝑇))) · (norm‘(𝑇𝑥))) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
9189, 90eqtr4d 2859 . . . . . . . . . . 11 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) = ((abs‘(1 / (normop𝑇))) · (norm‘(𝑇𝑥))))
9282, 91eqtr4d 2859 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) = ((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)))
9392adantrr 715 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (norm‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) = ((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)))
94 nmoplb 29683 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇))
9549, 94mp3an1 1444 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇))
9642mulid2i 10645 . . . . . . . . . . . 12 (1 · (normop𝑇)) = (normop𝑇)
9795, 96breqtrrdi 5107 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (1 · (normop𝑇)))
9897adantl 484 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (1 · (normop𝑇)))
9984adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
100 1red 10641 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
10112a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → (normop𝑇) ∈ ℝ)
10251biimpi 218 . . . . . . . . . . . . . 14 ((normop𝑇) ≠ 0 → 0 < (normop𝑇))
103102adantl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → 0 < (normop𝑇))
104 ledivmul2 11518 . . . . . . . . . . . . 13 (((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (normop𝑇))) → (((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) ≤ 1 ↔ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (1 · (normop𝑇))))
10599, 100, 101, 103, 104syl112anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → (((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) ≤ 1 ↔ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (1 · (normop𝑇))))
106105ancoms 461 . . . . . . . . . . 11 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) ≤ 1 ↔ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (1 · (normop𝑇))))
107106adantrr 715 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) ≤ 1 ↔ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (1 · (normop𝑇))))
10898, 107mpbird 259 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → ((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) ≤ 1)
10993, 108eqbrtrd 5087 . . . . . . . 8 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (norm‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) ≤ 1)
110 nmoplb 29683 . . . . . . . . 9 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ ∧ (norm‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) ≤ 1) → (norm‘(𝑆‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)))) ≤ (normop𝑆))
11170, 110mp3an1 1444 . . . . . . . 8 ((((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ ∧ (norm‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) ≤ 1) → (norm‘(𝑆‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)))) ≤ (normop𝑆))
11280, 109, 111syl2anc 586 . . . . . . 7 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (norm‘(𝑆‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)))) ≤ (normop𝑆))
11377, 112eqbrtrd 5087 . . . . . 6 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → ((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) ≤ (normop𝑆))
11440ad2antrl 726 . . . . . . 7 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
11510a1i 11 . . . . . . 7 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (normop𝑆) ∈ ℝ)
116102adantr 483 . . . . . . . 8 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → 0 < (normop𝑇))
117116, 12jctil 522 . . . . . . 7 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → ((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (normop𝑇)))
118 ledivmul2 11518 . . . . . . 7 (((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop𝑆) ∈ ℝ ∧ ((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (normop𝑇))) → (((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) ≤ (normop𝑆) ↔ (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇))))
119114, 115, 117, 118syl3anc 1367 . . . . . 6 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) ≤ (normop𝑆) ↔ (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇))))
120113, 119mpbid 234 . . . . 5 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇)))
12137, 120sylanbr 584 . . . 4 ((¬ (normop𝑇) = 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇)))
12236, 121pm2.61ian 810 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇)))
123122ex 415 . 2 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇))))
12416, 123mprgbir 3153 1 (normop‘(𝑆𝑇)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  wral 3138   class class class wbr 5065  ccom 5558  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7155  cc 10534  cr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   · cmul 10541  *cxr 10673   < clt 10674  cle 10675   / cdiv 11296  abscabs 14592  chba 28695   · csm 28697  normcno 28699  0c0v 28700   0hop ch0o 28719  normopcnop 28721  LinOpclo 28723  BndLinOpcbo 28724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cc 9856  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616  ax-hilex 28775  ax-hfvadd 28776  ax-hvcom 28777  ax-hvass 28778  ax-hv0cl 28779  ax-hvaddid 28780  ax-hfvmul 28781  ax-hvmulid 28782  ax-hvmulass 28783  ax-hvdistr1 28784  ax-hvdistr2 28785  ax-hvmul0 28786  ax-hfi 28855  ax-his1 28858  ax-his2 28859  ax-his3 28860  ax-his4 28861  ax-hcompl 28978
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-omul 8106  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-acn 9370  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ioo 12741  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-topgen 16716  df-pt 16717  df-prds 16720  df-xrs 16774  df-qtop 16779  df-imas 16780  df-xps 16782  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-mulg 18224  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-fbas 20541  df-fg 20542  df-cnfld 20545  df-top 21501  df-topon 21518  df-topsp 21540  df-bases 21553  df-cld 21626  df-ntr 21627  df-cls 21628  df-nei 21705  df-cn 21834  df-cnp 21835  df-lm 21836  df-haus 21922  df-tx 22169  df-hmeo 22362  df-fil 22453  df-fm 22545  df-flim 22546  df-flf 22547  df-xms 22929  df-ms 22930  df-tms 22931  df-cfil 23857  df-cau 23858  df-cmet 23859  df-grpo 28269  df-gid 28270  df-ginv 28271  df-gdiv 28272  df-ablo 28321  df-vc 28335  df-nv 28368  df-va 28371  df-ba 28372  df-sm 28373  df-0v 28374  df-vs 28375  df-nmcv 28376  df-ims 28377  df-dip 28477  df-ssp 28498  df-lno 28520  df-nmoo 28521  df-0o 28523  df-ph 28589  df-cbn 28639  df-hnorm 28744  df-hba 28745  df-hvsub 28747  df-hlim 28748  df-hcau 28749  df-sh 28983  df-ch 28997  df-oc 29028  df-ch0 29029  df-shs 29084  df-pjh 29171  df-h0op 29524  df-nmop 29615  df-lnop 29617  df-bdop 29618  df-hmop 29620
This theorem is referenced by:  bdopcoi  29874  unierri  29880
  Copyright terms: Public domain W3C validator