Theorem nmopcoi 31336

Description: Upper bound for the norm of the composition of two bounded linear operators. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoptri.1	⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
nmopcoi	⊢ (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))

Proof of Theorem nmopcoi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoptri.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
2		bdopln 31102	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ LinOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ LinOp
4		nmoptri.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
5		bdopln 31102	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
7	3, 6	lnopcoi 31244	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ LinOp
8	7	lnopfi 31210	. . 3 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
9		nmopre 31111	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑆) ∈ ℝ)
10	1, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (normop‘𝑆) ∈ ℝ
11		nmopre 31111	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
13	10, 12	remulcli 11227	. . . 4 ⊢ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ
14	13	rexri 11269	. . 3 ⊢ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ*
15		nmopub 31149	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ*) → ((normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))))
16	8, 14, 15	mp2an 691	. 2 ⊢ ((normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))))
17		0le0 12310	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 ≤ 0)
19	3, 6	lnopco0i 31245	. . . . . . . 8 ⊢ ((normop‘𝑇) = 0 → (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) = 0)
20	7	nmlnop0iHIL 31237	. . . . . . . 8 ⊢ ((normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) = 0 ↔ (𝑆 ∘ 𝑇) = 0hop )
21	19, 20	sylib 217	. . . . . . 7 ⊢ ((normop‘𝑇) = 0 → (𝑆 ∘ 𝑇) = 0hop )
22		fveq1 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) = 0hop → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = ( 0hop ‘𝑥))
23	22	fveq2d 6893	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) = 0hop → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = (normℎ‘( 0hop ‘𝑥)))
24		ho0val 30991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ( 0hop ‘𝑥) = 0ℎ)
25	24	fveq2d 6893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘( 0hop ‘𝑥)) = (normℎ‘0ℎ))
26		norm0 30369	. . . . . . . . 9 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
27	25, 26	eqtrdi 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘( 0hop ‘𝑥)) = 0)
28	23, 27	sylan9eq 2793	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇) = 0hop ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = 0)
29	21, 28	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = 0)
30		oveq2 7414	. . . . . . . 8 ⊢ ((normop‘𝑇) = 0 → ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) = ((normop‘𝑆) · 0))
31	10	recni 11225	. . . . . . . . 9 ⊢ (normop‘𝑆) ∈ ℂ
32	31	mul01i 11401	. . . . . . . 8 ⊢ ((normop‘𝑆) · 0) = 0
33	30, 32	eqtrdi 2789	. . . . . . 7 ⊢ ((normop‘𝑇) = 0 → ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) = 0)
34	33	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) = 0)
35	18, 29, 34	3brtr4d 5180	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))
36	35	adantrr 716	. . . 4 ⊢ (((normop‘𝑇) = 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))
37		df-ne 2942	. . . . 5 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ ¬ (normop‘𝑇) = 0)
38	8	ffvelcdmi 7083	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ)
39		normcl 30366	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
41	40	recnd 11239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℂ)
42	12	recni 11225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
43		divrec2 11886	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
44	42, 43	mp3an2 1450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
45	41, 44	sylan 581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
46	45	ancoms 460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
47	12	rerecclzi 11975	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
48		bdopf 31103	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
49	4, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
50		nmopgt0 31153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (normop‘𝑇)))
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (normop‘𝑇))
52	12	recgt0i 12116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 < (normop‘𝑇) → 0 < (1 / (normop‘𝑇)))
53	51, 52	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → 0 < (1 / (normop‘𝑇)))
54		0re 11213	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
55		ltle 11299	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ) → (0 < (1 / (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop‘𝑇))))
56	54, 55	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ → (0 < (1 / (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop‘𝑇))))
57	47, 53, 56	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → 0 ≤ (1 / (normop‘𝑇)))
58	47, 57	absidd 15366	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → (abs‘(1 / (normop‘𝑇))) = (1 / (normop‘𝑇)))
59	58	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(1 / (normop‘𝑇))) = (1 / (normop‘𝑇)))
60	59	oveq1d 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
61	46, 60	eqtr4d 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
62	42	recclzi 11936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ)
63		norm-iii 30381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
64	62, 38, 63	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
65	61, 64	eqtr4d 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
66	49	ffvelcdmi 7083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
67	3	lnopmuli 31213	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
68	62, 66, 67	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
69		bdopf 31103	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
70	1, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
71	70, 49	hocoi 31005	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇‘𝑥)))
72	71	oveq2d 7422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
73	72	adantl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
74	68, 73	eqtr4d 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
75	74	fveq2d 6893	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))) = (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
76	65, 75	eqtr4d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))))
77	76	adantrr 716	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))))
78		hvmulcl 30254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
79	62, 66, 78	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
80	79	adantrr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
81		norm-iii 30381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
82	62, 66, 81	syl2an 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
83		normcl 30366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
84	66, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
85	84	recnd 11239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℂ)
86		divrec2 11886	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
87	42, 86	mp3an2 1450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
88	85, 87	sylan 581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
89	88	ancoms 460	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
90	59	oveq1d 7421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
91	89, 90	eqtr4d 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
92	82, 91	eqtr4d 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)))
93	92	adantrr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)))
94		nmoplb 31148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
95	49, 94	mp3an1 1449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
96	42	mullidi 11216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · (normop‘𝑇)) = (normop‘𝑇)
97	95, 96	breqtrrdi 5190	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇)))
98	97	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇)))
99	84	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
100		1red 11212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
101	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
102	51	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → 0 < (normop‘𝑇))
103	102	adantl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 0 < (normop‘𝑇))
104		ledivmul2 12090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (normop‘𝑇))) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ 1 ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇))))
105	99, 100, 101, 103, 104	syl112anc 1375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ 1 ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇))))
106	105	ancoms 460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ 1 ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇))))
107	106	adantrr 716	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ 1 ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇))))
108	98, 107	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ 1)
109	93, 108	eqbrtrd 5170	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) ≤ 1)
110		nmoplb 31148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))) ≤ (normop‘𝑆))
111	70, 110	mp3an1 1449	. . . . . . . 8 ⊢ ((((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))) ≤ (normop‘𝑆))
112	80, 109, 111	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))) ≤ (normop‘𝑆))
113	77, 112	eqbrtrd 5170	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘𝑆))
114	40	ad2antrl 727	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
115	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normop‘𝑆) ∈ ℝ)
116	102	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → 0 < (normop‘𝑇))
117	116, 12	jctil 521	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (normop‘𝑇)))
118		ledivmul2 12090	. . . . . . 7 ⊢ (((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑆) ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (normop‘𝑇))) → (((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘𝑆) ↔ (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))))
119	114, 115, 117, 118	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘𝑆) ↔ (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))))
120	113, 119	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))
121	37, 120	sylanbr 583	. . . 4 ⊢ ((¬ (normop‘𝑇) = 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))
122	36, 121	pm2.61ian 811	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))
123	122	ex 414	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))))
124	16, 123	mprgbir 3069	1 ⊢ (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062   class class class wbr 5148   ∘ ccom 5680  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  ℂcc 11105  ℝcr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   · cmul 11112  ℝ^*cxr 11244   < clt 11245   ≤ cle 11246   / cdiv 11868  abscabs 15178   ℋchba 30160   ·_ℎ csm 30162  norm_ℎcno 30164  0_ℎc0v 30165   0_hop ch0o 30184  norm_opcnop 30186  LinOpclo 30188  BndLinOpcbo 30189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cc 10427  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186  ax-mulf 11187  ax-hilex 30240  ax-hfvadd 30241  ax-hvcom 30242  ax-hvass 30243  ax-hv0cl 30244  ax-hvaddid 30245  ax-hfvmul 30246  ax-hvmulid 30247  ax-hvmulass 30248  ax-hvdistr1 30249  ax-hvdistr2 30250  ax-hvmul0 30251  ax-hfi 30320  ax-his1 30323  ax-his2 30324  ax-his3 30325  ax-his4 30326  ax-hcompl 30443

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-oadd 8467  df-omul 8468  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-acn 9934  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-fbas 20934  df-fg 20935  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-nei 22594  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-lm 22725  df-haus 22811  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-fil 23342  df-fm 23434  df-flim 23435  df-flf 23436  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cfil 24764  df-cau 24765  df-cmet 24766  df-grpo 29734  df-gid 29735  df-ginv 29736  df-gdiv 29737  df-ablo 29786  df-vc 29800  df-nv 29833  df-va 29836  df-ba 29837  df-sm 29838  df-0v 29839  df-vs 29840  df-nmcv 29841  df-ims 29842  df-dip 29942  df-ssp 29963  df-lno 29985  df-nmoo 29986  df-0o 29988  df-ph 30054  df-cbn 30104  df-hnorm 30209  df-hba 30210  df-hvsub 30212  df-hlim 30213  df-hcau 30214  df-sh 30448  df-ch 30462  df-oc 30493  df-ch0 30494  df-shs 30549  df-pjh 30636  df-h0op 30989  df-nmop 31080  df-lnop 31082  df-bdop 31083  df-hmop 31085

This theorem is referenced by:  bdopcoi  31339  unierri  31345