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Theorem nmopcoi 29799
Description: Upper bound for the norm of the composition of two bounded linear operators. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2 𝑇 ∈ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
nmopcoi (normop‘(𝑆𝑇)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇))

Proof of Theorem nmopcoi
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoptri.1 . . . . . 6 𝑆 ∈ BndLinOp
2 bdopln 29565 . . . . . 6 (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ LinOp)
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 𝑆 ∈ LinOp
4 nmoptri.2 . . . . . 6 𝑇 ∈ BndLinOp
5 bdopln 29565 . . . . . 6 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
64, 5ax-mp 5 . . . . 5 𝑇 ∈ LinOp
73, 6lnopcoi 29707 . . . 4 (𝑆𝑇) ∈ LinOp
87lnopfi 29673 . . 3 (𝑆𝑇): ℋ⟶ ℋ
9 nmopre 29574 . . . . . 6 (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop𝑆) ∈ ℝ)
101, 9ax-mp 5 . . . . 5 (normop𝑆) ∈ ℝ
11 nmopre 29574 . . . . . 6 (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop𝑇) ∈ ℝ)
124, 11ax-mp 5 . . . . 5 (normop𝑇) ∈ ℝ
1310, 12remulcli 10645 . . . 4 ((normop𝑆) · (normop𝑇)) ∈ ℝ
1413rexri 10687 . . 3 ((normop𝑆) · (normop𝑇)) ∈ ℝ*
15 nmopub 29612 . . 3 (((𝑆𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((normop𝑆) · (normop𝑇)) ∈ ℝ*) → ((normop‘(𝑆𝑇)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇)))))
168, 14, 15mp2an 688 . 2 ((normop‘(𝑆𝑇)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇))))
17 0le0 11726 . . . . . . 7 0 ≤ 0
1817a1i 11 . . . . . 6 (((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 ≤ 0)
193, 6lnopco0i 29708 . . . . . . . 8 ((normop𝑇) = 0 → (normop‘(𝑆𝑇)) = 0)
207nmlnop0iHIL 29700 . . . . . . . 8 ((normop‘(𝑆𝑇)) = 0 ↔ (𝑆𝑇) = 0hop )
2119, 20sylib 219 . . . . . . 7 ((normop𝑇) = 0 → (𝑆𝑇) = 0hop )
22 fveq1 6662 . . . . . . . . 9 ((𝑆𝑇) = 0hop → ((𝑆𝑇)‘𝑥) = ( 0hop𝑥))
2322fveq2d 6667 . . . . . . . 8 ((𝑆𝑇) = 0hop → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) = (norm‘( 0hop𝑥)))
24 ho0val 29454 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℋ → ( 0hop𝑥) = 0)
2524fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘( 0hop𝑥)) = (norm‘0))
26 norm0 28832 . . . . . . . . 9 (norm‘0) = 0
2725, 26syl6eq 2869 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘( 0hop𝑥)) = 0)
2823, 27sylan9eq 2873 . . . . . . 7 (((𝑆𝑇) = 0hop𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) = 0)
2921, 28sylan 580 . . . . . 6 (((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) = 0)
30 oveq2 7153 . . . . . . . 8 ((normop𝑇) = 0 → ((normop𝑆) · (normop𝑇)) = ((normop𝑆) · 0))
3110recni 10643 . . . . . . . . 9 (normop𝑆) ∈ ℂ
3231mul01i 10818 . . . . . . . 8 ((normop𝑆) · 0) = 0
3330, 32syl6eq 2869 . . . . . . 7 ((normop𝑇) = 0 → ((normop𝑆) · (normop𝑇)) = 0)
3433adantr 481 . . . . . 6 (((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop𝑆) · (normop𝑇)) = 0)
3518, 29, 343brtr4d 5089 . . . . 5 (((normop𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇)))
3635adantrr 713 . . . 4 (((normop𝑇) = 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇)))
37 df-ne 3014 . . . . 5 ((normop𝑇) ≠ 0 ↔ ¬ (normop𝑇) = 0)
388ffvelrni 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ)
39 normcl 28829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑆𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
4140recnd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ∈ ℂ)
4212recni 10643 . . . . . . . . . . . . . 14 (normop𝑇) ∈ ℂ
43 divrec2 11303 . . . . . . . . . . . . . 14 (((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥))))
4442, 43mp3an2 1440 . . . . . . . . . . . . 13 (((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥))))
4541, 44sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥))))
4645ancoms 459 . . . . . . . . . . 11 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥))))
4712rerecclzi 11392 . . . . . . . . . . . . . 14 ((normop𝑇) ≠ 0 → (1 / (normop𝑇)) ∈ ℝ)
48 bdopf 29566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
494, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑇: ℋ⟶ ℋ
50 nmopgt0 29616 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (normop𝑇)))
5149, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((normop𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (normop𝑇))
5212recgt0i 11533 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 < (normop𝑇) → 0 < (1 / (normop𝑇)))
5351, 52sylbi 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((normop𝑇) ≠ 0 → 0 < (1 / (normop𝑇)))
54 0re 10631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ ℝ
55 ltle 10717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / (normop𝑇)) ∈ ℝ) → (0 < (1 / (normop𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop𝑇))))
5654, 55mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / (normop𝑇)) ∈ ℝ → (0 < (1 / (normop𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop𝑇))))
5747, 53, 56sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 ((normop𝑇) ≠ 0 → 0 ≤ (1 / (normop𝑇)))
5847, 57absidd 14770 . . . . . . . . . . . . 13 ((normop𝑇) ≠ 0 → (abs‘(1 / (normop𝑇))) = (1 / (normop𝑇)))
5958adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(1 / (normop𝑇))) = (1 / (normop𝑇)))
6059oveq1d 7160 . . . . . . . . . . 11 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(1 / (normop𝑇))) · (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥))) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥))))
6146, 60eqtr4d 2856 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) = ((abs‘(1 / (normop𝑇))) · (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥))))
6242recclzi 11353 . . . . . . . . . . 11 ((normop𝑇) ≠ 0 → (1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ)
63 norm-iii 28844 . . . . . . . . . . 11 (((1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ ((𝑆𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ) → (norm‘((1 / (normop𝑇)) · ((𝑆𝑇)‘𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop𝑇))) · (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥))))
6462, 38, 63syl2an 595 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘((1 / (normop𝑇)) · ((𝑆𝑇)‘𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop𝑇))) · (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥))))
6561, 64eqtr4d 2856 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) = (norm‘((1 / (normop𝑇)) · ((𝑆𝑇)‘𝑥))))
6649ffvelrni 6842 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
673lnopmuli 29676 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → (𝑆‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) = ((1 / (normop𝑇)) · (𝑆‘(𝑇𝑥))))
6862, 66, 67syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) = ((1 / (normop𝑇)) · (𝑆‘(𝑇𝑥))))
69 bdopf 29566 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
701, 69ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆: ℋ⟶ ℋ
7170, 49hocoi 29468 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇𝑥)))
7271oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℋ → ((1 / (normop𝑇)) · ((𝑆𝑇)‘𝑥)) = ((1 / (normop𝑇)) · (𝑆‘(𝑇𝑥))))
7372adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 / (normop𝑇)) · ((𝑆𝑇)‘𝑥)) = ((1 / (normop𝑇)) · (𝑆‘(𝑇𝑥))))
7468, 73eqtr4d 2856 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) = ((1 / (normop𝑇)) · ((𝑆𝑇)‘𝑥)))
7574fveq2d 6667 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘(𝑆‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)))) = (norm‘((1 / (normop𝑇)) · ((𝑆𝑇)‘𝑥))))
7665, 75eqtr4d 2856 . . . . . . . 8 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) = (norm‘(𝑆‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)))))
7776adantrr 713 . . . . . . 7 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → ((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) = (norm‘(𝑆‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)))))
78 hvmulcl 28717 . . . . . . . . . 10 (((1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → ((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
7962, 66, 78syl2an 595 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
8079adantrr 713 . . . . . . . 8 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → ((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ)
81 norm-iii 28844 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / (normop𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ) → (norm‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop𝑇))) · (norm‘(𝑇𝑥))))
8262, 66, 81syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop𝑇))) · (norm‘(𝑇𝑥))))
83 normcl 28829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑇𝑥) ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
8466, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
8584recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℋ → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℂ)
86 divrec2 11303 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
8742, 86mp3an2 1440 . . . . . . . . . . . . . 14 (((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
8885, 87sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → ((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
8988ancoms 459 . . . . . . . . . . . 12 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
9059oveq1d 7160 . . . . . . . . . . . 12 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(1 / (normop𝑇))) · (norm‘(𝑇𝑥))) = ((1 / (normop𝑇)) · (norm‘(𝑇𝑥))))
9189, 90eqtr4d 2856 . . . . . . . . . . 11 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) = ((abs‘(1 / (normop𝑇))) · (norm‘(𝑇𝑥))))
9282, 91eqtr4d 2856 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (norm‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) = ((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)))
9392adantrr 713 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (norm‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) = ((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)))
94 nmoplb 29611 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇))
9549, 94mp3an1 1439 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (normop𝑇))
9642mulid2i 10634 . . . . . . . . . . . 12 (1 · (normop𝑇)) = (normop𝑇)
9795, 96breqtrrdi 5099 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (1 · (normop𝑇)))
9897adantl 482 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (1 · (normop𝑇)))
9984adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → (norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ)
100 1red 10630 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
10112a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → (normop𝑇) ∈ ℝ)
10251biimpi 217 . . . . . . . . . . . . . 14 ((normop𝑇) ≠ 0 → 0 < (normop𝑇))
103102adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → 0 < (normop𝑇))
104 ledivmul2 11507 . . . . . . . . . . . . 13 (((norm‘(𝑇𝑥)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (normop𝑇))) → (((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) ≤ 1 ↔ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (1 · (normop𝑇))))
10599, 100, 101, 103, 104syl112anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop𝑇) ≠ 0) → (((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) ≤ 1 ↔ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (1 · (normop𝑇))))
106105ancoms 459 . . . . . . . . . . 11 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) ≤ 1 ↔ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (1 · (normop𝑇))))
107106adantrr 713 . . . . . . . . . 10 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) ≤ 1 ↔ (norm‘(𝑇𝑥)) ≤ (1 · (normop𝑇))))
10898, 107mpbird 258 . . . . . . . . 9 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → ((norm‘(𝑇𝑥)) / (normop𝑇)) ≤ 1)
10993, 108eqbrtrd 5079 . . . . . . . 8 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (norm‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) ≤ 1)
110 nmoplb 29611 . . . . . . . . 9 ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ ∧ (norm‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) ≤ 1) → (norm‘(𝑆‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)))) ≤ (normop𝑆))
11170, 110mp3an1 1439 . . . . . . . 8 ((((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)) ∈ ℋ ∧ (norm‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥))) ≤ 1) → (norm‘(𝑆‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)))) ≤ (normop𝑆))
11280, 109, 111syl2anc 584 . . . . . . 7 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (norm‘(𝑆‘((1 / (normop𝑇)) · (𝑇𝑥)))) ≤ (normop𝑆))
11377, 112eqbrtrd 5079 . . . . . 6 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → ((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) ≤ (normop𝑆))
11440ad2antrl 724 . . . . . . 7 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
11510a1i 11 . . . . . . 7 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (normop𝑆) ∈ ℝ)
116102adantr 481 . . . . . . . 8 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → 0 < (normop𝑇))
117116, 12jctil 520 . . . . . . 7 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → ((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (normop𝑇)))
118 ledivmul2 11507 . . . . . . 7 (((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop𝑆) ∈ ℝ ∧ ((normop𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (normop𝑇))) → (((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) ≤ (normop𝑆) ↔ (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇))))
119114, 115, 117, 118syl3anc 1363 . . . . . 6 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (((norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) / (normop𝑇)) ≤ (normop𝑆) ↔ (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇))))
120113, 119mpbid 233 . . . . 5 (((normop𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇)))
12137, 120sylanbr 582 . . . 4 ((¬ (normop𝑇) = 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1)) → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇)))
12236, 121pm2.61ian 808 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (norm𝑥) ≤ 1) → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇)))
123122ex 413 . 2 (𝑥 ∈ ℋ → ((norm𝑥) ≤ 1 → (norm‘((𝑆𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇))))
12416, 123mprgbir 3150 1 (normop‘(𝑆𝑇)) ≤ ((normop𝑆) · (normop𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135   class class class wbr 5057  ccom 5552  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   · cmul 10530  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664   / cdiv 11285  abscabs 14581  chba 28623   · csm 28625  normcno 28627  0c0v 28628   0hop ch0o 28647  normopcnop 28649  LinOpclo 28651  BndLinOpcbo 28652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cc 9845  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605  ax-hilex 28703  ax-hfvadd 28704  ax-hvcom 28705  ax-hvass 28706  ax-hv0cl 28707  ax-hvaddid 28708  ax-hfvmul 28709  ax-hvmulid 28710  ax-hvmulass 28711  ax-hvdistr1 28712  ax-hvdistr2 28713  ax-hvmul0 28714  ax-hfi 28783  ax-his1 28786  ax-his2 28787  ax-his3 28788  ax-his4 28789  ax-hcompl 28906
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-omul 8096  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-sum 15031  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-lm 21765  df-haus 21851  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cfil 23785  df-cau 23786  df-cmet 23787  df-grpo 28197  df-gid 28198  df-ginv 28199  df-gdiv 28200  df-ablo 28249  df-vc 28263  df-nv 28296  df-va 28299  df-ba 28300  df-sm 28301  df-0v 28302  df-vs 28303  df-nmcv 28304  df-ims 28305  df-dip 28405  df-ssp 28426  df-lno 28448  df-nmoo 28449  df-0o 28451  df-ph 28517  df-cbn 28567  df-hnorm 28672  df-hba 28673  df-hvsub 28675  df-hlim 28676  df-hcau 28677  df-sh 28911  df-ch 28925  df-oc 28956  df-ch0 28957  df-shs 29012  df-pjh 29099  df-h0op 29452  df-nmop 29543  df-lnop 29545  df-bdop 29546  df-hmop 29548
This theorem is referenced by:  bdopcoi  29802  unierri  29808
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