Theorem nmopcoi 32074

Description: Upper bound for the norm of the composition of two bounded linear operators. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoptri.1	⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
nmopcoi	⊢ (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))

Proof of Theorem nmopcoi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoptri.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
2		bdopln 31840	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ LinOp)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑆 ∈ LinOp
4		nmoptri.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
5		bdopln 31840	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ LinOp)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ LinOp
7	3, 6	lnopcoi 31982	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ LinOp
8	7	lnopfi 31948	. . 3 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
9		nmopre 31849	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑆) ∈ ℝ)
10	1, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (normop‘𝑆) ∈ ℝ
11		nmopre 31849	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
12	4, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℝ
13	10, 12	remulcli 11166	. . . 4 ⊢ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ
14	13	rexri 11208	. . 3 ⊢ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ*
15		nmopub 31887	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ∈ ℝ*) → ((normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))))
16	8, 14, 15	mp2an 692	. 2 ⊢ ((normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℋ ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))))
17		0le0 12263	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≤ 0
18	17	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → 0 ≤ 0)
19	3, 6	lnopco0i 31983	. . . . . . . 8 ⊢ ((normop‘𝑇) = 0 → (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) = 0)
20	7	nmlnop0iHIL 31975	. . . . . . . 8 ⊢ ((normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) = 0 ↔ (𝑆 ∘ 𝑇) = 0hop )
21	19, 20	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((normop‘𝑇) = 0 → (𝑆 ∘ 𝑇) = 0hop )
22		fveq1 6839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) = 0hop → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = ( 0hop ‘𝑥))
23	22	fveq2d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) = 0hop → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = (normℎ‘( 0hop ‘𝑥)))
24		ho0val 31729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ( 0hop ‘𝑥) = 0ℎ)
25	24	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘( 0hop ‘𝑥)) = (normℎ‘0ℎ))
26		norm0 31107	. . . . . . . . 9 ⊢ (normℎ‘0ℎ) = 0
27	25, 26	eqtrdi 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘( 0hop ‘𝑥)) = 0)
28	23, 27	sylan9eq 2784	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇) = 0hop ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = 0)
29	21, 28	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = 0)
30		oveq2 7377	. . . . . . . 8 ⊢ ((normop‘𝑇) = 0 → ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) = ((normop‘𝑆) · 0))
31	10	recni 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (normop‘𝑆) ∈ ℂ
32	31	mul01i 11340	. . . . . . . 8 ⊢ ((normop‘𝑆) · 0) = 0
33	30, 32	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((normop‘𝑇) = 0 → ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) = 0)
34	33	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)) = 0)
35	18, 29, 34	3brtr4d 5134	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇) = 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))
36	35	adantrr 717	. . . 4 ⊢ (((normop‘𝑇) = 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))
37		df-ne 2926	. . . . 5 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ ¬ (normop‘𝑇) = 0)
38	8	ffvelcdmi 7037	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ)
39		normcl 31104	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
40	38, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
41	40	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℂ)
42	12	recni 11164	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (normop‘𝑇) ∈ ℂ
43		divrec2 11830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
44	42, 43	mp3an2 1451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
45	41, 44	sylan 580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
46	45	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
47	12	rerecclzi 11922	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ)
48		bdopf 31841	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
49	4, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
50		nmopgt0 31891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑇: ℋ⟶ ℋ → ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (normop‘𝑇)))
51	49, 50	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 ↔ 0 < (normop‘𝑇))
52	12	recgt0i 12064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0 < (normop‘𝑇) → 0 < (1 / (normop‘𝑇)))
53	51, 52	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → 0 < (1 / (normop‘𝑇)))
54		0re 11152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 ∈ ℝ
55		ltle 11238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ) → (0 < (1 / (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop‘𝑇))))
56	54, 55	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℝ → (0 < (1 / (normop‘𝑇)) → 0 ≤ (1 / (normop‘𝑇))))
57	47, 53, 56	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → 0 ≤ (1 / (normop‘𝑇)))
58	47, 57	absidd 15365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → (abs‘(1 / (normop‘𝑇))) = (1 / (normop‘𝑇)))
59	58	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (abs‘(1 / (normop‘𝑇))) = (1 / (normop‘𝑇)))
60	59	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
61	46, 60	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
62	42	recclzi 11883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → (1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ)
63		norm-iii 31119	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ∈ ℋ) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
64	62, 38, 63	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
65	61, 64	eqtr4d 2767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
66	49	ffvelcdmi 7037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
67	3	lnopmuli 31951	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
68	62, 66, 67	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
69		bdopf 31841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
70	1, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
71	70, 49	hocoi 31743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇‘𝑥)))
72	71	oveq2d 7385	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
73	72	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑆‘(𝑇‘𝑥))))
74	68, 73	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)))
75	74	fveq2d 6844	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))) = (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥))))
76	65, 75	eqtr4d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))))
77	76	adantrr 717	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))))
78		hvmulcl 30992	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
79	62, 66, 78	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
80	79	adantrr 717	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ)
81		norm-iii 31119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / (normop‘𝑇)) ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
82	62, 66, 81	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
83		normcl 31104	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
84	66, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
85	84	recnd 11178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℂ)
86		divrec2 11830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
87	42, 86	mp3an2 1451	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
88	85, 87	sylan 580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
89	88	ancoms 458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
90	59	oveq1d 7384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))) = ((1 / (normop‘𝑇)) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
91	89, 90	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) = ((abs‘(1 / (normop‘𝑇))) · (normℎ‘(𝑇‘𝑥))))
92	82, 91	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)))
93	92	adantrr 717	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) = ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)))
94		nmoplb 31886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
95	49, 94	mp3an1 1450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (normop‘𝑇))
96	42	mullidi 11155	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 · (normop‘𝑇)) = (normop‘𝑇)
97	95, 96	breqtrrdi 5144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇)))
98	97	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇)))
99	84	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ)
100		1red 11151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 1 ∈ ℝ)
101	12	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (normop‘𝑇) ∈ ℝ)
102	51	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((normop‘𝑇) ≠ 0 → 0 < (normop‘𝑇))
103	102	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → 0 < (normop‘𝑇))
104		ledivmul2 12038	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (normop‘𝑇))) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ 1 ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇))))
105	99, 100, 101, 103, 104	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normop‘𝑇) ≠ 0) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ 1 ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇))))
106	105	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ 1 ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇))))
107	106	adantrr 717	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ 1 ↔ (normℎ‘(𝑇‘𝑥)) ≤ (1 · (normop‘𝑇))))
108	98, 107	mpbird 257	. . . . . . . . 9 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → ((normℎ‘(𝑇‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ 1)
109	93, 108	eqbrtrd 5124	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) ≤ 1)
110		nmoplb 31886	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ ((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))) ≤ (normop‘𝑆))
111	70, 110	mp3an1 1450	. . . . . . . 8 ⊢ ((((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)) ∈ ℋ ∧ (normℎ‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥))) ≤ 1) → (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))) ≤ (normop‘𝑆))
112	80, 109, 111	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘(𝑆‘((1 / (normop‘𝑇)) ·ℎ (𝑇‘𝑥)))) ≤ (normop‘𝑆))
113	77, 112	eqbrtrd 5124	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → ((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘𝑆))
114	40	ad2antrl 728	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ)
115	10	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normop‘𝑆) ∈ ℝ)
116	102	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → 0 < (normop‘𝑇))
117	116, 12	jctil 519	. . . . . . 7 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (normop‘𝑇)))
118		ledivmul2 12038	. . . . . . 7 ⊢ (((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ (normop‘𝑆) ∈ ℝ ∧ ((normop‘𝑇) ∈ ℝ ∧ 0 < (normop‘𝑇))) → (((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘𝑆) ↔ (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))))
119	114, 115, 117, 118	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (((normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) / (normop‘𝑇)) ≤ (normop‘𝑆) ↔ (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))))
120	113, 119	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (((normop‘𝑇) ≠ 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))
121	37, 120	sylanbr 582	. . . 4 ⊢ ((¬ (normop‘𝑇) = 0 ∧ (𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1)) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))
122	36, 121	pm2.61ian 811	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ (normℎ‘𝑥) ≤ 1) → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇)))
123	122	ex 412	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((normℎ‘𝑥) ≤ 1 → (normℎ‘((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))))
124	16, 123	mprgbir 3051	1 ⊢ (normop‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ≤ ((normop‘𝑆) · (normop‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   class class class wbr 5102   ∘ ccom 5635  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   · cmul 11049  ℝ^*cxr 11183   < clt 11184   ≤ cle 11185   / cdiv 11811  abscabs 15176   ℋchba 30898   ·_ℎ csm 30900  norm_ℎcno 30902  0_ℎc0v 30903   0_hop ch0o 30922  norm_opcnop 30924  LinOpclo 30926  BndLinOpcbo 30927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cc 10364  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-addf 11123  ax-mulf 11124  ax-hilex 30978  ax-hfvadd 30979  ax-hvcom 30980  ax-hvass 30981  ax-hv0cl 30982  ax-hvaddid 30983  ax-hfvmul 30984  ax-hvmulid 30985  ax-hvmulass 30986  ax-hvdistr1 30987  ax-hvdistr2 30988  ax-hvmul0 30989  ax-hfi 31058  ax-his1 31061  ax-his2 31062  ax-his3 31063  ax-his4 31064  ax-hcompl 31181

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-fi 9338  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-acn 9871  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xneg 13048  df-xadd 13049  df-xmul 13050  df-ioo 13286  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-struct 17093  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17361  df-topn 17362  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-topgen 17382  df-pt 17383  df-prds 17386  df-xrs 17441  df-qtop 17446  df-imas 17447  df-xps 17449  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18549  df-sgrp 18628  df-mnd 18644  df-submnd 18693  df-mulg 18982  df-cntz 19231  df-cmn 19696  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22866  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-lm 23149  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24241  df-ms 24242  df-tms 24243  df-cfil 25188  df-cau 25189  df-cmet 25190  df-grpo 30472  df-gid 30473  df-ginv 30474  df-gdiv 30475  df-ablo 30524  df-vc 30538  df-nv 30571  df-va 30574  df-ba 30575  df-sm 30576  df-0v 30577  df-vs 30578  df-nmcv 30579  df-ims 30580  df-dip 30680  df-ssp 30701  df-lno 30723  df-nmoo 30724  df-0o 30726  df-ph 30792  df-cbn 30842  df-hnorm 30947  df-hba 30948  df-hvsub 30950  df-hlim 30951  df-hcau 30952  df-sh 31186  df-ch 31200  df-oc 31231  df-ch0 31232  df-shs 31287  df-pjh 31374  df-h0op 31727  df-nmop 31818  df-lnop 31820  df-bdop 31821  df-hmop 31823

This theorem is referenced by:  bdopcoi  32077  unierri  32083