Theorem pjsdii 30082

Description: Distributive law for Hilbert space operator sum. (Contributed by NM, 12-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjsdi.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjsdi.2	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
pjsdi.3	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
pjsdii	⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (𝑆 +op 𝑇)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇))

Proof of Theorem pjsdii

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjsdi.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2	1	ffvelrni 6854	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆‘𝑥) ∈ ℋ)
3		pjsdi.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4	3	ffvelrni 6854	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
5		pjsdi.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
6	5	pjaddi 29613	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥))) = (((projℎ‘𝐻)‘(𝑆‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐻)‘(𝑇‘𝑥))))
7	2, 4, 6	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥))) = (((projℎ‘𝐻)‘(𝑆‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐻)‘(𝑇‘𝑥))))
8		hosval 29667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)))
9	1, 3, 8	mp3an12 1452	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)))
10	9	fveq2d 6672	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥))))
11	5	pjfi 29631	. . . . . . 7 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
12	11, 1	hocoi 29691	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆)‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻)‘(𝑆‘𝑥)))
13	11, 3	hocoi 29691	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻)‘(𝑇‘𝑥)))
14	12, 13	oveq12d 7182	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆)‘𝑥) +ℎ (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇)‘𝑥)) = (((projℎ‘𝐻)‘(𝑆‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐻)‘(𝑇‘𝑥))))
15	7, 10, 14	3eqtr4d 2783	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆)‘𝑥) +ℎ (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
16	1, 3	hoaddcli 29695	. . . . 5 ⊢ (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
17	11, 16	hocoi 29691	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) ∘ (𝑆 +op 𝑇))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)))
18	11, 1	hocofi 29693	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆): ℋ⟶ ℋ
19	11, 3	hocofi 29693	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
20		hosval 29667	. . . . 5 ⊢ ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆): ℋ⟶ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆)‘𝑥) +ℎ (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
21	18, 19, 20	mp3an12 1452	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆)‘𝑥) +ℎ (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
22	15, 17, 21	3eqtr4d 2783	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) ∘ (𝑆 +op 𝑇))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇))‘𝑥))
23	22	rgen 3063	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) ∘ (𝑆 +op 𝑇))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇))‘𝑥)
24	11, 16	hocofi 29693	. . 3 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (𝑆 +op 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
25	18, 19	hoaddcli 29695	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
26	24, 25	hoeqi 29688	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) ∘ (𝑆 +op 𝑇))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇))‘𝑥) ↔ ((projℎ‘𝐻) ∘ (𝑆 +op 𝑇)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇)))
27	23, 26	mpbi 233	1 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (𝑆 +op 𝑇)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  ∀wral 3053   ∘ ccom 5523  ⟶wf 6329  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164   ℋchba 28846   +_ℎ cva 28847   C_ℋ cch 28856  proj_ℎcpjh 28864   +_op chos 28865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cc 9928  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686  ax-addf 10687  ax-mulf 10688  ax-hilex 28926  ax-hfvadd 28927  ax-hvcom 28928  ax-hvass 28929  ax-hv0cl 28930  ax-hvaddid 28931  ax-hfvmul 28932  ax-hvmulid 28933  ax-hvmulass 28934  ax-hvdistr1 28935  ax-hvdistr2 28936  ax-hvmul0 28937  ax-hfi 29006  ax-his1 29009  ax-his2 29010  ax-his3 29011  ax-his4 29012  ax-hcompl 29129

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-oadd 8128  df-omul 8129  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-fi 8941  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-card 9434  df-acn 9437  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-ioo 12818  df-ico 12820  df-icc 12821  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-fl 13246  df-seq 13454  df-exp 13515  df-hash 13776  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-clim 14928  df-rlim 14929  df-sum 15129  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-starv 16676  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-unif 16684  df-hom 16685  df-cco 16686  df-rest 16792  df-topn 16793  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-topgen 16813  df-pt 16814  df-prds 16817  df-xrs 16871  df-qtop 16876  df-imas 16877  df-xps 16879  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-submnd 18066  df-mulg 18336  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-met 20204  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-fbas 20207  df-fg 20208  df-cnfld 20211  df-top 21638  df-topon 21655  df-topsp 21677  df-bases 21690  df-cld 21763  df-ntr 21764  df-cls 21765  df-nei 21842  df-cn 21971  df-cnp 21972  df-lm 21973  df-haus 22059  df-tx 22306  df-hmeo 22499  df-fil 22590  df-fm 22682  df-flim 22683  df-flf 22684  df-xms 23066  df-ms 23067  df-tms 23068  df-cfil 24000  df-cau 24001  df-cmet 24002  df-grpo 28420  df-gid 28421  df-ginv 28422  df-gdiv 28423  df-ablo 28472  df-vc 28486  df-nv 28519  df-va 28522  df-ba 28523  df-sm 28524  df-0v 28525  df-vs 28526  df-nmcv 28527  df-ims 28528  df-dip 28628  df-ssp 28649  df-ph 28740  df-cbn 28790  df-hnorm 28895  df-hba 28896  df-hvsub 28898  df-hlim 28899  df-hcau 28900  df-sh 29134  df-ch 29148  df-oc 29179  df-ch0 29180  df-shs 29235  df-pjh 29322  df-hosum 29657

This theorem is referenced by:  pjsdi2i  30084  pjclem1  30122  pjci  30127