Theorem pjsdii 32764

Description: Distributive law for Hilbert space operator sum. (Contributed by NM, 12-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjsdi.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjsdi.2	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
pjsdi.3	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
pjsdii	⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (𝑆 +op 𝑇)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇))

Proof of Theorem pjsdii

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjsdi.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2	1	ffvelcdmi 7086	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆‘𝑥) ∈ ℋ)
3		pjsdi.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4	3	ffvelcdmi 7086	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
5		pjsdi.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
6	5	pjaddi 32295	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥))) = (((projℎ‘𝐻)‘(𝑆‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐻)‘(𝑇‘𝑥))))
7	2, 4, 6	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥))) = (((projℎ‘𝐻)‘(𝑆‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐻)‘(𝑇‘𝑥))))
8		hosval 32349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)))
9	1, 3, 8	mp3an12 1480	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)))
10	9	fveq2d 6892	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥))))
11	5	pjfi 32313	. . . . . . 7 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
12	11, 1	hocoi 32373	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆)‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻)‘(𝑆‘𝑥)))
13	11, 3	hocoi 32373	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻)‘(𝑇‘𝑥)))
14	12, 13	oveq12d 7440	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆)‘𝑥) +ℎ (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇)‘𝑥)) = (((projℎ‘𝐻)‘(𝑆‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐻)‘(𝑇‘𝑥))))
15	7, 10, 14	3eqtr4d 2805	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆)‘𝑥) +ℎ (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
16	1, 3	hoaddcli 32377	. . . . 5 ⊢ (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
17	11, 16	hocoi 32373	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) ∘ (𝑆 +op 𝑇))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)))
18	11, 1	hocofi 32375	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆): ℋ⟶ ℋ
19	11, 3	hocofi 32375	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
20		hosval 32349	. . . . 5 ⊢ ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆): ℋ⟶ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆)‘𝑥) +ℎ (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
21	18, 19, 20	mp3an12 1480	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆)‘𝑥) +ℎ (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
22	15, 17, 21	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) ∘ (𝑆 +op 𝑇))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇))‘𝑥))
23	22	rgen 3078	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) ∘ (𝑆 +op 𝑇))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇))‘𝑥)
24	11, 16	hocofi 32375	. . 3 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (𝑆 +op 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
25	18, 19	hoaddcli 32377	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
26	24, 25	hoeqi 32370	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) ∘ (𝑆 +op 𝑇))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇))‘𝑥) ↔ ((projℎ‘𝐻) ∘ (𝑆 +op 𝑇)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇)))
27	23, 26	mpbi 233	1 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (𝑆 +op 𝑇)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ∘ ccom 5654  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422   ℋchba 31528   +_ℎ cva 31529   C_ℋ cch 31538  proj_ℎcpjh 31546   +_op chos 31547

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-inf2 9647  ax-cc 10518  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283  ax-addf 11284  ax-mulf 11285  ax-hilex 31608  ax-hfvadd 31609  ax-hvcom 31610  ax-hvass 31611  ax-hv0cl 31612  ax-hvaddid 31613  ax-hfvmul 31614  ax-hvmulid 31615  ax-hvmulass 31616  ax-hvdistr1 31617  ax-hvdistr2 31618  ax-hvmul0 31619  ax-hfi 31688  ax-his1 31691  ax-his2 31692  ax-his3 31693  ax-his4 31694  ax-hcompl 31811

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-of 7695  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8182  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-oadd 8485  df-omul 8486  df-er 8722  df-map 8854  df-pm 8855  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9359  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9509  df-card 10025  df-acn 10028  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-q 13081  df-rp 13126  df-xneg 13246  df-xadd 13247  df-xmul 13248  df-ioo 13485  df-ico 13487  df-icc 13488  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-fl 13937  df-seq 14150  df-exp 14210  df-hash 14480  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-clim 15662  df-rlim 15663  df-sum 15861  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-starv 17450  df-sca 17451  df-vsca 17452  df-ip 17453  df-tset 17454  df-ple 17455  df-ds 17457  df-unif 17458  df-hom 17459  df-cco 17460  df-rest 17600  df-topn 17601  df-0g 17619  df-gsum 17620  df-topgen 17621  df-pt 17622  df-prds 17625  df-xrs 17681  df-qtop 17686  df-imas 17687  df-xps 17689  df-mre 17763  df-mrc 17764  df-acs 17766  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-submnd 18986  df-mulg 19285  df-cntz 19538  df-cmn 20003  df-psmet 21677  df-xmet 21678  df-met 21679  df-bl 21680  df-mopn 21681  df-fbas 21682  df-fg 21683  df-cnfld 21686  df-top 23219  df-topon 23236  df-topsp 23258  df-bases 23271  df-cld 23344  df-ntr 23345  df-cls 23346  df-nei 23423  df-cn 23552  df-cnp 23553  df-lm 23554  df-haus 23640  df-tx 23888  df-hmeo 24081  df-fil 24172  df-fm 24264  df-flim 24265  df-flf 24266  df-xms 24646  df-ms 24647  df-tms 24648  df-cfil 25583  df-cau 25584  df-cmet 25585  df-grpo 31102  df-gid 31103  df-ginv 31104  df-gdiv 31105  df-ablo 31154  df-vc 31168  df-nv 31201  df-va 31204  df-ba 31205  df-sm 31206  df-0v 31207  df-vs 31208  df-nmcv 31209  df-ims 31210  df-dip 31310  df-ssp 31331  df-ph 31422  df-cbn 31472  df-hnorm 31577  df-hba 31578  df-hvsub 31580  df-hlim 31581  df-hcau 31582  df-sh 31816  df-ch 31830  df-oc 31861  df-ch0 31862  df-shs 31917  df-pjh 32004  df-hosum 32339

This theorem is used by:  pjsdi2i  32766  pjclem1  32804  pjci  32809