Theorem pjsdii 29568

Description: Distributive law for Hilbert space operator sum. (Contributed by NM, 12-Nov-2000.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjsdi.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjsdi.2	⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
pjsdi.3	⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ

Assertion

Ref	Expression
pjsdii	⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (𝑆 +op 𝑇)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇))

Proof of Theorem pjsdii

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjsdi.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
2	1	ffvelrni 6606	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑆‘𝑥) ∈ ℋ)
3		pjsdi.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
4	3	ffvelrni 6606	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
5		pjsdi.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
6	5	pjaddi 29099	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆‘𝑥) ∈ ℋ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ) → ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥))) = (((projℎ‘𝐻)‘(𝑆‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐻)‘(𝑇‘𝑥))))
7	2, 4, 6	syl2anc 581	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥))) = (((projℎ‘𝐻)‘(𝑆‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐻)‘(𝑇‘𝑥))))
8		hosval 29153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)))
9	1, 3, 8	mp3an12 1581	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥)))
10	9	fveq2d 6436	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) = ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑇‘𝑥))))
11	5	pjfi 29117	. . . . . . 7 ⊢ (projℎ‘𝐻): ℋ⟶ ℋ
12	11, 1	hocoi 29177	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆)‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻)‘(𝑆‘𝑥)))
13	11, 3	hocoi 29177	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇)‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻)‘(𝑇‘𝑥)))
14	12, 13	oveq12d 6922	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆)‘𝑥) +ℎ (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇)‘𝑥)) = (((projℎ‘𝐻)‘(𝑆‘𝑥)) +ℎ ((projℎ‘𝐻)‘(𝑇‘𝑥))))
15	7, 10, 14	3eqtr4d 2870	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆)‘𝑥) +ℎ (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
16	1, 3	hoaddcli 29181	. . . . 5 ⊢ (𝑆 +op 𝑇): ℋ⟶ ℋ
17	11, 16	hocoi 29177	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) ∘ (𝑆 +op 𝑇))‘𝑥) = ((projℎ‘𝐻)‘((𝑆 +op 𝑇)‘𝑥)))
18	11, 1	hocofi 29179	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆): ℋ⟶ ℋ
19	11, 3	hocofi 29179	. . . . 5 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ
20		hosval 29153	. . . . 5 ⊢ ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆): ℋ⟶ ℋ ∧ ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇): ℋ⟶ ℋ ∧ 𝑥 ∈ ℋ) → ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆)‘𝑥) +ℎ (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
21	18, 19, 20	mp3an12 1581	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆)‘𝑥) +ℎ (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇)‘𝑥)))
22	15, 17, 21	3eqtr4d 2870	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((projℎ‘𝐻) ∘ (𝑆 +op 𝑇))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇))‘𝑥))
23	22	rgen 3130	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) ∘ (𝑆 +op 𝑇))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇))‘𝑥)
24	11, 16	hocofi 29179	. . 3 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (𝑆 +op 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
25	18, 19	hoaddcli 29181	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
26	24, 25	hoeqi 29174	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ (((projℎ‘𝐻) ∘ (𝑆 +op 𝑇))‘𝑥) = ((((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇))‘𝑥) ↔ ((projℎ‘𝐻) ∘ (𝑆 +op 𝑇)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇)))
27	23, 26	mpbi 222	1 ⊢ ((projℎ‘𝐻) ∘ (𝑆 +op 𝑇)) = (((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑆) +op ((projℎ‘𝐻) ∘ 𝑇))

Syntax hints:   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∀wral 3116   ∘ ccom 5345  ⟶wf 6118  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904   ℋchba 28330   +_ℎ cva 28331   C_ℋ cch 28340  proj_ℎcpjh 28348   +_op chos 28349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cc 9571  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329  ax-addf 10330  ax-mulf 10331  ax-hilex 28410  ax-hfvadd 28411  ax-hvcom 28412  ax-hvass 28413  ax-hv0cl 28414  ax-hvaddid 28415  ax-hfvmul 28416  ax-hvmulid 28417  ax-hvmulass 28418  ax-hvdistr1 28419  ax-hvdistr2 28420  ax-hvmul0 28421  ax-hfi 28490  ax-his1 28493  ax-his2 28494  ax-his3 28495  ax-his4 28496  ax-hcompl 28613

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-supp 7559  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-2o 7826  df-oadd 7829  df-omul 7830  df-er 8008  df-map 8123  df-pm 8124  df-ixp 8175  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-fsupp 8544  df-fi 8585  df-sup 8616  df-inf 8617  df-oi 8683  df-card 9077  df-acn 9080  df-cda 9304  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-z 11704  df-dec 11821  df-uz 11968  df-q 12071  df-rp 12112  df-xneg 12231  df-xadd 12232  df-xmul 12233  df-ioo 12466  df-ico 12468  df-icc 12469  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-fl 12887  df-seq 13095  df-exp 13154  df-hash 13410  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-clim 14595  df-rlim 14596  df-sum 14793  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-starv 16319  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-ip 16322  df-tset 16323  df-ple 16324  df-ds 16326  df-unif 16327  df-hom 16328  df-cco 16329  df-rest 16435  df-topn 16436  df-0g 16454  df-gsum 16455  df-topgen 16456  df-pt 16457  df-prds 16460  df-xrs 16514  df-qtop 16519  df-imas 16520  df-xps 16522  df-mre 16598  df-mrc 16599  df-acs 16601  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-submnd 17688  df-mulg 17894  df-cntz 18099  df-cmn 18547  df-psmet 20097  df-xmet 20098  df-met 20099  df-bl 20100  df-mopn 20101  df-fbas 20102  df-fg 20103  df-cnfld 20106  df-top 21068  df-topon 21085  df-topsp 21107  df-bases 21120  df-cld 21193  df-ntr 21194  df-cls 21195  df-nei 21272  df-cn 21401  df-cnp 21402  df-lm 21403  df-haus 21489  df-tx 21735  df-hmeo 21928  df-fil 22019  df-fm 22111  df-flim 22112  df-flf 22113  df-xms 22494  df-ms 22495  df-tms 22496  df-cfil 23422  df-cau 23423  df-cmet 23424  df-grpo 27902  df-gid 27903  df-ginv 27904  df-gdiv 27905  df-ablo 27954  df-vc 27968  df-nv 28001  df-va 28004  df-ba 28005  df-sm 28006  df-0v 28007  df-vs 28008  df-nmcv 28009  df-ims 28010  df-dip 28110  df-ssp 28131  df-ph 28222  df-cbn 28273  df-hnorm 28379  df-hba 28380  df-hvsub 28382  df-hlim 28383  df-hcau 28384  df-sh 28618  df-ch 28632  df-oc 28663  df-ch0 28664  df-shs 28721  df-pjh 28808  df-hosum 29143

This theorem is referenced by:  pjsdi2i  29570  pjclem1  29608  pjci  29613