HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjcoi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adjcoi 29861
Description: The adjoint of a composition of bounded linear operators. Theorem 3.11(viii) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2 𝑇 ∈ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
adjcoi (adj‘(𝑆𝑇)) = ((adj𝑇) ∘ (adj𝑆))

Proof of Theorem adjcoi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoptri.2 . . . . . . . 8 𝑇 ∈ BndLinOp
2 adjbdln 29844 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ BndLinOp → (adj𝑇) ∈ BndLinOp)
3 bdopf 29623 . . . . . . . 8 ((adj𝑇) ∈ BndLinOp → (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ)
41, 2, 3mp2b 10 . . . . . . 7 (adj𝑇): ℋ⟶ ℋ
5 nmoptri.1 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ BndLinOp
6 adjbdln 29844 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ BndLinOp → (adj𝑆) ∈ BndLinOp)
7 bdopf 29623 . . . . . . . 8 ((adj𝑆) ∈ BndLinOp → (adj𝑆): ℋ⟶ ℋ)
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . 7 (adj𝑆): ℋ⟶ ℋ
94, 8hocoi 29525 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℋ → (((adj𝑇) ∘ (adj𝑆))‘𝑦) = ((adj𝑇)‘((adj𝑆)‘𝑦)))
109oveq2d 7146 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 ·ih (((adj𝑇) ∘ (adj𝑆))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘((adj𝑆)‘𝑦))))
1110adantl 485 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (((adj𝑇) ∘ (adj𝑆))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘((adj𝑆)‘𝑦))))
12 bdopf 29623 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
135, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑆: ℋ⟶ ℋ
14 bdopf 29623 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
151, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑇: ℋ⟶ ℋ
1613, 15hocoi 29525 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇𝑥)))
1716oveq1d 7145 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑆𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑦))
1817adantr 484 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑆𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑦))
1915ffvelrni 6823 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇𝑥) ∈ ℋ)
20 bdopadj 29843 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ dom adj)
215, 20ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑆 ∈ dom adj
22 adj2 29695 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ dom adj ∧ (𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih ((adj𝑆)‘𝑦)))
2321, 22mp3an1 1445 . . . . . 6 (((𝑇𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih ((adj𝑆)‘𝑦)))
2419, 23sylan 583 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑆‘(𝑇𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑇𝑥) ·ih ((adj𝑆)‘𝑦)))
258ffvelrni 6823 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℋ → ((adj𝑆)‘𝑦) ∈ ℋ)
26 bdopadj 29843 . . . . . . . 8 (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ dom adj)
271, 26ax-mp 5 . . . . . . 7 𝑇 ∈ dom adj
28 adj2 29695 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ ∧ ((adj𝑆)‘𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih ((adj𝑆)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘((adj𝑆)‘𝑦))))
2927, 28mp3an1 1445 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((adj𝑆)‘𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih ((adj𝑆)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘((adj𝑆)‘𝑦))))
3025, 29sylan2 595 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇𝑥) ·ih ((adj𝑆)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘((adj𝑆)‘𝑦))))
3118, 24, 303eqtrd 2860 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑆𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adj𝑇)‘((adj𝑆)‘𝑦))))
325, 1bdopcoi 29859 . . . . . 6 (𝑆𝑇) ∈ BndLinOp
33 bdopadj 29843 . . . . . 6 ((𝑆𝑇) ∈ BndLinOp → (𝑆𝑇) ∈ dom adj)
3432, 33ax-mp 5 . . . . 5 (𝑆𝑇) ∈ dom adj
35 adj2 29695 . . . . 5 (((𝑆𝑇) ∈ dom adj𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑆𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adj‘(𝑆𝑇))‘𝑦)))
3634, 35mp3an1 1445 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑆𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adj‘(𝑆𝑇))‘𝑦)))
3711, 31, 363eqtr2rd 2863 . . 3 ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((adj‘(𝑆𝑇))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (((adj𝑇) ∘ (adj𝑆))‘𝑦)))
3837rgen2 3191 . 2 𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ((adj‘(𝑆𝑇))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (((adj𝑇) ∘ (adj𝑆))‘𝑦))
39 adjbdln 29844 . . . 4 ((𝑆𝑇) ∈ BndLinOp → (adj‘(𝑆𝑇)) ∈ BndLinOp)
40 bdopf 29623 . . . 4 ((adj‘(𝑆𝑇)) ∈ BndLinOp → (adj‘(𝑆𝑇)): ℋ⟶ ℋ)
4132, 39, 40mp2b 10 . . 3 (adj‘(𝑆𝑇)): ℋ⟶ ℋ
424, 8hocofi 29527 . . 3 ((adj𝑇) ∘ (adj𝑆)): ℋ⟶ ℋ
43 hoeq2 29592 . . 3 (((adj‘(𝑆𝑇)): ℋ⟶ ℋ ∧ ((adj𝑇) ∘ (adj𝑆)): ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ((adj‘(𝑆𝑇))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (((adj𝑇) ∘ (adj𝑆))‘𝑦)) ↔ (adj‘(𝑆𝑇)) = ((adj𝑇) ∘ (adj𝑆))))
4441, 42, 43mp2an 691 . 2 (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ((adj‘(𝑆𝑇))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (((adj𝑇) ∘ (adj𝑆))‘𝑦)) ↔ (adj‘(𝑆𝑇)) = ((adj𝑇) ∘ (adj𝑆)))
4538, 44mpbi 233 1 (adj‘(𝑆𝑇)) = ((adj𝑇) ∘ (adj𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3126  dom cdm 5528  ccom 5532  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7130  chba 28680   ·ih csp 28683  BndLinOpcbo 28709  adjcado 28716
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cc 9834  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593  ax-mulf 10594  ax-hilex 28760  ax-hfvadd 28761  ax-hvcom 28762  ax-hvass 28763  ax-hv0cl 28764  ax-hvaddid 28765  ax-hfvmul 28766  ax-hvmulid 28767  ax-hvmulass 28768  ax-hvdistr1 28769  ax-hvdistr2 28770  ax-hvmul0 28771  ax-hfi 28840  ax-his1 28843  ax-his2 28844  ax-his3 28845  ax-his4 28846  ax-hcompl 28963
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-omul 8082  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-card 9344  df-acn 9347  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-ioo 12720  df-ico 12722  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-rlim 14825  df-sum 15022  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-starv 16558  df-sca 16559  df-vsca 16560  df-ip 16561  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ds 16565  df-unif 16566  df-hom 16567  df-cco 16568  df-rest 16674  df-topn 16675  df-0g 16693  df-gsum 16694  df-topgen 16695  df-pt 16696  df-prds 16699  df-xrs 16753  df-qtop 16758  df-imas 16759  df-xps 16761  df-mre 16835  df-mrc 16836  df-acs 16838  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-submnd 17935  df-mulg 18203  df-cntz 18425  df-cmn 18886  df-psmet 20512  df-xmet 20513  df-met 20514  df-bl 20515  df-mopn 20516  df-fbas 20517  df-fg 20518  df-cnfld 20521  df-top 21477  df-topon 21494  df-topsp 21516  df-bases 21529  df-cld 21602  df-ntr 21603  df-cls 21604  df-nei 21681  df-cn 21810  df-cnp 21811  df-lm 21812  df-t1 21897  df-haus 21898  df-tx 22145  df-hmeo 22338  df-fil 22429  df-fm 22521  df-flim 22522  df-flf 22523  df-xms 22905  df-ms 22906  df-tms 22907  df-cfil 23837  df-cau 23838  df-cmet 23839  df-grpo 28254  df-gid 28255  df-ginv 28256  df-gdiv 28257  df-ablo 28306  df-vc 28320  df-nv 28353  df-va 28356  df-ba 28357  df-sm 28358  df-0v 28359  df-vs 28360  df-nmcv 28361  df-ims 28362  df-dip 28462  df-ssp 28483  df-lno 28505  df-nmoo 28506  df-0o 28508  df-ph 28574  df-cbn 28624  df-hnorm 28729  df-hba 28730  df-hvsub 28732  df-hlim 28733  df-hcau 28734  df-sh 28968  df-ch 28982  df-oc 29013  df-ch0 29014  df-shs 29069  df-pjh 29156  df-h0op 29509  df-nmop 29600  df-cnop 29601  df-lnop 29602  df-bdop 29603  df-unop 29604  df-hmop 29605  df-nmfn 29606  df-nlfn 29607  df-cnfn 29608  df-lnfn 29609  df-adjh 29610
This theorem is referenced by:  pjcmul1i  29962
  Copyright terms: Public domain W3C validator