Theorem adjcoi 32063

Description: The adjoint of a composition of bounded linear operators. Theorem 3.11(viii) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoptri.1	⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
adjcoi	⊢ (adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇)) = ((adjℎ‘𝑇) ∘ (adjℎ‘𝑆))

Proof of Theorem adjcoi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoptri.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
2		adjbdln 32046	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp)
3		bdopf 31825	. . . . . . . 8 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp → (adjℎ‘𝑇): ℋ⟶ ℋ)
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (adjℎ‘𝑇): ℋ⟶ ℋ
5		nmoptri.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
6		adjbdln 32046	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → (adjℎ‘𝑆) ∈ BndLinOp)
7		bdopf 31825	. . . . . . . 8 ⊢ ((adjℎ‘𝑆) ∈ BndLinOp → (adjℎ‘𝑆): ℋ⟶ ℋ)
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (adjℎ‘𝑆): ℋ⟶ ℋ
9	4, 8	hocoi 31727	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((adjℎ‘𝑇) ∘ (adjℎ‘𝑆))‘𝑦) = ((adjℎ‘𝑇)‘((adjℎ‘𝑆)‘𝑦)))
10	9	oveq2d 7369	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 ·ih (((adjℎ‘𝑇) ∘ (adjℎ‘𝑆))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘((adjℎ‘𝑆)‘𝑦))))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (((adjℎ‘𝑇) ∘ (adjℎ‘𝑆))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘((adjℎ‘𝑆)‘𝑦))))
12		bdopf 31825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
13	5, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
14		bdopf 31825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15	1, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
16	13, 15	hocoi 31727	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇‘𝑥)))
17	16	oveq1d 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑆‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑦))
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑆‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑦))
19	15	ffvelcdmi 7021	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
20		bdopadj 32045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ dom adjℎ)
21	5, 20	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ dom adjℎ
22		adj2 31897	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ dom adjℎ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑆‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘𝑆)‘𝑦)))
23	21, 22	mp3an1 1450	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑆‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘𝑆)‘𝑦)))
24	19, 23	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑆‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘𝑆)‘𝑦)))
25	8	ffvelcdmi 7021	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((adjℎ‘𝑆)‘𝑦) ∈ ℋ)
26		bdopadj 32045	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ dom adjℎ)
27	1, 26	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ dom adjℎ
28		adj2 31897	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ ((adjℎ‘𝑆)‘𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘𝑆)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘((adjℎ‘𝑆)‘𝑦))))
29	27, 28	mp3an1 1450	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((adjℎ‘𝑆)‘𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘𝑆)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘((adjℎ‘𝑆)‘𝑦))))
30	25, 29	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘𝑆)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘((adjℎ‘𝑆)‘𝑦))))
31	18, 24, 30	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘((adjℎ‘𝑆)‘𝑦))))
32	5, 1	bdopcoi 32061	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp
33		bdopadj 32045	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp → (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ dom adjℎ)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ dom adjℎ
35		adj2 31897	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇) ∈ dom adjℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑦)))
36	34, 35	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑦)))
37	11, 31, 36	3eqtr2rd 2771	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (((adjℎ‘𝑇) ∘ (adjℎ‘𝑆))‘𝑦)))
38	37	rgen2 3169	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ((adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (((adjℎ‘𝑇) ∘ (adjℎ‘𝑆))‘𝑦))
39		adjbdln 32046	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp → (adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ BndLinOp)
40		bdopf 31825	. . . 4 ⊢ ((adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ BndLinOp → (adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶ ℋ)
41	32, 39, 40	mp2b 10	. . 3 ⊢ (adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
42	4, 8	hocofi 31729	. . 3 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∘ (adjℎ‘𝑆)): ℋ⟶ ℋ
43		hoeq2 31794	. . 3 ⊢ (((adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶ ℋ ∧ ((adjℎ‘𝑇) ∘ (adjℎ‘𝑆)): ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ((adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (((adjℎ‘𝑇) ∘ (adjℎ‘𝑆))‘𝑦)) ↔ (adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇)) = ((adjℎ‘𝑇) ∘ (adjℎ‘𝑆))))
44	41, 42, 43	mp2an 692	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ((adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (((adjℎ‘𝑇) ∘ (adjℎ‘𝑆))‘𝑦)) ↔ (adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇)) = ((adjℎ‘𝑇) ∘ (adjℎ‘𝑆)))
45	38, 44	mpbi 230	1 ⊢ (adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇)) = ((adjℎ‘𝑇) ∘ (adjℎ‘𝑆))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  dom cdm 5623   ∘ ccom 5627  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353   ℋchba 30882   ·_ih csp 30885  BndLinOpcbo 30911  adj_ℎcado 30918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cc 10348  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107  ax-mulf 11108  ax-hilex 30962  ax-hfvadd 30963  ax-hvcom 30964  ax-hvass 30965  ax-hv0cl 30966  ax-hvaddid 30967  ax-hfvmul 30968  ax-hvmulid 30969  ax-hvmulass 30970  ax-hvdistr1 30971  ax-hvdistr2 30972  ax-hvmul0 30973  ax-hfi 31042  ax-his1 31045  ax-his2 31046  ax-his3 31047  ax-his4 31048  ax-hcompl 31165

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-q 12869  df-rp 12913  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13271  df-ico 13273  df-icc 13274  df-fz 13430  df-fzo 13577  df-fl 13715  df-seq 13928  df-exp 13988  df-hash 14257  df-cj 15025  df-re 15026  df-im 15027  df-sqrt 15161  df-abs 15162  df-clim 15414  df-rlim 15415  df-sum 15613  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-ress 17161  df-plusg 17193  df-mulr 17194  df-starv 17195  df-sca 17196  df-vsca 17197  df-ip 17198  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ds 17202  df-unif 17203  df-hom 17204  df-cco 17205  df-rest 17345  df-topn 17346  df-0g 17364  df-gsum 17365  df-topgen 17366  df-pt 17367  df-prds 17370  df-xrs 17425  df-qtop 17430  df-imas 17431  df-xps 17433  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-mgm 18533  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18677  df-mulg 18966  df-cntz 19215  df-cmn 19680  df-psmet 21272  df-xmet 21273  df-met 21274  df-bl 21275  df-mopn 21276  df-fbas 21277  df-fg 21278  df-cnfld 21281  df-top 22798  df-topon 22815  df-topsp 22837  df-bases 22850  df-cld 22923  df-ntr 22924  df-cls 22925  df-nei 23002  df-cn 23131  df-cnp 23132  df-lm 23133  df-t1 23218  df-haus 23219  df-tx 23466  df-hmeo 23659  df-fil 23750  df-fm 23842  df-flim 23843  df-flf 23844  df-xms 24225  df-ms 24226  df-tms 24227  df-cfil 25172  df-cau 25173  df-cmet 25174  df-grpo 30456  df-gid 30457  df-ginv 30458  df-gdiv 30459  df-ablo 30508  df-vc 30522  df-nv 30555  df-va 30558  df-ba 30559  df-sm 30560  df-0v 30561  df-vs 30562  df-nmcv 30563  df-ims 30564  df-dip 30664  df-ssp 30685  df-lno 30707  df-nmoo 30708  df-0o 30710  df-ph 30776  df-cbn 30826  df-hnorm 30931  df-hba 30932  df-hvsub 30934  df-hlim 30935  df-hcau 30936  df-sh 31170  df-ch 31184  df-oc 31215  df-ch0 31216  df-shs 31271  df-pjh 31358  df-h0op 31711  df-nmop 31802  df-cnop 31803  df-lnop 31804  df-bdop 31805  df-unop 31806  df-hmop 31807  df-nmfn 31808  df-nlfn 31809  df-cnfn 31810  df-lnfn 31811  df-adjh 31812

This theorem is referenced by:  pjcmul1i  32164