HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjcoi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem adjcoi 31353
Description: The adjoint of a composition of bounded linear operators. Theorem 3.11(viii) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1 ๐‘† โˆˆ BndLinOp
nmoptri.2 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
adjcoi (adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)) = ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ (adjโ„Žโ€˜๐‘†))
Proof of Theorem adjcoi
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoptri.2 . . . . . . . 8 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
2 adjbdln 31336 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ BndLinOp)
3 bdopf 31115 . . . . . . . 8 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ BndLinOp โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
41, 2, 3mp2b 10 . . . . . . 7 (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹
5 nmoptri.1 . . . . . . . 8 ๐‘† โˆˆ BndLinOp
6 adjbdln 31336 . . . . . . . 8 (๐‘† โˆˆ BndLinOp โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘†) โˆˆ BndLinOp)
7 bdopf 31115 . . . . . . . 8 ((adjโ„Žโ€˜๐‘†) โˆˆ BndLinOp โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘†): โ„‹โŸถ โ„‹)
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . 7 (adjโ„Žโ€˜๐‘†): โ„‹โŸถ โ„‹
94, 8hocoi 31017 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ (adjโ„Žโ€˜๐‘†))โ€˜๐‘ฆ) = ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ)))
109oveq2d 7425 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ฅ ยทih (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ (adjโ„Žโ€˜๐‘†))โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ))))
1110adantl 483 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ (adjโ„Žโ€˜๐‘†))โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ))))
12 bdopf 31115 . . . . . . . . 9 (๐‘† โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹)
135, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8 ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹
14 bdopf 31115 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
151, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
1613, 15hocoi 31017 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
1716oveq1d 7424 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ))
1817adantr 482 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ))
1915ffvelcdmi 7086 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
20 bdopadj 31335 . . . . . . . 8 (๐‘† โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž)
215, 20ax-mp 5 . . . . . . 7 ๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž
22 adj2 31187 . . . . . . 7 ((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ)))
2321, 22mp3an1 1449 . . . . . 6 (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ)))
2419, 23sylan 581 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ)))
258ffvelcdmi 7086 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
26 bdopadj 31335 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž)
271, 26ax-mp 5 . . . . . . 7 ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž
28 adj2 31187 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ))))
2927, 28mp3an1 1449 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ))))
3025, 29sylan2 594 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ))))
3118, 24, 303eqtrd 2777 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ))))
325, 1bdopcoi 31351 . . . . . 6 (๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ BndLinOp
33 bdopadj 31335 . . . . . 6 ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ BndLinOp โ†’ (๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ dom adjโ„Ž)
3432, 33ax-mp 5 . . . . 5 (๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ dom adjโ„Ž
35 adj2 31187 . . . . 5 (((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ)))
3634, 35mp3an1 1449 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ)))
3711, 31, 363eqtr2rd 2780 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ (adjโ„Žโ€˜๐‘†))โ€˜๐‘ฆ)))
3837rgen2 3198 . 2 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ (adjโ„Žโ€˜๐‘†))โ€˜๐‘ฆ))
39 adjbdln 31336 . . . 4 ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ BndLinOp โ†’ (adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)) โˆˆ BndLinOp)
40 bdopf 31115 . . . 4 ((adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)) โˆˆ BndLinOp โ†’ (adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹)
4132, 39, 40mp2b 10 . . 3 (adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹
424, 8hocofi 31019 . . 3 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ (adjโ„Žโ€˜๐‘†)): โ„‹โŸถ โ„‹
43 hoeq2 31084 . . 3 (((adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ (adjโ„Žโ€˜๐‘†)): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ (adjโ„Žโ€˜๐‘†))โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)) = ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ (adjโ„Žโ€˜๐‘†))))
4441, 42, 43mp2an 691 . 2 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ (adjโ„Žโ€˜๐‘†))โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)) = ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ (adjโ„Žโ€˜๐‘†)))
4538, 44mpbi 229 1 (adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)) = ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ (adjโ„Žโ€˜๐‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062  dom cdm 5677   โˆ˜ ccom 5681  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โ„‹chba 30172   ยทih csp 30175  BndLinOpcbo 30201  adjโ„Žcado 30208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cc 10430  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190  ax-hilex 30252  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvmulass 30260  ax-hvdistr1 30261  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338  ax-hcompl 30455
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-lm 22733  df-t1 22818  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cfil 24772  df-cau 24773  df-cmet 24774  df-grpo 29746  df-gid 29747  df-ginv 29748  df-gdiv 29749  df-ablo 29798  df-vc 29812  df-nv 29845  df-va 29848  df-ba 29849  df-sm 29850  df-0v 29851  df-vs 29852  df-nmcv 29853  df-ims 29854  df-dip 29954  df-ssp 29975  df-lno 29997  df-nmoo 29998  df-0o 30000  df-ph 30066  df-cbn 30116  df-hnorm 30221  df-hba 30222  df-hvsub 30224  df-hlim 30225  df-hcau 30226  df-sh 30460  df-ch 30474  df-oc 30505  df-ch0 30506  df-shs 30561  df-pjh 30648  df-h0op 31001  df-nmop 31092  df-cnop 31093  df-lnop 31094  df-bdop 31095  df-unop 31096  df-hmop 31097  df-nmfn 31098  df-nlfn 31099  df-cnfn 31100  df-lnfn 31101  df-adjh 31102
This theorem is referenced by:  pjcmul1i  31454
  Copyright terms: Public domain W3C validator