HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  adjcoi Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem adjcoi 31608
Description: The adjoint of a composition of bounded linear operators. Theorem 3.11(viii) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmoptri.1 ๐‘† โˆˆ BndLinOp
nmoptri.2 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
Assertion
Ref Expression
adjcoi (adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)) = ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ (adjโ„Žโ€˜๐‘†))
Proof of Theorem adjcoi
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nmoptri.2 . . . . . . . 8 ๐‘‡ โˆˆ BndLinOp
2 adjbdln 31591 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ BndLinOp)
3 bdopf 31370 . . . . . . . 8 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆˆ BndLinOp โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹)
41, 2, 3mp2b 10 . . . . . . 7 (adjโ„Žโ€˜๐‘‡): โ„‹โŸถ โ„‹
5 nmoptri.1 . . . . . . . 8 ๐‘† โˆˆ BndLinOp
6 adjbdln 31591 . . . . . . . 8 (๐‘† โˆˆ BndLinOp โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘†) โˆˆ BndLinOp)
7 bdopf 31370 . . . . . . . 8 ((adjโ„Žโ€˜๐‘†) โˆˆ BndLinOp โ†’ (adjโ„Žโ€˜๐‘†): โ„‹โŸถ โ„‹)
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . 7 (adjโ„Žโ€˜๐‘†): โ„‹โŸถ โ„‹
94, 8hocoi 31272 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ (adjโ„Žโ€˜๐‘†))โ€˜๐‘ฆ) = ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ)))
109oveq2d 7427 . . . . 5 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘ฅ ยทih (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ (adjโ„Žโ€˜๐‘†))โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ))))
1110adantl 482 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ (adjโ„Žโ€˜๐‘†))โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ))))
12 bdopf 31370 . . . . . . . . 9 (๐‘† โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹)
135, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8 ๐‘†: โ„‹โŸถ โ„‹
14 bdopf 31370 . . . . . . . . 9 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹)
151, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹
1613, 15hocoi 31272 . . . . . . 7 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)))
1716oveq1d 7426 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ))
1817adantr 481 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ))
1915ffvelcdmi 7085 . . . . . 6 (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹)
20 bdopadj 31590 . . . . . . . 8 (๐‘† โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž)
215, 20ax-mp 5 . . . . . . 7 ๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž
22 adj2 31442 . . . . . . 7 ((๐‘† โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ)))
2321, 22mp3an1 1448 . . . . . 6 (((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ)))
2419, 23sylan 580 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘†โ€˜(๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)) ยทih ๐‘ฆ) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ)))
258ffvelcdmi 7085 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†’ ((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹)
26 bdopadj 31590 . . . . . . . 8 (๐‘‡ โˆˆ BndLinOp โ†’ ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž)
271, 26ax-mp 5 . . . . . . 7 ๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž
28 adj2 31442 . . . . . . 7 ((๐‘‡ โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ))))
2927, 28mp3an1 1448 . . . . . 6 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ))))
3025, 29sylan2 593 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ))))
3118, 24, 303eqtrd 2776 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡)โ€˜((adjโ„Žโ€˜๐‘†)โ€˜๐‘ฆ))))
325, 1bdopcoi 31606 . . . . . 6 (๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ BndLinOp
33 bdopadj 31590 . . . . . 6 ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ BndLinOp โ†’ (๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ dom adjโ„Ž)
3432, 33ax-mp 5 . . . . 5 (๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ dom adjโ„Ž
35 adj2 31442 . . . . 5 (((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ dom adjโ„Ž โˆง ๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ)))
3634, 35mp3an1 1448 . . . 4 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฆ) = (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ)))
3711, 31, 363eqtr2rd 2779 . . 3 ((๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ (adjโ„Žโ€˜๐‘†))โ€˜๐‘ฆ)))
3837rgen2 3197 . 2 โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ (adjโ„Žโ€˜๐‘†))โ€˜๐‘ฆ))
39 adjbdln 31591 . . . 4 ((๐‘† โˆ˜ ๐‘‡) โˆˆ BndLinOp โ†’ (adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)) โˆˆ BndLinOp)
40 bdopf 31370 . . . 4 ((adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)) โˆˆ BndLinOp โ†’ (adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹)
4132, 39, 40mp2b 10 . . 3 (adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹
424, 8hocofi 31274 . . 3 ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ (adjโ„Žโ€˜๐‘†)): โ„‹โŸถ โ„‹
43 hoeq2 31339 . . 3 (((adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)): โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ (adjโ„Žโ€˜๐‘†)): โ„‹โŸถ โ„‹) โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ (adjโ„Žโ€˜๐‘†))โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)) = ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ (adjโ„Žโ€˜๐‘†))))
4441, 42, 43mp2an 690 . 2 (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ (๐‘ฅ ยทih ((adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡))โ€˜๐‘ฆ)) = (๐‘ฅ ยทih (((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ (adjโ„Žโ€˜๐‘†))โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)) = ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ (adjโ„Žโ€˜๐‘†)))
4538, 44mpbi 229 1 (adjโ„Žโ€˜(๐‘† โˆ˜ ๐‘‡)) = ((adjโ„Žโ€˜๐‘‡) โˆ˜ (adjโ„Žโ€˜๐‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  dom cdm 5676   โˆ˜ ccom 5680  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   โ„‹chba 30427   ยทih csp 30430  BndLinOpcbo 30456  adjโ„Žcado 30463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192  ax-hilex 30507  ax-hfvadd 30508  ax-hvcom 30509  ax-hvass 30510  ax-hv0cl 30511  ax-hvaddid 30512  ax-hfvmul 30513  ax-hvmulid 30514  ax-hvmulass 30515  ax-hvdistr1 30516  ax-hvdistr2 30517  ax-hvmul0 30518  ax-hfi 30587  ax-his1 30590  ax-his2 30591  ax-his3 30592  ax-his4 30593  ax-hcompl 30710
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-lm 22953  df-t1 23038  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cfil 24996  df-cau 24997  df-cmet 24998  df-grpo 30001  df-gid 30002  df-ginv 30003  df-gdiv 30004  df-ablo 30053  df-vc 30067  df-nv 30100  df-va 30103  df-ba 30104  df-sm 30105  df-0v 30106  df-vs 30107  df-nmcv 30108  df-ims 30109  df-dip 30209  df-ssp 30230  df-lno 30252  df-nmoo 30253  df-0o 30255  df-ph 30321  df-cbn 30371  df-hnorm 30476  df-hba 30477  df-hvsub 30479  df-hlim 30480  df-hcau 30481  df-sh 30715  df-ch 30729  df-oc 30760  df-ch0 30761  df-shs 30816  df-pjh 30903  df-h0op 31256  df-nmop 31347  df-cnop 31348  df-lnop 31349  df-bdop 31350  df-unop 31351  df-hmop 31352  df-nmfn 31353  df-nlfn 31354  df-cnfn 31355  df-lnfn 31356  df-adjh 31357
This theorem is referenced by:  pjcmul1i  31709
  Copyright terms: Public domain W3C validator