Theorem adjcoi 32188

Description: The adjoint of a composition of bounded linear operators. Theorem 3.11(viii) of [Beran] p. 106. (Contributed by NM, 10-Mar-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmoptri.1	⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
nmoptri.2	⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp

Assertion

Ref	Expression
adjcoi	⊢ (adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇)) = ((adjℎ‘𝑇) ∘ (adjℎ‘𝑆))

Proof of Theorem adjcoi

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nmoptri.2	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 ∈ BndLinOp
2		adjbdln 32171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → (adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp)
3		bdopf 31950	. . . . . . . 8 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∈ BndLinOp → (adjℎ‘𝑇): ℋ⟶ ℋ)
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (adjℎ‘𝑇): ℋ⟶ ℋ
5		nmoptri.1	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ∈ BndLinOp
6		adjbdln 32171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → (adjℎ‘𝑆) ∈ BndLinOp)
7		bdopf 31950	. . . . . . . 8 ⊢ ((adjℎ‘𝑆) ∈ BndLinOp → (adjℎ‘𝑆): ℋ⟶ ℋ)
8	5, 6, 7	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (adjℎ‘𝑆): ℋ⟶ ℋ
9	4, 8	hocoi 31852	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (((adjℎ‘𝑇) ∘ (adjℎ‘𝑆))‘𝑦) = ((adjℎ‘𝑇)‘((adjℎ‘𝑆)‘𝑦)))
10	9	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → (𝑥 ·ih (((adjℎ‘𝑇) ∘ (adjℎ‘𝑆))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘((adjℎ‘𝑆)‘𝑦))))
11	10	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih (((adjℎ‘𝑇) ∘ (adjℎ‘𝑆))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘((adjℎ‘𝑆)‘𝑦))))
12		bdopf 31950	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆: ℋ⟶ ℋ)
13	5, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆: ℋ⟶ ℋ
14		bdopf 31950	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇: ℋ⟶ ℋ)
15	1, 14	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇: ℋ⟶ ℋ
16	13, 15	hocoi 31852	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → ((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) = (𝑆‘(𝑇‘𝑥)))
17	16	oveq1d 7383	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑆‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑦))
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = ((𝑆‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑦))
19	15	ffvelcdmi 7037	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℋ → (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ)
20		bdopadj 32170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ BndLinOp → 𝑆 ∈ dom adjℎ)
21	5, 20	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 ∈ dom adjℎ
22		adj2 32022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ dom adjℎ ∧ (𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑆‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘𝑆)‘𝑦)))
23	21, 22	mp3an1 1451	. . . . . 6 ⊢ (((𝑇‘𝑥) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑆‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘𝑆)‘𝑦)))
24	19, 23	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑆‘(𝑇‘𝑥)) ·ih 𝑦) = ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘𝑆)‘𝑦)))
25	8	ffvelcdmi 7037	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℋ → ((adjℎ‘𝑆)‘𝑦) ∈ ℋ)
26		bdopadj 32170	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑇 ∈ BndLinOp → 𝑇 ∈ dom adjℎ)
27	1, 26	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ dom adjℎ
28		adj2 32022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑇 ∈ dom adjℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ ((adjℎ‘𝑆)‘𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘𝑆)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘((adjℎ‘𝑆)‘𝑦))))
29	27, 28	mp3an1 1451	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ ((adjℎ‘𝑆)‘𝑦) ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘𝑆)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘((adjℎ‘𝑆)‘𝑦))))
30	25, 29	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑇‘𝑥) ·ih ((adjℎ‘𝑆)‘𝑦)) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘((adjℎ‘𝑆)‘𝑦))))
31	18, 24, 30	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘𝑇)‘((adjℎ‘𝑆)‘𝑦))))
32	5, 1	bdopcoi 32186	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp
33		bdopadj 32170	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp → (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ dom adjℎ)
34	32, 33	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∘ 𝑇) ∈ dom adjℎ
35		adj2 32022	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∘ 𝑇) ∈ dom adjℎ ∧ 𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑦)))
36	34, 35	mp3an1 1451	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑆 ∘ 𝑇)‘𝑥) ·ih 𝑦) = (𝑥 ·ih ((adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑦)))
37	11, 31, 36	3eqtr2rd 2779	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑥 ·ih ((adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (((adjℎ‘𝑇) ∘ (adjℎ‘𝑆))‘𝑦)))
38	37	rgen2 3178	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ((adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (((adjℎ‘𝑇) ∘ (adjℎ‘𝑆))‘𝑦))
39		adjbdln 32171	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∘ 𝑇) ∈ BndLinOp → (adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ BndLinOp)
40		bdopf 31950	. . . 4 ⊢ ((adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇)) ∈ BndLinOp → (adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶ ℋ)
41	32, 39, 40	mp2b 10	. . 3 ⊢ (adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶ ℋ
42	4, 8	hocofi 31854	. . 3 ⊢ ((adjℎ‘𝑇) ∘ (adjℎ‘𝑆)): ℋ⟶ ℋ
43		hoeq2 31919	. . 3 ⊢ (((adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇)): ℋ⟶ ℋ ∧ ((adjℎ‘𝑇) ∘ (adjℎ‘𝑆)): ℋ⟶ ℋ) → (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ((adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (((adjℎ‘𝑇) ∘ (adjℎ‘𝑆))‘𝑦)) ↔ (adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇)) = ((adjℎ‘𝑇) ∘ (adjℎ‘𝑆))))
44	41, 42, 43	mp2an 693	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ ℋ ∀𝑦 ∈ ℋ (𝑥 ·ih ((adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇))‘𝑦)) = (𝑥 ·ih (((adjℎ‘𝑇) ∘ (adjℎ‘𝑆))‘𝑦)) ↔ (adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇)) = ((adjℎ‘𝑇) ∘ (adjℎ‘𝑆)))
45	38, 44	mpbi 230	1 ⊢ (adjℎ‘(𝑆 ∘ 𝑇)) = ((adjℎ‘𝑇) ∘ (adjℎ‘𝑆))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  dom cdm 5632   ∘ ccom 5636  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ℋchba 31007   ·_ih csp 31010  BndLinOpcbo 31036  adj_ℎcado 31043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118  ax-hilex 31087  ax-hfvadd 31088  ax-hvcom 31089  ax-hvass 31090  ax-hv0cl 31091  ax-hvaddid 31092  ax-hfvmul 31093  ax-hvmulid 31094  ax-hvmulass 31095  ax-hvdistr1 31096  ax-hvdistr2 31097  ax-hvmul0 31098  ax-hfi 31167  ax-his1 31170  ax-his2 31171  ax-his3 31172  ax-his4 31173  ax-hcompl 31290

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-lm 23185  df-t1 23270  df-haus 23271  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cfil 25223  df-cau 25224  df-cmet 25225  df-grpo 30581  df-gid 30582  df-ginv 30583  df-gdiv 30584  df-ablo 30633  df-vc 30647  df-nv 30680  df-va 30683  df-ba 30684  df-sm 30685  df-0v 30686  df-vs 30687  df-nmcv 30688  df-ims 30689  df-dip 30789  df-ssp 30810  df-lno 30832  df-nmoo 30833  df-0o 30835  df-ph 30901  df-cbn 30951  df-hnorm 31056  df-hba 31057  df-hvsub 31059  df-hlim 31060  df-hcau 31061  df-sh 31295  df-ch 31309  df-oc 31340  df-ch0 31341  df-shs 31396  df-pjh 31483  df-h0op 31836  df-nmop 31927  df-cnop 31928  df-lnop 31929  df-bdop 31930  df-unop 31931  df-hmop 31932  df-nmfn 31933  df-nlfn 31934  df-cnfn 31935  df-lnfn 31936  df-adjh 31937

This theorem is referenced by:  pjcmul1i  32289