Theorem indistps 22880

Description: The indiscrete topology on a set 𝐴 expressed as a topological space, using implicit structure indices. The advantage of this version over indistpsx 22879 is that it is independent of the indices of the component definitions df-base 17108 and df-tset 17167, and if they are changed in the future, this theorem will not be affected. The advantage over indistps2 22881 is that it is easy to eliminate the hypotheses with eqid 2729 and vtoclg 3506 to result in a closed theorem. Theorems indistpsALT 22882 and indistps2ALT 22883 show that the two forms can be derived from each other. (Contributed by FL, 19-Jul-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
indistps.a	⊢ 𝐴 ∈ V
indistps.k	⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), {∅, 𝐴}⟩}

Assertion

Ref	Expression
indistps	⊢ 𝐾 ∈ TopSp

Proof of Theorem indistps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indistps.k	. 2 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), {∅, 𝐴}⟩}
2		0ex 5242	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
3		indistps.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
4	2, 3	unipr 4873	. . 3 ⊢ ∪ {∅, 𝐴} = (∅ ∪ 𝐴)
5		uncom 4105	. . 3 ⊢ (∅ ∪ 𝐴) = (𝐴 ∪ ∅)
6		un0 4341	. . 3 ⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
7	4, 5, 6	3eqtrri 2757	. 2 ⊢ 𝐴 = ∪ {∅, 𝐴}
8		indistop 22871	. 2 ⊢ {∅, 𝐴} ∈ Top
9	1, 7, 8	eltpsi 22813	1 ⊢ 𝐾 ∈ TopSp

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3433   ∪ cun 3897  ∅c0 4280  {cpr 4575  ⟨cop 4579  ∪ cuni 4856  ‘cfv 6476  ndxcnx 17091  Basecbs 17107  TopSetcts 17154  TopSpctps 22801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-8 12185  df-9 12186  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-fz 13399  df-struct 17045  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-tset 17167  df-rest 17313  df-topn 17314  df-top 22763  df-topon 22780  df-topsp 22802

This theorem is referenced by: (None)