Theorem onpsstopbas 36418

Description: The class of ordinal numbers is a proper subclass of the class of topological bases. (Contributed by Chen-Pang He, 9-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onpsstopbas	⊢ On ⊊ TopBases

Proof of Theorem onpsstopbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsstopbas 36417	. 2 ⊢ On ⊆ TopBases
2		indistop 22889	. . . 4 ⊢ {∅, {{∅}}} ∈ Top
3		topbas 22859	. . . 4 ⊢ ({∅, {{∅}}} ∈ Top → {∅, {{∅}}} ∈ TopBases)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {∅, {{∅}}} ∈ TopBases
5		snex 5391	. . . . . 6 ⊢ {{∅}} ∈ V
6	5	prid2 4727	. . . . 5 ⊢ {{∅}} ∈ {∅, {{∅}}}
7		snsn0non 6459	. . . . 5 ⊢ ¬ {{∅}} ∈ On
8		jcn 162	. . . . 5 ⊢ ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → (¬ {{∅}} ∈ On → ¬ ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → {{∅}} ∈ On)))
9	6, 7, 8	mp2 9	. . . 4 ⊢ ¬ ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → {{∅}} ∈ On)
10		onelon 6357	. . . . 5 ⊢ (({∅, {{∅}}} ∈ On ∧ {{∅}} ∈ {∅, {{∅}}}) → {{∅}} ∈ On)
11	10	ex 412	. . . 4 ⊢ ({∅, {{∅}}} ∈ On → ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → {{∅}} ∈ On))
12	9, 11	mto 197	. . 3 ⊢ ¬ {∅, {{∅}}} ∈ On
13	4, 12	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ({∅, {{∅}}} ∈ TopBases ∧ ¬ {∅, {{∅}}} ∈ On)
14		ssnelpss 4077	. 2 ⊢ (On ⊆ TopBases → (({∅, {{∅}}} ∈ TopBases ∧ ¬ {∅, {{∅}}} ∈ On) → On ⊊ TopBases))
15	1, 13, 14	mp2 9	1 ⊢ On ⊊ TopBases

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914   ⊊ wpss 3915  ∅c0 4296  {csn 4589  {cpr 4591  Oncon0 6332  Topctop 22780  TopBasesctb 22832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-ord 6335  df-on 6336  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833

This theorem is referenced by: (None)