Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onpsstopbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onpsstopbas 32957
Description: The class of ordinal numbers is a proper subclass of the class of topological bases. (Contributed by Chen-Pang He, 9-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
onpsstopbas On ⊊ TopBases

Proof of Theorem onpsstopbas
StepHypRef Expression
1 onsstopbas 32956 . 2 On ⊆ TopBases
2 indistop 21184 . . . 4 {∅, {{∅}}} ∈ Top
3 topbas 21154 . . . 4 ({∅, {{∅}}} ∈ Top → {∅, {{∅}}} ∈ TopBases)
42, 3ax-mp 5 . . 3 {∅, {{∅}}} ∈ TopBases
5 snex 5131 . . . . . 6 {{∅}} ∈ V
65prid2 4518 . . . . 5 {{∅}} ∈ {∅, {{∅}}}
7 snsn0non 6085 . . . . 5 ¬ {{∅}} ∈ On
8 mth8 160 . . . . 5 ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → (¬ {{∅}} ∈ On → ¬ ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → {{∅}} ∈ On)))
96, 7, 8mp2 9 . . . 4 ¬ ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → {{∅}} ∈ On)
10 onelon 5992 . . . . 5 (({∅, {{∅}}} ∈ On ∧ {{∅}} ∈ {∅, {{∅}}}) → {{∅}} ∈ On)
1110ex 403 . . . 4 ({∅, {{∅}}} ∈ On → ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → {{∅}} ∈ On))
129, 11mto 189 . . 3 ¬ {∅, {{∅}}} ∈ On
134, 12pm3.2i 464 . 2 ({∅, {{∅}}} ∈ TopBases ∧ ¬ {∅, {{∅}}} ∈ On)
14 ssnelpss 3946 . 2 (On ⊆ TopBases → (({∅, {{∅}}} ∈ TopBases ∧ ¬ {∅, {{∅}}} ∈ On) → On ⊊ TopBases))
151, 13, 14mp2 9 1 On ⊊ TopBases
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  wcel 2164  wss 3798  wpss 3799  c0 4146  {csn 4399  {cpr 4401  Oncon0 5967  Topctop 21075  TopBasesctb 21127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-ord 5970  df-on 5971  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fv 6135  df-top 21076  df-topon 21093  df-bases 21128
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator