Theorem onpsstopbas 34647

Description: The class of ordinal numbers is a proper subclass of the class of topological bases. (Contributed by Chen-Pang He, 9-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onpsstopbas	⊢ On ⊊ TopBases

Proof of Theorem onpsstopbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsstopbas 34646	. 2 ⊢ On ⊆ TopBases
2		indistop 22180	. . . 4 ⊢ {∅, {{∅}}} ∈ Top
3		topbas 22150	. . . 4 ⊢ ({∅, {{∅}}} ∈ Top → {∅, {{∅}}} ∈ TopBases)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {∅, {{∅}}} ∈ TopBases
5		snex 5357	. . . . . 6 ⊢ {{∅}} ∈ V
6	5	prid2 4702	. . . . 5 ⊢ {{∅}} ∈ {∅, {{∅}}}
7		snsn0non 6393	. . . . 5 ⊢ ¬ {{∅}} ∈ On
8		jcn 162	. . . . 5 ⊢ ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → (¬ {{∅}} ∈ On → ¬ ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → {{∅}} ∈ On)))
9	6, 7, 8	mp2 9	. . . 4 ⊢ ¬ ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → {{∅}} ∈ On)
10		onelon 6295	. . . . 5 ⊢ (({∅, {{∅}}} ∈ On ∧ {{∅}} ∈ {∅, {{∅}}}) → {{∅}} ∈ On)
11	10	ex 412	. . . 4 ⊢ ({∅, {{∅}}} ∈ On → ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → {{∅}} ∈ On))
12	9, 11	mto 196	. . 3 ⊢ ¬ {∅, {{∅}}} ∈ On
13	4, 12	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ({∅, {{∅}}} ∈ TopBases ∧ ¬ {∅, {{∅}}} ∈ On)
14		ssnelpss 4049	. 2 ⊢ (On ⊆ TopBases → (({∅, {{∅}}} ∈ TopBases ∧ ¬ {∅, {{∅}}} ∈ On) → On ⊊ TopBases))
15	1, 13, 14	mp2 9	1 ⊢ On ⊊ TopBases

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2101   ⊆ wss 3889   ⊊ wpss 3890  ∅c0 4259  {csn 4564  {cpr 4566  Oncon0 6270  Topctop 22070  TopBasesctb 22123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3224  df-v 3436  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-ord 6273  df-on 6274  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fv 6455  df-top 22071  df-topon 22088  df-bases 22124

This theorem is referenced by: (None)