Theorem onpsstopbas 36396

Description: The class of ordinal numbers is a proper subclass of the class of topological bases. (Contributed by Chen-Pang He, 9-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onpsstopbas	⊢ On ⊊ TopBases

Proof of Theorem onpsstopbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsstopbas 36395	. 2 ⊢ On ⊆ TopBases
2		indistop 23030	. . . 4 ⊢ {∅, {{∅}}} ∈ Top
3		topbas 23000	. . . 4 ⊢ ({∅, {{∅}}} ∈ Top → {∅, {{∅}}} ∈ TopBases)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {∅, {{∅}}} ∈ TopBases
5		snex 5451	. . . . . 6 ⊢ {{∅}} ∈ V
6	5	prid2 4788	. . . . 5 ⊢ {{∅}} ∈ {∅, {{∅}}}
7		snsn0non 6520	. . . . 5 ⊢ ¬ {{∅}} ∈ On
8		jcn 162	. . . . 5 ⊢ ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → (¬ {{∅}} ∈ On → ¬ ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → {{∅}} ∈ On)))
9	6, 7, 8	mp2 9	. . . 4 ⊢ ¬ ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → {{∅}} ∈ On)
10		onelon 6420	. . . . 5 ⊢ (({∅, {{∅}}} ∈ On ∧ {{∅}} ∈ {∅, {{∅}}}) → {{∅}} ∈ On)
11	10	ex 412	. . . 4 ⊢ ({∅, {{∅}}} ∈ On → ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → {{∅}} ∈ On))
12	9, 11	mto 197	. . 3 ⊢ ¬ {∅, {{∅}}} ∈ On
13	4, 12	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ({∅, {{∅}}} ∈ TopBases ∧ ¬ {∅, {{∅}}} ∈ On)
14		ssnelpss 4137	. 2 ⊢ (On ⊆ TopBases → (({∅, {{∅}}} ∈ TopBases ∧ ¬ {∅, {{∅}}} ∈ On) → On ⊊ TopBases))
15	1, 13, 14	mp2 9	1 ⊢ On ⊊ TopBases

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   ⊊ wpss 3977  ∅c0 4352  {csn 4648  {cpr 4650  Oncon0 6395  Topctop 22920  TopBasesctb 22973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-ord 6398  df-on 6399  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fv 6581  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974

This theorem is referenced by: (None)