Theorem onpsstopbas 36413

Description: The class of ordinal numbers is a proper subclass of the class of topological bases. (Contributed by Chen-Pang He, 9-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onpsstopbas	⊢ On ⊊ TopBases

Proof of Theorem onpsstopbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsstopbas 36412	. 2 ⊢ On ⊆ TopBases
2		indistop 23025	. . . 4 ⊢ {∅, {{∅}}} ∈ Top
3		topbas 22995	. . . 4 ⊢ ({∅, {{∅}}} ∈ Top → {∅, {{∅}}} ∈ TopBases)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {∅, {{∅}}} ∈ TopBases
5		snex 5442	. . . . . 6 ⊢ {{∅}} ∈ V
6	5	prid2 4768	. . . . 5 ⊢ {{∅}} ∈ {∅, {{∅}}}
7		snsn0non 6511	. . . . 5 ⊢ ¬ {{∅}} ∈ On
8		jcn 162	. . . . 5 ⊢ ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → (¬ {{∅}} ∈ On → ¬ ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → {{∅}} ∈ On)))
9	6, 7, 8	mp2 9	. . . 4 ⊢ ¬ ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → {{∅}} ∈ On)
10		onelon 6411	. . . . 5 ⊢ (({∅, {{∅}}} ∈ On ∧ {{∅}} ∈ {∅, {{∅}}}) → {{∅}} ∈ On)
11	10	ex 412	. . . 4 ⊢ ({∅, {{∅}}} ∈ On → ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → {{∅}} ∈ On))
12	9, 11	mto 197	. . 3 ⊢ ¬ {∅, {{∅}}} ∈ On
13	4, 12	pm3.2i 470	. 2 ⊢ ({∅, {{∅}}} ∈ TopBases ∧ ¬ {∅, {{∅}}} ∈ On)
14		ssnelpss 4124	. 2 ⊢ (On ⊆ TopBases → (({∅, {{∅}}} ∈ TopBases ∧ ¬ {∅, {{∅}}} ∈ On) → On ⊊ TopBases))
15	1, 13, 14	mp2 9	1 ⊢ On ⊊ TopBases

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963   ⊊ wpss 3964  ∅c0 4339  {csn 4631  {cpr 4633  Oncon0 6386  Topctop 22915  TopBasesctb 22968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-ord 6389  df-on 6390  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fv 6571  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969

This theorem is referenced by: (None)