Users' Mathboxes Mathbox for Chen-Pang He < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onpsstopbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onpsstopbas 33782
Description: The class of ordinal numbers is a proper subclass of the class of topological bases. (Contributed by Chen-Pang He, 9-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
onpsstopbas On ⊊ TopBases

Proof of Theorem onpsstopbas
StepHypRef Expression
1 onsstopbas 33781 . 2 On ⊆ TopBases
2 indistop 21613 . . . 4 {∅, {{∅}}} ∈ Top
3 topbas 21583 . . . 4 ({∅, {{∅}}} ∈ Top → {∅, {{∅}}} ∈ TopBases)
42, 3ax-mp 5 . . 3 {∅, {{∅}}} ∈ TopBases
5 snex 5335 . . . . . 6 {{∅}} ∈ V
65prid2 4702 . . . . 5 {{∅}} ∈ {∅, {{∅}}}
7 snsn0non 6312 . . . . 5 ¬ {{∅}} ∈ On
8 jcn 164 . . . . 5 ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → (¬ {{∅}} ∈ On → ¬ ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → {{∅}} ∈ On)))
96, 7, 8mp2 9 . . . 4 ¬ ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → {{∅}} ∈ On)
10 onelon 6219 . . . . 5 (({∅, {{∅}}} ∈ On ∧ {{∅}} ∈ {∅, {{∅}}}) → {{∅}} ∈ On)
1110ex 415 . . . 4 ({∅, {{∅}}} ∈ On → ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → {{∅}} ∈ On))
129, 11mto 199 . . 3 ¬ {∅, {{∅}}} ∈ On
134, 12pm3.2i 473 . 2 ({∅, {{∅}}} ∈ TopBases ∧ ¬ {∅, {{∅}}} ∈ On)
14 ssnelpss 4091 . 2 (On ⊆ TopBases → (({∅, {{∅}}} ∈ TopBases ∧ ¬ {∅, {{∅}}} ∈ On) → On ⊊ TopBases))
151, 13, 14mp2 9 1 On ⊊ TopBases
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398  wcel 2113  wss 3939  wpss 3940  c0 4294  {csn 4570  {cpr 4572  Oncon0 6194  Topctop 21504  TopBasesctb 21556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-ord 6197  df-on 6198  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fv 6366  df-top 21505  df-topon 21522  df-bases 21557
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator