Theorem onpsstopbas 32957

Description: The class of ordinal numbers is a proper subclass of the class of topological bases. (Contributed by Chen-Pang He, 9-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
onpsstopbas	⊢ On ⊊ TopBases

Proof of Theorem onpsstopbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsstopbas 32956	. 2 ⊢ On ⊆ TopBases
2		indistop 21184	. . . 4 ⊢ {∅, {{∅}}} ∈ Top
3		topbas 21154	. . . 4 ⊢ ({∅, {{∅}}} ∈ Top → {∅, {{∅}}} ∈ TopBases)
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {∅, {{∅}}} ∈ TopBases
5		snex 5131	. . . . . 6 ⊢ {{∅}} ∈ V
6	5	prid2 4518	. . . . 5 ⊢ {{∅}} ∈ {∅, {{∅}}}
7		snsn0non 6085	. . . . 5 ⊢ ¬ {{∅}} ∈ On
8		mth8 160	. . . . 5 ⊢ ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → (¬ {{∅}} ∈ On → ¬ ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → {{∅}} ∈ On)))
9	6, 7, 8	mp2 9	. . . 4 ⊢ ¬ ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → {{∅}} ∈ On)
10		onelon 5992	. . . . 5 ⊢ (({∅, {{∅}}} ∈ On ∧ {{∅}} ∈ {∅, {{∅}}}) → {{∅}} ∈ On)
11	10	ex 403	. . . 4 ⊢ ({∅, {{∅}}} ∈ On → ({{∅}} ∈ {∅, {{∅}}} → {{∅}} ∈ On))
12	9, 11	mto 189	. . 3 ⊢ ¬ {∅, {{∅}}} ∈ On
13	4, 12	pm3.2i 464	. 2 ⊢ ({∅, {{∅}}} ∈ TopBases ∧ ¬ {∅, {{∅}}} ∈ On)
14		ssnelpss 3946	. 2 ⊢ (On ⊆ TopBases → (({∅, {{∅}}} ∈ TopBases ∧ ¬ {∅, {{∅}}} ∈ On) → On ⊊ TopBases))
15	1, 13, 14	mp2 9	1 ⊢ On ⊊ TopBases

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2164   ⊆ wss 3798   ⊊ wpss 3799  ∅c0 4146  {csn 4399  {cpr 4401  Oncon0 5967  Topctop 21075  TopBasesctb 21127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-ord 5970  df-on 5971  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fv 6135  df-top 21076  df-topon 21093  df-bases 21128

This theorem is referenced by: (None)