Theorem indistpsx 23236

Description: The indiscrete topology on a set 𝐴 expressed as a topological space, using explicit structure component references. Compare with indistps 23237 and indistps2 23238. The advantage of this version is that the actual function for the structure is evident, and df-ndx 17290 is not needed, nor any other special definition outside of basic set theory. The disadvantage is that if the indices of the component definitions df-base 17306 and df-tset 17365 are changed in the future, this theorem will also have to be changed. Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use; use indistps 23237 instead. (New usage is discouraged.) (Contributed by FL, 19-Jul-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
indistpsx.a	⊢ 𝐴 ∈ V
indistpsx.k	⊢ 𝐾 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨9, {∅, 𝐴}⟩}

Assertion

Ref	Expression
indistpsx	⊢ 𝐾 ∈ TopSp

Proof of Theorem indistpsx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indistpsx.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨9, {∅, 𝐴}⟩}
2		basendx 17314	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
3	2	opeq1i 4839	. . . 4 ⊢ ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩ = ⟨1, 𝐴⟩
4		tsetndx 17441	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
5	4	opeq1i 4839	. . . 4 ⊢ ⟨(TopSet‘ndx), {∅, 𝐴}⟩ = ⟨9, {∅, 𝐴}⟩
6	3, 5	preq12i 4702	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), {∅, 𝐴}⟩} = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨9, {∅, 𝐴}⟩}
7	1, 6	eqtr4i 2788	. 2 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), {∅, 𝐴}⟩}
8		indistpsx.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
9		indistopon 23227	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → {∅, 𝐴} ∈ (TopOn‘𝐴))
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {∅, 𝐴} ∈ (TopOn‘𝐴)
11	10	toponunii 23142	. 2 ⊢ 𝐴 = ∪ {∅, 𝐴}
12		indistop 23228	. 2 ⊢ {∅, 𝐴} ∈ Top
13	7, 11, 12	eltpsi 23170	1 ⊢ 𝐾 ∈ TopSp

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  ∅c0 4282  {cpr 4589  ⟨cop 4593  ‘cfv 6537  1c1 11128  9c9 12329  ndxcnx 17289  Basecbs 17305  TopSetcts 17352  TopOnctopon 23136  TopSpctps 23158

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-struct 17243  df-slot 17278  df-ndx 17290  df-base 17306  df-tset 17365  df-rest 17511  df-topn 17512  df-top 23120  df-topon 23137  df-topsp 23159

This theorem is used by: (None)