Theorem indistpsx 22971

Description: The indiscrete topology on a set 𝐴 expressed as a topological space, using explicit structure component references. Compare with indistps 22972 and indistps2 22973. The advantage of this version is that the actual function for the structure is evident, and df-ndx 17135 is not needed, nor any other special definition outside of basic set theory. The disadvantage is that if the indices of the component definitions df-base 17151 and df-tset 17210 are changed in the future, this theorem will also have to be changed. Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use; use indistps 22972 instead. (New usage is discouraged.) (Contributed by FL, 19-Jul-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
indistpsx.a	⊢ 𝐴 ∈ V
indistpsx.k	⊢ 𝐾 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨9, {∅, 𝐴}⟩}

Assertion

Ref	Expression
indistpsx	⊢ 𝐾 ∈ TopSp

Proof of Theorem indistpsx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indistpsx.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨9, {∅, 𝐴}⟩}
2		basendx 17159	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
3	2	opeq1i 4834	. . . 4 ⊢ ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩ = ⟨1, 𝐴⟩
4		tsetndx 17286	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
5	4	opeq1i 4834	. . . 4 ⊢ ⟨(TopSet‘ndx), {∅, 𝐴}⟩ = ⟨9, {∅, 𝐴}⟩
6	3, 5	preq12i 4697	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), {∅, 𝐴}⟩} = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨9, {∅, 𝐴}⟩}
7	1, 6	eqtr4i 2763	. 2 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), {∅, 𝐴}⟩}
8		indistpsx.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
9		indistopon 22962	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → {∅, 𝐴} ∈ (TopOn‘𝐴))
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {∅, 𝐴} ∈ (TopOn‘𝐴)
11	10	toponunii 22877	. 2 ⊢ 𝐴 = ∪ {∅, 𝐴}
12		indistop 22963	. 2 ⊢ {∅, 𝐴} ∈ Top
13	7, 11, 12	eltpsi 22905	1 ⊢ 𝐾 ∈ TopSp

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ∅c0 4287  {cpr 4584  ⟨cop 4588  ‘cfv 6502  1c1 11041  9c9 12221  ndxcnx 17134  Basecbs 17150  TopSetcts 17197  TopOnctopon 22871  TopSpctps 22893

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-struct 17088  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-tset 17210  df-rest 17356  df-topn 17357  df-top 22855  df-topon 22872  df-topsp 22894

This theorem is referenced by: (None)