Theorem indistpsx 22997

Description: The indiscrete topology on a set 𝐴 expressed as a topological space, using explicit structure component references. Compare with indistps 22998 and indistps2 22999. The advantage of this version is that the actual function for the structure is evident, and df-ndx 17159 is not needed, nor any other special definition outside of basic set theory. The disadvantage is that if the indices of the component definitions df-base 17175 and df-tset 17234 are changed in the future, this theorem will also have to be changed. Note: This theorem has hard-coded structure indices for demonstration purposes. It is not intended for general use; use indistps 22998 instead. (New usage is discouraged.) (Contributed by FL, 19-Jul-2006.)

Hypotheses

Ref	Expression
indistpsx.a	⊢ 𝐴 ∈ V
indistpsx.k	⊢ 𝐾 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨9, {∅, 𝐴}⟩}

Assertion

Ref	Expression
indistpsx	⊢ 𝐾 ∈ TopSp

Proof of Theorem indistpsx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indistpsx.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨9, {∅, 𝐴}⟩}
2		basendx 17183	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) = 1
3	2	opeq1i 4810	. . . 4 ⊢ ⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩ = ⟨1, 𝐴⟩
4		tsetndx 17310	. . . . 5 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
5	4	opeq1i 4810	. . . 4 ⊢ ⟨(TopSet‘ndx), {∅, 𝐴}⟩ = ⟨9, {∅, 𝐴}⟩
6	3, 5	preq12i 4673	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), {∅, 𝐴}⟩} = {⟨1, 𝐴⟩, ⟨9, {∅, 𝐴}⟩}
7	1, 6	eqtr4i 2767	. 2 ⊢ 𝐾 = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), {∅, 𝐴}⟩}
8		indistpsx.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
9		indistopon 22988	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → {∅, 𝐴} ∈ (TopOn‘𝐴))
10	8, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ {∅, 𝐴} ∈ (TopOn‘𝐴)
11	10	toponunii 22903	. 2 ⊢ 𝐴 = ∪ {∅, 𝐴}
12		indistop 22989	. 2 ⊢ {∅, 𝐴} ∈ Top
13	7, 11, 12	eltpsi 22931	1 ⊢ 𝐾 ∈ TopSp

Syntax hints:   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433  ∅c0 4264  {cpr 4560  ⟨cop 4564  ‘cfv 6489  1c1 11034  9c9 12238  ndxcnx 17158  Basecbs 17174  TopSetcts 17221  TopOnctopon 22897  TopSpctps 22919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-tset 17234  df-rest 17380  df-topn 17381  df-top 22881  df-topon 22898  df-topsp 22920

This theorem is referenced by: (None)