Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indispconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indispconn 35239
Description: The indiscrete topology (or trivial topology) on any set is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
indispconn {∅, 𝐴} ∈ PConn

Proof of Theorem indispconn
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 indistop 23009 . 2 {∅, 𝐴} ∈ Top
2 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → 𝑥 {∅, 𝐴})
3 0ex 5307 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ V
4 n0i 4340 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 {∅, 𝐴} → ¬ {∅, 𝐴} = ∅)
5 prprc2 4766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐴 ∈ V → {∅, 𝐴} = {∅})
65unieqd 4920 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴 ∈ V → {∅, 𝐴} = {∅})
73unisn 4926 . . . . . . . . . . . . . . 15 {∅} = ∅
86, 7eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 ∈ V → {∅, 𝐴} = ∅)
94, 8nsyl2 141 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 {∅, 𝐴} → 𝐴 ∈ V)
109adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → 𝐴 ∈ V)
11 uniprg 4923 . . . . . . . . . . . 12 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → {∅, 𝐴} = (∅ ∪ 𝐴))
123, 10, 11sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → {∅, 𝐴} = (∅ ∪ 𝐴))
13 uncom 4158 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∪ 𝐴) = (𝐴 ∪ ∅)
14 un0 4394 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
1513, 14eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 (∅ ∪ 𝐴) = 𝐴
1612, 15eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → {∅, 𝐴} = 𝐴)
172, 16eleqtrd 2843 . . . . . . . . 9 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → 𝑥𝐴)
18 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → 𝑦 {∅, 𝐴})
1918, 16eleqtrd 2843 . . . . . . . . 9 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → 𝑦𝐴)
2017, 19ifcld 4572 . . . . . . . 8 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴)
2120adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴)
2221fmpttd 7135 . . . . . 6 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)):(0[,]1)⟶𝐴)
23 ovex 7464 . . . . . . 7 (0[,]1) ∈ V
24 elmapg 8879 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (𝐴m (0[,]1)) ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)):(0[,]1)⟶𝐴))
2510, 23, 24sylancl 586 . . . . . 6 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (𝐴m (0[,]1)) ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)):(0[,]1)⟶𝐴))
2622, 25mpbird 257 . . . . 5 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (𝐴m (0[,]1)))
27 iitopon 24905 . . . . . 6 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
28 cnindis 23300 . . . . . 6 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐴 ∈ V) → (II Cn {∅, 𝐴}) = (𝐴m (0[,]1)))
2927, 10, 28sylancr 587 . . . . 5 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → (II Cn {∅, 𝐴}) = (𝐴m (0[,]1)))
3026, 29eleqtrrd 2844 . . . 4 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (II Cn {∅, 𝐴}))
31 0elunit 13509 . . . . 5 0 ∈ (0[,]1)
32 iftrue 4531 . . . . . 6 (𝑧 = 0 → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) = 𝑥)
33 eqid 2737 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))
34 vex 3484 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
3532, 33, 34fvmpt 7016 . . . . 5 (0 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥)
3631, 35mp1i 13 . . . 4 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥)
37 1elunit 13510 . . . . 5 1 ∈ (0[,]1)
38 ax-1ne0 11224 . . . . . . . 8 1 ≠ 0
39 neeq1 3003 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → (𝑧 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
4038, 39mpbiri 258 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 → 𝑧 ≠ 0)
41 ifnefalse 4537 . . . . . . 7 (𝑧 ≠ 0 → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) = 𝑦)
4240, 41syl 17 . . . . . 6 (𝑧 = 1 → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) = 𝑦)
43 vex 3484 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
4442, 33, 43fvmpt 7016 . . . . 5 (1 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)
4537, 44mp1i 13 . . . 4 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)
46 fveq1 6905 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → (𝑓‘0) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0))
4746eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → ((𝑓‘0) = 𝑥 ↔ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥))
48 fveq1 6905 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → (𝑓‘1) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1))
4948eqeq1d 2739 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → ((𝑓‘1) = 𝑦 ↔ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦))
5047, 49anbi12d 632 . . . . 5 (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ↔ (((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥 ∧ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)))
5150rspcev 3622 . . . 4 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (II Cn {∅, 𝐴}) ∧ (((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥 ∧ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
5230, 36, 45, 51syl12anc 837 . . 3 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → ∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
5352rgen2 3199 . 2 𝑥 {∅, 𝐴}∀𝑦 {∅, 𝐴}∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)
54 eqid 2737 . . 3 {∅, 𝐴} = {∅, 𝐴}
5554ispconn 35228 . 2 ({∅, 𝐴} ∈ PConn ↔ ({∅, 𝐴} ∈ Top ∧ ∀𝑥 {∅, 𝐴}∀𝑦 {∅, 𝐴}∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)))
561, 53, 55mpbir2an 711 1 {∅, 𝐴} ∈ PConn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  Vcvv 3480  cun 3949  c0 4333  ifcif 4525  {csn 4626  {cpr 4628   cuni 4907  cmpt 5225  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  0cc0 11155  1c1 11156  [,]cicc 13390  Topctop 22899  TopOnctopon 22916   Cn ccn 23232  IIcii 24901  PConncpconn 35224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cn 23235  df-ii 24903  df-pconn 35226
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator