Theorem indispconn 35239

Description: The indiscrete topology (or trivial topology) on any set is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
indispconn	⊢ {∅, 𝐴} ∈ PConn

Proof of Theorem indispconn

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indistop 23009	. 2 ⊢ {∅, 𝐴} ∈ Top
2		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → 𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴})
3		0ex 5307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
4		n0i 4340	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} → ¬ ∪ {∅, 𝐴} = ∅)
5		prprc2 4766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {∅, 𝐴} = {∅})
6	5	unieqd 4920	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ∪ {∅, 𝐴} = ∪ {∅})
7	3	unisn 4926	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∪ {∅} = ∅
8	6, 7	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ∪ {∅, 𝐴} = ∅)
9	4, 8	nsyl2 141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} → 𝐴 ∈ V)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → 𝐴 ∈ V)
11		uniprg 4923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ∪ {∅, 𝐴} = (∅ ∪ 𝐴))
12	3, 10, 11	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → ∪ {∅, 𝐴} = (∅ ∪ 𝐴))
13		uncom 4158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∪ 𝐴) = (𝐴 ∪ ∅)
14		un0 4394	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
15	13, 14	eqtri 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ∪ 𝐴) = 𝐴
16	12, 15	eqtrdi 2793	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → ∪ {∅, 𝐴} = 𝐴)
17	2, 16	eleqtrd 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
18		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴})
19	18, 16	eleqtrd 2843	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → 𝑦 ∈ 𝐴)
20	17, 19	ifcld 4572	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴)
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴)
22	21	fmpttd 7135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)):(0[,]1)⟶𝐴)
23		ovex 7464	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]1) ∈ V
24		elmapg 8879	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (𝐴 ↑m (0[,]1)) ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)):(0[,]1)⟶𝐴))
25	10, 23, 24	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (𝐴 ↑m (0[,]1)) ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)):(0[,]1)⟶𝐴))
26	22, 25	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (𝐴 ↑m (0[,]1)))
27		iitopon 24905	. . . . . 6 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
28		cnindis 23300	. . . . . 6 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐴 ∈ V) → (II Cn {∅, 𝐴}) = (𝐴 ↑m (0[,]1)))
29	27, 10, 28	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → (II Cn {∅, 𝐴}) = (𝐴 ↑m (0[,]1)))
30	26, 29	eleqtrrd 2844	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (II Cn {∅, 𝐴}))
31		0elunit 13509	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
32		iftrue 4531	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 0 → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) = 𝑥)
33		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))
34		vex 3484	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
35	32, 33, 34	fvmpt 7016	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥)
36	31, 35	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥)
37		1elunit 13510	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
38		ax-1ne0 11224	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
39		neeq1 3003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
40	38, 39	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 1 → 𝑧 ≠ 0)
41		ifnefalse 4537	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ≠ 0 → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) = 𝑦)
42	40, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 1 → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) = 𝑦)
43		vex 3484	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
44	42, 33, 43	fvmpt 7016	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)
45	37, 44	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)
46		fveq1 6905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → (𝑓‘0) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0))
47	46	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → ((𝑓‘0) = 𝑥 ↔ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥))
48		fveq1 6905	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → (𝑓‘1) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1))
49	48	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → ((𝑓‘1) = 𝑦 ↔ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦))
50	47, 49	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ↔ (((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥 ∧ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)))
51	50	rspcev 3622	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (II Cn {∅, 𝐴}) ∧ (((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥 ∧ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
52	30, 36, 45, 51	syl12anc 837	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → ∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
53	52	rgen2 3199	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴}∀𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)
54		eqid 2737	. . 3 ⊢ ∪ {∅, 𝐴} = ∪ {∅, 𝐴}
55	54	ispconn 35228	. 2 ⊢ ({∅, 𝐴} ∈ PConn ↔ ({∅, 𝐴} ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴}∀𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)))
56	1, 53, 55	mpbir2an 711	1 ⊢ {∅, 𝐴} ∈ PConn

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  Vcvv 3480   ∪ cun 3949  ∅c0 4333  ifcif 4525  {csn 4626  {cpr 4628  ∪ cuni 4907   ↦ cmpt 5225  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8866  0cc0 11155  1c1 11156  [,]cicc 13390  Topctop 22899  TopOnctopon 22916   Cn ccn 23232  IIcii 24901  PConncpconn 35224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-icc 13394  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cn 23235  df-ii 24903  df-pconn 35226

This theorem is referenced by: (None)