Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indispconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indispconn 35219
Description: The indiscrete topology (or trivial topology) on any set is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
indispconn {∅, 𝐴} ∈ PConn

Proof of Theorem indispconn
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 indistop 23025 . 2 {∅, 𝐴} ∈ Top
2 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → 𝑥 {∅, 𝐴})
3 0ex 5313 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ V
4 n0i 4346 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 {∅, 𝐴} → ¬ {∅, 𝐴} = ∅)
5 prprc2 4771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐴 ∈ V → {∅, 𝐴} = {∅})
65unieqd 4925 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴 ∈ V → {∅, 𝐴} = {∅})
73unisn 4931 . . . . . . . . . . . . . . 15 {∅} = ∅
86, 7eqtrdi 2791 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 ∈ V → {∅, 𝐴} = ∅)
94, 8nsyl2 141 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 {∅, 𝐴} → 𝐴 ∈ V)
109adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → 𝐴 ∈ V)
11 uniprg 4928 . . . . . . . . . . . 12 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → {∅, 𝐴} = (∅ ∪ 𝐴))
123, 10, 11sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → {∅, 𝐴} = (∅ ∪ 𝐴))
13 uncom 4168 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∪ 𝐴) = (𝐴 ∪ ∅)
14 un0 4400 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
1513, 14eqtri 2763 . . . . . . . . . . 11 (∅ ∪ 𝐴) = 𝐴
1612, 15eqtrdi 2791 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → {∅, 𝐴} = 𝐴)
172, 16eleqtrd 2841 . . . . . . . . 9 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → 𝑥𝐴)
18 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → 𝑦 {∅, 𝐴})
1918, 16eleqtrd 2841 . . . . . . . . 9 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → 𝑦𝐴)
2017, 19ifcld 4577 . . . . . . . 8 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴)
2120adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴)
2221fmpttd 7135 . . . . . 6 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)):(0[,]1)⟶𝐴)
23 ovex 7464 . . . . . . 7 (0[,]1) ∈ V
24 elmapg 8878 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (𝐴m (0[,]1)) ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)):(0[,]1)⟶𝐴))
2510, 23, 24sylancl 586 . . . . . 6 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (𝐴m (0[,]1)) ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)):(0[,]1)⟶𝐴))
2622, 25mpbird 257 . . . . 5 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (𝐴m (0[,]1)))
27 iitopon 24919 . . . . . 6 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
28 cnindis 23316 . . . . . 6 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐴 ∈ V) → (II Cn {∅, 𝐴}) = (𝐴m (0[,]1)))
2927, 10, 28sylancr 587 . . . . 5 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → (II Cn {∅, 𝐴}) = (𝐴m (0[,]1)))
3026, 29eleqtrrd 2842 . . . 4 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (II Cn {∅, 𝐴}))
31 0elunit 13506 . . . . 5 0 ∈ (0[,]1)
32 iftrue 4537 . . . . . 6 (𝑧 = 0 → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) = 𝑥)
33 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))
34 vex 3482 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
3532, 33, 34fvmpt 7016 . . . . 5 (0 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥)
3631, 35mp1i 13 . . . 4 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥)
37 1elunit 13507 . . . . 5 1 ∈ (0[,]1)
38 ax-1ne0 11222 . . . . . . . 8 1 ≠ 0
39 neeq1 3001 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → (𝑧 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
4038, 39mpbiri 258 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 → 𝑧 ≠ 0)
41 ifnefalse 4543 . . . . . . 7 (𝑧 ≠ 0 → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) = 𝑦)
4240, 41syl 17 . . . . . 6 (𝑧 = 1 → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) = 𝑦)
43 vex 3482 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
4442, 33, 43fvmpt 7016 . . . . 5 (1 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)
4537, 44mp1i 13 . . . 4 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)
46 fveq1 6906 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → (𝑓‘0) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0))
4746eqeq1d 2737 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → ((𝑓‘0) = 𝑥 ↔ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥))
48 fveq1 6906 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → (𝑓‘1) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1))
4948eqeq1d 2737 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → ((𝑓‘1) = 𝑦 ↔ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦))
5047, 49anbi12d 632 . . . . 5 (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ↔ (((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥 ∧ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)))
5150rspcev 3622 . . . 4 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (II Cn {∅, 𝐴}) ∧ (((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥 ∧ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
5230, 36, 45, 51syl12anc 837 . . 3 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → ∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
5352rgen2 3197 . 2 𝑥 {∅, 𝐴}∀𝑦 {∅, 𝐴}∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)
54 eqid 2735 . . 3 {∅, 𝐴} = {∅, 𝐴}
5554ispconn 35208 . 2 ({∅, 𝐴} ∈ PConn ↔ ({∅, 𝐴} ∈ Top ∧ ∀𝑥 {∅, 𝐴}∀𝑦 {∅, 𝐴}∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)))
561, 53, 55mpbir2an 711 1 {∅, 𝐴} ∈ PConn
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  cun 3961  c0 4339  ifcif 4531  {csn 4631  {cpr 4633   cuni 4912  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  0cc0 11153  1c1 11154  [,]cicc 13387  Topctop 22915  TopOnctopon 22932   Cn ccn 23248  IIcii 24915  PConncpconn 35204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-icc 13391  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cn 23251  df-ii 24917  df-pconn 35206
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator