Theorem indispconn 33096

Description: The indiscrete topology (or trivial topology) on any set is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
indispconn	⊢ {∅, 𝐴} ∈ PConn

Proof of Theorem indispconn

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indistop 22060	. 2 ⊢ {∅, 𝐴} ∈ Top
2		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → 𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴})
3		0ex 5226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
4		n0i 4264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} → ¬ ∪ {∅, 𝐴} = ∅)
5		prprc2 4699	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {∅, 𝐴} = {∅})
6	5	unieqd 4850	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ∪ {∅, 𝐴} = ∪ {∅})
7	3	unisn 4858	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∪ {∅} = ∅
8	6, 7	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ∪ {∅, 𝐴} = ∅)
9	4, 8	nsyl2 141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} → 𝐴 ∈ V)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → 𝐴 ∈ V)
11		uniprg 4853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ∪ {∅, 𝐴} = (∅ ∪ 𝐴))
12	3, 10, 11	sylancr 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → ∪ {∅, 𝐴} = (∅ ∪ 𝐴))
13		uncom 4083	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∪ 𝐴) = (𝐴 ∪ ∅)
14		un0 4321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
15	13, 14	eqtri 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ∪ 𝐴) = 𝐴
16	12, 15	eqtrdi 2795	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → ∪ {∅, 𝐴} = 𝐴)
17	2, 16	eleqtrd 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
18		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴})
19	18, 16	eleqtrd 2841	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → 𝑦 ∈ 𝐴)
20	17, 19	ifcld 4502	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴)
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴)
22	21	fmpttd 6971	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)):(0[,]1)⟶𝐴)
23		ovex 7288	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]1) ∈ V
24		elmapg 8586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (𝐴 ↑m (0[,]1)) ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)):(0[,]1)⟶𝐴))
25	10, 23, 24	sylancl 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (𝐴 ↑m (0[,]1)) ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)):(0[,]1)⟶𝐴))
26	22, 25	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (𝐴 ↑m (0[,]1)))
27		iitopon 23948	. . . . . 6 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
28		cnindis 22351	. . . . . 6 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐴 ∈ V) → (II Cn {∅, 𝐴}) = (𝐴 ↑m (0[,]1)))
29	27, 10, 28	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → (II Cn {∅, 𝐴}) = (𝐴 ↑m (0[,]1)))
30	26, 29	eleqtrrd 2842	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (II Cn {∅, 𝐴}))
31		0elunit 13130	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
32		iftrue 4462	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 0 → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) = 𝑥)
33		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))
34		vex 3426	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
35	32, 33, 34	fvmpt 6857	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥)
36	31, 35	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥)
37		1elunit 13131	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
38		ax-1ne0 10871	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
39		neeq1 3005	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
40	38, 39	mpbiri 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 1 → 𝑧 ≠ 0)
41		ifnefalse 4468	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ≠ 0 → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) = 𝑦)
42	40, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 1 → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) = 𝑦)
43		vex 3426	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
44	42, 33, 43	fvmpt 6857	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)
45	37, 44	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)
46		fveq1 6755	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → (𝑓‘0) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0))
47	46	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → ((𝑓‘0) = 𝑥 ↔ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥))
48		fveq1 6755	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → (𝑓‘1) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1))
49	48	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → ((𝑓‘1) = 𝑦 ↔ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦))
50	47, 49	anbi12d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ↔ (((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥 ∧ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)))
51	50	rspcev 3552	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (II Cn {∅, 𝐴}) ∧ (((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥 ∧ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
52	30, 36, 45, 51	syl12anc 833	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → ∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
53	52	rgen2 3126	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴}∀𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)
54		eqid 2738	. . 3 ⊢ ∪ {∅, 𝐴} = ∪ {∅, 𝐴}
55	54	ispconn 33085	. 2 ⊢ ({∅, 𝐴} ∈ PConn ↔ ({∅, 𝐴} ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴}∀𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)))
56	1, 53, 55	mpbir2an 707	1 ⊢ {∅, 𝐴} ∈ PConn

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ∪ cun 3881  ∅c0 4253  ifcif 4456  {csn 4558  {cpr 4560  ∪ cuni 4836   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  0cc0 10802  1c1 10803  [,]cicc 13011  Topctop 21950  TopOnctopon 21967   Cn ccn 22283  IIcii 23944  PConncpconn 33081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-icc 13015  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-cn 22286  df-ii 23946  df-pconn 33083

This theorem is referenced by: (None)