Theorem indispconn 35301

Description: The indiscrete topology (or trivial topology) on any set is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
indispconn	⊢ {∅, 𝐴} ∈ PConn

Proof of Theorem indispconn

Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indistop 22920	. 2 ⊢ {∅, 𝐴} ∈ Top
2		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → 𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴})
3		0ex 5249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∅ ∈ V
4		n0i 4289	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} → ¬ ∪ {∅, 𝐴} = ∅)
5		prprc2 4720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → {∅, 𝐴} = {∅})
6	5	unieqd 4873	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ∪ {∅, 𝐴} = ∪ {∅})
7	3	unisn 4879	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∪ {∅} = ∅
8	6, 7	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → ∪ {∅, 𝐴} = ∅)
9	4, 8	nsyl2 141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} → 𝐴 ∈ V)
10	9	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → 𝐴 ∈ V)
11		uniprg 4876	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → ∪ {∅, 𝐴} = (∅ ∪ 𝐴))
12	3, 10, 11	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → ∪ {∅, 𝐴} = (∅ ∪ 𝐴))
13		uncom 4107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∪ 𝐴) = (𝐴 ∪ ∅)
14		un0 4343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
15	13, 14	eqtri 2756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ∪ 𝐴) = 𝐴
16	12, 15	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → ∪ {∅, 𝐴} = 𝐴)
17	2, 16	eleqtrd 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
18		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴})
19	18, 16	eleqtrd 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → 𝑦 ∈ 𝐴)
20	17, 19	ifcld 4523	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴)
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴)
22	21	fmpttd 7056	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)):(0[,]1)⟶𝐴)
23		ovex 7387	. . . . . . 7 ⊢ (0[,]1) ∈ V
24		elmapg 8771	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (𝐴 ↑m (0[,]1)) ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)):(0[,]1)⟶𝐴))
25	10, 23, 24	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (𝐴 ↑m (0[,]1)) ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)):(0[,]1)⟶𝐴))
26	22, 25	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (𝐴 ↑m (0[,]1)))
27		iitopon 24802	. . . . . 6 ⊢ II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
28		cnindis 23210	. . . . . 6 ⊢ ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐴 ∈ V) → (II Cn {∅, 𝐴}) = (𝐴 ↑m (0[,]1)))
29	27, 10, 28	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → (II Cn {∅, 𝐴}) = (𝐴 ↑m (0[,]1)))
30	26, 29	eleqtrrd 2836	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (II Cn {∅, 𝐴}))
31		0elunit 13373	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ (0[,]1)
32		iftrue 4482	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 0 → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) = 𝑥)
33		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))
34		vex 3441	. . . . . 6 ⊢ 𝑥 ∈ V
35	32, 33, 34	fvmpt 6937	. . . . 5 ⊢ (0 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥)
36	31, 35	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥)
37		1elunit 13374	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ (0[,]1)
38		ax-1ne0 11084	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
39		neeq1 2991	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 1 → (𝑧 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
40	38, 39	mpbiri 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 1 → 𝑧 ≠ 0)
41		ifnefalse 4488	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ≠ 0 → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) = 𝑦)
42	40, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 1 → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) = 𝑦)
43		vex 3441	. . . . . 6 ⊢ 𝑦 ∈ V
44	42, 33, 43	fvmpt 6937	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)
45	37, 44	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)
46		fveq1 6829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → (𝑓‘0) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0))
47	46	eqeq1d 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → ((𝑓‘0) = 𝑥 ↔ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥))
48		fveq1 6829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → (𝑓‘1) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1))
49	48	eqeq1d 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → ((𝑓‘1) = 𝑦 ↔ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦))
50	47, 49	anbi12d 632	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ↔ (((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥 ∧ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)))
51	50	rspcev 3573	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (II Cn {∅, 𝐴}) ∧ (((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥 ∧ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
52	30, 36, 45, 51	syl12anc 836	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}) → ∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
53	52	rgen2 3173	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴}∀𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)
54		eqid 2733	. . 3 ⊢ ∪ {∅, 𝐴} = ∪ {∅, 𝐴}
55	54	ispconn 35290	. 2 ⊢ ({∅, 𝐴} ∈ PConn ↔ ({∅, 𝐴} ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ {∅, 𝐴}∀𝑦 ∈ ∪ {∅, 𝐴}∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)))
56	1, 53, 55	mpbir2an 711	1 ⊢ {∅, 𝐴} ∈ PConn

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  ∃wrex 3057  Vcvv 3437   ∪ cun 3896  ∅c0 4282  ifcif 4476  {csn 4577  {cpr 4579  ∪ cuni 4860   ↦ cmpt 5176  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354   ↑_m cmap 8758  0cc0 11015  1c1 11016  [,]cicc 13252  Topctop 22811  TopOnctopon 22828   Cn ccn 23142  IIcii 24798  PConncpconn 35286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-map 8760  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-sup 9335  df-inf 9336  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-q 12851  df-rp 12895  df-xneg 13015  df-xadd 13016  df-xmul 13017  df-icc 13256  df-seq 13913  df-exp 13973  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-topgen 17351  df-psmet 21287  df-xmet 21288  df-met 21289  df-bl 21290  df-mopn 21291  df-top 22812  df-topon 22829  df-bases 22864  df-cn 23145  df-ii 24800  df-pconn 35288

This theorem is referenced by: (None)