Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indispconn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indispconn 32384
 Description: The indiscrete topology (or trivial topology) on any set is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
indispconn {∅, 𝐴} ∈ PConn

Proof of Theorem indispconn
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 indistop 21545 . 2 {∅, 𝐴} ∈ Top
2 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → 𝑥 {∅, 𝐴})
3 0ex 5208 . . . . . . . . . . . 12 ∅ ∈ V
4 n0i 4303 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 {∅, 𝐴} → ¬ {∅, 𝐴} = ∅)
5 prprc2 4701 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐴 ∈ V → {∅, 𝐴} = {∅})
65unieqd 4847 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴 ∈ V → {∅, 𝐴} = {∅})
73unisn 4853 . . . . . . . . . . . . . . 15 {∅} = ∅
86, 7syl6eq 2877 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐴 ∈ V → {∅, 𝐴} = ∅)
94, 8nsyl2 143 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 {∅, 𝐴} → 𝐴 ∈ V)
109adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → 𝐴 ∈ V)
11 uniprg 4851 . . . . . . . . . . . 12 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → {∅, 𝐴} = (∅ ∪ 𝐴))
123, 10, 11sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → {∅, 𝐴} = (∅ ∪ 𝐴))
13 uncom 4133 . . . . . . . . . . . 12 (∅ ∪ 𝐴) = (𝐴 ∪ ∅)
14 un0 4348 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∪ ∅) = 𝐴
1513, 14eqtri 2849 . . . . . . . . . . 11 (∅ ∪ 𝐴) = 𝐴
1612, 15syl6eq 2877 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → {∅, 𝐴} = 𝐴)
172, 16eleqtrd 2920 . . . . . . . . 9 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → 𝑥𝐴)
18 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → 𝑦 {∅, 𝐴})
1918, 16eleqtrd 2920 . . . . . . . . 9 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → 𝑦𝐴)
2017, 19ifcld 4515 . . . . . . . 8 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴)
2120adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) ∧ 𝑧 ∈ (0[,]1)) → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴)
2221fmpttd 6877 . . . . . 6 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)):(0[,]1)⟶𝐴)
23 ovex 7183 . . . . . . 7 (0[,]1) ∈ V
24 elmapg 8414 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ (0[,]1) ∈ V) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (𝐴m (0[,]1)) ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)):(0[,]1)⟶𝐴))
2510, 23, 24sylancl 586 . . . . . 6 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (𝐴m (0[,]1)) ↔ (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)):(0[,]1)⟶𝐴))
2622, 25mpbird 258 . . . . 5 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (𝐴m (0[,]1)))
27 iitopon 23421 . . . . . 6 II ∈ (TopOn‘(0[,]1))
28 cnindis 21835 . . . . . 6 ((II ∈ (TopOn‘(0[,]1)) ∧ 𝐴 ∈ V) → (II Cn {∅, 𝐴}) = (𝐴m (0[,]1)))
2927, 10, 28sylancr 587 . . . . 5 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → (II Cn {∅, 𝐴}) = (𝐴m (0[,]1)))
3026, 29eleqtrrd 2921 . . . 4 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (II Cn {∅, 𝐴}))
31 0elunit 12850 . . . . 5 0 ∈ (0[,]1)
32 iftrue 4476 . . . . . 6 (𝑧 = 0 → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) = 𝑥)
33 eqid 2826 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))
34 vex 3503 . . . . . 6 𝑥 ∈ V
3532, 33, 34fvmpt 6767 . . . . 5 (0 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥)
3631, 35mp1i 13 . . . 4 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥)
37 1elunit 12851 . . . . 5 1 ∈ (0[,]1)
38 ax-1ne0 10600 . . . . . . . 8 1 ≠ 0
39 neeq1 3083 . . . . . . . 8 (𝑧 = 1 → (𝑧 ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
4038, 39mpbiri 259 . . . . . . 7 (𝑧 = 1 → 𝑧 ≠ 0)
41 ifnefalse 4482 . . . . . . 7 (𝑧 ≠ 0 → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) = 𝑦)
4240, 41syl 17 . . . . . 6 (𝑧 = 1 → if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦) = 𝑦)
43 vex 3503 . . . . . 6 𝑦 ∈ V
4442, 33, 43fvmpt 6767 . . . . 5 (1 ∈ (0[,]1) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)
4537, 44mp1i 13 . . . 4 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)
46 fveq1 6668 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → (𝑓‘0) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0))
4746eqeq1d 2828 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → ((𝑓‘0) = 𝑥 ↔ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥))
48 fveq1 6668 . . . . . . 7 (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → (𝑓‘1) = ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1))
4948eqeq1d 2828 . . . . . 6 (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → ((𝑓‘1) = 𝑦 ↔ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦))
5047, 49anbi12d 630 . . . . 5 (𝑓 = (𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) → (((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦) ↔ (((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥 ∧ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)))
5150rspcev 3627 . . . 4 (((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦)) ∈ (II Cn {∅, 𝐴}) ∧ (((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘0) = 𝑥 ∧ ((𝑧 ∈ (0[,]1) ↦ if(𝑧 = 0, 𝑥, 𝑦))‘1) = 𝑦)) → ∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
5230, 36, 45, 51syl12anc 834 . . 3 ((𝑥 {∅, 𝐴} ∧ 𝑦 {∅, 𝐴}) → ∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦))
5352rgen2a 3234 . 2 𝑥 {∅, 𝐴}∀𝑦 {∅, 𝐴}∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)
54 eqid 2826 . . 3 {∅, 𝐴} = {∅, 𝐴}
5554ispconn 32373 . 2 ({∅, 𝐴} ∈ PConn ↔ ({∅, 𝐴} ∈ Top ∧ ∀𝑥 {∅, 𝐴}∀𝑦 {∅, 𝐴}∃𝑓 ∈ (II Cn {∅, 𝐴})((𝑓‘0) = 𝑥 ∧ (𝑓‘1) = 𝑦)))
561, 53, 55mpbir2an 707 1 {∅, 𝐴} ∈ PConn
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3021  ∀wral 3143  ∃wrex 3144  Vcvv 3500   ∪ cun 3938  ∅c0 4295  ifcif 4470  {csn 4564  {cpr 4566  ∪ cuni 4837   ↦ cmpt 5143  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7150   ↑m cmap 8401  0cc0 10531  1c1 10532  [,]cicc 12736  Topctop 21436  TopOnctopon 21453   Cn ccn 21767  IIcii 23417  PConncpconn 32369 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-map 8403  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-icc 12740  df-seq 13365  df-exp 13425  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-topgen 16712  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-top 21437  df-topon 21454  df-bases 21489  df-cn 21770  df-ii 23419  df-pconn 32371 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator