Theorem indval0 12240

Description: The indicator function generator does not generate a (meaningful) indicator function for a class which is not a subset of the domain. (Contributed by AV, 11-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
indval0	⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 𝑂 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem indval0

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indv 12238	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ V → (𝟭‘𝑂) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))
2	1	fveq1d 6890	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ V → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ((𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)))‘𝐴))
3	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ((𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)))‘𝐴))
4		elpwi 4574	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
5	4	con3i 155	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 𝑂 → ¬ 𝐴 ∈ 𝒫 𝑂)
6	5	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ¬ 𝐴 ∈ 𝒫 𝑂)
7		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)))
8	7	fvmptndm 7028	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 → ((𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)))‘𝐴) = ∅)
9	6, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)))‘𝐴) = ∅)
10	3, 9	eqtrd 2801	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ∅)
11	10	ex 418	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ V → (¬ 𝐴 ⊆ 𝑂 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ∅))
12		fv2prc 6930	. . 3 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ∅)
13	12	a1d 26	. 2 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (¬ 𝐴 ⊆ 𝑂 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ∅))
14	11, 13	pm2.61i 184	1 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 𝑂 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  ifcif 4492  𝒫 cpw 4567   ↦ cmpt 5197  ‘cfv 6543  0cc0 11118  1c1 11119  𝟭cind 12236

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ind 12237

This theorem is used by: (None)