Theorem indval0 12327

Description: The indicator function generator does not generate a (meaningful) indicator function for a class which is not a subset of the domain. (Contributed by AV, 11-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
indval0	⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 𝑂 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ∅)

Proof of Theorem indval0

Dummy variables 𝑎 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indv 12325	. . . . . 6 ⊢ (𝑂 ∈ V → (𝟭‘𝑂) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))
2	1	fveq1d 6887	. . . . 5 ⊢ (𝑂 ∈ V → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ((𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)))‘𝐴))
3	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ((𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)))‘𝐴))
4		elpwi 4563	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 → 𝐴 ⊆ 𝑂)
5	4	con3i 155	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 𝑂 → ¬ 𝐴 ∈ 𝒫 𝑂)
6	5	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ¬ 𝐴 ∈ 𝒫 𝑂)
7		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)))
8	7	fvmptndm 7025	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ 𝒫 𝑂 → ((𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)))‘𝐴) = ∅)
9	6, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)))‘𝐴) = ∅)
10	3, 9	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ ¬ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ∅)
11	10	ex 418	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ V → (¬ 𝐴 ⊆ 𝑂 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ∅))
12		fv2prc 6927	. . 3 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ∅)
13	12	a1d 26	. 2 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (¬ 𝐴 ⊆ 𝑂 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ∅))
14	11, 13	pm2.61i 184	1 ⊢ (¬ 𝐴 ⊆ 𝑂 → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  ifcif 4481  𝒫 cpw 4556   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  0cc0 11203  1c1 11204  𝟭cind 12323

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ind 12324

This theorem is used by: (None)