Theorem indv 12323

Description: Value of the indicator function generator with domain 𝑂. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indv	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝑂) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑎,𝑂   𝑉,𝑎

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem indv

Dummy variable 𝑜 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ind 12322	. 2 ⊢ 𝟭 = (𝑜 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑜 ↦ (𝑥 ∈ 𝑜 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))
2		pweq 4570	. . 3 ⊢ (𝑜 = 𝑂 → 𝒫 𝑜 = 𝒫 𝑂)
3		mpteq1 5193	. . 3 ⊢ (𝑜 = 𝑂 → (𝑥 ∈ 𝑜 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)))
4	2, 3	mpteq12dv 5191	. 2 ⊢ (𝑜 = 𝑂 → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑜 ↦ (𝑥 ∈ 𝑜 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))
5		elex 3471	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ V)
6		pwexg 5339	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → 𝒫 𝑂 ∈ V)
7		mptexg 7227	. . 3 ⊢ (𝒫 𝑂 ∈ V → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))) ∈ V)
8	5, 6, 7	3syl 19	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))) ∈ V)
9	1, 4, 5, 8	fvmptd3 7017	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝑂) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ifcif 4481  𝒫 cpw 4556   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  0cc0 11201  1c1 11202  𝟭cind 12321

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ind 12322

This theorem is used by:  indval  12324  indval0  12325  indf1o  33474