Theorem indv 31266

Description: Value of the indicator function generator with domain 𝑂. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indv	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝑂) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑎,𝑂   𝑉,𝑎

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem indv

Dummy variable 𝑜 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ind 31265	. 2 ⊢ 𝟭 = (𝑜 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑜 ↦ (𝑥 ∈ 𝑜 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))
2		pweq 4541	. . 3 ⊢ (𝑜 = 𝑂 → 𝒫 𝑜 = 𝒫 𝑂)
3		mpteq1 5146	. . 3 ⊢ (𝑜 = 𝑂 → (𝑥 ∈ 𝑜 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)))
4	2, 3	mpteq12dv 5143	. 2 ⊢ (𝑜 = 𝑂 → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑜 ↦ (𝑥 ∈ 𝑜 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))
5		elex 3512	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ V)
6		pwexg 5271	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → 𝒫 𝑂 ∈ V)
7		mptexg 6978	. . 3 ⊢ (𝒫 𝑂 ∈ V → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))) ∈ V)
8	5, 6, 7	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))) ∈ V)
9	1, 4, 5, 8	fvmptd3 6785	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝑂) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  Vcvv 3494  ifcif 4466  𝒫 cpw 4538   ↦ cmpt 5138  ‘cfv 6349  0cc0 10531  1c1 10532  𝟭cind 31264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ind 31265

This theorem is referenced by:  indval  31267  indf1o  31278