Theorem indv 32784

Description: Value of the indicator function generator with domain 𝑂. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indv	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝑂) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑎,𝑂   𝑉,𝑎

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem indv

Dummy variable 𝑜 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ind 32783	. 2 ⊢ 𝟭 = (𝑜 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑜 ↦ (𝑥 ∈ 𝑜 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))
2		pweq 4596	. . 3 ⊢ (𝑜 = 𝑂 → 𝒫 𝑜 = 𝒫 𝑂)
3		mpteq1 5217	. . 3 ⊢ (𝑜 = 𝑂 → (𝑥 ∈ 𝑜 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)))
4	2, 3	mpteq12dv 5215	. 2 ⊢ (𝑜 = 𝑂 → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑜 ↦ (𝑥 ∈ 𝑜 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))
5		elex 3485	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ V)
6		pwexg 5360	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → 𝒫 𝑂 ∈ V)
7		mptexg 7224	. . 3 ⊢ (𝒫 𝑂 ∈ V → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))) ∈ V)
8	5, 6, 7	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))) ∈ V)
9	1, 4, 5, 8	fvmptd3 7020	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝑂) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3464  ifcif 4507  𝒫 cpw 4582   ↦ cmpt 5207  ‘cfv 6542  0cc0 11138  1c1 11139  𝟭cind 32782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-id 5560  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ind 32783

This theorem is referenced by:  indval  32785  indf1o  32796