Theorem indv 33976

Description: Value of the indicator function generator with domain 𝑂. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indv	⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝑂) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑎,𝑂   𝑉,𝑎

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem indv

Dummy variable 𝑜 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ind 33975	. 2 ⊢ 𝟭 = (𝑜 ∈ V ↦ (𝑎 ∈ 𝒫 𝑜 ↦ (𝑥 ∈ 𝑜 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))
2		pweq 4636	. . 3 ⊢ (𝑜 = 𝑂 → 𝒫 𝑜 = 𝒫 𝑂)
3		mpteq1 5259	. . 3 ⊢ (𝑜 = 𝑂 → (𝑥 ∈ 𝑜 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)))
4	2, 3	mpteq12dv 5257	. 2 ⊢ (𝑜 = 𝑂 → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑜 ↦ (𝑥 ∈ 𝑜 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))
5		elex 3509	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → 𝑂 ∈ V)
6		pwexg 5396	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → 𝒫 𝑂 ∈ V)
7		mptexg 7258	. . 3 ⊢ (𝒫 𝑂 ∈ V → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))) ∈ V)
8	5, 6, 7	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))) ∈ V)
9	1, 4, 5, 8	fvmptd3 7052	1 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝑂) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488  ifcif 4548  𝒫 cpw 4622   ↦ cmpt 5249  ‘cfv 6573  0cc0 11184  1c1 11185  𝟭cind 33974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ind 33975

This theorem is referenced by:  indval  33977  indf1o  33988