Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indval2 31694
Description: Alternate value of the indicator function generator. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
indval2 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂𝐴) × {0})))

Proof of Theorem indval2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfmpt3 6512 . . . 4 (𝑥𝑂 ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)) = 𝑥𝑂 ({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)})
2 indval 31693 . . . 4 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = (𝑥𝑂 ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)))
3 undif 4396 . . . . . . 7 (𝐴𝑂 ↔ (𝐴 ∪ (𝑂𝐴)) = 𝑂)
43biimpi 219 . . . . . 6 (𝐴𝑂 → (𝐴 ∪ (𝑂𝐴)) = 𝑂)
54adantl 485 . . . . 5 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (𝐴 ∪ (𝑂𝐴)) = 𝑂)
65iuneq1d 4931 . . . 4 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝑂𝐴))({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}) = 𝑥𝑂 ({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}))
71, 2, 63eqtr4a 2804 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝑂𝐴))({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}))
8 iunxun 5002 . . 3 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝑂𝐴))({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}) = ( 𝑥𝐴 ({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}) ∪ 𝑥 ∈ (𝑂𝐴)({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}))
97, 8eqtrdi 2794 . 2 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ( 𝑥𝐴 ({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}) ∪ 𝑥 ∈ (𝑂𝐴)({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)})))
10 iftrue 4445 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 1, 0) = 1)
1110sneqd 4553 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → {if(𝑥𝐴, 1, 0)} = {1})
1211xpeq2d 5581 . . . . 5 (𝑥𝐴 → ({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}) = ({𝑥} × {1}))
1312iuneq2i 4925 . . . 4 𝑥𝐴 ({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}) = 𝑥𝐴 ({𝑥} × {1})
14 iunxpconst 5621 . . . 4 𝑥𝐴 ({𝑥} × {1}) = (𝐴 × {1})
1513, 14eqtri 2765 . . 3 𝑥𝐴 ({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}) = (𝐴 × {1})
16 eldifn 4042 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑂𝐴) → ¬ 𝑥𝐴)
17 iffalse 4448 . . . . . . . 8 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 1, 0) = 0)
1817sneqd 4553 . . . . . . 7 𝑥𝐴 → {if(𝑥𝐴, 1, 0)} = {0})
1916, 18syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑂𝐴) → {if(𝑥𝐴, 1, 0)} = {0})
2019xpeq2d 5581 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑂𝐴) → ({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}) = ({𝑥} × {0}))
2120iuneq2i 4925 . . . 4 𝑥 ∈ (𝑂𝐴)({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}) = 𝑥 ∈ (𝑂𝐴)({𝑥} × {0})
22 iunxpconst 5621 . . . 4 𝑥 ∈ (𝑂𝐴)({𝑥} × {0}) = ((𝑂𝐴) × {0})
2321, 22eqtri 2765 . . 3 𝑥 ∈ (𝑂𝐴)({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}) = ((𝑂𝐴) × {0})
2415, 23uneq12i 4075 . 2 ( 𝑥𝐴 ({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}) ∪ 𝑥 ∈ (𝑂𝐴)({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)})) = ((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂𝐴) × {0}))
259, 24eqtrdi 2794 1 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂𝐴) × {0})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  cdif 3863  cun 3864  wss 3866  ifcif 4439  {csn 4541   ciun 4904  cmpt 5135   × cxp 5549  cfv 6380  0cc0 10729  1c1 10730  𝟭cind 31690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ind 31691
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator