Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem indval2 33310
Description: Alternate value of the indicator function generator. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
indval2 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂𝐴) × {0})))

Proof of Theorem indval2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfmpt3 6683 . . . 4 (𝑥𝑂 ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)) = 𝑥𝑂 ({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)})
2 indval 33309 . . . 4 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = (𝑥𝑂 ↦ if(𝑥𝐴, 1, 0)))
3 undif 4480 . . . . . . 7 (𝐴𝑂 ↔ (𝐴 ∪ (𝑂𝐴)) = 𝑂)
43biimpi 215 . . . . . 6 (𝐴𝑂 → (𝐴 ∪ (𝑂𝐴)) = 𝑂)
54adantl 480 . . . . 5 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → (𝐴 ∪ (𝑂𝐴)) = 𝑂)
65iuneq1d 5023 . . . 4 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝑂𝐴))({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}) = 𝑥𝑂 ({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}))
71, 2, 63eqtr4a 2796 . . 3 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝑂𝐴))({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}))
8 iunxun 5096 . . 3 𝑥 ∈ (𝐴 ∪ (𝑂𝐴))({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}) = ( 𝑥𝐴 ({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}) ∪ 𝑥 ∈ (𝑂𝐴)({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}))
97, 8eqtrdi 2786 . 2 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ( 𝑥𝐴 ({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}) ∪ 𝑥 ∈ (𝑂𝐴)({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)})))
10 iftrue 4533 . . . . . . 7 (𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 1, 0) = 1)
1110sneqd 4639 . . . . . 6 (𝑥𝐴 → {if(𝑥𝐴, 1, 0)} = {1})
1211xpeq2d 5705 . . . . 5 (𝑥𝐴 → ({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}) = ({𝑥} × {1}))
1312iuneq2i 5017 . . . 4 𝑥𝐴 ({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}) = 𝑥𝐴 ({𝑥} × {1})
14 iunxpconst 5747 . . . 4 𝑥𝐴 ({𝑥} × {1}) = (𝐴 × {1})
1513, 14eqtri 2758 . . 3 𝑥𝐴 ({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}) = (𝐴 × {1})
16 eldifn 4126 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑂𝐴) → ¬ 𝑥𝐴)
17 iffalse 4536 . . . . . . . 8 𝑥𝐴 → if(𝑥𝐴, 1, 0) = 0)
1817sneqd 4639 . . . . . . 7 𝑥𝐴 → {if(𝑥𝐴, 1, 0)} = {0})
1916, 18syl 17 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑂𝐴) → {if(𝑥𝐴, 1, 0)} = {0})
2019xpeq2d 5705 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝑂𝐴) → ({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}) = ({𝑥} × {0}))
2120iuneq2i 5017 . . . 4 𝑥 ∈ (𝑂𝐴)({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}) = 𝑥 ∈ (𝑂𝐴)({𝑥} × {0})
22 iunxpconst 5747 . . . 4 𝑥 ∈ (𝑂𝐴)({𝑥} × {0}) = ((𝑂𝐴) × {0})
2321, 22eqtri 2758 . . 3 𝑥 ∈ (𝑂𝐴)({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}) = ((𝑂𝐴) × {0})
2415, 23uneq12i 4160 . 2 ( 𝑥𝐴 ({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)}) ∪ 𝑥 ∈ (𝑂𝐴)({𝑥} × {if(𝑥𝐴, 1, 0)})) = ((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂𝐴) × {0}))
259, 24eqtrdi 2786 1 ((𝑂𝑉𝐴𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = ((𝐴 × {1}) ∪ ((𝑂𝐴) × {0})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1539  wcel 2104  cdif 3944  cun 3945  wss 3947  ifcif 4527  {csn 4627   ciun 4996  cmpt 5230   × cxp 5673  cfv 6542  0cc0 11112  1c1 11113  𝟭cind 33306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ind 33307
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator