Theorem indval 12153

Description: Value of the indicator function generator for a set 𝐴 and a domain 𝑂, i.e., an indicator function for a given domain 𝑂 and a given subset 𝐴 of the domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indval	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑂   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem indval

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indv 12152	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝑂) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (𝟭‘𝑂) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))
3		eleq2 2826	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑎 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
4	3	ifbid 4491	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))
5	4	mpteq2dv 5180	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))
6	5	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑎 = 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))
7		ssexg 5260	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑂 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
8	7	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝐴 ∈ V)
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
10	8, 9	elpwd 4548	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑂)
11		mptexg 7169	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) ∈ V)
12	11	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) ∈ V)
13	2, 6, 10, 12	fvmptd 6949	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ifcif 4467  𝒫 cpw 4542   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  0cc0 11029  1c1 11030  𝟭cind 12150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ind 12151

This theorem is referenced by:  indval2  12155  indf  12156  indfval  12157  indsn  32938  mvrvalind  33697  mplmulmvr  33698  esplyfvaln  33733  indprm  48104  indprmfz  48105