Theorem indval 33994

Description: Value of the indicator function generator for a set 𝐴 and a domain 𝑂. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indval	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑂   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem indval

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indv 33993	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝑂) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))
2	1	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (𝟭‘𝑂) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))
3		eleq2 2828	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑎 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
4	3	ifbid 4554	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))
5	4	mpteq2dv 5250	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))
6	5	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑎 = 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))
7		ssexg 5329	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑂 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
8	7	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝐴 ∈ V)
9		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
10	8, 9	elpwd 4611	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑂)
11		mptexg 7241	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) ∈ V)
12	11	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) ∈ V)
13	2, 6, 10, 12	fvmptd 7023	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478   ⊆ wss 3963  ifcif 4531  𝒫 cpw 4605   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  0cc0 11153  1c1 11154  𝟭cind 33991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ind 33992

This theorem is referenced by:  indval2  33995  indf  33996  indfval  33997