Theorem indval 12361

Description: Value of the indicator function generator for a set 𝐴 and a domain 𝑂, i.e., an indicator function for a given domain 𝑂 and a given subset 𝐴 of the domain. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indval	⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑂   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem indval

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indv 12360	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝟭‘𝑂) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))
2	1	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (𝟭‘𝑂) = (𝑎 ∈ 𝒫 𝑂 ↦ (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0))))
3		eleq2 2853	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑎 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
4	3	ifbid 4509	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0) = if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0))
5	4	mpteq2dv 5203	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))
6	5	adantl 487	. 2 ⊢ (((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) ∧ 𝑎 = 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝑎, 1, 0)) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))
7		ssexg 5286	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ 𝑂 ∧ 𝑂 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ V)
8	7	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝐴 ∈ V)
9		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝐴 ⊆ 𝑂)
10	8, 9	elpwd 4566	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → 𝐴 ∈ 𝒫 𝑂)
11		mptexg 7256	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ 𝑉 → (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) ∈ V)
12	11	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)) ∈ V)
13	2, 6, 10, 12	fvmptd 7030	1 ⊢ ((𝑂 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ⊆ 𝑂) → ((𝟭‘𝑂)‘𝐴) = (𝑥 ∈ 𝑂 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐴, 1, 0)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454   ⊆ wss 3900  ifcif 4485  𝒫 cpw 4560   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6564  0cc0 11237  1c1 11238  𝟭cind 12358

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-ind 12359

This theorem is used by:  indval2  12363  indf  12364  indfval  12365  indsn  33516  mvrvalind  34274  mplmulmvr  34275  esplyfvaln  34310  indprm  48981  indprmfz  48982