Theorem int-eqineqd 44148

Description: EquivalenceImpliesDoubleInequality generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-eqineqd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
int-eqineqd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-eqineqd	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem int-eqineqd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-eqineqd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		int-eqineqd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3	2	eqcomd 2740	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐴)
4	1, 3	eqled 11347	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5125  ℝcr 11137   ≤ cle 11279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-resscn 11195  ax-pre-lttri 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-id 5560  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284

This theorem is referenced by: (None)