Theorem int-eqmvtd 44162

Description: EquMoveTerm generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-eqmvtd.1	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
int-eqmvtd.2	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
int-eqmvtd.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
int-eqmvtd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 + 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
int-eqmvtd	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐵 − 𝐷))

Proof of Theorem int-eqmvtd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-eqmvtd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
2		int-eqmvtd.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (𝐶 + 𝐷))
3	1, 2	eqtr3d 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (𝐶 + 𝐷))
4	3	oveq1d 7368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) = ((𝐶 + 𝐷) − 𝐷))
5		int-eqmvtd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
7		int-eqmvtd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
9	6, 8	pncand 11494	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 + 𝐷) − 𝐷) = 𝐶)
10	4, 9	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐷) = 𝐶)
11	10	eqcomd 2735	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐵 − 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℝcr 11027   + caddc 11031   − cmin 11365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-sub 11367

This theorem is referenced by: (None)