Theorem eqled 11338

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
eqled.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eqled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem eqled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		eqled.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3		eqle 11337	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ℝcr 11128   ≤ cle 11270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-pre-lttri 11203

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275

This theorem is referenced by:  cjcn2  15616  abscvgcvg  15835  dvfsumlem3  25987  dvradcnv  26382  ppip1le  27123  dchrvmasumiflem2  27465  dchrisum0lem3  27482  rplogsum  27490  mudivsum  27493  dnibndlem6  36501  aks4d1p1p2  42083  unitscyglem4  42211  fltnltalem  42685  int-eqineqd  44214  sublevolico  46013  fourierdlem10  46146  fourierdlem12  46148  fourierdlem37  46173  fourierdlem48  46183  fourierdlem54  46189  fourierdlem79  46214  ioorrnopnxrlem  46335  hoidmvval0b  46619  hoidmv1lelem1  46620  hoidmvlelem2  46625  ovnhoi  46632  volico2  46670  ovolval5lem2  46682  vonioolem2  46710  lighneallem2  47620  fllog2  48548