Theorem eqled 11313

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
eqled.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eqled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem eqled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		eqled.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3		eqle 11312	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  ℝcr 11105   ≤ cle 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250

This theorem is referenced by:  cjcn2  15540  abscvgcvg  15761  dvfsumlem3  25536  dvradcnv  25924  ppip1le  26654  dchrvmasumiflem2  26994  dchrisum0lem3  27011  rplogsum  27019  mudivsum  27022  dnibndlem6  35347  aks4d1p1p2  40923  fltnltalem  41400  int-eqineqd  42927  sublevolico  44686  fourierdlem10  44819  fourierdlem12  44821  fourierdlem37  44846  fourierdlem48  44856  fourierdlem54  44862  fourierdlem79  44887  ioorrnopnxrlem  45008  hoidmvval0b  45292  hoidmv1lelem1  45293  hoidmvlelem2  45298  ovnhoi  45305  volico2  45343  ovolval5lem2  45355  vonioolem2  45383  lighneallem2  46260  fllog2  47207