MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqled Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqled 11362
Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eqled.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
eqled.2 (𝜑𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
eqled (𝜑𝐴𝐵)

Proof of Theorem eqled
StepHypRef Expression
1 eqled.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 eqled.2 . 2 (𝜑𝐴 = 𝐵)
3 eqle 11361 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵)
41, 2, 3syl2anc 584 1 (𝜑𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cr 11152  cle 11294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299
This theorem is referenced by:  cjcn2  15633  abscvgcvg  15852  dvfsumlem3  26084  dvradcnv  26479  ppip1le  27219  dchrvmasumiflem2  27561  dchrisum0lem3  27578  rplogsum  27586  mudivsum  27589  dnibndlem6  36466  aks4d1p1p2  42052  unitscyglem4  42180  fltnltalem  42649  int-eqineqd  44180  sublevolico  45940  fourierdlem10  46073  fourierdlem12  46075  fourierdlem37  46100  fourierdlem48  46110  fourierdlem54  46116  fourierdlem79  46141  ioorrnopnxrlem  46262  hoidmvval0b  46546  hoidmv1lelem1  46547  hoidmvlelem2  46552  ovnhoi  46559  volico2  46597  ovolval5lem2  46609  vonioolem2  46637  lighneallem2  47531  fllog2  48418
  Copyright terms: Public domain W3C validator