Theorem eqled 11277

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
eqled.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eqled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem eqled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		eqled.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3		eqle 11276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ℝcr 11067   ≤ cle 11209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214

This theorem is referenced by:  cjcn2  15566  abscvgcvg  15785  dvfsumlem3  25935  dvradcnv  26330  ppip1le  27071  dchrvmasumiflem2  27413  dchrisum0lem3  27430  rplogsum  27438  mudivsum  27441  dnibndlem6  36471  aks4d1p1p2  42058  unitscyglem4  42186  fltnltalem  42650  int-eqineqd  44179  sublevolico  45982  fourierdlem10  46115  fourierdlem12  46117  fourierdlem37  46142  fourierdlem48  46152  fourierdlem54  46158  fourierdlem79  46183  ioorrnopnxrlem  46304  hoidmvval0b  46588  hoidmv1lelem1  46589  hoidmvlelem2  46594  ovnhoi  46601  volico2  46639  ovolval5lem2  46651  vonioolem2  46679  lighneallem2  47607  fllog2  48557