Theorem eqled 11237

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
eqled.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eqled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem eqled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		eqled.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3		eqle 11236	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  ℝcr 11027   ≤ cle 11169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174

This theorem is referenced by:  cjcn2  15525  abscvgcvg  15744  dvfsumlem3  25951  dvradcnv  26346  ppip1le  27087  dchrvmasumiflem2  27429  dchrisum0lem3  27446  rplogsum  27454  mudivsum  27457  dnibndlem6  36459  aks4d1p1p2  42046  unitscyglem4  42174  fltnltalem  42638  int-eqineqd  44166  sublevolico  45969  fourierdlem10  46102  fourierdlem12  46104  fourierdlem37  46129  fourierdlem48  46139  fourierdlem54  46145  fourierdlem79  46170  ioorrnopnxrlem  46291  hoidmvval0b  46575  hoidmv1lelem1  46576  hoidmvlelem2  46581  ovnhoi  46588  volico2  46626  ovolval5lem2  46638  vonioolem2  46666  lighneallem2  47594  fllog2  48557