Theorem eqled 10737

Description: Equality implies 'less than or equal to'. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqled.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
eqled.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
eqled	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Proof of Theorem eqled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqled.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		eqled.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)
3		eqle 10736	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 586	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5058  ℝcr 10530   ≤ cle 10670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-pre-lttri 10605

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675

This theorem is referenced by:  cjcn2  14950  abscvgcvg  15168  dvfsumlem3  24619  dvradcnv  25003  ppip1le  25732  dchrvmasumiflem2  26072  dchrisum0lem3  26089  rplogsum  26097  mudivsum  26100  dnibndlem6  33817  fltnltalem  39267  int-eqineqd  40536  sublevolico  42263  fourierdlem10  42396  fourierdlem12  42398  fourierdlem37  42423  fourierdlem48  42433  fourierdlem54  42439  fourierdlem79  42464  ioorrnopnxrlem  42585  hoidmvval0b  42866  hoidmv1lelem1  42867  hoidmvlelem2  42872  ovnhoi  42879  volico2  42917  ovolval5lem2  42929  vonioolem2  42957  lighneallem2  43765  fllog2  44622