Theorem int-ineqtransd 42717

Description: InequalityTransitivity generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-ineqtransd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
int-ineqtransd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
int-ineqtransd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
int-ineqtransd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
int-ineqtransd.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
int-ineqtransd	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem int-ineqtransd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-ineqtransd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
2		int-ineqtransd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
3		int-ineqtransd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		int-ineqtransd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐵)
5		int-ineqtransd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
6	1, 2, 3, 4, 5	letrd 11353	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5141  ℝcr 11091   ≤ cle 11231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-resscn 11149  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236

This theorem is referenced by: (None)