Theorem unitadd 41806

Description: Theorem used in conjunction with decaddc 12492 to absorb carry when generating n-digit addition synthetic proofs. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitadd.1	⊢ (𝐴 + 𝐵) = 𝐹
unitadd.2	⊢ (𝐶 + 1) = 𝐵
unitadd.3	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
unitadd.4	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
unitadd	⊢ ((𝐴 + 𝐶) + 1) = 𝐹

Proof of Theorem unitadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitadd.3	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2	1	nn0cni 12245	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		unitadd.4	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12245	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
5		ax-1cn 10929	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
6	2, 4, 5	addassi 10985	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐶) + 1) = (𝐴 + (𝐶 + 1))
7		unitadd.2	. . . . 5 ⊢ (𝐶 + 1) = 𝐵
8	7	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝐶 + 1)
9	8	oveq2i 7286	. . 3 ⊢ (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + (𝐶 + 1))
10		unitadd.1	. . 3 ⊢ (𝐴 + 𝐵) = 𝐹
11	9, 10	eqtr3i 2768	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐶 + 1)) = 𝐹
12	6, 11	eqtri 2766	1 ⊢ ((𝐴 + 𝐶) + 1) = 𝐹

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  1c1 10872   + caddc 10874  ℕ₀cn0 12233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-mulcl 10933  ax-addass 10936  ax-i2m1 10939

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-nn 11974  df-n0 12234

This theorem is referenced by: (None)