Theorem unitadd 45456

Description: Theorem used in conjunction with decaddc 12914 to absorb carry when generating n-digit addition synthetic proofs. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
unitadd.1	⊢ (𝐴 + 𝐵) = 𝐹
unitadd.2	⊢ (𝐶 + 1) = 𝐵
unitadd.3	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
unitadd.4	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
unitadd	⊢ ((𝐴 + 𝐶) + 1) = 𝐹

Proof of Theorem unitadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unitadd.3	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2	1	nn0cni 12658	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		unitadd.4	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
4	3	nn0cni 12658	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
5		ax-1cn 11297	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
6	2, 4, 5	addassi 11358	. 2 ⊢ ((𝐴 + 𝐶) + 1) = (𝐴 + (𝐶 + 1))
7		unitadd.2	. . . . 5 ⊢ (𝐶 + 1) = 𝐵
8	7	eqcomi 2772	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (𝐶 + 1)
9	8	oveq2i 7462	. . 3 ⊢ (𝐴 + 𝐵) = (𝐴 + (𝐶 + 1))
10		unitadd.1	. . 3 ⊢ (𝐴 + 𝐵) = 𝐹
11	9, 10	eqtr3i 2788	. 2 ⊢ (𝐴 + (𝐶 + 1)) = 𝐹
12	6, 11	eqtri 2786	1 ⊢ ((𝐴 + 𝐶) + 1) = 𝐹

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  1c1 11240   + caddc 11242  ℕ₀cn0 12646

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-mulcl 11301  ax-addass 11304  ax-i2m1 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-nn 12376  df-n0 12647

This theorem is used by: (None)