MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  letrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem letrd 11313
Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4 (𝜑𝐴𝐵)
letrd.5 (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
letrd (𝜑𝐴𝐶)

Proof of Theorem letrd
StepHypRef Expression
1 letrd.4 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 letrd.5 . 2 (𝜑𝐵𝐶)
3 ltd.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 ltd.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
5 letrd.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
6 letr 11250 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
73, 4, 5, 6syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
81, 2, 7mp2and 698 1 (𝜑𝐴𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wcel 2107   class class class wbr 5106  cr 11051  cle 11191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196
This theorem is referenced by:  lesub3d  11774  supmul1  12125  supmul  12128  nn0negleid  12466  eluzuzle  12773  iccsplit  13403  supicc  13419  fzdisj  13469  ssfzunsnext  13487  difelfzle  13555  flwordi  13718  flleceil  13759  uzsup  13769  modltm1p1mod  13829  seqf1olem1  13948  zzlesq  14111  bernneq  14133  bernneq3  14135  discr1  14143  faclbnd  14191  faclbnd4lem1  14194  facubnd  14201  seqcoll  14364  01sqrexlem7  15134  absle  15201  releabs  15207  absrdbnd  15227  rexuzre  15238  limsupgre  15364  lo1bddrp  15408  rlimclim1  15428  rlimresb  15448  rlimrege0  15462  o1add  15497  o1sub  15499  climsqz  15524  climsqz2  15525  rlimsqzlem  15534  rlimsqz  15535  rlimsqz2  15536  rlimno1  15539  isercoll  15553  caucvgrlem  15558  iseraltlem3  15569  o1fsum  15699  cvgcmp  15702  cvgcmpce  15704  climcnds  15737  expcnv  15750  cvgrat  15769  mertenslem2  15771  fprodle  15880  eftlub  15992  rpnnen2lem12  16108  bitsfzo  16316  isprm5  16584  isprm7  16585  eulerthlem2  16655  pcmpt2  16766  pcfac  16772  prmreclem3  16791  prmreclem4  16792  prmreclem5  16793  4sqlem11  16828  vdwlem1  16854  vdwlem3  16856  setsstruct2  17047  prdsxmetlem  23724  nrmmetd  23933  nm2dif  23984  nlmvscnlem2  24052  nmoco  24104  nmotri  24106  nghmcn  24112  icccmplem2  24189  reconnlem2  24193  elii1  24301  xrhmeo  24312  cnheiborlem  24320  bndth  24324  tcphcphlem1  24602  ipcnlem2  24611  cncmet  24689  trirn  24767  minveclem2  24793  minveclem4  24799  ivthlem2  24819  ovolunlem1a  24863  ovolunlem1  24864  ovolfiniun  24868  ovoliunlem1  24869  ovolicc2lem4  24887  ovolicc2lem5  24888  ovolicopnf  24891  nulmbl2  24903  ioombl1lem4  24928  ioorcl2  24939  uniioombllem3  24952  uniioombllem4  24953  uniioombllem5  24954  volcn  24973  vitalilem2  24976  vitali  24980  mbfi1fseqlem5  25087  mbfi1fseqlem6  25088  itg2splitlem  25116  itg2monolem1  25118  itg2monolem3  25120  itg2mono  25121  itg2cnlem1  25129  itgle  25177  bddmulibl  25206  bddiblnc  25209  ditgsplitlem  25227  dveflem  25346  dvlip  25360  dveq0  25367  dvfsumabs  25390  dvfsumlem1  25393  dvfsumlem2  25394  dvfsumlem3  25395  dvfsumlem4  25396  dvfsum2  25401  fta1glem2  25534  dgradd2  25632  plydiveu  25661  fta1lem  25670  aalioulem2  25696  aalioulem3  25697  aalioulem4  25698  aalioulem5  25699  aaliou3lem8  25708  aaliou3lem9  25713  ulmbdd  25760  ulmcn  25761  mtest  25766  mtestbdd  25767  abelthlem2  25794  abelthlem7  25800  pilem2  25814  tanabsge  25866  cosordlem  25889  tanord  25897  logneg2  25973  abslogle  25976  dvlog2lem  26010  cxple2a  26057  abscxpbnd  26109  atans2  26284  leibpi  26295  o1cxp  26327  cxploglim2  26331  jensenlem2  26340  emcllem6  26353  harmoniclbnd  26361  harmonicubnd  26362  harmonicbnd4  26363  fsumharmonic  26364  lgamgulmlem2  26382  lgamgulmlem3  26383  lgamgulmlem5  26385  lgambdd  26389  ftalem2  26426  basellem3  26435  basellem5  26437  basellem6  26438  dvdsflsumcom  26540  fsumfldivdiaglem  26541  ppiub  26555  chtublem  26562  logfac2  26568  chpub  26571  logfacubnd  26572  logfaclbnd  26573  logfacbnd3  26574  logexprlim  26576  bcmono  26628  bpos1lem  26633  bposlem1  26635  bposlem2  26636  bposlem3  26637  bposlem4  26638  bposlem5  26639  bposlem6  26640  bposlem7  26641  bposlem9  26643  lgsdirprm  26682  lgsquadlem1  26731  2lgslem1c  26744  2sqlem8  26777  chebbnd1lem1  26820  chebbnd1lem3  26822  chtppilimlem1  26824  chpchtlim  26830  vmadivsumb  26834  rplogsumlem1  26835  rplogsumlem2  26836  rpvmasumlem  26838  dchrisumlema  26839  dchrisumlem2  26841  dchrisumlem3  26842  dchrmusum2  26845  dchrvmasumlem2  26849  dchrvmasumlem3  26850  dchrvmasumlema  26851  dchrvmasumiflem1  26852  dchrisum0flblem1  26859  dchrisum0flblem2  26860  dchrisum0fno1  26862  dchrisum0re  26864  dchrisum0lem1b  26866  dchrisum0lem1  26867  dchrisum0lem2a  26868  dchrisum0  26871  rplogsum  26878  mudivsum  26881  mulogsumlem  26882  logdivsum  26884  mulog2sumlem1  26885  mulog2sumlem2  26886  2vmadivsumlem  26891  log2sumbnd  26895  selberglem2  26897  selbergb  26900  selberg2lem  26901  selberg2b  26903  chpdifbndlem1  26904  logdivbnd  26907  selberg3lem1  26908  selberg3lem2  26909  selberg4lem1  26911  pntrmax  26915  pntrsumo1  26916  pntrsumbnd  26917  pntrlog2bndlem1  26928  pntrlog2bndlem2  26929  pntrlog2bndlem3  26930  pntrlog2bndlem5  26932  pntrlog2bndlem6  26934  pntrlog2bnd  26935  pntpbnd1a  26936  pntpbnd1  26937  pntpbnd2  26938  pntibndlem2  26942  pntibndlem3  26943  pntlemg  26949  pntlemr  26953  pntlemj  26954  pntlemf  26956  pntlemk  26957  pntlemo  26958  pntleml  26962  abvcxp  26966  qabvle  26976  padicabv  26981  ostth2lem2  26985  ostth2lem3  26986  ostth3  26989  axlowdimlem16  27909  axcontlem8  27923  axcontlem10  27925  wwlksm1edg  28829  wwlksubclwwlk  29005  smcnlem  29642  nmoub3i  29718  ubthlem3  29817  minvecolem2  29820  minvecolem3  29821  minvecolem4  29825  htthlem  29862  bcs2  30127  pjhthlem1  30336  cnlnadjlem2  31013  cnlnadjlem7  31018  nmopadjlem  31034  nmoptrii  31039  nmopcoadji  31046  leopnmid  31083  cdj1i  31378  nndiffz1  31692  pmtrto1cl  31951  psgnfzto1stlem  31952  fzto1st  31955  psgnfzto1st  31957  cyc3conja  32009  smatrcl  32380  submateqlem1  32391  nexple  32611  esumpcvgval  32680  oddpwdc  32957  eulerpartlems  32963  eulerpartlemgc  32965  eulerpartlemb  32971  dstfrvunirn  33077  orvclteinc  33078  ballotlemsima  33118  ballotlemfrcn0  33132  signstfveq0  33192  fsum2dsub  33223  breprexplemc  33248  breprexp  33249  logdivsqrle  33266  hgt750lemb  33272  hgt750leme  33274  tgoldbachgnn  33275  dnibndlem2  34945  dnibndlem6  34949  dnibndlem9  34952  dnibndlem10  34953  dnibndlem11  34954  dnibndlem12  34955  knoppcnlem4  34962  unblimceq0lem  34972  unblimceq0  34973  unbdqndv2lem2  34976  knoppndvlem11  34988  knoppndvlem14  34991  knoppndvlem15  34992  knoppndvlem18  34995  knoppndvlem21  34998  poimirlem6  36087  poimirlem7  36088  poimirlem13  36094  poimirlem15  36096  poimirlem29  36110  mblfinlem2  36119  mblfinlem3  36120  mblfinlem4  36121  ismblfin  36122  itg2addnc  36135  iblmulc2nc  36146  ftc1anclem7  36160  ftc1anclem8  36161  filbcmb  36202  geomcau  36221  prdsbnd  36255  cntotbnd  36258  bfplem2  36285  rrntotbnd  36298  iccbnd  36302  lcmineqlem20  40508  lcmineqlem21  40509  lcmineqlem22  40510  3lexlogpow5ineq2  40515  3lexlogpow5ineq5  40520  aks4d1p1p2  40530  aks4d1p1p4  40531  aks4d1p1p7  40534  aks4d1p1p5  40535  aks4d1p1  40536  aks4d1p2  40537  aks4d1p3  40538  aks4d1p5  40540  aks4d1p6  40541  aks4d1p7d1  40542  aks4d1p7  40543  aks4d1p8  40547  2np3bcnp1  40555  sticksstones6  40562  sticksstones7  40563  sticksstones10  40566  sticksstones12a  40568  sticksstones12  40569  sticksstones22  40579  metakunt1  40580  metakunt12  40591  metakunt28  40607  lzunuz  41094  irrapxlem3  41150  irrapxlem4  41151  irrapxlem5  41152  pellexlem2  41156  pell1qrge1  41196  monotoddzzfi  41269  jm2.17a  41287  rmygeid  41291  fzmaxdif  41308  jm2.27c  41334  jm3.1lem1  41344  expdiophlem1  41348  fzunt  41734  fzuntd  41735  fzunt1d  41736  fzuntgd  41737  imo72b2lem0  42445  int-ineqtransd  42474  dvgrat  42599  monoords  43538  absnpncan2d  43543  absnpncan3d  43548  ssfiunibd  43550  leadd12dd  43557  rexabslelem  43660  uzublem  43672  sqrlearg  43798  fmul01  43828  fmul01lt1lem1  43832  fmul01lt1lem2  43833  climsuselem1  43855  climsuse  43856  limsupresico  43948  limsupubuzlem  43960  limsupmnfuzlem  43974  limsupre3uzlem  43983  liminfresico  44019  limsup10exlem  44020  cnrefiisplem  44077  dvdivbd  44171  dvbdfbdioolem2  44177  ioodvbdlimc1lem1  44179  ioodvbdlimc1lem2  44180  ioodvbdlimc2lem  44182  dvnmul  44191  dvnprodlem1  44194  dvnprodlem2  44195  iblspltprt  44221  itgspltprt  44227  stoweidlem1  44249  stoweidlem3  44251  stoweidlem5  44253  stoweidlem11  44259  stoweidlem17  44265  stoweidlem20  44268  stoweidlem26  44274  stoweidlem34  44282  wallispilem4  44316  stirlinglem11  44332  stirlinglem12  44333  stirlinglem13  44334  fourierdlem12  44367  fourierdlem15  44370  fourierdlem20  44375  fourierdlem30  44385  fourierdlem39  44394  fourierdlem42  44397  fourierdlem47  44401  fourierdlem50  44404  fourierdlem64  44418  fourierdlem65  44419  fourierdlem68  44422  fourierdlem73  44427  fourierdlem77  44431  fourierdlem79  44433  fourierdlem87  44441  elaa2lem  44481  etransclem23  44505  ioorrnopnlem  44552  salgencntex  44591  sge0le  44655  sge0isum  44675  sge0xaddlem1  44681  hoicvr  44796  hsphoidmvle2  44833  hoidmv1lelem1  44839  hoidmv1lelem2  44840  hoidmv1lelem3  44841  hoidmvlelem1  44843  hoidmvlelem2  44844  hoidmvlelem4  44846  hspmbllem1  44874  hspmbllem2  44875  smfmullem1  45039  smfmullem2  45040  smfmullem3  45041  smfsuplem1  45059  natglobalincr  45123  lighneallem4a  45807  fllog2  46661  itcovalt2lem2lem1  46766
  Copyright terms: Public domain W3C validator