Theorem letrd 11303

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
letrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		letr 11240	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 700	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ℝcr 11037   ≤ cle 11180

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185

This theorem is referenced by:  lesub3d  11768  le2addd  11769  supmul1  12125  supmul  12128  nn0negleid  12489  eluzuzle  12797  iccsplit  13438  supicc  13454  fzdisj  13505  ssfzunsnext  13523  difelfzle  13595  flwordi  13771  flleceil  13812  uzsup  13822  modltm1p1mod  13885  seqf1olem1  14003  zzlesq  14168  bernneq  14191  bernneq3  14193  discr1  14201  faclbnd  14252  faclbnd4lem1  14255  facubnd  14262  seqcoll  14426  01sqrexlem7  15210  absle  15278  releabs  15284  absrdbnd  15304  rexuzre  15315  limsupgre  15443  lo1bddrp  15487  rlimclim1  15507  rlimresb  15527  rlimrege0  15541  o1add  15576  o1sub  15578  climsqz  15603  climsqz2  15604  rlimsqzlem  15611  rlimsqz  15612  rlimsqz2  15613  rlimno1  15616  isercoll  15630  caucvgrlem  15635  iseraltlem3  15646  o1fsum  15776  cvgcmp  15779  cvgcmpce  15781  climcnds  15816  expcnv  15829  cvgrat  15848  mertenslem2  15850  fprodle  15961  eftlub  16076  rpnnen2lem12  16192  bitsfzo  16404  isprm5  16677  isprm7  16678  eulerthlem2  16752  pcmpt2  16864  pcfac  16870  prmreclem3  16889  prmreclem4  16890  prmreclem5  16891  4sqlem11  16926  vdwlem1  16952  vdwlem3  16954  setsstruct2  17144  prdsxmetlem  24333  nrmmetd  24539  nm2dif  24590  nlmvscnlem2  24650  nmoco  24702  nmotri  24704  nghmcn  24710  icccmplem2  24789  reconnlem2  24793  elii1  24902  xrhmeo  24913  cnheiborlem  24921  bndth  24925  tcphcphlem1  25202  ipcnlem2  25211  cncmet  25289  trirn  25367  minveclem2  25393  minveclem4  25399  ivthlem2  25419  ovolunlem1a  25463  ovolunlem1  25464  ovolfiniun  25468  ovoliunlem1  25469  ovolicc2lem4  25487  ovolicc2lem5  25488  ovolicopnf  25491  nulmbl2  25503  ioombl1lem4  25528  ioorcl2  25539  uniioombllem3  25552  uniioombllem4  25553  uniioombllem5  25554  volcn  25573  vitalilem2  25576  vitali  25580  mbfi1fseqlem5  25686  mbfi1fseqlem6  25687  itg2splitlem  25715  itg2monolem1  25717  itg2monolem3  25719  itg2mono  25720  itg2cnlem1  25728  itgle  25777  bddmulibl  25806  bddiblnc  25809  ditgsplitlem  25827  dveflem  25946  dvlip  25960  dveq0  25967  dvfsumabs  25990  dvfsumlem1  25993  dvfsumlem2  25994  dvfsumlem3  25995  dvfsumlem4  25996  dvfsum2  26001  fta1glem2  26134  dgradd2  26233  plydiveu  26264  fta1lem  26273  aalioulem2  26299  aalioulem3  26300  aalioulem4  26301  aalioulem5  26302  aaliou3lem8  26311  aaliou3lem9  26316  ulmbdd  26363  ulmcn  26364  mtest  26369  mtestbdd  26370  abelthlem2  26397  abelthlem7  26403  pilem2  26417  tanabsge  26470  cosordlem  26494  tanord  26502  logneg2  26579  abslogle  26582  dvlog2lem  26616  cxple2a  26663  abscxpbnd  26717  atans2  26895  leibpi  26906  o1cxp  26938  cxploglim2  26942  jensenlem2  26951  emcllem6  26964  harmoniclbnd  26972  harmonicubnd  26973  harmonicbnd4  26974  fsumharmonic  26975  lgamgulmlem2  26993  lgamgulmlem3  26994  lgamgulmlem5  26996  lgambdd  27000  ftalem2  27037  basellem3  27046  basellem5  27048  basellem6  27049  dvdsflsumcom  27151  fsumfldivdiaglem  27152  ppiub  27167  chtublem  27174  logfac2  27180  chpub  27183  logfacubnd  27184  logfaclbnd  27185  logfacbnd3  27186  logexprlim  27188  bcmono  27240  bpos1lem  27245  bposlem1  27247  bposlem2  27248  bposlem3  27249  bposlem4  27250  bposlem5  27251  bposlem6  27252  bposlem7  27253  bposlem9  27255  lgsdirprm  27294  lgsquadlem1  27343  2lgslem1c  27356  2sqlem8  27389  chebbnd1lem1  27432  chebbnd1lem3  27434  chtppilimlem1  27436  chpchtlim  27442  vmadivsumb  27446  rplogsumlem1  27447  rplogsumlem2  27448  rpvmasumlem  27450  dchrisumlema  27451  dchrisumlem2  27453  dchrisumlem3  27454  dchrmusum2  27457  dchrvmasumlem2  27461  dchrvmasumlem3  27462  dchrvmasumlema  27463  dchrvmasumiflem1  27464  dchrisum0flblem1  27471  dchrisum0flblem2  27472  dchrisum0fno1  27474  dchrisum0re  27476  dchrisum0lem1b  27478  dchrisum0lem1  27479  dchrisum0lem2a  27480  dchrisum0  27483  rplogsum  27490  mudivsum  27493  mulogsumlem  27494  logdivsum  27496  mulog2sumlem1  27497  mulog2sumlem2  27498  2vmadivsumlem  27503  log2sumbnd  27507  selberglem2  27509  selbergb  27512  selberg2lem  27513  selberg2b  27515  chpdifbndlem1  27516  logdivbnd  27519  selberg3lem1  27520  selberg3lem2  27521  selberg4lem1  27523  pntrmax  27527  pntrsumo1  27528  pntrsumbnd  27529  pntrlog2bndlem1  27540  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem3  27542  pntrlog2bndlem5  27544  pntrlog2bndlem6  27546  pntrlog2bnd  27547  pntpbnd1a  27548  pntpbnd1  27549  pntpbnd2  27550  pntibndlem2  27554  pntibndlem3  27555  pntlemg  27561  pntlemr  27565  pntlemj  27566  pntlemf  27568  pntlemk  27569  pntlemo  27570  pntleml  27574  abvcxp  27578  qabvle  27588  padicabv  27593  ostth2lem2  27597  ostth2lem3  27598  ostth3  27601  axlowdimlem16  29026  axcontlem8  29040  axcontlem10  29042  wwlksm1edg  29949  wwlksubclwwlk  30128  smcnlem  30768  nmoub3i  30844  ubthlem3  30943  minvecolem2  30946  minvecolem3  30947  minvecolem4  30951  htthlem  30988  bcs2  31253  pjhthlem1  31462  cnlnadjlem2  32139  cnlnadjlem7  32144  nmopadjlem  32160  nmoptrii  32165  nmopcoadji  32172  leopnmid  32209  cdj1i  32504  nndiffz1  32859  nexple  32917  oexpled  32920  pmtrto1cl  33160  psgnfzto1stlem  33161  fzto1st  33164  psgnfzto1st  33166  cyc3conja  33218  constrresqrtcl  33921  cos9thpiminplylem1  33926  smatrcl  33940  submateqlem1  33951  esumpcvgval  34222  oddpwdc  34498  eulerpartlems  34504  eulerpartlemgc  34506  eulerpartlemb  34512  dstfrvunirn  34619  orvclteinc  34620  ballotlemsima  34660  ballotlemfrcn0  34674  signstfveq0  34721  fsum2dsub  34751  breprexplemc  34776  breprexp  34777  logdivsqrle  34794  hgt750lemb  34800  hgt750leme  34802  tgoldbachgnn  34803  dnibndlem2  36739  dnibndlem6  36743  dnibndlem9  36746  dnibndlem10  36747  dnibndlem11  36748  dnibndlem12  36749  knoppcnlem4  36756  unblimceq0lem  36766  unblimceq0  36767  unbdqndv2lem2  36770  knoppndvlem11  36782  knoppndvlem14  36785  knoppndvlem15  36786  knoppndvlem18  36789  knoppndvlem21  36792  poimirlem6  37947  poimirlem7  37948  poimirlem13  37954  poimirlem15  37956  poimirlem29  37970  mblfinlem2  37979  mblfinlem3  37980  mblfinlem4  37981  ismblfin  37982  itg2addnc  37995  iblmulc2nc  38006  ftc1anclem7  38020  ftc1anclem8  38021  filbcmb  38061  geomcau  38080  prdsbnd  38114  cntotbnd  38117  bfplem2  38144  rrntotbnd  38157  iccbnd  38161  lcmineqlem20  42487  lcmineqlem21  42488  lcmineqlem22  42489  3lexlogpow5ineq2  42494  3lexlogpow5ineq5  42499  aks4d1p1p2  42509  aks4d1p1p4  42510  aks4d1p1p7  42513  aks4d1p1p5  42514  aks4d1p1  42515  aks4d1p2  42516  aks4d1p3  42517  aks4d1p5  42519  aks4d1p6  42520  aks4d1p7d1  42521  aks4d1p7  42522  aks4d1p8  42526  posbezout  42539  aks6d1c1  42555  aks6d1c2lem4  42566  2np3bcnp1  42583  sticksstones6  42590  sticksstones7  42591  sticksstones10  42594  sticksstones12a  42596  sticksstones12  42597  sticksstones22  42607  bcled  42617  bcle2d  42618  aks6d1c7lem1  42619  aks6d1c7lem2  42620  unitscyglem4  42637  lzunuz  43200  irrapxlem3  43252  irrapxlem4  43253  irrapxlem5  43254  pellexlem2  43258  pell1qrge1  43298  monotoddzzfi  43370  jm2.17a  43388  rmygeid  43392  fzmaxdif  43409  jm2.27c  43435  jm3.1lem1  43445  expdiophlem1  43449  fzunt  43882  fzuntd  43883  fzunt1d  43884  fzuntgd  43885  imo72b2lem0  44592  int-ineqtransd  44621  dvgrat  44739  monoords  45730  absnpncan2d  45735  absnpncan3d  45740  ssfiunibd  45742  rexabslelem  45846  uzublem  45858  sqrlearg  45983  fmul01  46010  fmul01lt1lem1  46014  fmul01lt1lem2  46015  climsuselem1  46037  climsuse  46038  limsupresico  46128  limsupubuzlem  46140  limsupmnfuzlem  46154  limsupre3uzlem  46163  liminfresico  46199  limsup10exlem  46200  cnrefiisplem  46257  dvdivbd  46351  dvbdfbdioolem2  46357  ioodvbdlimc1lem1  46359  ioodvbdlimc1lem2  46360  ioodvbdlimc2lem  46362  dvnmul  46371  dvnprodlem1  46374  dvnprodlem2  46375  iblspltprt  46401  itgspltprt  46407  stoweidlem1  46429  stoweidlem3  46431  stoweidlem5  46433  stoweidlem11  46439  stoweidlem17  46445  stoweidlem20  46448  stoweidlem26  46454  stoweidlem34  46462  wallispilem4  46496  stirlinglem11  46512  stirlinglem12  46513  stirlinglem13  46514  fourierdlem12  46547  fourierdlem15  46550  fourierdlem20  46555  fourierdlem30  46565  fourierdlem39  46574  fourierdlem42  46577  fourierdlem47  46581  fourierdlem50  46584  fourierdlem64  46598  fourierdlem65  46599  fourierdlem68  46602  fourierdlem73  46607  fourierdlem77  46611  fourierdlem79  46613  fourierdlem87  46621  elaa2lem  46661  etransclem23  46685  ioorrnopnlem  46732  salgencntex  46771  sge0le  46835  sge0isum  46855  sge0xaddlem1  46861  hoicvr  46976  hsphoidmvle2  47013  hoidmv1lelem1  47019  hoidmv1lelem2  47020  hoidmv1lelem3  47021  hoidmvlelem1  47023  hoidmvlelem2  47024  hoidmvlelem4  47026  hspmbllem1  47054  hspmbllem2  47055  smfmullem1  47219  smfmullem2  47220  smfmullem3  47221  smfsuplem1  47239  ormkglobd  47305  natglobalincr  47307  2ltceilhalf  47780  ceilhalfnn  47788  modmknepk  47816  lighneallem4a  48071  nprmdvdsfacm1lem4  48086  gpgusgralem  48532  gpgedgvtx1  48538  gpg3kgrtriexlem4  48562  gpg3kgrtriexlem6  48564  fllog2  49044  itcovalt2lem2lem1  49149