Theorem letrd 11371

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
letrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		letr 11308	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 698	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ℝcr 11109   ≤ cle 11249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254

This theorem is referenced by:  lesub3d  11832  supmul1  12183  supmul  12186  nn0negleid  12524  eluzuzle  12831  iccsplit  13462  supicc  13478  fzdisj  13528  ssfzunsnext  13546  difelfzle  13614  flwordi  13777  flleceil  13818  uzsup  13828  modltm1p1mod  13888  seqf1olem1  14007  zzlesq  14170  bernneq  14192  bernneq3  14194  discr1  14202  faclbnd  14250  faclbnd4lem1  14253  facubnd  14260  seqcoll  14425  01sqrexlem7  15195  absle  15262  releabs  15268  absrdbnd  15288  rexuzre  15299  limsupgre  15425  lo1bddrp  15469  rlimclim1  15489  rlimresb  15509  rlimrege0  15523  o1add  15558  o1sub  15560  climsqz  15585  climsqz2  15586  rlimsqzlem  15595  rlimsqz  15596  rlimsqz2  15597  rlimno1  15600  isercoll  15614  caucvgrlem  15619  iseraltlem3  15630  o1fsum  15759  cvgcmp  15762  cvgcmpce  15764  climcnds  15797  expcnv  15810  cvgrat  15829  mertenslem2  15831  fprodle  15940  eftlub  16052  rpnnen2lem12  16168  bitsfzo  16376  isprm5  16644  isprm7  16645  eulerthlem2  16715  pcmpt2  16826  pcfac  16832  prmreclem3  16851  prmreclem4  16852  prmreclem5  16853  4sqlem11  16888  vdwlem1  16914  vdwlem3  16916  setsstruct2  17107  prdsxmetlem  23874  nrmmetd  24083  nm2dif  24134  nlmvscnlem2  24202  nmoco  24254  nmotri  24256  nghmcn  24262  icccmplem2  24339  reconnlem2  24343  elii1  24451  xrhmeo  24462  cnheiborlem  24470  bndth  24474  tcphcphlem1  24752  ipcnlem2  24761  cncmet  24839  trirn  24917  minveclem2  24943  minveclem4  24949  ivthlem2  24969  ovolunlem1a  25013  ovolunlem1  25014  ovolfiniun  25018  ovoliunlem1  25019  ovolicc2lem4  25037  ovolicc2lem5  25038  ovolicopnf  25041  nulmbl2  25053  ioombl1lem4  25078  ioorcl2  25089  uniioombllem3  25102  uniioombllem4  25103  uniioombllem5  25104  volcn  25123  vitalilem2  25126  vitali  25130  mbfi1fseqlem5  25237  mbfi1fseqlem6  25238  itg2splitlem  25266  itg2monolem1  25268  itg2monolem3  25270  itg2mono  25271  itg2cnlem1  25279  itgle  25327  bddmulibl  25356  bddiblnc  25359  ditgsplitlem  25377  dveflem  25496  dvlip  25510  dveq0  25517  dvfsumabs  25540  dvfsumlem1  25543  dvfsumlem2  25544  dvfsumlem3  25545  dvfsumlem4  25546  dvfsum2  25551  fta1glem2  25684  dgradd2  25782  plydiveu  25811  fta1lem  25820  aalioulem2  25846  aalioulem3  25847  aalioulem4  25848  aalioulem5  25849  aaliou3lem8  25858  aaliou3lem9  25863  ulmbdd  25910  ulmcn  25911  mtest  25916  mtestbdd  25917  abelthlem2  25944  abelthlem7  25950  pilem2  25964  tanabsge  26016  cosordlem  26039  tanord  26047  logneg2  26123  abslogle  26126  dvlog2lem  26160  cxple2a  26207  abscxpbnd  26261  atans2  26436  leibpi  26447  o1cxp  26479  cxploglim2  26483  jensenlem2  26492  emcllem6  26505  harmoniclbnd  26513  harmonicubnd  26514  harmonicbnd4  26515  fsumharmonic  26516  lgamgulmlem2  26534  lgamgulmlem3  26535  lgamgulmlem5  26537  lgambdd  26541  ftalem2  26578  basellem3  26587  basellem5  26589  basellem6  26590  dvdsflsumcom  26692  fsumfldivdiaglem  26693  ppiub  26707  chtublem  26714  logfac2  26720  chpub  26723  logfacubnd  26724  logfaclbnd  26725  logfacbnd3  26726  logexprlim  26728  bcmono  26780  bpos1lem  26785  bposlem1  26787  bposlem2  26788  bposlem3  26789  bposlem4  26790  bposlem5  26791  bposlem6  26792  bposlem7  26793  bposlem9  26795  lgsdirprm  26834  lgsquadlem1  26883  2lgslem1c  26896  2sqlem8  26929  chebbnd1lem1  26972  chebbnd1lem3  26974  chtppilimlem1  26976  chpchtlim  26982  vmadivsumb  26986  rplogsumlem1  26987  rplogsumlem2  26988  rpvmasumlem  26990  dchrisumlema  26991  dchrisumlem2  26993  dchrisumlem3  26994  dchrmusum2  26997  dchrvmasumlem2  27001  dchrvmasumlem3  27002  dchrvmasumlema  27003  dchrvmasumiflem1  27004  dchrisum0flblem1  27011  dchrisum0flblem2  27012  dchrisum0fno1  27014  dchrisum0re  27016  dchrisum0lem1b  27018  dchrisum0lem1  27019  dchrisum0lem2a  27020  dchrisum0  27023  rplogsum  27030  mudivsum  27033  mulogsumlem  27034  logdivsum  27036  mulog2sumlem1  27037  mulog2sumlem2  27038  2vmadivsumlem  27043  log2sumbnd  27047  selberglem2  27049  selbergb  27052  selberg2lem  27053  selberg2b  27055  chpdifbndlem1  27056  logdivbnd  27059  selberg3lem1  27060  selberg3lem2  27061  selberg4lem1  27063  pntrmax  27067  pntrsumo1  27068  pntrsumbnd  27069  pntrlog2bndlem1  27080  pntrlog2bndlem2  27081  pntrlog2bndlem3  27082  pntrlog2bndlem5  27084  pntrlog2bndlem6  27086  pntrlog2bnd  27087  pntpbnd1a  27088  pntpbnd1  27089  pntpbnd2  27090  pntibndlem2  27094  pntibndlem3  27095  pntlemg  27101  pntlemr  27105  pntlemj  27106  pntlemf  27108  pntlemk  27109  pntlemo  27110  pntleml  27114  abvcxp  27118  qabvle  27128  padicabv  27133  ostth2lem2  27137  ostth2lem3  27138  ostth3  27141  axlowdimlem16  28215  axcontlem8  28229  axcontlem10  28231  wwlksm1edg  29135  wwlksubclwwlk  29311  smcnlem  29950  nmoub3i  30026  ubthlem3  30125  minvecolem2  30128  minvecolem3  30129  minvecolem4  30133  htthlem  30170  bcs2  30435  pjhthlem1  30644  cnlnadjlem2  31321  cnlnadjlem7  31326  nmopadjlem  31342  nmoptrii  31347  nmopcoadji  31354  leopnmid  31391  cdj1i  31686  nndiffz1  31997  pmtrto1cl  32258  psgnfzto1stlem  32259  fzto1st  32262  psgnfzto1st  32264  cyc3conja  32316  smatrcl  32776  submateqlem1  32787  nexple  33007  esumpcvgval  33076  oddpwdc  33353  eulerpartlems  33359  eulerpartlemgc  33361  eulerpartlemb  33367  dstfrvunirn  33473  orvclteinc  33474  ballotlemsima  33514  ballotlemfrcn0  33528  signstfveq0  33588  fsum2dsub  33619  breprexplemc  33644  breprexp  33645  logdivsqrle  33662  hgt750lemb  33668  hgt750leme  33670  tgoldbachgnn  33671  gg-dvfsumlem2  35183  dnibndlem2  35355  dnibndlem6  35359  dnibndlem9  35362  dnibndlem10  35363  dnibndlem11  35364  dnibndlem12  35365  knoppcnlem4  35372  unblimceq0lem  35382  unblimceq0  35383  unbdqndv2lem2  35386  knoppndvlem11  35398  knoppndvlem14  35401  knoppndvlem15  35402  knoppndvlem18  35405  knoppndvlem21  35408  poimirlem6  36494  poimirlem7  36495  poimirlem13  36501  poimirlem15  36503  poimirlem29  36517  mblfinlem2  36526  mblfinlem3  36527  mblfinlem4  36528  ismblfin  36529  itg2addnc  36542  iblmulc2nc  36553  ftc1anclem7  36567  ftc1anclem8  36568  filbcmb  36608  geomcau  36627  prdsbnd  36661  cntotbnd  36664  bfplem2  36691  rrntotbnd  36704  iccbnd  36708  lcmineqlem20  40913  lcmineqlem21  40914  lcmineqlem22  40915  3lexlogpow5ineq2  40920  3lexlogpow5ineq5  40925  aks4d1p1p2  40935  aks4d1p1p4  40936  aks4d1p1p7  40939  aks4d1p1p5  40940  aks4d1p1  40941  aks4d1p2  40942  aks4d1p3  40943  aks4d1p5  40945  aks4d1p6  40946  aks4d1p7d1  40947  aks4d1p7  40948  aks4d1p8  40952  2np3bcnp1  40960  sticksstones6  40967  sticksstones7  40968  sticksstones10  40971  sticksstones12a  40973  sticksstones12  40974  sticksstones22  40984  metakunt1  40985  metakunt12  40996  metakunt28  41012  lzunuz  41506  irrapxlem3  41562  irrapxlem4  41563  irrapxlem5  41564  pellexlem2  41568  pell1qrge1  41608  monotoddzzfi  41681  jm2.17a  41699  rmygeid  41703  fzmaxdif  41720  jm2.27c  41746  jm3.1lem1  41756  expdiophlem1  41760  fzunt  42206  fzuntd  42207  fzunt1d  42208  fzuntgd  42209  imo72b2lem0  42917  int-ineqtransd  42946  dvgrat  43071  monoords  44007  absnpncan2d  44012  absnpncan3d  44017  ssfiunibd  44019  leadd12dd  44026  rexabslelem  44128  uzublem  44140  sqrlearg  44266  fmul01  44296  fmul01lt1lem1  44300  fmul01lt1lem2  44301  climsuselem1  44323  climsuse  44324  limsupresico  44416  limsupubuzlem  44428  limsupmnfuzlem  44442  limsupre3uzlem  44451  liminfresico  44487  limsup10exlem  44488  cnrefiisplem  44545  dvdivbd  44639  dvbdfbdioolem2  44645  ioodvbdlimc1lem1  44647  ioodvbdlimc1lem2  44648  ioodvbdlimc2lem  44650  dvnmul  44659  dvnprodlem1  44662  dvnprodlem2  44663  iblspltprt  44689  itgspltprt  44695  stoweidlem1  44717  stoweidlem3  44719  stoweidlem5  44721  stoweidlem11  44727  stoweidlem17  44733  stoweidlem20  44736  stoweidlem26  44742  stoweidlem34  44750  wallispilem4  44784  stirlinglem11  44800  stirlinglem12  44801  stirlinglem13  44802  fourierdlem12  44835  fourierdlem15  44838  fourierdlem20  44843  fourierdlem30  44853  fourierdlem39  44862  fourierdlem42  44865  fourierdlem47  44869  fourierdlem50  44872  fourierdlem64  44886  fourierdlem65  44887  fourierdlem68  44890  fourierdlem73  44895  fourierdlem77  44899  fourierdlem79  44901  fourierdlem87  44909  elaa2lem  44949  etransclem23  44973  ioorrnopnlem  45020  salgencntex  45059  sge0le  45123  sge0isum  45143  sge0xaddlem1  45149  hoicvr  45264  hsphoidmvle2  45301  hoidmv1lelem1  45307  hoidmv1lelem2  45308  hoidmv1lelem3  45309  hoidmvlelem1  45311  hoidmvlelem2  45312  hoidmvlelem4  45314  hspmbllem1  45342  hspmbllem2  45343  smfmullem1  45507  smfmullem2  45508  smfmullem3  45509  smfsuplem1  45527  natglobalincr  45591  lighneallem4a  46276  fllog2  47254  itcovalt2lem2lem1  47359