Theorem letrd 11294

Description: Transitive law deduction for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 20-May-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
letrd.4	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrd.5	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
letrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Proof of Theorem letrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐶)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5		letrd.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
6		letr 11231	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
7	3, 4, 5, 6	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐶) → 𝐴 ≤ 𝐶))
8	1, 2, 7	mp2and 705	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ℝcr 11028   ≤ cle 11171

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176

This theorem is referenced by:  lesub3d  11759  le2addd  11760  supmul1  12116  supmul  12119  nn0negleid  12480  eluzuzle  12788  iccsplit  13429  supicc  13445  fzdisj  13496  ssfzunsnext  13514  difelfzle  13586  flwordi  13762  flleceil  13803  uzsup  13813  modltm1p1mod  13876  seqf1olem1  13994  zzlesq  14159  bernneq  14182  bernneq3  14184  discr1  14192  faclbnd  14243  faclbnd4lem1  14246  facubnd  14253  seqcoll  14417  01sqrexlem7  15201  absle  15269  releabs  15275  absrdbnd  15295  rexuzre  15306  limsupgre  15434  lo1bddrp  15478  rlimclim1  15498  rlimresb  15518  rlimrege0  15532  o1add  15567  o1sub  15569  climsqz  15594  climsqz2  15595  rlimsqzlem  15602  rlimsqz  15603  rlimsqz2  15604  rlimno1  15607  isercoll  15621  caucvgrlem  15626  iseraltlem3  15637  o1fsum  15767  cvgcmp  15770  cvgcmpce  15772  climcnds  15807  expcnv  15820  cvgrat  15839  mertenslem2  15841  fprodle  15952  eftlub  16067  rpnnen2lem12  16183  bitsfzo  16395  isprm5  16668  isprm7  16669  eulerthlem2  16743  pcmpt2  16855  pcfac  16861  prmreclem3  16880  prmreclem4  16881  prmreclem5  16882  4sqlem11  16917  vdwlem1  16943  vdwlem3  16945  setsstruct2  17135  prdsxmetlem  24351  nrmmetd  24557  nm2dif  24608  nlmvscnlem2  24668  nmoco  24720  nmotri  24722  nghmcn  24728  icccmplem2  24807  reconnlem2  24811  elii1  24920  xrhmeo  24931  cnheiborlem  24939  bndth  24943  tcphcphlem1  25220  ipcnlem2  25229  cncmet  25307  trirn  25385  minveclem2  25411  minveclem4  25417  ivthlem2  25437  ovolunlem1a  25481  ovolunlem1  25482  ovolfiniun  25486  ovoliunlem1  25487  ovolicc2lem4  25505  ovolicc2lem5  25506  ovolicopnf  25509  nulmbl2  25521  ioombl1lem4  25546  ioorcl2  25557  uniioombllem3  25570  uniioombllem4  25571  uniioombllem5  25572  volcn  25591  vitalilem2  25594  vitali  25598  mbfi1fseqlem5  25704  mbfi1fseqlem6  25705  itg2splitlem  25733  itg2monolem1  25735  itg2monolem3  25737  itg2mono  25738  itg2cnlem1  25746  itgle  25795  bddmulibl  25824  bddiblnc  25827  ditgsplitlem  25845  dveflem  25964  dvlip  25978  dveq0  25985  dvfsumabs  26008  dvfsumlem1  26011  dvfsumlem2  26012  dvfsumlem3  26013  dvfsumlem4  26014  dvfsum2  26019  fta1glem2  26152  dgradd2  26251  plydiveu  26282  fta1lem  26291  aalioulem2  26317  aalioulem3  26318  aalioulem4  26319  aalioulem5  26320  aaliou3lem8  26329  aaliou3lem9  26334  ulmbdd  26381  ulmcn  26382  mtest  26387  mtestbdd  26388  abelthlem2  26415  abelthlem7  26421  pilem2  26435  tanabsge  26488  cosordlem  26512  tanord  26520  logneg2  26597  abslogle  26600  dvlog2lem  26634  cxple2a  26681  abscxpbnd  26735  atans2  26913  leibpi  26924  o1cxp  26956  cxploglim2  26960  jensenlem2  26969  emcllem6  26982  harmoniclbnd  26990  harmonicubnd  26991  harmonicbnd4  26992  fsumharmonic  26993  lgamgulmlem2  27011  lgamgulmlem3  27012  lgamgulmlem5  27014  lgambdd  27018  ftalem2  27055  basellem3  27064  basellem5  27066  basellem6  27067  dvdsflsumcom  27169  fsumfldivdiaglem  27170  ppiub  27185  chtublem  27192  logfac2  27198  chpub  27201  logfacubnd  27202  logfaclbnd  27203  logfacbnd3  27204  logexprlim  27206  bcmono  27258  bpos1lem  27263  bposlem1  27265  bposlem2  27266  bposlem3  27267  bposlem4  27268  bposlem5  27269  bposlem6  27270  bposlem7  27271  bposlem9  27273  lgsdirprm  27312  lgsquadlem1  27361  2lgslem1c  27374  2sqlem8  27407  chebbnd1lem1  27450  chebbnd1lem3  27452  chtppilimlem1  27454  chpchtlim  27460  vmadivsumb  27464  rplogsumlem1  27465  rplogsumlem2  27466  rpvmasumlem  27468  dchrisumlema  27469  dchrisumlem2  27471  dchrisumlem3  27472  dchrmusum2  27475  dchrvmasumlem2  27479  dchrvmasumlem3  27480  dchrvmasumlema  27481  dchrvmasumiflem1  27482  dchrisum0flblem1  27489  dchrisum0flblem2  27490  dchrisum0fno1  27492  dchrisum0re  27494  dchrisum0lem1b  27496  dchrisum0lem1  27497  dchrisum0lem2a  27498  dchrisum0  27501  rplogsum  27508  mudivsum  27511  mulogsumlem  27512  logdivsum  27514  mulog2sumlem1  27515  mulog2sumlem2  27516  2vmadivsumlem  27521  log2sumbnd  27525  selberglem2  27527  selbergb  27530  selberg2lem  27531  selberg2b  27533  chpdifbndlem1  27534  logdivbnd  27537  selberg3lem1  27538  selberg3lem2  27539  selberg4lem1  27541  pntrmax  27545  pntrsumo1  27546  pntrsumbnd  27547  pntrlog2bndlem1  27558  pntrlog2bndlem2  27559  pntrlog2bndlem3  27560  pntrlog2bndlem5  27562  pntrlog2bndlem6  27564  pntrlog2bnd  27565  pntpbnd1a  27566  pntpbnd1  27567  pntpbnd2  27568  pntibndlem2  27572  pntibndlem3  27573  pntlemg  27579  pntlemr  27583  pntlemj  27584  pntlemf  27586  pntlemk  27587  pntlemo  27588  pntleml  27592  abvcxp  27596  qabvle  27606  padicabv  27611  ostth2lem2  27615  ostth2lem3  27616  ostth3  27619  axlowdimlem16  29044  axcontlem8  29058  axcontlem10  29060  wwlksm1edg  29967  wwlksubclwwlk  30146  smcnlem  30786  nmoub3i  30862  ubthlem3  30961  minvecolem2  30964  minvecolem3  30965  minvecolem4  30969  htthlem  31006  bcs2  31271  pjhthlem1  31480  cnlnadjlem2  32157  cnlnadjlem7  32162  nmopadjlem  32178  nmoptrii  32183  nmopcoadji  32190  leopnmid  32227  cdj1i  32522  nndiffz1  32878  nexple  32936  oexpled  32939  pmtrto1cl  33180  psgnfzto1stlem  33181  fzto1st  33184  psgnfzto1st  33186  cyc3conja  33238  constrresqrtcl  33961  cos9thpiminplylem1  33966  smatrcl  33980  submateqlem1  33991  esumpcvgval  34262  oddpwdc  34538  eulerpartlems  34544  eulerpartlemgc  34546  eulerpartlemb  34552  dstfrvunirn  34659  orvclteinc  34660  ballotlemsima  34700  ballotlemfrcn0  34714  signstfveq0  34761  fsum2dsub  34791  breprexplemc  34816  breprexp  34817  logdivsqrle  34834  hgt750lemb  34840  hgt750leme  34842  tgoldbachgnn  34843  dnibndlem2  36785  dnibndlem6  36789  dnibndlem9  36792  dnibndlem10  36793  dnibndlem11  36794  dnibndlem12  36795  knoppcnlem4  36802  unblimceq0lem  36812  unblimceq0  36813  unbdqndv2lem2  36816  knoppndvlem11  36828  knoppndvlem14  36831  knoppndvlem15  36832  knoppndvlem18  36835  knoppndvlem21  36838  poimirlem6  37993  poimirlem7  37994  poimirlem13  38000  poimirlem15  38002  poimirlem29  38016  mblfinlem2  38025  mblfinlem3  38026  mblfinlem4  38027  ismblfin  38028  itg2addnc  38041  iblmulc2nc  38052  ftc1anclem7  38066  ftc1anclem8  38067  filbcmb  38107  geomcau  38126  prdsbnd  38160  cntotbnd  38163  bfplem2  38190  rrntotbnd  38203  iccbnd  38207  lcmineqlem20  42533  lcmineqlem21  42534  lcmineqlem22  42535  3lexlogpow5ineq2  42540  3lexlogpow5ineq5  42545  aks4d1p1p2  42555  aks4d1p1p4  42556  aks4d1p1p7  42559  aks4d1p1p5  42560  aks4d1p1  42561  aks4d1p2  42562  aks4d1p3  42563  aks4d1p5  42565  aks4d1p6  42566  aks4d1p7d1  42567  aks4d1p7  42568  aks4d1p8  42572  posbezout  42585  aks6d1c1  42601  aks6d1c2lem4  42612  2np3bcnp1  42629  sticksstones6  42636  sticksstones7  42637  sticksstones10  42640  sticksstones12a  42642  sticksstones12  42643  sticksstones22  42653  bcled  42663  bcle2d  42664  aks6d1c7lem1  42665  aks6d1c7lem2  42666  unitscyglem4  42683  lzunuz  43217  irrapxlem3  43269  irrapxlem4  43270  irrapxlem5  43271  pellexlem2  43275  pell1qrge1  43315  monotoddzzfi  43387  jm2.17a  43405  rmygeid  43409  fzmaxdif  43426  jm2.27c  43452  jm3.1lem1  43462  expdiophlem1  43466  fzunt  43899  fzuntd  43900  fzunt1d  43901  fzuntgd  43902  imo72b2lem0  44609  int-ineqtransd  44638  dvgrat  44756  monoords  45745  absnpncan2d  45750  absnpncan3d  45755  ssfiunibd  45757  rexabslelem  45861  uzublem  45873  sqrlearg  45998  fmul01  46025  fmul01lt1lem1  46029  fmul01lt1lem2  46030  climsuselem1  46052  climsuse  46053  limsupresico  46143  limsupubuzlem  46155  limsupmnfuzlem  46169  limsupre3uzlem  46178  liminfresico  46214  limsup10exlem  46215  cnrefiisplem  46272  dvdivbd  46366  dvbdfbdioolem2  46372  ioodvbdlimc1lem1  46374  ioodvbdlimc1lem2  46375  ioodvbdlimc2lem  46377  dvnmul  46386  dvnprodlem1  46389  dvnprodlem2  46390  iblspltprt  46416  itgspltprt  46422  stoweidlem1  46444  stoweidlem3  46446  stoweidlem5  46448  stoweidlem11  46454  stoweidlem17  46460  stoweidlem20  46463  stoweidlem26  46469  stoweidlem34  46477  wallispilem4  46511  stirlinglem11  46527  stirlinglem12  46528  stirlinglem13  46529  fourierdlem12  46562  fourierdlem15  46565  fourierdlem20  46570  fourierdlem30  46580  fourierdlem39  46589  fourierdlem42  46592  fourierdlem47  46596  fourierdlem50  46599  fourierdlem64  46613  fourierdlem65  46614  fourierdlem68  46617  fourierdlem73  46622  fourierdlem77  46626  fourierdlem79  46628  fourierdlem87  46636  elaa2lem  46676  etransclem23  46700  ioorrnopnlem  46747  salgencntex  46786  sge0le  46850  sge0isum  46870  sge0xaddlem1  46876  hoicvr  46991  hsphoidmvle2  47028  hoidmv1lelem1  47034  hoidmv1lelem2  47035  hoidmv1lelem3  47036  hoidmvlelem1  47038  hoidmvlelem2  47039  hoidmvlelem4  47041  hspmbllem1  47069  hspmbllem2  47070  smfmullem1  47234  smfmullem2  47235  smfmullem3  47236  smfsuplem1  47254  ormkglobd  47320  natglobalincr  47322  2ltceilhalf  47795  ceilhalfnn  47803  modmknepk  47831  lighneallem4a  48086  nprmdvdsfacm1lem4  48101  gpgusgralem  48547  gpgedgvtx1  48553  gpg3kgrtriexlem4  48577  gpg3kgrtriexlem6  48579  fllog2  49059  itcovalt2lem2lem1  49164