Theorem int-ineq2ndprincd 41811

Description: SecondPrincipleOfInequality generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-ineq2ndprincd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
int-ineq2ndprincd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
int-ineq2ndprincd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
int-ineq2ndprincd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
int-ineq2ndprincd.5	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
int-ineq2ndprincd	⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐶))

Proof of Theorem int-ineq2ndprincd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-ineq2ndprincd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		int-ineq2ndprincd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		int-ineq2ndprincd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		int-ineq2ndprincd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
5		int-ineq2ndprincd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
6	1, 2, 3, 4, 5	lemul1ad 11923	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5075  (class class class)co 7284  ℝcr 10879  0cc0 10880   · cmul 10885   ≤ cle 11019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217

This theorem is referenced by: (None)