Theorem int-ineq2ndprincd 44095

Description: SecondPrincipleOfInequality generator rule. (Contributed by Stanislas Polu, 7-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
int-ineq2ndprincd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
int-ineq2ndprincd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
int-ineq2ndprincd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
int-ineq2ndprincd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
int-ineq2ndprincd.5	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
int-ineq2ndprincd	⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐶))

Proof of Theorem int-ineq2ndprincd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		int-ineq2ndprincd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2		int-ineq2ndprincd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
3		int-ineq2ndprincd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
4		int-ineq2ndprincd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
5		int-ineq2ndprincd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
6	1, 2, 3, 4, 5	lemul1ad 12230	1 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2103   class class class wbr 5169  (class class class)co 7445  ℝcr 11179  0cc0 11180   · cmul 11185   ≤ cle 11321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-id 5597  df-po 5611  df-so 5612  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519

This theorem is referenced by: (None)