MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilucfil3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfilucfil3 25264
Description: Given a metric 𝐷 and a uniform structure generated by that metric, Cauchy filter bases on that uniform structure are exactly the Cauchy filters for the metric. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
cfilucfil3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜(metUnifβ€˜π·))) ↔ 𝐢 ∈ (CauFilβ€˜π·)))

Proof of Theorem cfilucfil3
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetpsmet 24270 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
2 cfilucfil2 24486 . . . . 5 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜(metUnifβ€˜π·)) ↔ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))))
32anbi2d 628 . . . 4 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜(metUnifβ€˜π·))) ↔ (𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)))))
4 filfbas 23768 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
54pm4.71i 558 . . . . . 6 (𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ↔ (𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)))
65anbi1i 622 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)) ↔ ((𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)))
7 anass 467 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)) ↔ (𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))))
86, 7bitr2i 275 . . . 4 ((𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ↔ (𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)))
93, 8bitrdi 286 . . 3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜(metUnifβ€˜π·))) ↔ (𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))))
101, 9sylan2 591 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜(metUnifβ€˜π·))) ↔ (𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))))
11 iscfil 25209 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐢 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))))
1211adantl 480 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐢 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))))
1310, 12bitr4d 281 1 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜(metUnifβ€˜π·))) ↔ 𝐢 ∈ (CauFilβ€˜π·)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4318   Γ— cxp 5670   β€œ cima 5675  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  0cc0 11136  β„+crp 13004  [,)cico 13356  PsMetcpsmet 21265  βˆžMetcxmet 21266  fBascfbas 21269  metUnifcmetu 21272  Filcfil 23765  CauFiluccfilu 24207  CauFilccfil 25196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-2 12303  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ico 13360  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-metu 21280  df-fil 23766  df-ust 24121  df-cfilu 24208  df-cfil 25199
This theorem is referenced by:  cfilucfil4  25265
  Copyright terms: Public domain W3C validator