MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilucfil3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfilucfil3 25203
Description: Given a metric 𝐷 and a uniform structure generated by that metric, Cauchy filter bases on that uniform structure are exactly the Cauchy filters for the metric. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
cfilucfil3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜(metUnifβ€˜π·))) ↔ 𝐢 ∈ (CauFilβ€˜π·)))

Proof of Theorem cfilucfil3
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xmetpsmet 24209 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹))
2 cfilucfil2 24425 . . . . 5 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜(metUnifβ€˜π·)) ↔ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))))
32anbi2d 628 . . . 4 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜(metUnifβ€˜π·))) ↔ (𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)))))
4 filfbas 23707 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹))
54pm4.71i 559 . . . . . 6 (𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ↔ (𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)))
65anbi1i 623 . . . . 5 ((𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)) ↔ ((𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)))
7 anass 468 . . . . 5 (((𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)) ↔ (𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))))
86, 7bitr2i 276 . . . 4 ((𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ (𝐢 ∈ (fBasβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))) ↔ (𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)))
93, 8bitrdi 287 . . 3 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜(metUnifβ€˜π·))) ↔ (𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))))
101, 9sylan2 592 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜(metUnifβ€˜π·))) ↔ (𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))))
11 iscfil 25148 . . 3 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐢 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))))
1211adantl 481 . 2 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐢 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐢 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))))
1310, 12bitr4d 282 1 ((𝑋 β‰  βˆ… ∧ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹)) β†’ ((𝐢 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝐢 ∈ (CauFiluβ€˜(metUnifβ€˜π·))) ↔ 𝐢 ∈ (CauFilβ€˜π·)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317   Γ— cxp 5667   β€œ cima 5672  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  β„+crp 12980  [,)cico 13332  PsMetcpsmet 21224  βˆžMetcxmet 21225  fBascfbas 21228  metUnifcmetu 21231  Filcfil 23704  CauFiluccfilu 24146  CauFilccfil 25135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ico 13336  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-metu 21239  df-fil 23705  df-ust 24060  df-cfilu 24147  df-cfil 25138
This theorem is referenced by:  cfilucfil4  25204
  Copyright terms: Public domain W3C validator