Theorem cfilucfil3 25641

Description: Given a metric 𝐷 and a uniform structure generated by that metric, Cauchy filter bases on that uniform structure are exactly the Cauchy filters for the metric. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)

Assertion

Ref	Expression
cfilucfil3	⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → ((𝐶 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷))) ↔ 𝐶 ∈ (CauFil‘𝐷)))

Proof of Theorem cfilucfil3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xmetpsmet 24667	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋))
2		cfilucfil2 24880	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → (𝐶 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷)) ↔ (𝐶 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐶 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
3	2	anbi2d 642	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ((𝐶 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷))) ↔ (𝐶 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐶 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐶 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)))))
4		filfbas 24167	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ (Fil‘𝑋) → 𝐶 ∈ (fBas‘𝑋))
5	4	pm4.71i 569	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ (Fil‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ (fBas‘𝑋)))
6	5	anbi1i 636	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐶 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)) ↔ ((𝐶 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐶 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)))
7		anass 474	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ (fBas‘𝑋)) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐶 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)) ↔ (𝐶 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐶 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐶 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
8	6, 7	bitr2i 279	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ (𝐶 ∈ (fBas‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐶 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))) ↔ (𝐶 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐶 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)))
9	3, 8	bitrdi 290	. . 3 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑋)) → ((𝐶 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷))) ↔ (𝐶 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐶 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
10	1, 9	sylan2 605	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → ((𝐶 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷))) ↔ (𝐶 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐶 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
11		iscfil 25586	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐶 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐶 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐶 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
12	11	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (𝐶 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐶 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐶 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
13	10, 12	bitr4d 285	1 ⊢ ((𝑋 ≠ ∅ ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → ((𝐶 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝐶 ∈ (CauFilu‘(metUnif‘𝐷))) ↔ 𝐶 ∈ (CauFil‘𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278   × cxp 5648   “ cima 5653  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  ℝ⁺crp 13120  [,)cico 13478  PsMetcpsmet 21662  ∞Metcxmet 21663  fBascfbas 21666  metUnifcmetu 21669  Filcfil 24164  CauFil_uccfilu 24604  CauFilccfil 25573

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ico 13482  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-metu 21677  df-fil 24165  df-ust 24520  df-cfilu 24605  df-cfil 25576

This theorem is used by:  cfilucfil4  25642