MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscfil2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscfil2 24765
Description: The property of being a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscfil2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐹   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem iscfil2
StepHypRef Expression
1 iscfil 24764 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
2 xmetf 23817 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
32ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
43ffund 6718 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) → Fun 𝐷)
5 filelss 23338 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦𝑋)
65ad4ant24 753 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) → 𝑦𝑋)
7 xpss12 5690 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑋𝑦𝑋) → (𝑦 × 𝑦) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
86, 6, 7syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) → (𝑦 × 𝑦) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
93fdmd 6725 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
108, 9sseqtrrd 4022 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) → (𝑦 × 𝑦) ⊆ dom 𝐷)
11 funimassov 7579 . . . . . . 7 ((Fun 𝐷 ∧ (𝑦 × 𝑦) ⊆ dom 𝐷) → ((𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥)))
124, 10, 11syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) → ((𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥)))
13 0xr 11257 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑧𝑦𝑤𝑦)) → 0 ∈ ℝ*)
15 simpllr 775 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑧𝑦𝑤𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
1615rpxrd 13013 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑧𝑦𝑤𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
17 simp-4l 782 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑧𝑦𝑤𝑦)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
186sselda 3981 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ 𝑧𝑦) → 𝑧𝑋)
1918adantrr 716 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑧𝑦𝑤𝑦)) → 𝑧𝑋)
206sselda 3981 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤𝑋)
2120adantrl 715 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑧𝑦𝑤𝑦)) → 𝑤𝑋)
22 xmetcl 23819 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋𝑤𝑋) → (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ*)
2317, 19, 21, 22syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑧𝑦𝑤𝑦)) → (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ*)
24 xmetge0 23832 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧𝑋𝑤𝑋) → 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤))
2517, 19, 21, 24syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑧𝑦𝑤𝑦)) → 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤))
26 elico1 13363 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥) ↔ ((𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤) ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
27 df-3an 1090 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤) ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥) ↔ (((𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤)) ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
2826, 27bitrdi 287 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥) ↔ (((𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤)) ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
2928baibd 541 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤))) → ((𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥) ↔ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
3014, 16, 23, 25, 29syl22anc 838 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) ∧ (𝑧𝑦𝑤𝑦)) → ((𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥) ↔ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
31302ralbidva 3217 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) → (∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
3212, 31bitrd 279 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦𝐹) → ((𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∀𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
3332rexbidva 3177 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∃𝑦𝐹𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
3433ralbidva 3176 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
3534pm5.32da 580 . 2 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
361, 35bitrd 279 1 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦𝐹𝑧𝑦𝑤𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088  wcel 2107  wral 3062  wrex 3071  wss 3947   class class class wbr 5147   × cxp 5673  dom cdm 5675  cima 5678  Fun wfun 6534  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7404  0cc0 11106  *cxr 11243   < clt 11244  cle 11245  +crp 12970  [,)cico 13322  ∞Metcxmet 20914  Filcfil 23331  CauFilccfil 24751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-2 12271  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ico 13326  df-xmet 20922  df-fbas 20926  df-fil 23332  df-cfil 24754
This theorem is referenced by:  cfili  24767  fgcfil  24770  iscfil3  24772  cfilresi  24794  cfilres  24795
  Copyright terms: Public domain W3C validator