MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscfil2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscfil2 25145
Description: The property of being a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscfil2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀,𝑦,𝑧,𝐹   𝑀,𝑋,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝐷,π‘₯,𝑦,𝑧

Proof of Theorem iscfil2
StepHypRef Expression
1 iscfil 25144 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))))
2 xmetf 24186 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
32ad3antrrr 727 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
43ffund 6714 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ Fun 𝐷)
5 filelss 23707 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
65ad4ant24 751 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
7 xpss12 5684 . . . . . . . . 9 ((𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
86, 6, 7syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
93fdmd 6721 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
108, 9sseqtrrd 4018 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷)
11 funimassov 7580 . . . . . . 7 ((Fun 𝐷 ∧ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷) β†’ ((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯)))
124, 10, 11syl2anc 583 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ ((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯)))
13 0xr 11262 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
15 simpllr 773 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
1615rpxrd 13020 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
17 simp-4l 780 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
186sselda 3977 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
1918adantrr 714 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
206sselda 3977 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ 𝑀 ∈ 𝑦) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
2120adantrl 713 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
22 xmetcl 24188 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ*)
2317, 19, 21, 22syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ (𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ*)
24 xmetge0 24201 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀))
2517, 19, 21, 24syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀))
26 elico1 13370 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ ((𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯) ↔ ((𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀) ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)))
27 df-3an 1086 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀) ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯) ↔ (((𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀)) ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
2826, 27bitrdi 287 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ ((𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯) ↔ (((𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀)) ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)))
2928baibd 539 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀))) β†’ ((𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯) ↔ (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
3014, 16, 23, 25, 29syl22anc 836 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ ((𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯) ↔ (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
31302ralbidva 3210 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
3212, 31bitrd 279 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ ((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
3332rexbidva 3170 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
3433ralbidva 3169 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
3534pm5.32da 578 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)))
361, 35bitrd 279 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667  dom cdm 5669   β€œ cima 5672  Fun wfun 6530  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109  β„*cxr 11248   < clt 11249   ≀ cle 11250  β„+crp 12977  [,)cico 13329  βˆžMetcxmet 21221  Filcfil 23700  CauFilccfil 25131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-2 12276  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ico 13333  df-xmet 21229  df-fbas 21233  df-fil 23701  df-cfil 25134
This theorem is referenced by:  cfili  25147  fgcfil  25150  iscfil3  25152  cfilresi  25174  cfilres  25175
  Copyright terms: Public domain W3C validator