MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscfil2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscfil2 25212
Description: The property of being a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscfil2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀,𝑦,𝑧,𝐹   𝑀,𝑋,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝐷,π‘₯,𝑦,𝑧

Proof of Theorem iscfil2
StepHypRef Expression
1 iscfil 25211 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))))
2 xmetf 24253 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
32ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
43ffund 6729 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ Fun 𝐷)
5 filelss 23774 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
65ad4ant24 752 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
7 xpss12 5695 . . . . . . . . 9 ((𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
86, 6, 7syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
93fdmd 6736 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
108, 9sseqtrrd 4021 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷)
11 funimassov 7602 . . . . . . 7 ((Fun 𝐷 ∧ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷) β†’ ((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯)))
124, 10, 11syl2anc 582 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ ((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯)))
13 0xr 11297 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
15 simpllr 774 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
1615rpxrd 13055 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
17 simp-4l 781 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
186sselda 3980 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
1918adantrr 715 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
206sselda 3980 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ 𝑀 ∈ 𝑦) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
2120adantrl 714 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
22 xmetcl 24255 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ*)
2317, 19, 21, 22syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ (𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ*)
24 xmetge0 24268 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀))
2517, 19, 21, 24syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀))
26 elico1 13405 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ ((𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯) ↔ ((𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀) ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)))
27 df-3an 1086 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀) ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯) ↔ (((𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀)) ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
2826, 27bitrdi 286 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ ((𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯) ↔ (((𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀)) ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)))
2928baibd 538 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀))) β†’ ((𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯) ↔ (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
3014, 16, 23, 25, 29syl22anc 837 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ ((𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯) ↔ (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
31302ralbidva 3212 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
3212, 31bitrd 278 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ ((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
3332rexbidva 3172 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
3433ralbidva 3171 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
3534pm5.32da 577 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)))
361, 35bitrd 278 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3057  βˆƒwrex 3066   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5150   Γ— cxp 5678  dom cdm 5680   β€œ cima 5683  Fun wfun 6545  βŸΆwf 6547  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  0cc0 11144  β„*cxr 11283   < clt 11284   ≀ cle 11285  β„+crp 13012  [,)cico 13364  βˆžMetcxmet 21269  Filcfil 23767  CauFilccfil 25198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-er 8729  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-2 12311  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-ico 13368  df-xmet 21277  df-fbas 21281  df-fil 23768  df-cfil 25201
This theorem is referenced by:  cfili  25214  fgcfil  25217  iscfil3  25219  cfilresi  25241  cfilres  25242
  Copyright terms: Public domain W3C validator