MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscfil2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscfil2 24782
Description: The property of being a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscfil2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀,𝑦,𝑧,𝐹   𝑀,𝑋,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝐷,π‘₯,𝑦,𝑧

Proof of Theorem iscfil2
StepHypRef Expression
1 iscfil 24781 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))))
2 xmetf 23834 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
32ad3antrrr 728 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
43ffund 6721 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ Fun 𝐷)
5 filelss 23355 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
65ad4ant24 752 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
7 xpss12 5691 . . . . . . . . 9 ((𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
86, 6, 7syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
93fdmd 6728 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
108, 9sseqtrrd 4023 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷)
11 funimassov 7583 . . . . . . 7 ((Fun 𝐷 ∧ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷) β†’ ((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯)))
124, 10, 11syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ ((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯)))
13 0xr 11260 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
15 simpllr 774 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
1615rpxrd 13016 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
17 simp-4l 781 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
186sselda 3982 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
1918adantrr 715 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
206sselda 3982 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ 𝑀 ∈ 𝑦) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
2120adantrl 714 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
22 xmetcl 23836 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ*)
2317, 19, 21, 22syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ (𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ*)
24 xmetge0 23849 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀))
2517, 19, 21, 24syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀))
26 elico1 13366 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ ((𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯) ↔ ((𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀) ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)))
27 df-3an 1089 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀) ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯) ↔ (((𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀)) ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
2826, 27bitrdi 286 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ ((𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯) ↔ (((𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀)) ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)))
2928baibd 540 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀))) β†’ ((𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯) ↔ (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
3014, 16, 23, 25, 29syl22anc 837 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ ((𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯) ↔ (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
31302ralbidva 3216 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
3212, 31bitrd 278 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ ((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
3332rexbidva 3176 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
3433ralbidva 3175 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
3534pm5.32da 579 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)))
361, 35bitrd 278 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  dom cdm 5676   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  β„+crp 12973  [,)cico 13325  βˆžMetcxmet 20928  Filcfil 23348  CauFilccfil 24768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ico 13329  df-xmet 20936  df-fbas 20940  df-fil 23349  df-cfil 24771
This theorem is referenced by:  cfili  24784  fgcfil  24787  iscfil3  24789  cfilresi  24811  cfilres  24812
  Copyright terms: Public domain W3C validator