Theorem iscfil2 25319

Description: The property of being a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iscfil2	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐹   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem iscfil2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscfil 25318	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
2		xmetf 24360	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
3	2	ad3antrrr 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
4	3	ffund 6751	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → Fun 𝐷)
5		filelss 23881	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
6	5	ad4ant24 753	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
7		xpss12 5715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → (𝑦 × 𝑦) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
8	6, 6, 7	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑦 × 𝑦) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
9	3	fdmd 6757	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
10	8, 9	sseqtrrd 4050	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑦 × 𝑦) ⊆ dom 𝐷)
11		funimassov 7627	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐷 ∧ (𝑦 × 𝑦) ⊆ dom 𝐷) → ((𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥)))
12	4, 10, 11	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → ((𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥)))
13		0xr 11337	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)) → 0 ∈ ℝ*)
15		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
16	15	rpxrd 13100	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
17		simp-4l 782	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
18	6	sselda 4008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑋)
19	18	adantrr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
20	6	sselda 4008	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → 𝑤 ∈ 𝑋)
21	20	adantrl 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)) → 𝑤 ∈ 𝑋)
22		xmetcl 24362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ*)
23	17, 19, 21, 22	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)) → (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ*)
24		xmetge0 24375	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤))
25	17, 19, 21, 24	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)) → 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤))
26		elico1 13450	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥) ↔ ((𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤) ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
27		df-3an 1089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤) ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥) ↔ (((𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤)) ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
28	26, 27	bitrdi 287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥) ↔ (((𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤)) ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
29	28	baibd 539	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤))) → ((𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥) ↔ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
30	14, 16, 23, 25, 29	syl22anc 838	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)) → ((𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥) ↔ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
31	30	2ralbidva 3225	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
32	12, 31	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → ((𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
33	32	rexbidva 3183	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
34	33	ralbidva 3182	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
35	34	pm5.32da 578	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
36	1, 35	bitrd 279	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   × cxp 5698  dom cdm 5700   “ cima 5703  Fun wfun 6567  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℝ⁺crp 13057  [,)cico 13409  ∞Metcxmet 21372  Filcfil 23874  CauFilccfil 25305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-2 12356  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ico 13413  df-xmet 21380  df-fbas 21384  df-fil 23875  df-cfil 25308

This theorem is referenced by:  cfili  25321  fgcfil  25324  iscfil3  25326  cfilresi  25348  cfilres  25349