Theorem iscfil2 24630

Description: The property of being a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iscfil2	⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝐹   𝑤,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐷,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem iscfil2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscfil 24629	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
2		xmetf 23682	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
3	2	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝐷:(𝑋 × 𝑋)⟶ℝ*)
4	3	ffund 6672	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → Fun 𝐷)
5		filelss 23203	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
6	5	ad4ant24 752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ⊆ 𝑋)
7		xpss12 5648	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑋) → (𝑦 × 𝑦) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
8	6, 6, 7	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑦 × 𝑦) ⊆ (𝑋 × 𝑋))
9	3	fdmd 6679	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → dom 𝐷 = (𝑋 × 𝑋))
10	8, 9	sseqtrrd 3985	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑦 × 𝑦) ⊆ dom 𝐷)
11		funimassov 7531	. . . . . . 7 ⊢ ((Fun 𝐷 ∧ (𝑦 × 𝑦) ⊆ dom 𝐷) → ((𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥)))
12	4, 10, 11	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → ((𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥)))
13		0xr 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
14	13	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)) → 0 ∈ ℝ*)
15		simpllr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
16	15	rpxrd 12958	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)) → 𝑥 ∈ ℝ*)
17		simp-4l 781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
18	6	sselda 3944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) → 𝑧 ∈ 𝑋)
19	18	adantrr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)) → 𝑧 ∈ 𝑋)
20	6	sselda 3944	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ 𝑤 ∈ 𝑦) → 𝑤 ∈ 𝑋)
21	20	adantrl 714	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)) → 𝑤 ∈ 𝑋)
22		xmetcl 23684	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ*)
23	17, 19, 21, 22	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)) → (𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ*)
24		xmetge0 23697	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤))
25	17, 19, 21, 24	syl3anc 1371	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)) → 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤))
26		elico1 13307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥) ↔ ((𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤) ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
27		df-3an 1089	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤) ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥) ↔ (((𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤)) ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
28	26, 27	bitrdi 286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) → ((𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥) ↔ (((𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤)) ∧ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
29	28	baibd 540	. . . . . . . 8 ⊢ (((0 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑤) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑧𝐷𝑤))) → ((𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥) ↔ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
30	14, 16, 23, 25, 29	syl22anc 837	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑤 ∈ 𝑦)) → ((𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥) ↔ (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
31	30	2ralbidva 3210	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) ∈ (0[,)𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
32	12, 31	bitrd 278	. . . . 5 ⊢ ((((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → ((𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
33	32	rexbidva 3173	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
34	33	ralbidva 3172	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥))
35	34	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → ((𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥)) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))
36	1, 35	bitrd 278	1 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 ∀𝑧 ∈ 𝑦 ∀𝑤 ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑤) < 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073   ⊆ wss 3910   class class class wbr 5105   × cxp 5631  dom cdm 5633   “ cima 5636  Fun wfun 6490  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  0cc0 11051  ℝ^*cxr 11188   < clt 11189   ≤ cle 11190  ℝ⁺crp 12915  [,)cico 13266  ∞Metcxmet 20781  Filcfil 23196  CauFilccfil 24616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-2 12216  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ico 13270  df-xmet 20789  df-fbas 20793  df-fil 23197  df-cfil 24619

This theorem is referenced by:  cfili  24632  fgcfil  24635  iscfil3  24637  cfilresi  24659  cfilres  24660