MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iscfil2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscfil2 24653
Description: The property of being a Cauchy filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
iscfil2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑀,𝑦,𝑧,𝐹   𝑀,𝑋,π‘₯,𝑦,𝑧   𝑀,𝐷,π‘₯,𝑦,𝑧

Proof of Theorem iscfil2
StepHypRef Expression
1 iscfil 24652 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))))
2 xmetf 23705 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
32ad3antrrr 729 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ 𝐷:(𝑋 Γ— 𝑋)βŸΆβ„*)
43ffund 6676 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ Fun 𝐷)
5 filelss 23226 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
65ad4ant24 753 . . . . . . . . 9 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ 𝑦 βŠ† 𝑋)
7 xpss12 5652 . . . . . . . . 9 ((𝑦 βŠ† 𝑋 ∧ 𝑦 βŠ† 𝑋) β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
86, 6, 7syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† (𝑋 Γ— 𝑋))
93fdmd 6683 . . . . . . . 8 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ dom 𝐷 = (𝑋 Γ— 𝑋))
108, 9sseqtrrd 3989 . . . . . . 7 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷)
11 funimassov 7535 . . . . . . 7 ((Fun 𝐷 ∧ (𝑦 Γ— 𝑦) βŠ† dom 𝐷) β†’ ((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯)))
124, 10, 11syl2anc 585 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ ((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯)))
13 0xr 11210 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
1413a1i 11 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
15 simpllr 775 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
1615rpxrd 12966 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
17 simp-4l 782 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
186sselda 3948 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑦) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
1918adantrr 716 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ 𝑧 ∈ 𝑋)
206sselda 3948 . . . . . . . . . 10 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ 𝑀 ∈ 𝑦) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
2120adantrl 715 . . . . . . . . 9 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ 𝑀 ∈ 𝑋)
22 xmetcl 23707 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ (𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ*)
2317, 19, 21, 22syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ (𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ*)
24 xmetge0 23720 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑀 ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀))
2517, 19, 21, 24syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀))
26 elico1 13316 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ ((𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯) ↔ ((𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀) ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)))
27 df-3an 1090 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀) ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯) ↔ (((𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀)) ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
2826, 27bitrdi 287 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) β†’ ((𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯) ↔ (((𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀)) ∧ (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)))
2928baibd 541 . . . . . . . 8 (((0 ∈ ℝ* ∧ π‘₯ ∈ ℝ*) ∧ ((𝑧𝐷𝑀) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (𝑧𝐷𝑀))) β†’ ((𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯) ↔ (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
3014, 16, 23, 25, 29syl22anc 838 . . . . . . 7 (((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) ∧ (𝑧 ∈ 𝑦 ∧ 𝑀 ∈ 𝑦)) β†’ ((𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯) ↔ (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
31302ralbidva 3207 . . . . . 6 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) ∈ (0[,)π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
3212, 31bitrd 279 . . . . 5 ((((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) β†’ ((𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
3332rexbidva 3170 . . . 4 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
3433ralbidva 3169 . . 3 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯))
3534pm5.32da 580 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ ((𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯)) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)))
361, 35bitrd 279 1 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 βˆ€π‘§ ∈ 𝑦 βˆ€π‘€ ∈ 𝑦 (𝑧𝐷𝑀) < π‘₯)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  dom cdm 5637   β€œ cima 5640  Fun wfun 6494  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198  β„+crp 12923  [,)cico 13275  βˆžMetcxmet 20804  Filcfil 23219  CauFilccfil 24639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-2 12224  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ico 13279  df-xmet 20812  df-fbas 20816  df-fil 23220  df-cfil 24642
This theorem is referenced by:  cfili  24655  fgcfil  24658  iscfil3  24660  cfilresi  24682  cfilres  24683
  Copyright terms: Public domain W3C validator