Theorem cfilfil 24336

Description: A Cauchy filter is a filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cfilfil	⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))

Proof of Theorem cfilfil

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscfil 24334	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → (𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷) ↔ (𝐹 ∈ (Fil‘𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+ ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝐷 “ (𝑦 × 𝑦)) ⊆ (0[,)𝑥))))
2	1	simprbda 498	1 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐹 ∈ (CauFil‘𝐷)) → 𝐹 ∈ (Fil‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883   × cxp 5578   “ cima 5583  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802  ℝ⁺crp 12659  [,)cico 13010  ∞Metcxmet 20495  Filcfil 22904  CauFilccfil 24321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-map 8575  df-xr 10944  df-xmet 20503  df-cfil 24324

This theorem is referenced by:  cfil3i  24338  iscfil3  24342  cfilfcls  24343  iscmet3  24362  cfilresi  24364  cmetss  24385  relcmpcmet  24387  cfilucfil4  24390  fmcncfil  31783