MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cfilfil 24654
Description: A Cauchy filter is a filter. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfilfil ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))

Proof of Theorem cfilfil
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iscfil 24652 . 2 (𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·) ↔ (𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘¦ ∈ 𝐹 (𝐷 β€œ (𝑦 Γ— 𝑦)) βŠ† (0[,)π‘₯))))
21simprbda 500 1 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 𝐹 ∈ (CauFilβ€˜π·)) β†’ 𝐹 ∈ (Filβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3914   Γ— cxp 5635   β€œ cima 5640  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  β„+crp 12923  [,)cico 13275  βˆžMetcxmet 20804  Filcfil 23219  CauFilccfil 24639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8773  df-xr 11201  df-xmet 20812  df-cfil 24642
This theorem is referenced by:  cfil3i  24656  iscfil3  24660  cfilfcls  24661  iscmet3  24680  cfilresi  24682  cmetss  24703  relcmpcmet  24705  cfilucfil4  24708  fmcncfil  32576
  Copyright terms: Public domain W3C validator