MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnmuln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domnmuln0 20190
Description: In a domain, a product of nonzero elements is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
domneq0.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
domneq0.t · = (.r𝑅)
domneq0.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
domnmuln0 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )

Proof of Theorem domnmuln0
StepHypRef Expression
1 an4 656 . . 3 (((𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) ↔ ((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑋0𝑌0 )))
2 neanior 3026 . . . . . 6 ((𝑋0𝑌0 ) ↔ ¬ (𝑋 = 0𝑌 = 0 ))
3 domneq0.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 domneq0.t . . . . . . . . 9 · = (.r𝑅)
5 domneq0.z . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
63, 4, 5domneq0 20189 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0𝑌 = 0 )))
763expb 1121 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0𝑌 = 0 )))
87necon3abid 2970 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋 = 0𝑌 = 0 )))
92, 8bitr4id 293 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋0𝑌0 ) ↔ (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ))
109biimpd 232 . . . 4 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋0𝑌0 ) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ))
1110expimpd 457 . . 3 (𝑅 ∈ Domn → (((𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑋0𝑌0 )) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ))
121, 11syl5bi 245 . 2 (𝑅 ∈ Domn → (((𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ))
13123impib 1117 1 ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑋𝐵𝑋0 ) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  cfv 6339  (class class class)co 7170  Basecbs 16586  .rcmulr 16669  0gc0g 16816  Domncdomn 20172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-er 8320  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-plusg 16681  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-mgp 19359  df-ring 19418  df-nzr 20150  df-domn 20176
This theorem is referenced by:  abvn0b  20194  isdomn4  39763  deg1mhm  40604  domnmsuppn0  45239
  Copyright terms: Public domain W3C validator