Theorem domnmuln0 20681

Description: In a domain, a product of nonzero elements is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
domneq0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
domneq0.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
domneq0.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
domnmuln0	⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )

Proof of Theorem domnmuln0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		an4 662	. . 3 ⊢ (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) ↔ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ 0 )))
2		neanior 3027	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) ↔ ¬ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 ))
3		domneq0.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		domneq0.t	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		domneq0.z	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
6	3, 4, 5	domneq0 20680	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))
7	6	3expb 1126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))
8	7	necon3abid 2970	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ↔ ¬ (𝑋 = 0 ∨ 𝑌 = 0 )))
9	2, 8	bitr4id 291	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) ↔ (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ))
10	9	biimpd 230	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ))
11	10	expimpd 454	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ))
12	1, 11	biimtrid 243	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn → (((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 ))
13	12	3impib 1122	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Domn ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝑋 · 𝑌) ≠ 0 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  0_gc0g 17393  Domncdomn 20664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-nzr 20485  df-domn 20667

This theorem is referenced by:  isdomn4  20688  drngmcl  20722  abvtrivg  20805  domnprodn0  33356  idomnnzpownz  42617  idomnnzgmulnz  42618  aks6d1c5lem2  42623  domnexpgn0cl  43009  deg1mhm  43645  domnmsuppn0  48860