MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  domnmuln0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem domnmuln0 21249
Description: In a domain, a product of nonzero elements is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
domneq0.b ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
domneq0.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
domneq0.z 0 = (0gโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
domnmuln0 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โ‰  0 ) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โ‰  0 )

Proof of Theorem domnmuln0
StepHypRef Expression
1 an4 654 . . 3 (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โ‰  0 ) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โ‰  0 )) โ†” ((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‹ โ‰  0 โˆง ๐‘Œ โ‰  0 )))
2 neanior 3025 . . . . . 6 ((๐‘‹ โ‰  0 โˆง ๐‘Œ โ‰  0 ) โ†” ยฌ (๐‘‹ = 0 โˆจ ๐‘Œ = 0 ))
3 domneq0.b . . . . . . . . 9 ๐ต = (Baseโ€˜๐‘…)
4 domneq0.t . . . . . . . . 9 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
5 domneq0.z . . . . . . . . 9 0 = (0gโ€˜๐‘…)
63, 4, 5domneq0 21248 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†” (๐‘‹ = 0 โˆจ ๐‘Œ = 0 )))
763expb 1117 . . . . . . 7 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = 0 โ†” (๐‘‹ = 0 โˆจ ๐‘Œ = 0 )))
87necon3abid 2967 . . . . . 6 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โ‰  0 โ†” ยฌ (๐‘‹ = 0 โˆจ ๐‘Œ = 0 )))
92, 8bitr4id 289 . . . . 5 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ โ‰  0 โˆง ๐‘Œ โ‰  0 ) โ†” (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โ‰  0 ))
109biimpd 228 . . . 4 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‹ โ‰  0 โˆง ๐‘Œ โ‰  0 ) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โ‰  0 ))
1110expimpd 452 . . 3 (๐‘… โˆˆ Domn โ†’ (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‹ โ‰  0 โˆง ๐‘Œ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โ‰  0 ))
121, 11biimtrid 241 . 2 (๐‘… โˆˆ Domn โ†’ (((๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โ‰  0 ) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โ‰  0 ))
13123impib 1113 1 ((๐‘… โˆˆ Domn โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘‹ โ‰  0 ) โˆง (๐‘Œ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘Œ โ‰  0 )) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) โ‰  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  .rcmulr 17233  0gc0g 17420  Domncdomn 21231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-nzr 20456  df-domn 21235
This theorem is referenced by:  isdomn4  21254  abvn0b  21256  idomnnzpownz  41659  idomnnzgmulnz  41660  aks6d1c5lem2  41665  deg1mhm  42693  domnmsuppn0  47545
  Copyright terms: Public domain W3C validator