Theorem drngdomn 20720

Description: A division ring is a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
drngdomn	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Domn)

Proof of Theorem drngdomn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngnzr 20719	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
2		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5	2, 3, 4	isdrng 20704	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)})))
6	5	simprbi 497	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}))
7		drngring 20707	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
9	8, 3	unitrrg 20674	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
10	7, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
11	6, 10	eqsstrrd 3958	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (RLReg‘𝑅))
12	2, 8, 4	isdomn2 20682	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ((Base‘𝑅) ∖ {(0g‘𝑅)}) ⊆ (RLReg‘𝑅)))
13	1, 11, 12	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Domn)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  {csn 4568  ‘cfv 6493  Basecbs 17173  0_gc0g 17396  Ringcrg 20208  Unitcui 20329  NzRingcnzr 20483  RLRegcrlreg 20662  Domncdomn 20663  DivRingcdr 20700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-0g 17398  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-nzr 20484  df-rlreg 20665  df-domn 20666  df-drng 20702

This theorem is referenced by:  drngmcl  20721  drngmul0or  20731  fldidom  20742  fidomndrng  20744  abvtriv  20805  ply1unit  33653  ply1dg1rt  33658  cos9thpiminply  33951  aks6d1c5lem3  42593  drngmullcan  42987  drngmulrcan  42988