MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngdomn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngdomn 20729
Description: A division ring is a domain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
drngdomn (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Domn)

Proof of Theorem drngdomn
StepHypRef Expression
1 drngnzr 20728 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
2 eqid 2726 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2726 . . . . 5 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
4 eqid 2726 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
52, 3, 4isdrng 20713 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)})))
65simprbi 495 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (Unit‘𝑅) = ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)}))
7 drngring 20716 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
8 eqid 2726 . . . . 5 (RLReg‘𝑅) = (RLReg‘𝑅)
98, 3unitrrg 20683 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
107, 9syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (Unit‘𝑅) ⊆ (RLReg‘𝑅))
116, 10eqsstrrd 4019 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)}) ⊆ (RLReg‘𝑅))
122, 8, 4isdomn2 20691 . 2 (𝑅 ∈ Domn ↔ (𝑅 ∈ NzRing ∧ ((Base‘𝑅) ∖ {(0g𝑅)}) ⊆ (RLReg‘𝑅)))
131, 11, 12sylanbrc 581 1 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Domn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  cdif 3944  wss 3947  {csn 4633  cfv 6556  Basecbs 17215  0gc0g 17456  Ringcrg 20218  Unitcui 20339  NzRingcnzr 20496  RLRegcrlreg 20671  Domncdomn 20672  DivRingcdr 20709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8006  df-tpos 8243  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-er 8736  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17216  df-ress 17245  df-plusg 17281  df-mulr 17282  df-0g 17458  df-mgm 18635  df-sgrp 18714  df-mnd 18730  df-grp 18933  df-minusg 18934  df-cmn 19782  df-abl 19783  df-mgp 20120  df-rng 20138  df-ur 20167  df-ring 20220  df-oppr 20318  df-dvdsr 20341  df-unit 20342  df-invr 20372  df-nzr 20497  df-rlreg 20674  df-domn 20675  df-drng 20711
This theorem is referenced by:  drngmcl  20730  drngmul0or  20740  fldidom  20751  fldidomOLD  20752  fidomndrng  20754  abvtriv  20815  ply1unit  33449  ply1dg1rt  33453  aks6d1c5lem3  41837  drngmullcan  42195  drngmulrcan  42196
  Copyright terms: Public domain W3C validator