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Theorem rmodislmodOLD 20192

Description: Obsolete version of rmodislmod 20191 as of 18-Oct-2024. The right module 𝑅 induces a left module 𝐿 by replacing the scalar multiplication with a reversed multiplication if the scalar ring is commutative. The hypothesis "rmodislmod.r" is a definition of a right module analogous to Definition df-lmod 20125 of a left module, see also islmod 20127. (Contributed by AV, 3-Dec-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
rmodislmod.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
rmodislmod.a	⊢ + = (+_g‘𝑅)
rmodislmod.s	⊢ · = ( ·_𝑠 ‘𝑅)
rmodislmod.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
rmodislmod.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
rmodislmod.p	⊢ ⨣ = (+_g‘𝐹)
rmodislmod.t	⊢ × = (._r‘𝐹)
rmodislmod.u	⊢ 1 = (1_r‘𝐹)
rmodislmod.r	⊢ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)))
rmodislmod.m	⊢ ∗ = (𝑠 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠))
rmodislmod.l	⊢ 𝐿 = (𝑅 sSet ⟨( ·_𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩)

**Assertion**
Ref	Expression
rmodislmodOLD	⊢ (𝐹 ∈ CRing → 𝐿 ∈ LMod)

Distinct variable groups: × ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥 × ,𝑠,𝑣 · ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥 · ,𝑠,𝑣 𝐾,𝑞,𝑟,𝑥 𝐾,𝑠,𝑣 𝑉,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥 𝑉,𝑠,𝑣 𝐹,𝑠,𝑣 1 ,𝑠,𝑣 1 ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥 + ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥 + ,𝑠,𝑣 ⨣ ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥 ⨣ ,𝑠,𝑣 Allowed substitution hints: 𝑅(𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞) 𝐹(𝑥,𝑤,𝑟,𝑞) ∗ (𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞) 𝐾(𝑤) 𝐿(𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem rmodislmodOLD Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmodislmod.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
2		baseid 16915	. . . . . 6 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
3		df-base 16913	. . . . . . . 8 ⊢ Base = Slot 1
4		1nn 11984	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ
5	3, 4	ndxarg 16897	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘ndx) = 1
6		1re 10975	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		1lt6 12158	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 6
8	6, 7	ltneii 11088	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 6
9		vscandx 17029	. . . . . . . 8 ⊢ ( ·_𝑠 ‘ndx) = 6
10	8, 9	neeqtrri 3017	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ ( ·_𝑠 ‘ndx)
11	5, 10	eqnetri 3014	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ≠ ( ·_𝑠 ‘ndx)
12	2, 11	setsnid 16910	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑅 sSet ⟨( ·_𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩))
13	1, 12	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘(𝑅 sSet ⟨( ·_𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩))
14		rmodislmod.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (𝑅 sSet ⟨( ·_𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩)
15	14	eqcomi 2747	. . . . 5 ⊢ (𝑅 sSet ⟨( ·_𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩) = 𝐿
16	15	fveq2i 6777	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 sSet ⟨( ·_𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩)) = (Base‘𝐿)
17	13, 16	eqtri 2766	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐿)
18	17	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → 𝑉 = (Base‘𝐿))
19		plusgid 16989	. . . . 5 ⊢ +_g = Slot (+_g‘ndx)
20		plusgndx 16988	. . . . . 6 ⊢ (+_g‘ndx) = 2
21		2re 12047	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
22		2lt6 12157	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 6
23	21, 22	ltneii 11088	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≠ 6
24	23, 9	neeqtrri 3017	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ ( ·_𝑠 ‘ndx)
25	20, 24	eqnetri 3014	. . . . 5 ⊢ (+_g‘ndx) ≠ ( ·_𝑠 ‘ndx)
26	19, 25	setsnid 16910	. . . 4 ⊢ (+_g‘𝑅) = (+_g‘(𝑅 sSet ⟨( ·_𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩))
27		rmodislmod.a	. . . 4 ⊢ + = (+_g‘𝑅)
28	14	fveq2i 6777	. . . 4 ⊢ (+_g‘𝐿) = (+_g‘(𝑅 sSet ⟨( ·_𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩))
29	26, 27, 28	3eqtr4i 2776	. . 3 ⊢ + = (+_g‘𝐿)
30	29	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → + = (+_g‘𝐿))
31		scaid 17025	. . . . 5 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
32		scandx 17024	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
33		5re 12060	. . . . . . . 8 ⊢ 5 ∈ ℝ
34		5lt6 12154	. . . . . . . 8 ⊢ 5 < 6
35	33, 34	ltneii 11088	. . . . . . 7 ⊢ 5 ≠ 6
36	35, 9	neeqtrri 3017	. . . . . 6 ⊢ 5 ≠ ( ·_𝑠 ‘ndx)
37	32, 36	eqnetri 3014	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ ( ·_𝑠 ‘ndx)
38	31, 37	setsnid 16910	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘(𝑅 sSet ⟨( ·_𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩))
39		rmodislmod.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
40	14	fveq2i 6777	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐿) = (Scalar‘(𝑅 sSet ⟨( ·_𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩))
41	38, 39, 40	3eqtr4i 2776	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐿)
42	41	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → 𝐹 = (Scalar‘𝐿))
43		rmodislmod.r	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)))
44	43	simp1i 1138	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ Grp
45		rmodislmod.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
46	45	fvexi 6788	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ V
47	1	fvexi 6788	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 ∈ V
48		rmodislmod.m	. . . . . . 7 ⊢ ∗ = (𝑠 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠))
49	48	mpoexg 7917	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → ∗ ∈ V)
50	46, 47, 49	mp2an 689	. . . . 5 ⊢ ∗ ∈ V
51		vscaid 17030	. . . . . 6 ⊢ ·_𝑠 = Slot ( ·_𝑠 ‘ndx)
52	51	setsid 16909	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ∗ ∈ V) → ∗ = ( ·_𝑠 ‘(𝑅 sSet ⟨( ·_𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩)))
53	44, 50, 52	mp2an 689	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·_𝑠 ‘(𝑅 sSet ⟨( ·_𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩))
54	15	fveq2i 6777	. . . 4 ⊢ ( ·_𝑠 ‘(𝑅 sSet ⟨( ·_𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩)) = ( ·_𝑠 ‘𝐿)
55	53, 54	eqtri 2766	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·_𝑠 ‘𝐿)
56	55	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → ∗ = ( ·_𝑠 ‘𝐿))
57	45	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → 𝐾 = (Base‘𝐹))
58		rmodislmod.p	. . 3 ⊢ ⨣ = (+_g‘𝐹)
59	58	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → ⨣ = (+_g‘𝐹))
60		rmodislmod.t	. . 3 ⊢ × = (._r‘𝐹)
61	60	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → × = (._r‘𝐹))
62		rmodislmod.u	. . 3 ⊢ 1 = (1_r‘𝐹)
63	62	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → 1 = (1_r‘𝐹))
64		crngring 19795	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → 𝐹 ∈ Ring)
65	1	eqcomi 2747	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = 𝑉
66	65, 17	eqtri 2766	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐿)
67	26, 28	eqtr4i 2769	. . . . 5 ⊢ (+_g‘𝑅) = (+_g‘𝐿)
68	66, 67	grpprop 18595	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp)
69	44, 68	mpbi 229	. . 3 ⊢ 𝐿 ∈ Grp
70	69	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → 𝐿 ∈ Grp)
71	48	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ∗ = (𝑠 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠)))
72		oveq12 7284	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 = 𝑏 ∧ 𝑠 = 𝑎) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑏 · 𝑎))
73	72	ancoms 459	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑏 · 𝑎))
74	73	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑏 · 𝑎))
75		simp2 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑎 ∈ 𝐾)
76		simp3 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑏 ∈ 𝑉)
77		ovexd 7310	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ V)
78	71, 74, 75, 76, 77	ovmpod 7425	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∗ 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
79		simpl1 1190	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
80	79	2ralimi 3088	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
81	80	2ralimi 3088	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
82		ringgrp 19788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
83	45	grpbn0 18608	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Grp → 𝐾 ≠ ∅)
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐾 ≠ ∅)
85	84	3ad2ant2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → 𝐾 ≠ ∅)
86	43, 85	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ≠ ∅
87		rspn0 4286	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉))
88	86, 87	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
89		ralcom 3166	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
90	1	grpbn0 18608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑉 ≠ ∅)
91	90	3ad2ant1 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → 𝑉 ≠ ∅)
92	43, 91	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 ≠ ∅
93		rspn0 4286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉))
94	92, 93	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
95		oveq2 7283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → (𝑤 · 𝑟) = (𝑤 · 𝑎))
96	95	eleq1d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → ((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ↔ (𝑤 · 𝑎) ∈ 𝑉))
97		oveq1 7282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑤 · 𝑎) = (𝑏 · 𝑎))
98	97	eleq1d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 · 𝑎) ∈ 𝑉 ↔ (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
99	96, 98	rspc2v 3570	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
100	99	3adant1 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
101	94, 100	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
102	89, 101	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
103	81, 88, 102	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
104	103	3ad2ant3 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
105	43, 104	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉)
106	78, 105	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∗ 𝑏) ∈ 𝑉)
107	48	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ∗ = (𝑠 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠)))
108		oveq12 7284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑠 = 𝑎) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎))
109	108	ancoms 459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑎 ∧ 𝑣 = (𝑏 + 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎))
110	109	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎 ∧ 𝑣 = (𝑏 + 𝑐))) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎))
111		simp1 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑎 ∈ 𝐾)
112	1, 27	grpcl 18585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑉)
113	44, 112	mp3an1 1447	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑉)
114	113	3adant1 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑉)
115		ovexd 7310	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) ∈ V)
116	107, 110, 111, 114, 115	ovmpod 7425	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎))
117		simpl2 1191	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)))
118	117	2ralimi 3088	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)))
119	118	2ralimi 3088	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)))
120		rspn0 4286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟))))
121	86, 120	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)))
122		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 + 𝑥) · 𝑎))
123		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → (𝑥 · 𝑟) = (𝑥 · 𝑎))
124	95, 123	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑥 · 𝑎)))
125	122, 124	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → (((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ↔ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑎) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑥 · 𝑎))))
126		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑤 + 𝑥) = (𝑤 + 𝑐))
127	126	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝑤 + 𝑥) · 𝑎) = ((𝑤 + 𝑐) · 𝑎))
128		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 · 𝑎) = (𝑐 · 𝑎))
129	128	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝑤 · 𝑎) + (𝑥 · 𝑎)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
130	127, 129	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (((𝑤 + 𝑥) · 𝑎) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑥 · 𝑎)) ↔ ((𝑤 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
131		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑤 + 𝑐) = (𝑏 + 𝑐))
132	131	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎))
133	97	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
134	132, 133	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (((𝑤 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)) ↔ ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
135	125, 130, 134	rspc3v 3573	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
136	135	3com23 1125	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
137	121, 136	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
138	119, 137	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
139	138	3ad2ant3 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
140	43, 139	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
141	116, 140	eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
142	141	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → (𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
143	73	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑏 · 𝑎))
144		simp2 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑏 ∈ 𝑉)
145		ovexd 7310	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ V)
146	107, 143, 111, 144, 145	ovmpod 7425	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∗ 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
147		oveq12 7284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 = 𝑐 ∧ 𝑠 = 𝑎) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑎))
148	147	ancoms 459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑎))
149	148	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑎))
150		simp3 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑐 ∈ 𝑉)
151		ovexd 7310	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · 𝑎) ∈ V)
152	107, 149, 111, 150, 151	ovmpod 7425	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∗ 𝑐) = (𝑐 · 𝑎))
153	146, 152	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ∗ 𝑏) + (𝑎 ∗ 𝑐)) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
154	153	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑎 ∗ 𝑏) + (𝑎 ∗ 𝑐)) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
155	142, 154	eqtr4d 2781	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → (𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 ∗ 𝑏) + (𝑎 ∗ 𝑐)))
156		simpl3 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)))
157	156	2ralimi 3088	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)))
158	157	2ralimi 3088	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)))
159		ralrot3 3288	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)))
160		rspn0 4286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) → ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))))
161	92, 160	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) → ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)))
162		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑎 → (𝑞 ⨣ 𝑟) = (𝑎 ⨣ 𝑟))
163	162	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑎 → (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = (𝑤 · (𝑎 ⨣ 𝑟)))
164		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑎 → (𝑤 · 𝑞) = (𝑤 · 𝑎))
165	164	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑎 → ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑟)))
166	163, 165	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑎 → ((𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) ↔ (𝑤 · (𝑎 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑟))))
167		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑏 → (𝑎 ⨣ 𝑟) = (𝑎 ⨣ 𝑏))
168	167	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑏 → (𝑤 · (𝑎 ⨣ 𝑟)) = (𝑤 · (𝑎 ⨣ 𝑏)))
169		oveq2 7283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑏 → (𝑤 · 𝑟) = (𝑤 · 𝑏))
170	169	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑏 → ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑏)))
171	168, 170	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑏 → ((𝑤 · (𝑎 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑟)) ↔ (𝑤 · (𝑎 ⨣ 𝑏)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑏))))
172		oveq1 7282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → (𝑤 · (𝑎 ⨣ 𝑏)) = (𝑐 · (𝑎 ⨣ 𝑏)))
173		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → (𝑤 · 𝑎) = (𝑐 · 𝑎))
174		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → (𝑤 · 𝑏) = (𝑐 · 𝑏))
175	173, 174	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏)))
176	172, 175	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → ((𝑤 · (𝑎 ⨣ 𝑏)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑏)) ↔ (𝑐 · (𝑎 ⨣ 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
177	166, 171, 176	rspc3v 3573	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) → (𝑐 · (𝑎 ⨣ 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
178	161, 177	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · (𝑎 ⨣ 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
179	159, 178	sylbi 216	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · (𝑎 ⨣ 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
180	158, 179	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · (𝑎 ⨣ 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
181	180	3ad2ant3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · (𝑎 ⨣ 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
182	43, 181	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · (𝑎 ⨣ 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏)))
183	48	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ∗ = (𝑠 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠)))
184		oveq12 7284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 = 𝑐 ∧ 𝑠 = (𝑎 ⨣ 𝑏)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 ⨣ 𝑏)))
185	184	ancoms 459	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = (𝑎 ⨣ 𝑏) ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 ⨣ 𝑏)))
186	185	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 = (𝑎 ⨣ 𝑏) ∧ 𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 ⨣ 𝑏)))
187	45, 58	grpcl 18585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) → (𝑎 ⨣ 𝑏) ∈ 𝐾)
188	187	3expib 1121	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Grp → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) → (𝑎 ⨣ 𝑏) ∈ 𝐾))
189	82, 188	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) → (𝑎 ⨣ 𝑏) ∈ 𝐾))
190	189	3ad2ant2 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) → (𝑎 ⨣ 𝑏) ∈ 𝐾))
191	43, 190	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) → (𝑎 ⨣ 𝑏) ∈ 𝐾)
192	191	3adant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑎 ⨣ 𝑏) ∈ 𝐾)
193		simp3 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑐 ∈ 𝑉)
194		ovexd 7310	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · (𝑎 ⨣ 𝑏)) ∈ V)
195	183, 186, 192, 193, 194	ovmpod 7425	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ⨣ 𝑏) ∗ 𝑐) = (𝑐 · (𝑎 ⨣ 𝑏)))
196	148	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑎))
197		simp1 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑎 ∈ 𝐾)
198		ovexd 7310	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · 𝑎) ∈ V)
199	183, 196, 197, 193, 198	ovmpod 7425	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∗ 𝑐) = (𝑐 · 𝑎))
200		oveq12 7284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 = 𝑐 ∧ 𝑠 = 𝑏) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
201	200	ancoms 459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
202	201	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
203		simp2 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑏 ∈ 𝐾)
204		ovexd 7310	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ V)
205	183, 202, 203, 193, 204	ovmpod 7425	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑐 · 𝑏))
206	199, 205	oveq12d 7293	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ∗ 𝑐) + (𝑏 ∗ 𝑐)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏)))
207	182, 195, 206	3eqtr4d 2788	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ⨣ 𝑏) ∗ 𝑐) = ((𝑎 ∗ 𝑐) + (𝑏 ∗ 𝑐)))
208	207	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑎 ⨣ 𝑏) ∗ 𝑐) = ((𝑎 ∗ 𝑐) + (𝑏 ∗ 𝑐)))
209		rmodislmod.s	. . 3 ⊢ · = ( ·_𝑠 ‘𝑅)
210	1, 27, 209, 39, 45, 58, 60, 62, 43, 48, 14	rmodislmodlem 20190	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑎 × 𝑏) ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)))
211	48	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ∗ = (𝑠 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠)))
212		oveq12 7284	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 = 𝑎 ∧ 𝑠 = 1 ) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑎 · 1 ))
213	212	ancoms 459	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑣 = 𝑎) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑎 · 1 ))
214	213	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 = 1 ∧ 𝑣 = 𝑎)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑎 · 1 ))
215	45, 62	ringidcl 19807	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐾)
216	64, 215	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → 1 ∈ 𝐾)
217	216	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 1 ∈ 𝐾)
218		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝑎 ∈ 𝑉)
219		ovexd 7310	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 1 ) ∈ V)
220	211, 214, 217, 218, 219	ovmpod 7425	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ( 1 ∗ 𝑎) = (𝑎 · 1 ))
221		simprr 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
222	221	2ralimi 3088	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
223	222	2ralimi 3088	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
224		rspn0 4286	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤))
225	86, 224	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
226		rspn0 4286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤))
227	86, 226	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
228		rspn0 4286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤))
229	92, 228	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
230		oveq1 7282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → (𝑤 · 1 ) = (𝑎 · 1 ))
231		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → 𝑤 = 𝑎)
232	230, 231	eqeq12d 2754	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → ((𝑤 · 1 ) = 𝑤 ↔ (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
233	232	rspcv 3557	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑉 → (∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
234	233	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
235	229, 234	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
236	227, 235	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
237	223, 225, 236	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
238	237	3ad2ant3 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
239	43, 238	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 1 ) = 𝑎)
240	220, 239	eqtrd 2778	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ( 1 ∗ 𝑎) = 𝑎)
241	18, 30, 42, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 70, 106, 155, 208, 210, 240	islmodd 20129	1 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → 𝐿 ∈ LMod)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 396 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ∀wral 3064 Vcvv 3432 ∅c0 4256 ⟨cop 4567 ‘cfv 6433 (class class class)co 7275 ∈ cmpo 7277 1c1 10872 2c2 12028 5c5 12031 6c6 12032 sSet csts 16864 ndxcnx 16894 Basecbs 16912 +_gcplusg 16962 ._rcmulr 16963 Scalarcsca 16965 ·_𝑠 cvsca 16966 Grpcgrp 18577 1_rcur 19737 Ringcrg 19783 CRingccrg 19784 LModclmod 20123

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-rep 5209 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-op 4568 df-uni 4840 df-iun 4926 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-om 7713 df-1st 7831 df-2nd 7832 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-er 8498 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-4 12038 df-5 12039 df-6 12040 df-sets 16865 df-slot 16883 df-ndx 16895 df-base 16913 df-plusg 16975 df-sca 16978 df-vsca 16979 df-0g 17152 df-mgm 18326 df-sgrp 18375 df-mnd 18386 df-grp 18580 df-cmn 19388 df-mgp 19721 df-ur 19738 df-ring 19785 df-cring 19786 df-lmod 20125

This theorem is referenced by: (None)

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