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Theorem rmodislmodOLD 20297
Description: Obsolete version of rmodislmod 20296 as of 18-Oct-2024. The right module 𝑅 induces a left module 𝐿 by replacing the scalar multiplication with a reversed multiplication if the scalar ring is commutative. The hypothesis "rmodislmod.r" is a definition of a right module analogous to Definition df-lmod 20230 of a left module, see also islmod 20232. (Contributed by AV, 3-Dec-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rmodislmod.v 𝑉 = (Base‘𝑅)
rmodislmod.a + = (+g𝑅)
rmodislmod.s · = ( ·𝑠𝑅)
rmodislmod.f 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
rmodislmod.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
rmodislmod.p = (+g𝐹)
rmodislmod.t × = (.r𝐹)
rmodislmod.u 1 = (1r𝐹)
rmodislmod.r (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)))
rmodislmod.m = (𝑠𝐾, 𝑣𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠))
rmodislmod.l 𝐿 = (𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩)
Assertion
Ref Expression
rmodislmodOLD (𝐹 ∈ CRing → 𝐿 ∈ LMod)
Distinct variable groups:   × ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   × ,𝑠,𝑣   · ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   · ,𝑠,𝑣   𝐾,𝑞,𝑟,𝑥   𝐾,𝑠,𝑣   𝑉,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   𝑉,𝑠,𝑣   𝐹,𝑠,𝑣   1 ,𝑠,𝑣   1 ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   + ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   + ,𝑠,𝑣   ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   ,𝑠,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑟,𝑞)   (𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞)   𝐾(𝑤)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem rmodislmodOLD
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rmodislmod.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑅)
2 baseid 17012 . . . . . 6 Base = Slot (Base‘ndx)
3 df-base 17010 . . . . . . . 8 Base = Slot 1
4 1nn 12089 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
53, 4ndxarg 16994 . . . . . . 7 (Base‘ndx) = 1
6 1re 11080 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
7 1lt6 12263 . . . . . . . . 9 1 < 6
86, 7ltneii 11193 . . . . . . . 8 1 ≠ 6
9 vscandx 17126 . . . . . . . 8 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
108, 9neeqtrri 3015 . . . . . . 7 1 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
115, 10eqnetri 3012 . . . . . 6 (Base‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
122, 11setsnid 17007 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩))
131, 12eqtri 2765 . . . 4 𝑉 = (Base‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩))
14 rmodislmod.l . . . . . 6 𝐿 = (𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩)
1514eqcomi 2746 . . . . 5 (𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩) = 𝐿
1615fveq2i 6832 . . . 4 (Base‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩)) = (Base‘𝐿)
1713, 16eqtri 2765 . . 3 𝑉 = (Base‘𝐿)
1817a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ CRing → 𝑉 = (Base‘𝐿))
19 plusgid 17086 . . . . 5 +g = Slot (+g‘ndx)
20 plusgndx 17085 . . . . . 6 (+g‘ndx) = 2
21 2re 12152 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
22 2lt6 12262 . . . . . . . 8 2 < 6
2321, 22ltneii 11193 . . . . . . 7 2 ≠ 6
2423, 9neeqtrri 3015 . . . . . 6 2 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
2520, 24eqnetri 3012 . . . . 5 (+g‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
2619, 25setsnid 17007 . . . 4 (+g𝑅) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩))
27 rmodislmod.a . . . 4 + = (+g𝑅)
2814fveq2i 6832 . . . 4 (+g𝐿) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩))
2926, 27, 283eqtr4i 2775 . . 3 + = (+g𝐿)
3029a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ CRing → + = (+g𝐿))
31 scaid 17122 . . . . 5 Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
32 scandx 17121 . . . . . 6 (Scalar‘ndx) = 5
33 5re 12165 . . . . . . . 8 5 ∈ ℝ
34 5lt6 12259 . . . . . . . 8 5 < 6
3533, 34ltneii 11193 . . . . . . 7 5 ≠ 6
3635, 9neeqtrri 3015 . . . . . 6 5 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
3732, 36eqnetri 3012 . . . . 5 (Scalar‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
3831, 37setsnid 17007 . . . 4 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩))
39 rmodislmod.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
4014fveq2i 6832 . . . 4 (Scalar‘𝐿) = (Scalar‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩))
4138, 39, 403eqtr4i 2775 . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝐿)
4241a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ CRing → 𝐹 = (Scalar‘𝐿))
43 rmodislmod.r . . . . . 6 (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)))
4443simp1i 1139 . . . . 5 𝑅 ∈ Grp
45 rmodislmod.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐹)
4645fvexi 6843 . . . . . 6 𝐾 ∈ V
471fvexi 6843 . . . . . 6 𝑉 ∈ V
48 rmodislmod.m . . . . . . 7 = (𝑠𝐾, 𝑣𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠))
4948mpoexg 7989 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → ∈ V)
5046, 47, 49mp2an 690 . . . . 5 ∈ V
51 vscaid 17127 . . . . . 6 ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
5251setsid 17006 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ∈ V) → = ( ·𝑠 ‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩)))
5344, 50, 52mp2an 690 . . . 4 = ( ·𝑠 ‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩))
5415fveq2i 6832 . . . 4 ( ·𝑠 ‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩)) = ( ·𝑠𝐿)
5553, 54eqtri 2765 . . 3 = ( ·𝑠𝐿)
5655a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ CRing → = ( ·𝑠𝐿))
5745a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ CRing → 𝐾 = (Base‘𝐹))
58 rmodislmod.p . . 3 = (+g𝐹)
5958a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ CRing → = (+g𝐹))
60 rmodislmod.t . . 3 × = (.r𝐹)
6160a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ CRing → × = (.r𝐹))
62 rmodislmod.u . . 3 1 = (1r𝐹)
6362a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ CRing → 1 = (1r𝐹))
64 crngring 19889 . 2 (𝐹 ∈ CRing → 𝐹 ∈ Ring)
651eqcomi 2746 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = 𝑉
6665, 17eqtri 2765 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐿)
6726, 28eqtr4i 2768 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝐿)
6866, 67grpprop 18691 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp)
6944, 68mpbi 229 . . 3 𝐿 ∈ Grp
7069a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ CRing → 𝐿 ∈ Grp)
7148a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → = (𝑠𝐾, 𝑣𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠)))
72 oveq12 7350 . . . . . 6 ((𝑣 = 𝑏𝑠 = 𝑎) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑏 · 𝑎))
7372ancoms 460 . . . . 5 ((𝑠 = 𝑎𝑣 = 𝑏) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑏 · 𝑎))
7473adantl 483 . . . 4 (((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎𝑣 = 𝑏)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑏 · 𝑎))
75 simp2 1137 . . . 4 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → 𝑎𝐾)
76 simp3 1138 . . . 4 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → 𝑏𝑉)
77 ovexd 7376 . . . 4 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ V)
7871, 74, 75, 76, 77ovmpod 7491 . . 3 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → (𝑎 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
79 simpl1 1191 . . . . . . . 8 ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
80792ralimi 3123 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
81802ralimi 3123 . . . . . 6 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
82 ringgrp 19882 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
8345grpbn0 18704 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Grp → 𝐾 ≠ ∅)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Ring → 𝐾 ≠ ∅)
85843ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → 𝐾 ≠ ∅)
8643, 85ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐾 ≠ ∅
87 rspn0 4303 . . . . . . 7 (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉))
8886, 87ax-mp 5 . . . . . 6 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
89 ralcom 3269 . . . . . . 7 (∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ↔ ∀𝑥𝑉𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
901grpbn0 18704 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Grp → 𝑉 ≠ ∅)
91903ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → 𝑉 ≠ ∅)
9243, 91ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑉 ≠ ∅
93 rspn0 4303 . . . . . . . . 9 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑉𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉))
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑉𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
95 oveq2 7349 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑎 → (𝑤 · 𝑟) = (𝑤 · 𝑎))
9695eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑎 → ((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ↔ (𝑤 · 𝑎) ∈ 𝑉))
97 oveq1 7348 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑏 → (𝑤 · 𝑎) = (𝑏 · 𝑎))
9897eleq1d 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 · 𝑎) ∈ 𝑉 ↔ (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
9996, 98rspc2v 3582 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝐾𝑏𝑉) → (∀𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
100993adant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → (∀𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
10194, 100syl5com 31 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑉𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
10289, 101sylbi 216 . . . . . 6 (∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
10381, 88, 1023syl 18 . . . . 5 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
1041033ad2ant3 1135 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
10543, 104ax-mp 5 . . 3 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉)
10678, 105eqeltrd 2838 . 2 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → (𝑎 𝑏) ∈ 𝑉)
10748a1i 11 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → = (𝑠𝐾, 𝑣𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠)))
108 oveq12 7350 . . . . . . . 8 ((𝑣 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑠 = 𝑎) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎))
109108ancoms 460 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑎𝑣 = (𝑏 + 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎))
110109adantl 483 . . . . . 6 (((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎𝑣 = (𝑏 + 𝑐))) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎))
111 simp1 1136 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → 𝑎𝐾)
1121, 27grpcl 18681 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑉)
11344, 112mp3an1 1448 . . . . . . 7 ((𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑉)
1141133adant1 1130 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑉)
115 ovexd 7376 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) ∈ V)
116107, 110, 111, 114, 115ovmpod 7491 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑎 (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎))
117 simpl2 1192 . . . . . . . . . 10 ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)))
1181172ralimi 3123 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥𝑉𝑤𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)))
1191182ralimi 3123 . . . . . . . 8 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)))
120 rspn0 4303 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) → ∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟))))
12186, 120ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) → ∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)))
122 oveq2 7349 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑎 → ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 + 𝑥) · 𝑎))
123 oveq2 7349 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑎 → (𝑥 · 𝑟) = (𝑥 · 𝑎))
12495, 123oveq12d 7359 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑎 → ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑥 · 𝑎)))
125122, 124eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑎 → (((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ↔ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑎) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑥 · 𝑎))))
126 oveq2 7349 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑐 → (𝑤 + 𝑥) = (𝑤 + 𝑐))
127126oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑐 → ((𝑤 + 𝑥) · 𝑎) = ((𝑤 + 𝑐) · 𝑎))
128 oveq1 7348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 · 𝑎) = (𝑐 · 𝑎))
129128oveq2d 7357 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑐 → ((𝑤 · 𝑎) + (𝑥 · 𝑎)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
130127, 129eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑐 → (((𝑤 + 𝑥) · 𝑎) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑥 · 𝑎)) ↔ ((𝑤 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
131 oveq1 7348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑏 → (𝑤 + 𝑐) = (𝑏 + 𝑐))
132131oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎))
13397oveq1d 7356 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
134132, 133eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑏 → (((𝑤 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)) ↔ ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
135125, 130, 134rspc3v 3585 . . . . . . . . . 10 ((𝑎𝐾𝑐𝑉𝑏𝑉) → (∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
1361353com23 1126 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → (∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
137121, 136syl5com 31 . . . . . . . 8 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) → ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
138119, 137syl 17 . . . . . . 7 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
1391383ad2ant3 1135 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
14043, 139ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
141116, 140eqtrd 2777 . . . 4 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑎 (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
142141adantl 483 . . 3 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (𝑎 (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
14373adantl 483 . . . . . 6 (((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎𝑣 = 𝑏)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑏 · 𝑎))
144 simp2 1137 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → 𝑏𝑉)
145 ovexd 7376 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ V)
146107, 143, 111, 144, 145ovmpod 7491 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑎 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
147 oveq12 7350 . . . . . . . 8 ((𝑣 = 𝑐𝑠 = 𝑎) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑎))
148147ancoms 460 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑎𝑣 = 𝑐) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑎))
149148adantl 483 . . . . . 6 (((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑎))
150 simp3 1138 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → 𝑐𝑉)
151 ovexd 7376 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑐 · 𝑎) ∈ V)
152107, 149, 111, 150, 151ovmpod 7491 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑎 𝑐) = (𝑐 · 𝑎))
153146, 152oveq12d 7359 . . . 4 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → ((𝑎 𝑏) + (𝑎 𝑐)) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
154153adantl 483 . . 3 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉)) → ((𝑎 𝑏) + (𝑎 𝑐)) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
155142, 154eqtr4d 2780 . 2 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (𝑎 (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 𝑏) + (𝑎 𝑐)))
156 simpl3 1193 . . . . . . . . 9 ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)))
1571562ralimi 3123 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)))
1581572ralimi 3123 . . . . . . 7 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)))
159 ralrot3 3273 . . . . . . . 8 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) ↔ ∀𝑥𝑉𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)))
160 rspn0 4303 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑉𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) → ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))))
16192, 160ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑉𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) → ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)))
162 oveq1 7348 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑎 → (𝑞 𝑟) = (𝑎 𝑟))
163162oveq2d 7357 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑎 → (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = (𝑤 · (𝑎 𝑟)))
164 oveq2 7349 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑎 → (𝑤 · 𝑞) = (𝑤 · 𝑎))
165164oveq1d 7356 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑎 → ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑟)))
166163, 165eqeq12d 2753 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 𝑎 → ((𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) ↔ (𝑤 · (𝑎 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑟))))
167 oveq2 7349 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑏 → (𝑎 𝑟) = (𝑎 𝑏))
168167oveq2d 7357 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑏 → (𝑤 · (𝑎 𝑟)) = (𝑤 · (𝑎 𝑏)))
169 oveq2 7349 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑏 → (𝑤 · 𝑟) = (𝑤 · 𝑏))
170169oveq2d 7357 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑏 → ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑏)))
171168, 170eqeq12d 2753 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑏 → ((𝑤 · (𝑎 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑟)) ↔ (𝑤 · (𝑎 𝑏)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑏))))
172 oveq1 7348 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑐 → (𝑤 · (𝑎 𝑏)) = (𝑐 · (𝑎 𝑏)))
173 oveq1 7348 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑐 → (𝑤 · 𝑎) = (𝑐 · 𝑎))
174 oveq1 7348 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑐 → (𝑤 · 𝑏) = (𝑐 · 𝑏))
175173, 174oveq12d 7359 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑐 → ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏)))
176172, 175eqeq12d 2753 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑐 → ((𝑤 · (𝑎 𝑏)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑏)) ↔ (𝑐 · (𝑎 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
177166, 171, 176rspc3v 3585 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) → (𝑐 · (𝑎 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
178161, 177syl5com 31 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑉𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) → ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · (𝑎 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
179159, 178sylbi 216 . . . . . . 7 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) → ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · (𝑎 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
180158, 179syl 17 . . . . . 6 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · (𝑎 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
1811803ad2ant3 1135 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · (𝑎 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
18243, 181ax-mp 5 . . . 4 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · (𝑎 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏)))
18348a1i 11 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → = (𝑠𝐾, 𝑣𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠)))
184 oveq12 7350 . . . . . . 7 ((𝑣 = 𝑐𝑠 = (𝑎 𝑏)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 𝑏)))
185184ancoms 460 . . . . . 6 ((𝑠 = (𝑎 𝑏) ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 𝑏)))
186185adantl 483 . . . . 5 (((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) ∧ (𝑠 = (𝑎 𝑏) ∧ 𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 𝑏)))
18745, 58grpcl 18681 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐾𝑏𝐾) → (𝑎 𝑏) ∈ 𝐾)
1881873expib 1122 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Grp → ((𝑎𝐾𝑏𝐾) → (𝑎 𝑏) ∈ 𝐾))
18982, 188syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Ring → ((𝑎𝐾𝑏𝐾) → (𝑎 𝑏) ∈ 𝐾))
1901893ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑎𝐾𝑏𝐾) → (𝑎 𝑏) ∈ 𝐾))
19143, 190ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝐾) → (𝑎 𝑏) ∈ 𝐾)
1921913adant3 1132 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑎 𝑏) ∈ 𝐾)
193 simp3 1138 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → 𝑐𝑉)
194 ovexd 7376 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · (𝑎 𝑏)) ∈ V)
195183, 186, 192, 193, 194ovmpod 7491 . . . 4 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → ((𝑎 𝑏) 𝑐) = (𝑐 · (𝑎 𝑏)))
196148adantl 483 . . . . . 6 (((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑎))
197 simp1 1136 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → 𝑎𝐾)
198 ovexd 7376 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · 𝑎) ∈ V)
199183, 196, 197, 193, 198ovmpod 7491 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑎 𝑐) = (𝑐 · 𝑎))
200 oveq12 7350 . . . . . . . 8 ((𝑣 = 𝑐𝑠 = 𝑏) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
201200ancoms 460 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑏𝑣 = 𝑐) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
202201adantl 483 . . . . . 6 (((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑏𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
203 simp2 1137 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → 𝑏𝐾)
204 ovexd 7376 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ V)
205183, 202, 203, 193, 204ovmpod 7491 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑏 𝑐) = (𝑐 · 𝑏))
206199, 205oveq12d 7359 . . . 4 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → ((𝑎 𝑐) + (𝑏 𝑐)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏)))
207182, 195, 2063eqtr4d 2787 . . 3 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → ((𝑎 𝑏) 𝑐) = ((𝑎 𝑐) + (𝑏 𝑐)))
208207adantl 483 . 2 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉)) → ((𝑎 𝑏) 𝑐) = ((𝑎 𝑐) + (𝑏 𝑐)))
209 rmodislmod.s . . 3 · = ( ·𝑠𝑅)
2101, 27, 209, 39, 45, 58, 60, 62, 43, 48, 14rmodislmodlem 20295 . 2 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉)) → ((𝑎 × 𝑏) 𝑐) = (𝑎 (𝑏 𝑐)))
21148a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → = (𝑠𝐾, 𝑣𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠)))
212 oveq12 7350 . . . . . 6 ((𝑣 = 𝑎𝑠 = 1 ) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑎 · 1 ))
213212ancoms 460 . . . . 5 ((𝑠 = 1𝑣 = 𝑎) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑎 · 1 ))
214213adantl 483 . . . 4 (((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝑠 = 1𝑣 = 𝑎)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑎 · 1 ))
21545, 62ringidcl 19901 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring → 1𝐾)
21664, 215syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ CRing → 1𝐾)
217216adantr 482 . . . 4 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → 1𝐾)
218 simpr 486 . . . 4 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → 𝑎𝑉)
219 ovexd 7376 . . . 4 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → (𝑎 · 1 ) ∈ V)
220211, 214, 217, 218, 219ovmpod 7491 . . 3 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → ( 1 𝑎) = (𝑎 · 1 ))
221 simprr 771 . . . . . . . 8 ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
2222212ralimi 3123 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
2232222ralimi 3123 . . . . . 6 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
224 rspn0 4303 . . . . . . 7 (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤))
22586, 224ax-mp 5 . . . . . 6 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
226 rspn0 4303 . . . . . . . 8 (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤))
22786, 226ax-mp 5 . . . . . . 7 (∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
228 rspn0 4303 . . . . . . . . 9 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤))
22992, 228ax-mp 5 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
230 oveq1 7348 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑎 → (𝑤 · 1 ) = (𝑎 · 1 ))
231 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑎𝑤 = 𝑎)
232230, 231eqeq12d 2753 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑎 → ((𝑤 · 1 ) = 𝑤 ↔ (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
233232rspcv 3569 . . . . . . . . 9 (𝑎𝑉 → (∀𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
234233adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → (∀𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
235229, 234syl5com 31 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
236227, 235syl 17 . . . . . 6 (∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
237223, 225, 2363syl 18 . . . . 5 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
2382373ad2ant3 1135 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
23943, 238ax-mp 5 . . 3 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → (𝑎 · 1 ) = 𝑎)
240220, 239eqtrd 2777 . 2 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → ( 1 𝑎) = 𝑎)
24118, 30, 42, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 70, 106, 155, 208, 210, 240islmodd 20234 1 (𝐹 ∈ CRing → 𝐿 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wral 3062  Vcvv 3442  c0 4273  cop 4583  cfv 6483  (class class class)co 7341  cmpo 7343  1c1 10977  2c2 12133  5c5 12136  6c6 12137   sSet csts 16961  ndxcnx 16991  Basecbs 17009  +gcplusg 17059  .rcmulr 17060  Scalarcsca 17062   ·𝑠 cvsca 17063  Grpcgrp 18673  1rcur 19831  Ringcrg 19877  CRingccrg 19878  LModclmod 20228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-5 12144  df-6 12145  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-plusg 17072  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-0g 17249  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-grp 18676  df-cmn 19483  df-mgp 19815  df-ur 19832  df-ring 19879  df-cring 19880  df-lmod 20230
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