rmodislmod - Metamath Proof Explorer

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Theorem rmodislmod 20892

Description: The right module 𝑅 induces a left module 𝐿 by replacing the scalar multiplication with a reversed multiplication if the scalar ring is commutative. The hypothesis "rmodislmod.r" is a definition of a right module analogous to Definition df-lmod 20824 of a left module, see also islmod 20826. (Contributed by AV, 3-Dec-2021.) (Proof shortened by AV, 18-Oct-2024.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
rmodislmod.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
rmodislmod.a	⊢ + = (+_g‘𝑅)
rmodislmod.s	⊢ · = ( ·_𝑠 ‘𝑅)
rmodislmod.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
rmodislmod.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
rmodislmod.p	⊢ ⨣ = (+_g‘𝐹)
rmodislmod.t	⊢ × = (._r‘𝐹)
rmodislmod.u	⊢ 1 = (1_r‘𝐹)
rmodislmod.r	⊢ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)))
rmodislmod.m	⊢ ∗ = (𝑠 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠))
rmodislmod.l	⊢ 𝐿 = (𝑅 sSet ⟨( ·_𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩)

**Assertion**
Ref	Expression
rmodislmod	⊢ (𝐹 ∈ CRing → 𝐿 ∈ LMod)

Distinct variable groups: × ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥 × ,𝑠,𝑣 · ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥 · ,𝑠,𝑣 𝐾,𝑞,𝑟,𝑥 𝐾,𝑠,𝑣 𝑉,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥 𝑉,𝑠,𝑣 𝐹,𝑠,𝑣 1 ,𝑠,𝑣 1 ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥 + ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥 + ,𝑠,𝑣 ⨣ ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥 ⨣ ,𝑠,𝑣 Allowed substitution hints: 𝑅(𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞) 𝐹(𝑥,𝑤,𝑟,𝑞) ∗ (𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞) 𝐾(𝑤) 𝐿(𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem rmodislmod Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmodislmod.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑅)
2		baseid 17236	. . . . . 6 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
3		vscandxnbasendx 17340	. . . . . . 7 ⊢ ( ·_𝑠 ‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
4	3	necomi 2987	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ≠ ( ·_𝑠 ‘ndx)
5	2, 4	setsnid 17232	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑅 sSet ⟨( ·_𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩))
6	1, 5	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘(𝑅 sSet ⟨( ·_𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩))
7		rmodislmod.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (𝑅 sSet ⟨( ·_𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩)
8	7	eqcomi 2745	. . . . 5 ⊢ (𝑅 sSet ⟨( ·_𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩) = 𝐿
9	8	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 sSet ⟨( ·_𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩)) = (Base‘𝐿)
10	6, 9	eqtri 2759	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝐿)
11	10	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → 𝑉 = (Base‘𝐿))
12		plusgid 17303	. . . . 5 ⊢ +_g = Slot (+_g‘ndx)
13		vscandxnplusgndx 17341	. . . . . 6 ⊢ ( ·_𝑠 ‘ndx) ≠ (+_g‘ndx)
14	13	necomi 2987	. . . . 5 ⊢ (+_g‘ndx) ≠ ( ·_𝑠 ‘ndx)
15	12, 14	setsnid 17232	. . . 4 ⊢ (+_g‘𝑅) = (+_g‘(𝑅 sSet ⟨( ·_𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩))
16		rmodislmod.a	. . . 4 ⊢ + = (+_g‘𝑅)
17	7	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (+_g‘𝐿) = (+_g‘(𝑅 sSet ⟨( ·_𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩))
18	15, 16, 17	3eqtr4i 2769	. . 3 ⊢ + = (+_g‘𝐿)
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → + = (+_g‘𝐿))
20		scaid 17334	. . . . 5 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
21		vscandxnscandx 17343	. . . . . 6 ⊢ ( ·_𝑠 ‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
22	21	necomi 2987	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ ( ·_𝑠 ‘ndx)
23	20, 22	setsnid 17232	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘(𝑅 sSet ⟨( ·_𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩))
24		rmodislmod.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
25	7	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐿) = (Scalar‘(𝑅 sSet ⟨( ·_𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩))
26	23, 24, 25	3eqtr4i 2769	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝐿)
27	26	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → 𝐹 = (Scalar‘𝐿))
28		rmodislmod.r	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)))
29	28	simp1i 1139	. . . . 5 ⊢ 𝑅 ∈ Grp
30		rmodislmod.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
31	30	fvexi 6895	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ V
32	1	fvexi 6895	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 ∈ V
33		rmodislmod.m	. . . . . . 7 ⊢ ∗ = (𝑠 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠))
34	33	mpoexg 8080	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → ∗ ∈ V)
35	31, 32, 34	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ∗ ∈ V
36		vscaid 17339	. . . . . 6 ⊢ ·_𝑠 = Slot ( ·_𝑠 ‘ndx)
37	36	setsid 17231	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ ∗ ∈ V) → ∗ = ( ·_𝑠 ‘(𝑅 sSet ⟨( ·_𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩)))
38	29, 35, 37	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ∗ = ( ·_𝑠 ‘(𝑅 sSet ⟨( ·_𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩))
39	8	fveq2i 6884	. . . 4 ⊢ ( ·_𝑠 ‘(𝑅 sSet ⟨( ·_𝑠 ‘ndx), ∗ ⟩)) = ( ·_𝑠 ‘𝐿)
40	38, 39	eqtri 2759	. . 3 ⊢ ∗ = ( ·_𝑠 ‘𝐿)
41	40	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → ∗ = ( ·_𝑠 ‘𝐿))
42	30	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → 𝐾 = (Base‘𝐹))
43		rmodislmod.p	. . 3 ⊢ ⨣ = (+_g‘𝐹)
44	43	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → ⨣ = (+_g‘𝐹))
45		rmodislmod.t	. . 3 ⊢ × = (._r‘𝐹)
46	45	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → × = (._r‘𝐹))
47		rmodislmod.u	. . 3 ⊢ 1 = (1_r‘𝐹)
48	47	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → 1 = (1_r‘𝐹))
49		crngring 20210	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → 𝐹 ∈ Ring)
50	1	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = 𝑉
51	50, 10	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐿)
52	15, 17	eqtr4i 2762	. . . . 5 ⊢ (+_g‘𝑅) = (+_g‘𝐿)
53	51, 52	grpprop 18940	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp)
54	29, 53	mpbi 230	. . 3 ⊢ 𝐿 ∈ Grp
55	54	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → 𝐿 ∈ Grp)
56	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → ∗ = (𝑠 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠)))
57		oveq12 7419	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 = 𝑏 ∧ 𝑠 = 𝑎) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑏 · 𝑎))
58	57	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑏 · 𝑎))
59	58	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑏 · 𝑎))
60		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑎 ∈ 𝐾)
61		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → 𝑏 ∈ 𝑉)
62		ovexd 7445	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ V)
63	56, 59, 60, 61, 62	ovmpod 7564	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∗ 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
64		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
65	64	2ralimi 3111	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
66	65	2ralimi 3111	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
67		ringgrp 20203	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
68	30	grpbn0 18954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ Grp → 𝐾 ≠ ∅)
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 𝐾 ≠ ∅)
70	69	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → 𝐾 ≠ ∅)
71	28, 70	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ≠ ∅
72		rspn0 4336	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉))
73	71, 72	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
74		ralcom 3274	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
75	1	grpbn0 18954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝑉 ≠ ∅)
76	75	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → 𝑉 ≠ ∅)
77	28, 76	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 ≠ ∅
78		rspn0 4336	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉))
79	77, 78	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
80		oveq2 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → (𝑤 · 𝑟) = (𝑤 · 𝑎))
81	80	eleq1d 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → ((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ↔ (𝑤 · 𝑎) ∈ 𝑉))
82		oveq1 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑤 · 𝑎) = (𝑏 · 𝑎))
83	82	eleq1d 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 · 𝑎) ∈ 𝑉 ↔ (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
84	81, 83	rspc2v 3617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
85	84	3adant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
86	79, 85	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
87	74, 86	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
88	66, 73, 87	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
89	88	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
90	28, 89	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉)
91	63, 90	eqeltrd 2835	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∗ 𝑏) ∈ 𝑉)
92	33	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ∗ = (𝑠 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠)))
93		oveq12 7419	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑠 = 𝑎) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎))
94	93	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑎 ∧ 𝑣 = (𝑏 + 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎))
95	94	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎 ∧ 𝑣 = (𝑏 + 𝑐))) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎))
96		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑎 ∈ 𝐾)
97	1, 16	grpcl 18929	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑉)
98	29, 97	mp3an1 1450	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑉)
99	98	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑉)
100		ovexd 7445	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) ∈ V)
101	92, 95, 96, 99, 100	ovmpod 7564	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎))
102		simpl2 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)))
103	102	2ralimi 3111	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)))
104	103	2ralimi 3111	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)))
105		rspn0 4336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟))))
106	71, 105	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)))
107		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 + 𝑥) · 𝑎))
108		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → (𝑥 · 𝑟) = (𝑥 · 𝑎))
109	80, 108	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑥 · 𝑎)))
110	107, 109	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑎 → (((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ↔ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑎) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑥 · 𝑎))))
111		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑤 + 𝑥) = (𝑤 + 𝑐))
112	111	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝑤 + 𝑥) · 𝑎) = ((𝑤 + 𝑐) · 𝑎))
113		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 · 𝑎) = (𝑐 · 𝑎))
114	113	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → ((𝑤 · 𝑎) + (𝑥 · 𝑎)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
115	112, 114	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑐 → (((𝑤 + 𝑥) · 𝑎) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑥 · 𝑎)) ↔ ((𝑤 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
116		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (𝑤 + 𝑐) = (𝑏 + 𝑐))
117	116	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎))
118	82	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
119	117, 118	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑏 → (((𝑤 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)) ↔ ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
120	110, 115, 119	rspc3v 3622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
121	120	3com23 1126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
122	106, 121	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
123	104, 122	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
124	123	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
125	28, 124	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
126	101, 125	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
127	126	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → (𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
128	58	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑏)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑏 · 𝑎))
129		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑏 ∈ 𝑉)
130		ovexd 7445	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ V)
131	92, 128, 96, 129, 130	ovmpod 7564	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∗ 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
132		oveq12 7419	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 = 𝑐 ∧ 𝑠 = 𝑎) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑎))
133	132	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑎))
134	133	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑎))
135		simp3 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑐 ∈ 𝑉)
136		ovexd 7445	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · 𝑎) ∈ V)
137	92, 134, 96, 135, 136	ovmpod 7564	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∗ 𝑐) = (𝑐 · 𝑎))
138	131, 137	oveq12d 7428	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ∗ 𝑏) + (𝑎 ∗ 𝑐)) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
139	138	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑎 ∗ 𝑏) + (𝑎 ∗ 𝑐)) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
140	127, 139	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → (𝑎 ∗ (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 ∗ 𝑏) + (𝑎 ∗ 𝑐)))
141		simpl3 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)))
142	141	2ralimi 3111	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)))
143	142	2ralimi 3111	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)))
144		ralrot3 3278	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)))
145		rspn0 4336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) → ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))))
146	77, 145	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) → ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)))
147		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑎 → (𝑞 ⨣ 𝑟) = (𝑎 ⨣ 𝑟))
148	147	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑎 → (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = (𝑤 · (𝑎 ⨣ 𝑟)))
149		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑞 = 𝑎 → (𝑤 · 𝑞) = (𝑤 · 𝑎))
150	149	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑞 = 𝑎 → ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑟)))
151	148, 150	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑞 = 𝑎 → ((𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) ↔ (𝑤 · (𝑎 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑟))))
152		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑏 → (𝑎 ⨣ 𝑟) = (𝑎 ⨣ 𝑏))
153	152	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑏 → (𝑤 · (𝑎 ⨣ 𝑟)) = (𝑤 · (𝑎 ⨣ 𝑏)))
154		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑟 = 𝑏 → (𝑤 · 𝑟) = (𝑤 · 𝑏))
155	154	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑏 → ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑏)))
156	153, 155	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑏 → ((𝑤 · (𝑎 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑟)) ↔ (𝑤 · (𝑎 ⨣ 𝑏)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑏))))
157		oveq1 7417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → (𝑤 · (𝑎 ⨣ 𝑏)) = (𝑐 · (𝑎 ⨣ 𝑏)))
158		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → (𝑤 · 𝑎) = (𝑐 · 𝑎))
159		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → (𝑤 · 𝑏) = (𝑐 · 𝑏))
160	158, 159	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏)))
161	157, 160	eqeq12d 2752	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑐 → ((𝑤 · (𝑎 ⨣ 𝑏)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑏)) ↔ (𝑐 · (𝑎 ⨣ 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
162	151, 156, 161	rspc3v 3622	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) → (𝑐 · (𝑎 ⨣ 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
163	146, 162	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · (𝑎 ⨣ 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
164	144, 163	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · (𝑎 ⨣ 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
165	143, 164	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · (𝑎 ⨣ 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
166	165	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · (𝑎 ⨣ 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
167	28, 166	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · (𝑎 ⨣ 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏)))
168	33	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ∗ = (𝑠 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠)))
169		oveq12 7419	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑣 = 𝑐 ∧ 𝑠 = (𝑎 ⨣ 𝑏)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 ⨣ 𝑏)))
170	169	ancoms 458	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = (𝑎 ⨣ 𝑏) ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 ⨣ 𝑏)))
171	170	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 = (𝑎 ⨣ 𝑏) ∧ 𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 ⨣ 𝑏)))
172	30, 43	grpcl 18929	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) → (𝑎 ⨣ 𝑏) ∈ 𝐾)
173	172	3expib 1122	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Grp → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) → (𝑎 ⨣ 𝑏) ∈ 𝐾))
174	67, 173	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) → (𝑎 ⨣ 𝑏) ∈ 𝐾))
175	174	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) → (𝑎 ⨣ 𝑏) ∈ 𝐾))
176	28, 175	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾) → (𝑎 ⨣ 𝑏) ∈ 𝐾)
177	176	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑎 ⨣ 𝑏) ∈ 𝐾)
178		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑐 ∈ 𝑉)
179		ovexd 7445	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · (𝑎 ⨣ 𝑏)) ∈ V)
180	168, 171, 177, 178, 179	ovmpod 7564	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ⨣ 𝑏) ∗ 𝑐) = (𝑐 · (𝑎 ⨣ 𝑏)))
181	133	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎 ∧ 𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑎))
182		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑎 ∈ 𝐾)
183		ovexd 7445	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · 𝑎) ∈ V)
184	168, 181, 182, 178, 183	ovmpod 7564	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∗ 𝑐) = (𝑐 · 𝑎))
185		oveq12 7419	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 = 𝑐 ∧ 𝑠 = 𝑏) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
186	185	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
187	186	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑏 ∧ 𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
188		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → 𝑏 ∈ 𝐾)
189		ovexd 7445	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ V)
190	168, 187, 188, 178, 189	ovmpod 7564	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (𝑏 ∗ 𝑐) = (𝑐 · 𝑏))
191	184, 190	oveq12d 7428	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ∗ 𝑐) + (𝑏 ∗ 𝑐)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏)))
192	167, 180, 191	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → ((𝑎 ⨣ 𝑏) ∗ 𝑐) = ((𝑎 ∗ 𝑐) + (𝑏 ∗ 𝑐)))
193	192	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑎 ⨣ 𝑏) ∗ 𝑐) = ((𝑎 ∗ 𝑐) + (𝑏 ∗ 𝑐)))
194		rmodislmod.s	. . 3 ⊢ · = ( ·_𝑠 ‘𝑅)
195	1, 16, 194, 24, 30, 43, 45, 47, 28, 33, 7	rmodislmodlem 20891	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎 ∈ 𝐾 ∧ 𝑏 ∈ 𝐾 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → ((𝑎 × 𝑏) ∗ 𝑐) = (𝑎 ∗ (𝑏 ∗ 𝑐)))
196	33	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ∗ = (𝑠 ∈ 𝐾, 𝑣 ∈ 𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠)))
197		oveq12 7419	. . . . . 6 ⊢ ((𝑣 = 𝑎 ∧ 𝑠 = 1 ) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑎 · 1 ))
198	197	ancoms 458	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 1 ∧ 𝑣 = 𝑎) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑎 · 1 ))
199	198	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ (𝑠 = 1 ∧ 𝑣 = 𝑎)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑎 · 1 ))
200	30, 47	ringidcl 20230	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Ring → 1 ∈ 𝐾)
201	49, 200	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → 1 ∈ 𝐾)
202	201	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 1 ∈ 𝐾)
203		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝑎 ∈ 𝑉)
204		ovexd 7445	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 1 ) ∈ V)
205	196, 199, 202, 203, 204	ovmpod 7564	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ( 1 ∗ 𝑎) = (𝑎 · 1 ))
206		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
207	206	2ralimi 3111	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
208	207	2ralimi 3111	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
209		rspn0 4336	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤))
210	71, 209	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
211		rspn0 4336	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤))
212	71, 211	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
213		rspn0 4336	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤))
214	77, 213	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
215		oveq1 7417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → (𝑤 · 1 ) = (𝑎 · 1 ))
216		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → 𝑤 = 𝑎)
217	215, 216	eqeq12d 2752	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 = 𝑎 → ((𝑤 · 1 ) = 𝑤 ↔ (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
218	217	rspcv 3602	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑉 → (∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
219	218	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
220	214, 219	syl5com 31	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
221	208, 210, 212, 220	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
222	221	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ 𝐾 ∀𝑟 ∈ 𝐾 ∀𝑥 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ 𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 ⨣ 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
223	28, 222	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 1 ) = 𝑎)
224	205, 223	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → ( 1 ∗ 𝑎) = 𝑎)
225	11, 19, 27, 41, 42, 44, 46, 48, 49, 55, 91, 140, 193, 195, 224	islmodd 20828	1 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → 𝐿 ∈ LMod)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 395 ∧ w3a 1086 = wceq 1540 ∈ wcel 2109 ≠ wne 2933 ∀wral 3052 Vcvv 3464 ∅c0 4313 ⟨cop 4612 ‘cfv 6536 (class class class)co 7410 ∈ cmpo 7412 sSet csts 17187 ndxcnx 17217 Basecbs 17233 +_gcplusg 17276 ._rcmulr 17277 Scalarcsca 17279 ·_𝑠 cvsca 17280 Grpcgrp 18921 1_rcur 20146 Ringcrg 20198 CRingccrg 20199 LModclmod 20822

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1795 ax-4 1809 ax-5 1910 ax-6 1967 ax-7 2008 ax-8 2111 ax-9 2119 ax-10 2142 ax-11 2158 ax-12 2178 ax-ext 2708 ax-rep 5254 ax-sep 5271 ax-nul 5281 ax-pow 5340 ax-pr 5407 ax-un 7734 ax-cnex 11190 ax-resscn 11191 ax-1cn 11192 ax-icn 11193 ax-addcl 11194 ax-addrcl 11195 ax-mulcl 11196 ax-mulrcl 11197 ax-mulcom 11198 ax-addass 11199 ax-mulass 11200 ax-distr 11201 ax-i2m1 11202 ax-1ne0 11203 ax-1rid 11204 ax-rnegex 11205 ax-rrecex 11206 ax-cnre 11207 ax-pre-lttri 11208 ax-pre-lttrn 11209 ax-pre-ltadd 11210 ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions: df-bi 207 df-an 396 df-or 848 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1780 df-nf 1784 df-sb 2066 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2715 df-cleq 2728 df-clel 2810 df-nfc 2886 df-ne 2934 df-nel 3038 df-ral 3053 df-rex 3062 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3421 df-v 3466 df-sbc 3771 df-csb 3880 df-dif 3934 df-un 3936 df-in 3938 df-ss 3948 df-pss 3951 df-nul 4314 df-if 4506 df-pw 4582 df-sn 4607 df-pr 4609 df-op 4613 df-uni 4889 df-iun 4974 df-br 5125 df-opab 5187 df-mpt 5207 df-tr 5235 df-id 5553 df-eprel 5558 df-po 5566 df-so 5567 df-fr 5611 df-we 5613 df-xp 5665 df-rel 5666 df-cnv 5667 df-co 5668 df-dm 5669 df-rn 5670 df-res 5671 df-ima 5672 df-pred 6295 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6489 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7367 df-ov 7413 df-oprab 7414 df-mpo 7415 df-om 7867 df-1st 7993 df-2nd 7994 df-frecs 8285 df-wrecs 8316 df-recs 8390 df-rdg 8429 df-er 8724 df-en 8965 df-dom 8966 df-sdom 8967 df-pnf 11276 df-mnf 11277 df-xr 11278 df-ltxr 11279 df-le 11280 df-sub 11473 df-neg 11474 df-nn 12246 df-2 12308 df-3 12309 df-4 12310 df-5 12311 df-6 12312 df-sets 17188 df-slot 17206 df-ndx 17218 df-base 17234 df-plusg 17289 df-sca 17292 df-vsca 17293 df-0g 17460 df-mgm 18623 df-sgrp 18702 df-mnd 18718 df-grp 18924 df-cmn 19768 df-mgp 20106 df-ur 20147 df-ring 20200 df-cring 20201 df-lmod 20824

This theorem is referenced by: (None)

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