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Theorem rmodislmod 19705
Description: The right module 𝑅 induces a left module 𝐿 by replacing the scalar multiplication with a reversed multiplication if the scalar ring is commutative. The hypothesis "rmodislmod.r" is a definition of a right module analogous to the definition df-lmod 19639 of a left module, see also islmod 19641. (Contributed by AV, 3-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rmodislmod.v 𝑉 = (Base‘𝑅)
rmodislmod.a + = (+g𝑅)
rmodislmod.s · = ( ·𝑠𝑅)
rmodislmod.f 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
rmodislmod.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
rmodislmod.p = (+g𝐹)
rmodislmod.t × = (.r𝐹)
rmodislmod.u 1 = (1r𝐹)
rmodislmod.r (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)))
rmodislmod.m = (𝑠𝐾, 𝑣𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠))
rmodislmod.l 𝐿 = (𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩)
Assertion
Ref Expression
rmodislmod (𝐹 ∈ CRing → 𝐿 ∈ LMod)
Distinct variable groups:   × ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   × ,𝑠,𝑣   · ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   · ,𝑠,𝑣   𝐾,𝑞,𝑟,𝑥   𝐾,𝑠,𝑣   𝑉,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   𝑉,𝑠,𝑣   𝐹,𝑠,𝑣   1 ,𝑠,𝑣   1 ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   + ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   + ,𝑠,𝑣   ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   ,𝑠,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑟,𝑞)   (𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞)   𝐾(𝑤)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem rmodislmod
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rmodislmod.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑅)
2 baseid 16546 . . . . . 6 Base = Slot (Base‘ndx)
3 df-base 16492 . . . . . . . 8 Base = Slot 1
4 1nn 11652 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
53, 4ndxarg 16511 . . . . . . 7 (Base‘ndx) = 1
6 1re 10644 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
7 1lt6 11825 . . . . . . . . 9 1 < 6
86, 7ltneii 10756 . . . . . . . 8 1 ≠ 6
9 vscandx 16637 . . . . . . . 8 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
108, 9neeqtrri 3092 . . . . . . 7 1 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
115, 10eqnetri 3089 . . . . . 6 (Base‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
122, 11setsnid 16542 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩))
131, 12eqtri 2847 . . . 4 𝑉 = (Base‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩))
14 rmodislmod.l . . . . . 6 𝐿 = (𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩)
1514eqcomi 2833 . . . . 5 (𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩) = 𝐿
1615fveq2i 6676 . . . 4 (Base‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩)) = (Base‘𝐿)
1713, 16eqtri 2847 . . 3 𝑉 = (Base‘𝐿)
1817a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ CRing → 𝑉 = (Base‘𝐿))
19 plusgid 16599 . . . . 5 +g = Slot (+g‘ndx)
20 plusgndx 16598 . . . . . 6 (+g‘ndx) = 2
21 2re 11714 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
22 2lt6 11824 . . . . . . . 8 2 < 6
2321, 22ltneii 10756 . . . . . . 7 2 ≠ 6
2423, 9neeqtrri 3092 . . . . . 6 2 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
2520, 24eqnetri 3089 . . . . 5 (+g‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
2619, 25setsnid 16542 . . . 4 (+g𝑅) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩))
27 rmodislmod.a . . . 4 + = (+g𝑅)
2814fveq2i 6676 . . . 4 (+g𝐿) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩))
2926, 27, 283eqtr4i 2857 . . 3 + = (+g𝐿)
3029a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ CRing → + = (+g𝐿))
31 scaid 16636 . . . . 5 Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
32 scandx 16635 . . . . . 6 (Scalar‘ndx) = 5
33 5re 11727 . . . . . . . 8 5 ∈ ℝ
34 5lt6 11821 . . . . . . . 8 5 < 6
3533, 34ltneii 10756 . . . . . . 7 5 ≠ 6
3635, 9neeqtrri 3092 . . . . . 6 5 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
3732, 36eqnetri 3089 . . . . 5 (Scalar‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
3831, 37setsnid 16542 . . . 4 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩))
39 rmodislmod.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
4014fveq2i 6676 . . . 4 (Scalar‘𝐿) = (Scalar‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩))
4138, 39, 403eqtr4i 2857 . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝐿)
4241a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ CRing → 𝐹 = (Scalar‘𝐿))
43 rmodislmod.r . . . . . 6 (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)))
4443simp1i 1135 . . . . 5 𝑅 ∈ Grp
45 rmodislmod.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐹)
4645fvexi 6687 . . . . . 6 𝐾 ∈ V
471fvexi 6687 . . . . . 6 𝑉 ∈ V
48 rmodislmod.m . . . . . . 7 = (𝑠𝐾, 𝑣𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠))
4948mpoexg 7777 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → ∈ V)
5046, 47, 49mp2an 690 . . . . 5 ∈ V
51 vscaid 16638 . . . . . 6 ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
5251setsid 16541 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ∈ V) → = ( ·𝑠 ‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩)))
5344, 50, 52mp2an 690 . . . 4 = ( ·𝑠 ‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩))
5415fveq2i 6676 . . . 4 ( ·𝑠 ‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩)) = ( ·𝑠𝐿)
5553, 54eqtri 2847 . . 3 = ( ·𝑠𝐿)
5655a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ CRing → = ( ·𝑠𝐿))
5745a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ CRing → 𝐾 = (Base‘𝐹))
58 rmodislmod.p . . 3 = (+g𝐹)
5958a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ CRing → = (+g𝐹))
60 rmodislmod.t . . 3 × = (.r𝐹)
6160a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ CRing → × = (.r𝐹))
62 rmodislmod.u . . 3 1 = (1r𝐹)
6362a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ CRing → 1 = (1r𝐹))
64 crngring 19311 . 2 (𝐹 ∈ CRing → 𝐹 ∈ Ring)
651eqcomi 2833 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = 𝑉
6665, 17eqtri 2847 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐿)
6726, 28eqtr4i 2850 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝐿)
6866, 67grpprop 18122 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp)
6944, 68mpbi 232 . . 3 𝐿 ∈ Grp
7069a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ CRing → 𝐿 ∈ Grp)
7148a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → = (𝑠𝐾, 𝑣𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠)))
72 oveq12 7168 . . . . . 6 ((𝑣 = 𝑏𝑠 = 𝑎) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑏 · 𝑎))
7372ancoms 461 . . . . 5 ((𝑠 = 𝑎𝑣 = 𝑏) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑏 · 𝑎))
7473adantl 484 . . . 4 (((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎𝑣 = 𝑏)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑏 · 𝑎))
75 simp2 1133 . . . 4 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → 𝑎𝐾)
76 simp3 1134 . . . 4 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → 𝑏𝑉)
77 ovexd 7194 . . . 4 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ V)
7871, 74, 75, 76, 77ovmpod 7305 . . 3 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → (𝑎 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
79 simpl1 1187 . . . . . . . 8 ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
80792ralimi 3164 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
81802ralimi 3164 . . . . . 6 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
82 ringgrp 19305 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
8345grpbn0 18135 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Grp → 𝐾 ≠ ∅)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Ring → 𝐾 ≠ ∅)
85843ad2ant2 1130 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → 𝐾 ≠ ∅)
8643, 85ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐾 ≠ ∅
87 rspn0 4316 . . . . . . 7 (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉))
8886, 87ax-mp 5 . . . . . 6 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
89 ralcom 3357 . . . . . . 7 (∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ↔ ∀𝑥𝑉𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
901grpbn0 18135 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Grp → 𝑉 ≠ ∅)
91903ad2ant1 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → 𝑉 ≠ ∅)
9243, 91ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑉 ≠ ∅
93 rspn0 4316 . . . . . . . . 9 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑉𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉))
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑉𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
95 oveq2 7167 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑎 → (𝑤 · 𝑟) = (𝑤 · 𝑎))
9695eleq1d 2900 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑎 → ((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ↔ (𝑤 · 𝑎) ∈ 𝑉))
97 oveq1 7166 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑏 → (𝑤 · 𝑎) = (𝑏 · 𝑎))
9897eleq1d 2900 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 · 𝑎) ∈ 𝑉 ↔ (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
9996, 98rspc2v 3636 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝐾𝑏𝑉) → (∀𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
100993adant1 1126 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → (∀𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
10194, 100syl5com 31 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑉𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
10289, 101sylbi 219 . . . . . 6 (∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
10381, 88, 1023syl 18 . . . . 5 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
1041033ad2ant3 1131 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
10543, 104ax-mp 5 . . 3 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉)
10678, 105eqeltrd 2916 . 2 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → (𝑎 𝑏) ∈ 𝑉)
10748a1i 11 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → = (𝑠𝐾, 𝑣𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠)))
108 oveq12 7168 . . . . . . . 8 ((𝑣 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑠 = 𝑎) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎))
109108ancoms 461 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑎𝑣 = (𝑏 + 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎))
110109adantl 484 . . . . . 6 (((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎𝑣 = (𝑏 + 𝑐))) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎))
111 simp1 1132 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → 𝑎𝐾)
1121, 27grpcl 18114 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑉)
11344, 112mp3an1 1444 . . . . . . 7 ((𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑉)
1141133adant1 1126 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑉)
115 ovexd 7194 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) ∈ V)
116107, 110, 111, 114, 115ovmpod 7305 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑎 (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎))
117 simpl2 1188 . . . . . . . . . 10 ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)))
1181172ralimi 3164 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥𝑉𝑤𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)))
1191182ralimi 3164 . . . . . . . 8 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)))
120 rspn0 4316 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) → ∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟))))
12186, 120ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) → ∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)))
122 oveq2 7167 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑎 → ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 + 𝑥) · 𝑎))
123 oveq2 7167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑎 → (𝑥 · 𝑟) = (𝑥 · 𝑎))
12495, 123oveq12d 7177 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑎 → ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑥 · 𝑎)))
125122, 124eqeq12d 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑎 → (((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ↔ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑎) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑥 · 𝑎))))
126 oveq2 7167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑐 → (𝑤 + 𝑥) = (𝑤 + 𝑐))
127126oveq1d 7174 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑐 → ((𝑤 + 𝑥) · 𝑎) = ((𝑤 + 𝑐) · 𝑎))
128 oveq1 7166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 · 𝑎) = (𝑐 · 𝑎))
129128oveq2d 7175 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑐 → ((𝑤 · 𝑎) + (𝑥 · 𝑎)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
130127, 129eqeq12d 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑐 → (((𝑤 + 𝑥) · 𝑎) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑥 · 𝑎)) ↔ ((𝑤 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
131 oveq1 7166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑏 → (𝑤 + 𝑐) = (𝑏 + 𝑐))
132131oveq1d 7174 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎))
13397oveq1d 7174 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
134132, 133eqeq12d 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑏 → (((𝑤 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)) ↔ ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
135125, 130, 134rspc3v 3639 . . . . . . . . . 10 ((𝑎𝐾𝑐𝑉𝑏𝑉) → (∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
1361353com23 1122 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → (∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
137121, 136syl5com 31 . . . . . . . 8 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) → ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
138119, 137syl 17 . . . . . . 7 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
1391383ad2ant3 1131 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
14043, 139ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
141116, 140eqtrd 2859 . . . 4 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑎 (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
142141adantl 484 . . 3 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (𝑎 (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
14373adantl 484 . . . . . 6 (((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎𝑣 = 𝑏)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑏 · 𝑎))
144 simp2 1133 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → 𝑏𝑉)
145 ovexd 7194 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ V)
146107, 143, 111, 144, 145ovmpod 7305 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑎 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
147 oveq12 7168 . . . . . . . 8 ((𝑣 = 𝑐𝑠 = 𝑎) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑎))
148147ancoms 461 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑎𝑣 = 𝑐) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑎))
149148adantl 484 . . . . . 6 (((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑎))
150 simp3 1134 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → 𝑐𝑉)
151 ovexd 7194 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑐 · 𝑎) ∈ V)
152107, 149, 111, 150, 151ovmpod 7305 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑎 𝑐) = (𝑐 · 𝑎))
153146, 152oveq12d 7177 . . . 4 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → ((𝑎 𝑏) + (𝑎 𝑐)) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
154153adantl 484 . . 3 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉)) → ((𝑎 𝑏) + (𝑎 𝑐)) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
155142, 154eqtr4d 2862 . 2 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (𝑎 (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 𝑏) + (𝑎 𝑐)))
156 simpl3 1189 . . . . . . . . 9 ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)))
1571562ralimi 3164 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)))
1581572ralimi 3164 . . . . . . 7 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)))
159 ralrot3 3364 . . . . . . . 8 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) ↔ ∀𝑥𝑉𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)))
160 rspn0 4316 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑉𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) → ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))))
16192, 160ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑉𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) → ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)))
162 oveq1 7166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑎 → (𝑞 𝑟) = (𝑎 𝑟))
163162oveq2d 7175 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑎 → (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = (𝑤 · (𝑎 𝑟)))
164 oveq2 7167 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑎 → (𝑤 · 𝑞) = (𝑤 · 𝑎))
165164oveq1d 7174 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑎 → ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑟)))
166163, 165eqeq12d 2840 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 𝑎 → ((𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) ↔ (𝑤 · (𝑎 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑟))))
167 oveq2 7167 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑏 → (𝑎 𝑟) = (𝑎 𝑏))
168167oveq2d 7175 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑏 → (𝑤 · (𝑎 𝑟)) = (𝑤 · (𝑎 𝑏)))
169 oveq2 7167 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑏 → (𝑤 · 𝑟) = (𝑤 · 𝑏))
170169oveq2d 7175 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑏 → ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑏)))
171168, 170eqeq12d 2840 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑏 → ((𝑤 · (𝑎 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑟)) ↔ (𝑤 · (𝑎 𝑏)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑏))))
172 oveq1 7166 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑐 → (𝑤 · (𝑎 𝑏)) = (𝑐 · (𝑎 𝑏)))
173 oveq1 7166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑐 → (𝑤 · 𝑎) = (𝑐 · 𝑎))
174 oveq1 7166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑐 → (𝑤 · 𝑏) = (𝑐 · 𝑏))
175173, 174oveq12d 7177 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑐 → ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏)))
176172, 175eqeq12d 2840 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑐 → ((𝑤 · (𝑎 𝑏)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑏)) ↔ (𝑐 · (𝑎 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
177166, 171, 176rspc3v 3639 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) → (𝑐 · (𝑎 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
178161, 177syl5com 31 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑉𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) → ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · (𝑎 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
179159, 178sylbi 219 . . . . . . 7 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) → ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · (𝑎 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
180158, 179syl 17 . . . . . 6 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · (𝑎 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
1811803ad2ant3 1131 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · (𝑎 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
18243, 181ax-mp 5 . . . 4 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · (𝑎 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏)))
18348a1i 11 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → = (𝑠𝐾, 𝑣𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠)))
184 oveq12 7168 . . . . . . 7 ((𝑣 = 𝑐𝑠 = (𝑎 𝑏)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 𝑏)))
185184ancoms 461 . . . . . 6 ((𝑠 = (𝑎 𝑏) ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 𝑏)))
186185adantl 484 . . . . 5 (((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) ∧ (𝑠 = (𝑎 𝑏) ∧ 𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 𝑏)))
18745, 58grpcl 18114 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐾𝑏𝐾) → (𝑎 𝑏) ∈ 𝐾)
1881873expib 1118 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Grp → ((𝑎𝐾𝑏𝐾) → (𝑎 𝑏) ∈ 𝐾))
18982, 188syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Ring → ((𝑎𝐾𝑏𝐾) → (𝑎 𝑏) ∈ 𝐾))
1901893ad2ant2 1130 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑎𝐾𝑏𝐾) → (𝑎 𝑏) ∈ 𝐾))
19143, 190ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝐾) → (𝑎 𝑏) ∈ 𝐾)
1921913adant3 1128 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑎 𝑏) ∈ 𝐾)
193 simp3 1134 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → 𝑐𝑉)
194 ovexd 7194 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · (𝑎 𝑏)) ∈ V)
195183, 186, 192, 193, 194ovmpod 7305 . . . 4 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → ((𝑎 𝑏) 𝑐) = (𝑐 · (𝑎 𝑏)))
196148adantl 484 . . . . . 6 (((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑎))
197 simp1 1132 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → 𝑎𝐾)
198 ovexd 7194 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · 𝑎) ∈ V)
199183, 196, 197, 193, 198ovmpod 7305 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑎 𝑐) = (𝑐 · 𝑎))
200 oveq12 7168 . . . . . . . 8 ((𝑣 = 𝑐𝑠 = 𝑏) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
201200ancoms 461 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑏𝑣 = 𝑐) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
202201adantl 484 . . . . . 6 (((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑏𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
203 simp2 1133 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → 𝑏𝐾)
204 ovexd 7194 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ V)
205183, 202, 203, 193, 204ovmpod 7305 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑏 𝑐) = (𝑐 · 𝑏))
206199, 205oveq12d 7177 . . . 4 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → ((𝑎 𝑐) + (𝑏 𝑐)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏)))
207182, 195, 2063eqtr4d 2869 . . 3 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → ((𝑎 𝑏) 𝑐) = ((𝑎 𝑐) + (𝑏 𝑐)))
208207adantl 484 . 2 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉)) → ((𝑎 𝑏) 𝑐) = ((𝑎 𝑐) + (𝑏 𝑐)))
209 rmodislmod.s . . 3 · = ( ·𝑠𝑅)
2101, 27, 209, 39, 45, 58, 60, 62, 43, 48, 14rmodislmodlem 19704 . 2 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉)) → ((𝑎 × 𝑏) 𝑐) = (𝑎 (𝑏 𝑐)))
21148a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → = (𝑠𝐾, 𝑣𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠)))
212 oveq12 7168 . . . . . 6 ((𝑣 = 𝑎𝑠 = 1 ) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑎 · 1 ))
213212ancoms 461 . . . . 5 ((𝑠 = 1𝑣 = 𝑎) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑎 · 1 ))
214213adantl 484 . . . 4 (((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝑠 = 1𝑣 = 𝑎)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑎 · 1 ))
21545, 62ringidcl 19321 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring → 1𝐾)
21664, 215syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ CRing → 1𝐾)
217216adantr 483 . . . 4 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → 1𝐾)
218 simpr 487 . . . 4 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → 𝑎𝑉)
219 ovexd 7194 . . . 4 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → (𝑎 · 1 ) ∈ V)
220211, 214, 217, 218, 219ovmpod 7305 . . 3 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → ( 1 𝑎) = (𝑎 · 1 ))
221 simprr 771 . . . . . . . 8 ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
2222212ralimi 3164 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
2232222ralimi 3164 . . . . . 6 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
224 rspn0 4316 . . . . . . 7 (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤))
22586, 224ax-mp 5 . . . . . 6 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
226 rspn0 4316 . . . . . . . 8 (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤))
22786, 226ax-mp 5 . . . . . . 7 (∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
228 rspn0 4316 . . . . . . . . 9 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤))
22992, 228ax-mp 5 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
230 oveq1 7166 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑎 → (𝑤 · 1 ) = (𝑎 · 1 ))
231 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑎𝑤 = 𝑎)
232230, 231eqeq12d 2840 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑎 → ((𝑤 · 1 ) = 𝑤 ↔ (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
233232rspcv 3621 . . . . . . . . 9 (𝑎𝑉 → (∀𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
234233adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → (∀𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
235229, 234syl5com 31 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
236227, 235syl 17 . . . . . 6 (∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
237223, 225, 2363syl 18 . . . . 5 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
2382373ad2ant3 1131 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
23943, 238ax-mp 5 . . 3 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → (𝑎 · 1 ) = 𝑎)
240220, 239eqtrd 2859 . 2 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → ( 1 𝑎) = 𝑎)
24118, 30, 42, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 70, 106, 155, 208, 210, 240islmodd 19643 1 (𝐹 ∈ CRing → 𝐿 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1536  wcel 2113  wne 3019  wral 3141  Vcvv 3497  c0 4294  cop 4576  cfv 6358  (class class class)co 7159  cmpo 7161  1c1 10541  2c2 11695  5c5 11698  6c6 11699  ndxcnx 16483   sSet csts 16484  Basecbs 16486  +gcplusg 16568  .rcmulr 16569  Scalarcsca 16571   ·𝑠 cvsca 16572  Grpcgrp 18106  1rcur 19254  Ringcrg 19300  CRingccrg 19301  LModclmod 19637
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-plusg 16581  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-0g 16718  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-grp 18109  df-cmn 18911  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-cring 19303  df-lmod 19639
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