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Theorem rmodislmod 19705
 Description: The right module 𝑅 induces a left module 𝐿 by replacing the scalar multiplication with a reversed multiplication if the scalar ring is commutative. The hypothesis "rmodislmod.r" is a definition of a right module analogous to the definition df-lmod 19639 of a left module, see also islmod 19641. (Contributed by AV, 3-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
rmodislmod.v 𝑉 = (Base‘𝑅)
rmodislmod.a + = (+g𝑅)
rmodislmod.s · = ( ·𝑠𝑅)
rmodislmod.f 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
rmodislmod.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
rmodislmod.p = (+g𝐹)
rmodislmod.t × = (.r𝐹)
rmodislmod.u 1 = (1r𝐹)
rmodislmod.r (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)))
rmodislmod.m = (𝑠𝐾, 𝑣𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠))
rmodislmod.l 𝐿 = (𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩)
Assertion
Ref Expression
rmodislmod (𝐹 ∈ CRing → 𝐿 ∈ LMod)
Distinct variable groups:   × ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   × ,𝑠,𝑣   · ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   · ,𝑠,𝑣   𝐾,𝑞,𝑟,𝑥   𝐾,𝑠,𝑣   𝑉,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   𝑉,𝑠,𝑣   𝐹,𝑠,𝑣   1 ,𝑠,𝑣   1 ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   + ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   + ,𝑠,𝑣   ,𝑞,𝑟,𝑤,𝑥   ,𝑠,𝑣
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞)   𝐹(𝑥,𝑤,𝑟,𝑞)   (𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞)   𝐾(𝑤)   𝐿(𝑥,𝑤,𝑣,𝑠,𝑟,𝑞)

Proof of Theorem rmodislmod
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rmodislmod.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑅)
2 baseid 16546 . . . . . 6 Base = Slot (Base‘ndx)
3 df-base 16492 . . . . . . . 8 Base = Slot 1
4 1nn 11652 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ
53, 4ndxarg 16511 . . . . . . 7 (Base‘ndx) = 1
6 1re 10644 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
7 1lt6 11825 . . . . . . . . 9 1 < 6
86, 7ltneii 10756 . . . . . . . 8 1 ≠ 6
9 vscandx 16637 . . . . . . . 8 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
108, 9neeqtrri 3092 . . . . . . 7 1 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
115, 10eqnetri 3089 . . . . . 6 (Base‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
122, 11setsnid 16542 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩))
131, 12eqtri 2847 . . . 4 𝑉 = (Base‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩))
14 rmodislmod.l . . . . . 6 𝐿 = (𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩)
1514eqcomi 2833 . . . . 5 (𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩) = 𝐿
1615fveq2i 6676 . . . 4 (Base‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩)) = (Base‘𝐿)
1713, 16eqtri 2847 . . 3 𝑉 = (Base‘𝐿)
1817a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ CRing → 𝑉 = (Base‘𝐿))
19 plusgid 16599 . . . . 5 +g = Slot (+g‘ndx)
20 plusgndx 16598 . . . . . 6 (+g‘ndx) = 2
21 2re 11714 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
22 2lt6 11824 . . . . . . . 8 2 < 6
2321, 22ltneii 10756 . . . . . . 7 2 ≠ 6
2423, 9neeqtrri 3092 . . . . . 6 2 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
2520, 24eqnetri 3089 . . . . 5 (+g‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
2619, 25setsnid 16542 . . . 4 (+g𝑅) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩))
27 rmodislmod.a . . . 4 + = (+g𝑅)
2814fveq2i 6676 . . . 4 (+g𝐿) = (+g‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩))
2926, 27, 283eqtr4i 2857 . . 3 + = (+g𝐿)
3029a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ CRing → + = (+g𝐿))
31 scaid 16636 . . . . 5 Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
32 scandx 16635 . . . . . 6 (Scalar‘ndx) = 5
33 5re 11727 . . . . . . . 8 5 ∈ ℝ
34 5lt6 11821 . . . . . . . 8 5 < 6
3533, 34ltneii 10756 . . . . . . 7 5 ≠ 6
3635, 9neeqtrri 3092 . . . . . 6 5 ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
3732, 36eqnetri 3089 . . . . 5 (Scalar‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
3831, 37setsnid 16542 . . . 4 (Scalar‘𝑅) = (Scalar‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩))
39 rmodislmod.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑅)
4014fveq2i 6676 . . . 4 (Scalar‘𝐿) = (Scalar‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩))
4138, 39, 403eqtr4i 2857 . . 3 𝐹 = (Scalar‘𝐿)
4241a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ CRing → 𝐹 = (Scalar‘𝐿))
43 rmodislmod.r . . . . . 6 (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)))
4443simp1i 1135 . . . . 5 𝑅 ∈ Grp
45 rmodislmod.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝐹)
4645fvexi 6687 . . . . . 6 𝐾 ∈ V
471fvexi 6687 . . . . . 6 𝑉 ∈ V
48 rmodislmod.m . . . . . . 7 = (𝑠𝐾, 𝑣𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠))
4948mpoexg 7777 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑉 ∈ V) → ∈ V)
5046, 47, 49mp2an 690 . . . . 5 ∈ V
51 vscaid 16638 . . . . . 6 ·𝑠 = Slot ( ·𝑠 ‘ndx)
5251setsid 16541 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ ∈ V) → = ( ·𝑠 ‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩)))
5344, 50, 52mp2an 690 . . . 4 = ( ·𝑠 ‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩))
5415fveq2i 6676 . . . 4 ( ·𝑠 ‘(𝑅 sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), ⟩)) = ( ·𝑠𝐿)
5553, 54eqtri 2847 . . 3 = ( ·𝑠𝐿)
5655a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ CRing → = ( ·𝑠𝐿))
5745a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ CRing → 𝐾 = (Base‘𝐹))
58 rmodislmod.p . . 3 = (+g𝐹)
5958a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ CRing → = (+g𝐹))
60 rmodislmod.t . . 3 × = (.r𝐹)
6160a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ CRing → × = (.r𝐹))
62 rmodislmod.u . . 3 1 = (1r𝐹)
6362a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ CRing → 1 = (1r𝐹))
64 crngring 19311 . 2 (𝐹 ∈ CRing → 𝐹 ∈ Ring)
651eqcomi 2833 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = 𝑉
6665, 17eqtri 2847 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐿)
6726, 28eqtr4i 2850 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝐿)
6866, 67grpprop 18122 . . . 4 (𝑅 ∈ Grp ↔ 𝐿 ∈ Grp)
6944, 68mpbi 232 . . 3 𝐿 ∈ Grp
7069a1i 11 . 2 (𝐹 ∈ CRing → 𝐿 ∈ Grp)
7148a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → = (𝑠𝐾, 𝑣𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠)))
72 oveq12 7168 . . . . . 6 ((𝑣 = 𝑏𝑠 = 𝑎) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑏 · 𝑎))
7372ancoms 461 . . . . 5 ((𝑠 = 𝑎𝑣 = 𝑏) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑏 · 𝑎))
7473adantl 484 . . . 4 (((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎𝑣 = 𝑏)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑏 · 𝑎))
75 simp2 1133 . . . 4 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → 𝑎𝐾)
76 simp3 1134 . . . 4 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → 𝑏𝑉)
77 ovexd 7194 . . . 4 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ V)
7871, 74, 75, 76, 77ovmpod 7305 . . 3 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → (𝑎 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
79 simpl1 1187 . . . . . . . 8 ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
80792ralimi 3164 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
81802ralimi 3164 . . . . . 6 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
82 ringgrp 19305 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
8345grpbn0 18135 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Grp → 𝐾 ≠ ∅)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Ring → 𝐾 ≠ ∅)
85843ad2ant2 1130 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → 𝐾 ≠ ∅)
8643, 85ax-mp 5 . . . . . . 7 𝐾 ≠ ∅
87 rspn0 4316 . . . . . . 7 (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉))
8886, 87ax-mp 5 . . . . . 6 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
89 ralcom 3357 . . . . . . 7 (∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ↔ ∀𝑥𝑉𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
901grpbn0 18135 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Grp → 𝑉 ≠ ∅)
91903ad2ant1 1129 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → 𝑉 ≠ ∅)
9243, 91ax-mp 5 . . . . . . . . 9 𝑉 ≠ ∅
93 rspn0 4316 . . . . . . . . 9 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑉𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉))
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑉𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ∀𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉)
95 oveq2 7167 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑎 → (𝑤 · 𝑟) = (𝑤 · 𝑎))
9695eleq1d 2900 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑎 → ((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ↔ (𝑤 · 𝑎) ∈ 𝑉))
97 oveq1 7166 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑏 → (𝑤 · 𝑎) = (𝑏 · 𝑎))
9897eleq1d 2900 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 · 𝑎) ∈ 𝑉 ↔ (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
9996, 98rspc2v 3636 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝐾𝑏𝑉) → (∀𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
100993adant1 1126 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → (∀𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
10194, 100syl5com 31 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑉𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
10289, 101sylbi 219 . . . . . 6 (∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
10381, 88, 1023syl 18 . . . . 5 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
1041033ad2ant3 1131 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉))
10543, 104ax-mp 5 . . 3 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ 𝑉)
10678, 105eqeltrd 2916 . 2 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝐾𝑏𝑉) → (𝑎 𝑏) ∈ 𝑉)
10748a1i 11 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → = (𝑠𝐾, 𝑣𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠)))
108 oveq12 7168 . . . . . . . 8 ((𝑣 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑠 = 𝑎) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎))
109108ancoms 461 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑎𝑣 = (𝑏 + 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎))
110109adantl 484 . . . . . 6 (((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎𝑣 = (𝑏 + 𝑐))) → (𝑣 · 𝑠) = ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎))
111 simp1 1132 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → 𝑎𝐾)
1121, 27grpcl 18114 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑉)
11344, 112mp3an1 1444 . . . . . . 7 ((𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑉)
1141133adant1 1126 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑉)
115 ovexd 7194 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) ∈ V)
116107, 110, 111, 114, 115ovmpod 7305 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑎 (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎))
117 simpl2 1188 . . . . . . . . . 10 ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)))
1181172ralimi 3164 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥𝑉𝑤𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)))
1191182ralimi 3164 . . . . . . . 8 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)))
120 rspn0 4316 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) → ∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟))))
12186, 120ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) → ∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)))
122 oveq2 7167 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑎 → ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 + 𝑥) · 𝑎))
123 oveq2 7167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑟 = 𝑎 → (𝑥 · 𝑟) = (𝑥 · 𝑎))
12495, 123oveq12d 7177 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑎 → ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑥 · 𝑎)))
125122, 124eqeq12d 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑎 → (((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ↔ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑎) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑥 · 𝑎))))
126 oveq2 7167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑐 → (𝑤 + 𝑥) = (𝑤 + 𝑐))
127126oveq1d 7174 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑐 → ((𝑤 + 𝑥) · 𝑎) = ((𝑤 + 𝑐) · 𝑎))
128 oveq1 7166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑐 → (𝑥 · 𝑎) = (𝑐 · 𝑎))
129128oveq2d 7175 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑐 → ((𝑤 · 𝑎) + (𝑥 · 𝑎)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
130127, 129eqeq12d 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑐 → (((𝑤 + 𝑥) · 𝑎) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑥 · 𝑎)) ↔ ((𝑤 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
131 oveq1 7166 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = 𝑏 → (𝑤 + 𝑐) = (𝑏 + 𝑐))
132131oveq1d 7174 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎))
13397oveq1d 7174 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑏 → ((𝑤 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
134132, 133eqeq12d 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑏 → (((𝑤 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)) ↔ ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
135125, 130, 134rspc3v 3639 . . . . . . . . . 10 ((𝑎𝐾𝑐𝑉𝑏𝑉) → (∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
1361353com23 1122 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → (∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
137121, 136syl5com 31 . . . . . . . 8 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) → ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
138119, 137syl 17 . . . . . . 7 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
1391383ad2ant3 1131 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎))))
14043, 139ax-mp 5 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → ((𝑏 + 𝑐) · 𝑎) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
141116, 140eqtrd 2859 . . . 4 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑎 (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
142141adantl 484 . . 3 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (𝑎 (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
14373adantl 484 . . . . . 6 (((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎𝑣 = 𝑏)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑏 · 𝑎))
144 simp2 1133 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → 𝑏𝑉)
145 ovexd 7194 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑏 · 𝑎) ∈ V)
146107, 143, 111, 144, 145ovmpod 7305 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑎 𝑏) = (𝑏 · 𝑎))
147 oveq12 7168 . . . . . . . 8 ((𝑣 = 𝑐𝑠 = 𝑎) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑎))
148147ancoms 461 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑎𝑣 = 𝑐) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑎))
149148adantl 484 . . . . . 6 (((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑎))
150 simp3 1134 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → 𝑐𝑉)
151 ovexd 7194 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑐 · 𝑎) ∈ V)
152107, 149, 111, 150, 151ovmpod 7305 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → (𝑎 𝑐) = (𝑐 · 𝑎))
153146, 152oveq12d 7177 . . . 4 ((𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉) → ((𝑎 𝑏) + (𝑎 𝑐)) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
154153adantl 484 . . 3 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉)) → ((𝑎 𝑏) + (𝑎 𝑐)) = ((𝑏 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑎)))
155142, 154eqtr4d 2862 . 2 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (𝑎 (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑎 𝑏) + (𝑎 𝑐)))
156 simpl3 1189 . . . . . . . . 9 ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)))
1571562ralimi 3164 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)))
1581572ralimi 3164 . . . . . . 7 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)))
159 ralrot3 3364 . . . . . . . 8 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) ↔ ∀𝑥𝑉𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)))
160 rspn0 4316 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑉𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) → ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))))
16192, 160ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝑉𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) → ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)))
162 oveq1 7166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑎 → (𝑞 𝑟) = (𝑎 𝑟))
163162oveq2d 7175 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑎 → (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = (𝑤 · (𝑎 𝑟)))
164 oveq2 7167 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 = 𝑎 → (𝑤 · 𝑞) = (𝑤 · 𝑎))
165164oveq1d 7174 . . . . . . . . . . 11 (𝑞 = 𝑎 → ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑟)))
166163, 165eqeq12d 2840 . . . . . . . . . 10 (𝑞 = 𝑎 → ((𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) ↔ (𝑤 · (𝑎 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑟))))
167 oveq2 7167 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑏 → (𝑎 𝑟) = (𝑎 𝑏))
168167oveq2d 7175 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑏 → (𝑤 · (𝑎 𝑟)) = (𝑤 · (𝑎 𝑏)))
169 oveq2 7167 . . . . . . . . . . . 12 (𝑟 = 𝑏 → (𝑤 · 𝑟) = (𝑤 · 𝑏))
170169oveq2d 7175 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑏 → ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑏)))
171168, 170eqeq12d 2840 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑏 → ((𝑤 · (𝑎 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑟)) ↔ (𝑤 · (𝑎 𝑏)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑏))))
172 oveq1 7166 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑐 → (𝑤 · (𝑎 𝑏)) = (𝑐 · (𝑎 𝑏)))
173 oveq1 7166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑐 → (𝑤 · 𝑎) = (𝑐 · 𝑎))
174 oveq1 7166 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = 𝑐 → (𝑤 · 𝑏) = (𝑐 · 𝑏))
175173, 174oveq12d 7177 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑐 → ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏)))
176172, 175eqeq12d 2840 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑐 → ((𝑤 · (𝑎 𝑏)) = ((𝑤 · 𝑎) + (𝑤 · 𝑏)) ↔ (𝑐 · (𝑎 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
177166, 171, 176rspc3v 3639 . . . . . . . . 9 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) → (𝑐 · (𝑎 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
178161, 177syl5com 31 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑉𝑞𝐾𝑟𝐾𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) → ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · (𝑎 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
179159, 178sylbi 219 . . . . . . 7 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟)) → ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · (𝑎 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
180158, 179syl 17 . . . . . 6 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · (𝑎 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
1811803ad2ant3 1131 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · (𝑎 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏))))
18243, 181ax-mp 5 . . . 4 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · (𝑎 𝑏)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏)))
18348a1i 11 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → = (𝑠𝐾, 𝑣𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠)))
184 oveq12 7168 . . . . . . 7 ((𝑣 = 𝑐𝑠 = (𝑎 𝑏)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 𝑏)))
185184ancoms 461 . . . . . 6 ((𝑠 = (𝑎 𝑏) ∧ 𝑣 = 𝑐) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 𝑏)))
186185adantl 484 . . . . 5 (((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) ∧ (𝑠 = (𝑎 𝑏) ∧ 𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · (𝑎 𝑏)))
18745, 58grpcl 18114 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐾𝑏𝐾) → (𝑎 𝑏) ∈ 𝐾)
1881873expib 1118 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Grp → ((𝑎𝐾𝑏𝐾) → (𝑎 𝑏) ∈ 𝐾))
18982, 188syl 17 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Ring → ((𝑎𝐾𝑏𝐾) → (𝑎 𝑏) ∈ 𝐾))
1901893ad2ant2 1130 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝑎𝐾𝑏𝐾) → (𝑎 𝑏) ∈ 𝐾))
19143, 190ax-mp 5 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝐾) → (𝑎 𝑏) ∈ 𝐾)
1921913adant3 1128 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑎 𝑏) ∈ 𝐾)
193 simp3 1134 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → 𝑐𝑉)
194 ovexd 7194 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · (𝑎 𝑏)) ∈ V)
195183, 186, 192, 193, 194ovmpod 7305 . . . 4 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → ((𝑎 𝑏) 𝑐) = (𝑐 · (𝑎 𝑏)))
196148adantl 484 . . . . . 6 (((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑎𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑎))
197 simp1 1132 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → 𝑎𝐾)
198 ovexd 7194 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · 𝑎) ∈ V)
199183, 196, 197, 193, 198ovmpod 7305 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑎 𝑐) = (𝑐 · 𝑎))
200 oveq12 7168 . . . . . . . 8 ((𝑣 = 𝑐𝑠 = 𝑏) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
201200ancoms 461 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑏𝑣 = 𝑐) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
202201adantl 484 . . . . . 6 (((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) ∧ (𝑠 = 𝑏𝑣 = 𝑐)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑐 · 𝑏))
203 simp2 1133 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → 𝑏𝐾)
204 ovexd 7194 . . . . . 6 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑐 · 𝑏) ∈ V)
205183, 202, 203, 193, 204ovmpod 7305 . . . . 5 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → (𝑏 𝑐) = (𝑐 · 𝑏))
206199, 205oveq12d 7177 . . . 4 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → ((𝑎 𝑐) + (𝑏 𝑐)) = ((𝑐 · 𝑎) + (𝑐 · 𝑏)))
207182, 195, 2063eqtr4d 2869 . . 3 ((𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉) → ((𝑎 𝑏) 𝑐) = ((𝑎 𝑐) + (𝑏 𝑐)))
208207adantl 484 . 2 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉)) → ((𝑎 𝑏) 𝑐) = ((𝑎 𝑐) + (𝑏 𝑐)))
209 rmodislmod.s . . 3 · = ( ·𝑠𝑅)
2101, 27, 209, 39, 45, 58, 60, 62, 43, 48, 14rmodislmodlem 19704 . 2 ((𝐹 ∈ CRing ∧ (𝑎𝐾𝑏𝐾𝑐𝑉)) → ((𝑎 × 𝑏) 𝑐) = (𝑎 (𝑏 𝑐)))
21148a1i 11 . . . 4 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → = (𝑠𝐾, 𝑣𝑉 ↦ (𝑣 · 𝑠)))
212 oveq12 7168 . . . . . 6 ((𝑣 = 𝑎𝑠 = 1 ) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑎 · 1 ))
213212ancoms 461 . . . . 5 ((𝑠 = 1𝑣 = 𝑎) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑎 · 1 ))
214213adantl 484 . . . 4 (((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) ∧ (𝑠 = 1𝑣 = 𝑎)) → (𝑣 · 𝑠) = (𝑎 · 1 ))
21545, 62ringidcl 19321 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Ring → 1𝐾)
21664, 215syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ CRing → 1𝐾)
217216adantr 483 . . . 4 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → 1𝐾)
218 simpr 487 . . . 4 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → 𝑎𝑉)
219 ovexd 7194 . . . 4 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → (𝑎 · 1 ) ∈ V)
220211, 214, 217, 218, 219ovmpod 7305 . . 3 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → ( 1 𝑎) = (𝑎 · 1 ))
221 simprr 771 . . . . . . . 8 ((((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
2222212ralimi 3164 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
2232222ralimi 3164 . . . . . 6 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
224 rspn0 4316 . . . . . . 7 (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤))
22586, 224ax-mp 5 . . . . . 6 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
226 rspn0 4316 . . . . . . . 8 (𝐾 ≠ ∅ → (∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤))
22786, 226ax-mp 5 . . . . . . 7 (∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
228 rspn0 4316 . . . . . . . . 9 (𝑉 ≠ ∅ → (∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤))
22992, 228ax-mp 5 . . . . . . . 8 (∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ∀𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤)
230 oveq1 7166 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑎 → (𝑤 · 1 ) = (𝑎 · 1 ))
231 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = 𝑎𝑤 = 𝑎)
232230, 231eqeq12d 2840 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑎 → ((𝑤 · 1 ) = 𝑤 ↔ (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
233232rspcv 3621 . . . . . . . . 9 (𝑎𝑉 → (∀𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
234233adantl 484 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → (∀𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
235229, 234syl5com 31 . . . . . . 7 (∀𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
236227, 235syl 17 . . . . . 6 (∀𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (𝑤 · 1 ) = 𝑤 → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
237223, 225, 2363syl 18 . . . . 5 (∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤)) → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
2382373ad2ant3 1131 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞𝐾𝑟𝐾𝑥𝑉𝑤𝑉 (((𝑤 · 𝑟) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑤 + 𝑥) · 𝑟) = ((𝑤 · 𝑟) + (𝑥 · 𝑟)) ∧ (𝑤 · (𝑞 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) + (𝑤 · 𝑟))) ∧ ((𝑤 · (𝑞 × 𝑟)) = ((𝑤 · 𝑞) · 𝑟) ∧ (𝑤 · 1 ) = 𝑤))) → ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → (𝑎 · 1 ) = 𝑎))
23943, 238ax-mp 5 . . 3 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → (𝑎 · 1 ) = 𝑎)
240220, 239eqtrd 2859 . 2 ((𝐹 ∈ CRing ∧ 𝑎𝑉) → ( 1 𝑎) = 𝑎)
24118, 30, 42, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 70, 106, 155, 208, 210, 240islmodd 19643 1 (𝐹 ∈ CRing → 𝐿 ∈ LMod)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  ∀wral 3141  Vcvv 3497  ∅c0 4294  ⟨cop 4576  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   ∈ cmpo 7161  1c1 10541  2c2 11695  5c5 11698  6c6 11699  ndxcnx 16483   sSet csts 16484  Basecbs 16486  +gcplusg 16568  .rcmulr 16569  Scalarcsca 16571   ·𝑠 cvsca 16572  Grpcgrp 18106  1rcur 19254  Ringcrg 19300  CRingccrg 19301  LModclmod 19637 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-plusg 16581  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-0g 16718  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-grp 18109  df-cmn 18911  df-mgp 19243  df-ur 19255  df-ring 19302  df-cring 19303  df-lmod 19639 This theorem is referenced by: (None)
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