Theorem lduallmodlem 39324

Description: Lemma for lduallmod 39325. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lduallmod.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lduallmod.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lduallmod.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lduallmod.p	⊢ + = ∘f (+g‘𝑊)
lduallmod.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lduallmod.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lduallmod.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
lduallmod.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
lduallmod.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
lduallmod.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lduallmodlem	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)

Proof of Theorem lduallmodlem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lduallmod.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		lduallmod.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
3		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
4		lduallmod.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5	1, 2, 3, 4	ldualvbase 39298	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
6	5	eqcomd 2739	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐷))
7		eqidd 2734	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷))
8		lduallmod.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
9		lduallmod.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
10		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
11	8, 9, 2, 10, 4	ldualsca 39304	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) = 𝑂)
12	11	eqcomd 2739	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (Scalar‘𝐷))
13		lduallmod.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → · = ( ·𝑠 ‘𝐷))
15		lduallmod.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
16	9, 15	opprbas 20270	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑂)
17	16	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝑂))
18		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
19	9, 18	oppradd 20271	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂))
21	11	fveq2d 6835	. 2 ⊢ (𝜑 → (.r‘(Scalar‘𝐷)) = (.r‘𝑂))
22		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
23	9, 22	oppr1 20277	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑂)
24	23	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑂))
25	8	lmodring 20810	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
26	9	opprring 20274	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)
27	4, 25, 26	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Ring)
28	2, 4	ldualgrp 39318	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Grp)
29	4	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
30		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝐾)
31		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ∈ 𝐹)
32	1, 8, 15, 2, 13, 29, 30, 31	ldualvscl 39311	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
33		eqid 2733	. . 3 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
34	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑊 ∈ LMod)
35		simpr1 1195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑥 ∈ 𝐾)
36		simpr2 1196	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑦 ∈ 𝐹)
37		simpr3 1197	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑧 ∈ 𝐹)
38	1, 8, 15, 2, 33, 13, 34, 35, 36, 37	ldualvsdi1 39315	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑥 · (𝑦(+g‘𝐷)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝐷)(𝑥 · 𝑧)))
39	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑊 ∈ LMod)
40		simpr1 1195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑥 ∈ 𝐾)
41		simpr2 1196	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑦 ∈ 𝐾)
42		simpr3 1197	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑧 ∈ 𝐹)
43	1, 8, 18, 15, 2, 33, 13, 39, 40, 41, 42	ldualvsdi2 39316	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g‘𝐷)(𝑦 · 𝑧)))
44		eqid 2733	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝐷)) = (.r‘(Scalar‘𝐷))
45	1, 8, 15, 2, 10, 44, 13, 39, 40, 41, 42	ldualvsass2 39314	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(.r‘(Scalar‘𝐷))𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
46		lduallmod.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
47		lduallmod.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
48	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
49	15, 22	ringidcl 20191	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
50	4, 25, 49	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
51	50	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
52		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝐹)
53	1, 46, 8, 15, 47, 2, 13, 48, 51, 52	ldualvs 39309	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((1r‘𝑅) · 𝑥) = (𝑥 ∘f × (𝑉 × {(1r‘𝑅)})))
54	46, 8, 1, 15, 47, 22, 48, 52	lfl1sc 39256	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∘f × (𝑉 × {(1r‘𝑅)})) = 𝑥)
55	53, 54	eqtrd 2768	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((1r‘𝑅) · 𝑥) = 𝑥)
56	6, 7, 12, 14, 17, 20, 21, 24, 27, 28, 32, 38, 43, 45, 55	islmodd 20808	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4577   × cxp 5619  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   ∘_f cof 7617  Basecbs 17127  +_gcplusg 17168  ._rcmulr 17169  Scalarcsca 17171   ·_𝑠 cvsca 17172  1_rcur 20107  Ringcrg 20159  opp_rcoppr 20263  LModclmod 20802  LFnlclfn 39229  LDualcld 39295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-fz 13415  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-0g 17352  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-ring 20161  df-oppr 20264  df-lmod 20804  df-lfl 39230  df-ldual 39296

This theorem is referenced by:  lduallmod  39325