Theorem lduallmodlem 39145

Description: Lemma for lduallmod 39146. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lduallmod.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lduallmod.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lduallmod.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lduallmod.p	⊢ + = ∘f (+g‘𝑊)
lduallmod.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lduallmod.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lduallmod.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
lduallmod.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
lduallmod.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
lduallmod.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lduallmodlem	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)

Proof of Theorem lduallmodlem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lduallmod.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		lduallmod.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
4		lduallmod.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5	1, 2, 3, 4	ldualvbase 39119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
6	5	eqcomd 2735	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐷))
7		eqidd 2730	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷))
8		lduallmod.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
9		lduallmod.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
10		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
11	8, 9, 2, 10, 4	ldualsca 39125	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) = 𝑂)
12	11	eqcomd 2735	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (Scalar‘𝐷))
13		lduallmod.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → · = ( ·𝑠 ‘𝐷))
15		lduallmod.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
16	9, 15	opprbas 20252	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑂)
17	16	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝑂))
18		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
19	9, 18	oppradd 20253	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂))
21	11	fveq2d 6862	. 2 ⊢ (𝜑 → (.r‘(Scalar‘𝐷)) = (.r‘𝑂))
22		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
23	9, 22	oppr1 20259	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑂)
24	23	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑂))
25	8	lmodring 20774	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
26	9	opprring 20256	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)
27	4, 25, 26	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Ring)
28	2, 4	ldualgrp 39139	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Grp)
29	4	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
30		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝐾)
31		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ∈ 𝐹)
32	1, 8, 15, 2, 13, 29, 30, 31	ldualvscl 39132	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
33		eqid 2729	. . 3 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
34	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑊 ∈ LMod)
35		simpr1 1195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑥 ∈ 𝐾)
36		simpr2 1196	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑦 ∈ 𝐹)
37		simpr3 1197	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑧 ∈ 𝐹)
38	1, 8, 15, 2, 33, 13, 34, 35, 36, 37	ldualvsdi1 39136	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑥 · (𝑦(+g‘𝐷)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝐷)(𝑥 · 𝑧)))
39	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑊 ∈ LMod)
40		simpr1 1195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑥 ∈ 𝐾)
41		simpr2 1196	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑦 ∈ 𝐾)
42		simpr3 1197	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑧 ∈ 𝐹)
43	1, 8, 18, 15, 2, 33, 13, 39, 40, 41, 42	ldualvsdi2 39137	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g‘𝐷)(𝑦 · 𝑧)))
44		eqid 2729	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝐷)) = (.r‘(Scalar‘𝐷))
45	1, 8, 15, 2, 10, 44, 13, 39, 40, 41, 42	ldualvsass2 39135	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(.r‘(Scalar‘𝐷))𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
46		lduallmod.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
47		lduallmod.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
48	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
49	15, 22	ringidcl 20174	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
50	4, 25, 49	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
51	50	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
52		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝐹)
53	1, 46, 8, 15, 47, 2, 13, 48, 51, 52	ldualvs 39130	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((1r‘𝑅) · 𝑥) = (𝑥 ∘f × (𝑉 × {(1r‘𝑅)})))
54	46, 8, 1, 15, 47, 22, 48, 52	lfl1sc 39077	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∘f × (𝑉 × {(1r‘𝑅)})) = 𝑥)
55	53, 54	eqtrd 2764	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((1r‘𝑅) · 𝑥) = 𝑥)
56	6, 7, 12, 14, 17, 20, 21, 24, 27, 28, 32, 38, 43, 45, 55	islmodd 20772	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4589   × cxp 5636  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∘_f cof 7651  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  1_rcur 20090  Ringcrg 20142  opp_rcoppr 20245  LModclmod 20766  LFnlclfn 39050  LDualcld 39116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-oppr 20246  df-lmod 20768  df-lfl 39051  df-ldual 39117

This theorem is referenced by:  lduallmod  39146