Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lduallmodlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lduallmodlem 39134
Description: Lemma for lduallmod 39135. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lduallmod.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lduallmod.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lduallmod.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lduallmod.p + = ∘f (+g𝑊)
lduallmod.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lduallmod.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lduallmod.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
lduallmod.t × = (.r𝑅)
lduallmod.o 𝑂 = (oppr𝑅)
lduallmod.s · = ( ·𝑠𝐷)
Assertion
Ref Expression
lduallmodlem (𝜑𝐷 ∈ LMod)

Proof of Theorem lduallmodlem
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lduallmod.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2 lduallmod.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑊)
3 eqid 2735 . . . 4 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
4 lduallmod.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
51, 2, 3, 4ldualvbase 39108 . . 3 (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
65eqcomd 2741 . 2 (𝜑𝐹 = (Base‘𝐷))
7 eqidd 2736 . 2 (𝜑 → (+g𝐷) = (+g𝐷))
8 lduallmod.r . . . 4 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
9 lduallmod.o . . . 4 𝑂 = (oppr𝑅)
10 eqid 2735 . . . 4 (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
118, 9, 2, 10, 4ldualsca 39114 . . 3 (𝜑 → (Scalar‘𝐷) = 𝑂)
1211eqcomd 2741 . 2 (𝜑𝑂 = (Scalar‘𝐷))
13 lduallmod.s . . 3 · = ( ·𝑠𝐷)
1413a1i 11 . 2 (𝜑· = ( ·𝑠𝐷))
15 lduallmod.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝑅)
169, 15opprbas 20358 . . 3 𝐾 = (Base‘𝑂)
1716a1i 11 . 2 (𝜑𝐾 = (Base‘𝑂))
18 eqid 2735 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
199, 18oppradd 20360 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑂)
2019a1i 11 . 2 (𝜑 → (+g𝑅) = (+g𝑂))
2111fveq2d 6911 . 2 (𝜑 → (.r‘(Scalar‘𝐷)) = (.r𝑂))
22 eqid 2735 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
239, 22oppr1 20367 . . 3 (1r𝑅) = (1r𝑂)
2423a1i 11 . 2 (𝜑 → (1r𝑅) = (1r𝑂))
258lmodring 20883 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
269opprring 20364 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)
274, 25, 263syl 18 . 2 (𝜑𝑂 ∈ Ring)
282, 4ldualgrp 39128 . 2 (𝜑𝐷 ∈ Grp)
2943ad2ant1 1132 . . 3 ((𝜑𝑥𝐾𝑦𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
30 simp2 1136 . . 3 ((𝜑𝑥𝐾𝑦𝐹) → 𝑥𝐾)
31 simp3 1137 . . 3 ((𝜑𝑥𝐾𝑦𝐹) → 𝑦𝐹)
321, 8, 15, 2, 13, 29, 30, 31ldualvscl 39121 . 2 ((𝜑𝑥𝐾𝑦𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
33 eqid 2735 . . 3 (+g𝐷) = (+g𝐷)
344adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐹𝑧𝐹)) → 𝑊 ∈ LMod)
35 simpr1 1193 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐹𝑧𝐹)) → 𝑥𝐾)
36 simpr2 1194 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐹𝑧𝐹)) → 𝑦𝐹)
37 simpr3 1195 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐹𝑧𝐹)) → 𝑧𝐹)
381, 8, 15, 2, 33, 13, 34, 35, 36, 37ldualvsdi1 39125 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐹𝑧𝐹)) → (𝑥 · (𝑦(+g𝐷)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g𝐷)(𝑥 · 𝑧)))
394adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾𝑧𝐹)) → 𝑊 ∈ LMod)
40 simpr1 1193 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾𝑧𝐹)) → 𝑥𝐾)
41 simpr2 1194 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾𝑧𝐹)) → 𝑦𝐾)
42 simpr3 1195 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾𝑧𝐹)) → 𝑧𝐹)
431, 8, 18, 15, 2, 33, 13, 39, 40, 41, 42ldualvsdi2 39126 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾𝑧𝐹)) → ((𝑥(+g𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g𝐷)(𝑦 · 𝑧)))
44 eqid 2735 . . 3 (.r‘(Scalar‘𝐷)) = (.r‘(Scalar‘𝐷))
451, 8, 15, 2, 10, 44, 13, 39, 40, 41, 42ldualvsass2 39124 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐾𝑦𝐾𝑧𝐹)) → ((𝑥(.r‘(Scalar‘𝐷))𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
46 lduallmod.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
47 lduallmod.t . . . 4 × = (.r𝑅)
484adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
4915, 22ringidcl 20280 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
504, 25, 493syl 18 . . . . 5 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
5150adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐹) → (1r𝑅) ∈ 𝐾)
52 simpr 484 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐹) → 𝑥𝐹)
531, 46, 8, 15, 47, 2, 13, 48, 51, 52ldualvs 39119 . . 3 ((𝜑𝑥𝐹) → ((1r𝑅) · 𝑥) = (𝑥f × (𝑉 × {(1r𝑅)})))
5446, 8, 1, 15, 47, 22, 48, 52lfl1sc 39066 . . 3 ((𝜑𝑥𝐹) → (𝑥f × (𝑉 × {(1r𝑅)})) = 𝑥)
5553, 54eqtrd 2775 . 2 ((𝜑𝑥𝐹) → ((1r𝑅) · 𝑥) = 𝑥)
566, 7, 12, 14, 17, 20, 21, 24, 27, 28, 32, 38, 43, 45, 55islmodd 20881 1 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  {csn 4631   × cxp 5687  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  1rcur 20199  Ringcrg 20251  opprcoppr 20350  LModclmod 20875  LFnlclfn 39039  LDualcld 39105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-lmod 20877  df-lfl 39040  df-ldual 39106
This theorem is referenced by:  lduallmod  39135
  Copyright terms: Public domain W3C validator