Theorem lduallmodlem 39108

Description: Lemma for lduallmod 39109. (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lduallmod.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lduallmod.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lduallmod.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lduallmod.p	⊢ + = ∘f (+g‘𝑊)
lduallmod.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lduallmod.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lduallmod.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
lduallmod.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
lduallmod.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
lduallmod.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lduallmodlem	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)

Proof of Theorem lduallmodlem

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lduallmod.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		lduallmod.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
3		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
4		lduallmod.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
5	1, 2, 3, 4	ldualvbase 39082	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐷) = 𝐹)
6	5	eqcomd 2746	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Base‘𝐷))
7		eqidd 2741	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷))
8		lduallmod.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
9		lduallmod.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
10		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
11	8, 9, 2, 10, 4	ldualsca 39088	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) = 𝑂)
12	11	eqcomd 2746	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 = (Scalar‘𝐷))
13		lduallmod.s	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐷)
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → · = ( ·𝑠 ‘𝐷))
15		lduallmod.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
16	9, 15	opprbas 20367	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑂)
17	16	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘𝑂))
18		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
19	9, 18	oppradd 20369	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂))
21	11	fveq2d 6924	. 2 ⊢ (𝜑 → (.r‘(Scalar‘𝐷)) = (.r‘𝑂))
22		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
23	9, 22	oppr1 20376	. . 3 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑂)
24	23	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) = (1r‘𝑂))
25	8	lmodring 20888	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
26	9	opprring 20373	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑂 ∈ Ring)
27	4, 25, 26	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ Ring)
28	2, 4	ldualgrp 39102	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ Grp)
29	4	3ad2ant1 1133	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
30		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝐾)
31		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → 𝑦 ∈ 𝐹)
32	1, 8, 15, 2, 13, 29, 30, 31	ldualvscl 39095	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ 𝐹)
33		eqid 2740	. . 3 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
34	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑊 ∈ LMod)
35		simpr1 1194	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑥 ∈ 𝐾)
36		simpr2 1195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑦 ∈ 𝐹)
37		simpr3 1196	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑧 ∈ 𝐹)
38	1, 8, 15, 2, 33, 13, 34, 35, 36, 37	ldualvsdi1 39099	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → (𝑥 · (𝑦(+g‘𝐷)𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦)(+g‘𝐷)(𝑥 · 𝑧)))
39	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑊 ∈ LMod)
40		simpr1 1194	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑥 ∈ 𝐾)
41		simpr2 1195	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑦 ∈ 𝐾)
42		simpr3 1196	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → 𝑧 ∈ 𝐹)
43	1, 8, 18, 15, 2, 33, 13, 39, 40, 41, 42	ldualvsdi2 39100	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧)(+g‘𝐷)(𝑦 · 𝑧)))
44		eqid 2740	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝐷)) = (.r‘(Scalar‘𝐷))
45	1, 8, 15, 2, 10, 44, 13, 39, 40, 41, 42	ldualvsass2 39098	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐾 ∧ 𝑦 ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝐹)) → ((𝑥(.r‘(Scalar‘𝐷))𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
46		lduallmod.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
47		lduallmod.t	. . . 4 ⊢ × = (.r‘𝑅)
48	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑊 ∈ LMod)
49	15, 22	ringidcl 20289	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
50	4, 25, 49	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
51	50	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐾)
52		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → 𝑥 ∈ 𝐹)
53	1, 46, 8, 15, 47, 2, 13, 48, 51, 52	ldualvs 39093	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((1r‘𝑅) · 𝑥) = (𝑥 ∘f × (𝑉 × {(1r‘𝑅)})))
54	46, 8, 1, 15, 47, 22, 48, 52	lfl1sc 39040	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → (𝑥 ∘f × (𝑉 × {(1r‘𝑅)})) = 𝑥)
55	53, 54	eqtrd 2780	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐹) → ((1r‘𝑅) · 𝑥) = 𝑥)
56	6, 7, 12, 14, 17, 20, 21, 24, 27, 28, 32, 38, 43, 45, 55	islmodd 20886	1 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {csn 4648   × cxp 5698  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  opp_rcoppr 20359  LModclmod 20880  LFnlclfn 39013  LDualcld 39079

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-lmod 20882  df-lfl 39014  df-ldual 39080

This theorem is referenced by:  lduallmod  39109