MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnlmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnlmod 25080
Description: The set of complex numbers is a left module over itself. The vector operation is +, and the scalar product is Β·. (Contributed by AV, 20-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
cnlmod.w π‘Š = ({⟨(Baseβ€˜ndx), β„‚βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), + ⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), β„‚fld⟩, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), Β· ⟩})
Assertion
Ref Expression
cnlmod π‘Š ∈ LMod

Proof of Theorem cnlmod
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11237 . 2 0 ∈ β„‚
2 cnlmod.w . . . . . 6 π‘Š = ({⟨(Baseβ€˜ndx), β„‚βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), + ⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), β„‚fld⟩, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), Β· ⟩})
32cnlmodlem1 25076 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Š) = β„‚
43eqcomi 2737 . . . 4 β„‚ = (Baseβ€˜π‘Š)
54a1i 11 . . 3 (0 ∈ β„‚ β†’ β„‚ = (Baseβ€˜π‘Š))
62cnlmodlem2 25077 . . . . 5 (+gβ€˜π‘Š) = +
76eqcomi 2737 . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
87a1i 11 . . 3 (0 ∈ β„‚ β†’ + = (+gβ€˜π‘Š))
9 addcl 11221 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„‚)
1093adant1 1128 . . 3 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„‚)
11 addass 11226 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) + 𝑧) = (π‘₯ + (𝑦 + 𝑧)))
1211adantl 481 . . 3 ((0 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚)) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) + 𝑧) = (π‘₯ + (𝑦 + 𝑧)))
13 id 22 . . 3 (0 ∈ β„‚ β†’ 0 ∈ β„‚)
14 addlid 11428 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0 + π‘₯) = π‘₯)
1514adantl 481 . . 3 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0 + π‘₯) = π‘₯)
16 negcl 11491 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ -π‘₯ ∈ β„‚)
1716adantl 481 . . 3 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ -π‘₯ ∈ β„‚)
18 id 22 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
1916, 18addcomd 11447 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (-π‘₯ + π‘₯) = (π‘₯ + -π‘₯))
2019adantl 481 . . . 4 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (-π‘₯ + π‘₯) = (π‘₯ + -π‘₯))
21 negid 11538 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ + -π‘₯) = 0)
2221adantl 481 . . . 4 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + -π‘₯) = 0)
2320, 22eqtrd 2768 . . 3 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (-π‘₯ + π‘₯) = 0)
245, 8, 10, 12, 13, 15, 17, 23isgrpd 18915 . 2 (0 ∈ β„‚ β†’ π‘Š ∈ Grp)
254a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ β„‚ = (Baseβ€˜π‘Š))
267a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ + = (+gβ€˜π‘Š))
272cnlmodlem3 25078 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Š) = β„‚fld
2827eqcomi 2737 . . . 4 β„‚fld = (Scalarβ€˜π‘Š)
2928a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ β„‚fld = (Scalarβ€˜π‘Š))
302cnlmod4 25079 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = Β·
3130eqcomi 2737 . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
3231a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
33 cnfldbas 21283 . . . 4 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
3433a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld))
35 cnfldadd 21285 . . . 4 + = (+gβ€˜β„‚fld)
3635a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ + = (+gβ€˜β„‚fld))
37 cnfldmul 21287 . . . 4 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
3837a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ Β· = (.rβ€˜β„‚fld))
39 cnfld1 21321 . . . 4 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
4039a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ 1 = (1rβ€˜β„‚fld))
41 cnring 21318 . . . 4 β„‚fld ∈ Ring
4241a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ β„‚fld ∈ Ring)
43 id 22 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ π‘Š ∈ Grp)
44 mulcl 11223 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
45443adant1 1128 . . 3 ((π‘Š ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
46 adddi 11228 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· (𝑦 + 𝑧)) = ((π‘₯ Β· 𝑦) + (π‘₯ Β· 𝑧)))
4746adantl 481 . . 3 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ Β· (𝑦 + 𝑧)) = ((π‘₯ Β· 𝑦) + (π‘₯ Β· 𝑧)))
48 adddir 11236 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) Β· 𝑧) = ((π‘₯ Β· 𝑧) + (𝑦 Β· 𝑧)))
4948adantl 481 . . 3 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚)) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) Β· 𝑧) = ((π‘₯ Β· 𝑧) + (𝑦 Β· 𝑧)))
50 mulass 11227 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) Β· 𝑧) = (π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑧)))
5150adantl 481 . . 3 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚)) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) Β· 𝑧) = (π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑧)))
52 mullid 11244 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (1 Β· π‘₯) = π‘₯)
5352adantl 481 . . 3 ((π‘Š ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (1 Β· π‘₯) = π‘₯)
5425, 26, 29, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 43, 45, 47, 49, 51, 53islmodd 20749 . 2 (π‘Š ∈ Grp β†’ π‘Š ∈ LMod)
551, 24, 54mp2b 10 1 π‘Š ∈ LMod
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βˆͺ cun 3945  {cpr 4631  βŸ¨cop 4635  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11137  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   Β· cmul 11144  -cneg 11476  ndxcnx 17162  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  .rcmulr 17234  Scalarcsca 17236   ·𝑠 cvsca 17237  Grpcgrp 18890  1rcur 20121  Ringcrg 20173  LModclmod 20743  β„‚fldccnfld 21279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-addf 11218  ax-mulf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-0g 17423  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18893  df-cmn 19737  df-mgp 20075  df-ur 20122  df-ring 20175  df-cring 20176  df-lmod 20745  df-cnfld 21280
This theorem is referenced by:  cnstrcvs  25081
  Copyright terms: Public domain W3C validator