Theorem cnlmod 24647

Description: The set of complex numbers is a left module over itself. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by AV, 20-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnlmod.w	⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})

Assertion

Ref	Expression
cnlmod	⊢ 𝑊 ∈ LMod

Proof of Theorem cnlmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11202	. 2 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		cnlmod.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
3	2	cnlmodlem1 24643	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = ℂ
4	3	eqcomi 2741	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘𝑊)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → ℂ = (Base‘𝑊))
6	2	cnlmodlem2 24644	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = +
7	6	eqcomi 2741	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → + = (+g‘𝑊))
9		addcl 11188	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
10	9	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
11		addass 11193	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
12	11	adantl 482	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
13		id 22	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
14		addlid 11393	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
15	14	adantl 482	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
16		negcl 11456	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
17	16	adantl 482	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -𝑥 ∈ ℂ)
18		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
19	16, 18	addcomd 11412	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + 𝑥) = (𝑥 + -𝑥))
20	19	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝑥 + 𝑥) = (𝑥 + -𝑥))
21		negid 11503	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
22	21	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = 0)
23	20, 22	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
24	5, 8, 10, 12, 13, 15, 17, 23	isgrpd 18840	. 2 ⊢ (0 ∈ ℂ → 𝑊 ∈ Grp)
25	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → ℂ = (Base‘𝑊))
26	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → + = (+g‘𝑊))
27	2	cnlmodlem3 24645	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = ℂfld
28	27	eqcomi 2741	. . . 4 ⊢ ℂfld = (Scalar‘𝑊)
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → ℂfld = (Scalar‘𝑊))
30	2	cnlmod4 24646	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ·
31	30	eqcomi 2741	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
32	31	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))
33		cnfldbas 20940	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
34	33	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → ℂ = (Base‘ℂfld))
35		cnfldadd 20941	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
36	35	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → + = (+g‘ℂfld))
37		cnfldmul 20942	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
38	37	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → · = (.r‘ℂfld))
39		cnfld1 20962	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
40	39	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 1 = (1r‘ℂfld))
41		cnring 20959	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
42	41	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → ℂfld ∈ Ring)
43		id 22	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Grp)
44		mulcl 11190	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
45	44	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
46		adddi 11195	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
47	46	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
48		adddir 11201	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
49	48	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
50		mulass 11194	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
51	50	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
52		mullid 11209	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
53	52	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
54	25, 26, 29, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 43, 45, 47, 49, 51, 53	islmodd 20469	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ LMod)
55	1, 24, 54	mp2b 10	1 ⊢ 𝑊 ∈ LMod

Syntax hints:   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3945  {cpr 4629  ⟨cop 4633  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111  -cneg 11441  ndxcnx 17122  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  ._rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197  Grpcgrp 18815  1_rcur 19998  Ringcrg 20049  LModclmod 20463  ℂ_fldccnfld 20936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-cmn 19644  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-lmod 20465  df-cnfld 20937

This theorem is referenced by:  cnstrcvs  24648