MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnlmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnlmod 25018
Description: The set of complex numbers is a left module over itself. The vector operation is +, and the scalar product is Β·. (Contributed by AV, 20-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
cnlmod.w π‘Š = ({⟨(Baseβ€˜ndx), β„‚βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), + ⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), β„‚fld⟩, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), Β· ⟩})
Assertion
Ref Expression
cnlmod π‘Š ∈ LMod

Proof of Theorem cnlmod
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11207 . 2 0 ∈ β„‚
2 cnlmod.w . . . . . 6 π‘Š = ({⟨(Baseβ€˜ndx), β„‚βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), + ⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), β„‚fld⟩, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), Β· ⟩})
32cnlmodlem1 25014 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Š) = β„‚
43eqcomi 2735 . . . 4 β„‚ = (Baseβ€˜π‘Š)
54a1i 11 . . 3 (0 ∈ β„‚ β†’ β„‚ = (Baseβ€˜π‘Š))
62cnlmodlem2 25015 . . . . 5 (+gβ€˜π‘Š) = +
76eqcomi 2735 . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
87a1i 11 . . 3 (0 ∈ β„‚ β†’ + = (+gβ€˜π‘Š))
9 addcl 11191 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„‚)
1093adant1 1127 . . 3 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„‚)
11 addass 11196 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) + 𝑧) = (π‘₯ + (𝑦 + 𝑧)))
1211adantl 481 . . 3 ((0 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚)) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) + 𝑧) = (π‘₯ + (𝑦 + 𝑧)))
13 id 22 . . 3 (0 ∈ β„‚ β†’ 0 ∈ β„‚)
14 addlid 11398 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0 + π‘₯) = π‘₯)
1514adantl 481 . . 3 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0 + π‘₯) = π‘₯)
16 negcl 11461 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ -π‘₯ ∈ β„‚)
1716adantl 481 . . 3 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ -π‘₯ ∈ β„‚)
18 id 22 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
1916, 18addcomd 11417 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (-π‘₯ + π‘₯) = (π‘₯ + -π‘₯))
2019adantl 481 . . . 4 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (-π‘₯ + π‘₯) = (π‘₯ + -π‘₯))
21 negid 11508 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ + -π‘₯) = 0)
2221adantl 481 . . . 4 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + -π‘₯) = 0)
2320, 22eqtrd 2766 . . 3 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (-π‘₯ + π‘₯) = 0)
245, 8, 10, 12, 13, 15, 17, 23isgrpd 18886 . 2 (0 ∈ β„‚ β†’ π‘Š ∈ Grp)
254a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ β„‚ = (Baseβ€˜π‘Š))
267a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ + = (+gβ€˜π‘Š))
272cnlmodlem3 25016 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Š) = β„‚fld
2827eqcomi 2735 . . . 4 β„‚fld = (Scalarβ€˜π‘Š)
2928a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ β„‚fld = (Scalarβ€˜π‘Š))
302cnlmod4 25017 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = Β·
3130eqcomi 2735 . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
3231a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
33 cnfldbas 21240 . . . 4 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
3433a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld))
35 cnfldadd 21242 . . . 4 + = (+gβ€˜β„‚fld)
3635a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ + = (+gβ€˜β„‚fld))
37 cnfldmul 21244 . . . 4 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
3837a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ Β· = (.rβ€˜β„‚fld))
39 cnfld1 21278 . . . 4 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
4039a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ 1 = (1rβ€˜β„‚fld))
41 cnring 21275 . . . 4 β„‚fld ∈ Ring
4241a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ β„‚fld ∈ Ring)
43 id 22 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ π‘Š ∈ Grp)
44 mulcl 11193 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
45443adant1 1127 . . 3 ((π‘Š ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
46 adddi 11198 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· (𝑦 + 𝑧)) = ((π‘₯ Β· 𝑦) + (π‘₯ Β· 𝑧)))
4746adantl 481 . . 3 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ Β· (𝑦 + 𝑧)) = ((π‘₯ Β· 𝑦) + (π‘₯ Β· 𝑧)))
48 adddir 11206 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) Β· 𝑧) = ((π‘₯ Β· 𝑧) + (𝑦 Β· 𝑧)))
4948adantl 481 . . 3 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚)) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) Β· 𝑧) = ((π‘₯ Β· 𝑧) + (𝑦 Β· 𝑧)))
50 mulass 11197 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) Β· 𝑧) = (π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑧)))
5150adantl 481 . . 3 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚)) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) Β· 𝑧) = (π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑧)))
52 mullid 11214 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (1 Β· π‘₯) = π‘₯)
5352adantl 481 . . 3 ((π‘Š ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (1 Β· π‘₯) = π‘₯)
5425, 26, 29, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 43, 45, 47, 49, 51, 53islmodd 20710 . 2 (π‘Š ∈ Grp β†’ π‘Š ∈ LMod)
551, 24, 54mp2b 10 1 π‘Š ∈ LMod
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆͺ cun 3941  {cpr 4625  βŸ¨cop 4629  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114  -cneg 11446  ndxcnx 17133  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  .rcmulr 17205  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  Grpcgrp 18861  1rcur 20084  Ringcrg 20136  LModclmod 20704  β„‚fldccnfld 21236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-cmn 19700  df-mgp 20038  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-lmod 20706  df-cnfld 21237
This theorem is referenced by:  cnstrcvs  25019
  Copyright terms: Public domain W3C validator