Theorem cnlmod 25173

Description: The set of complex numbers is a left module over itself. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by AV, 20-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnlmod.w	⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})

Assertion

Ref	Expression
cnlmod	⊢ 𝑊 ∈ LMod

Proof of Theorem cnlmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11253	. 2 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		cnlmod.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
3	2	cnlmodlem1 25169	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = ℂ
4	3	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘𝑊)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → ℂ = (Base‘𝑊))
6	2	cnlmodlem2 25170	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = +
7	6	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → + = (+g‘𝑊))
9		addcl 11237	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
10	9	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
11		addass 11242	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
12	11	adantl 481	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
13		id 22	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
14		addlid 11444	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
16		negcl 11508	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -𝑥 ∈ ℂ)
18		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
19	16, 18	addcomd 11463	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + 𝑥) = (𝑥 + -𝑥))
20	19	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝑥 + 𝑥) = (𝑥 + -𝑥))
21		negid 11556	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
22	21	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = 0)
23	20, 22	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
24	5, 8, 10, 12, 13, 15, 17, 23	isgrpd 18976	. 2 ⊢ (0 ∈ ℂ → 𝑊 ∈ Grp)
25	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → ℂ = (Base‘𝑊))
26	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → + = (+g‘𝑊))
27	2	cnlmodlem3 25171	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = ℂfld
28	27	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ ℂfld = (Scalar‘𝑊)
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → ℂfld = (Scalar‘𝑊))
30	2	cnlmod4 25172	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ·
31	30	eqcomi 2746	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
32	31	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))
33		cnfldbas 21368	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
34	33	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → ℂ = (Base‘ℂfld))
35		cnfldadd 21370	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
36	35	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → + = (+g‘ℂfld))
37		cnfldmul 21372	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
38	37	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → · = (.r‘ℂfld))
39		cnfld1 21406	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
40	39	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 1 = (1r‘ℂfld))
41		cnring 21403	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
42	41	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → ℂfld ∈ Ring)
43		id 22	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Grp)
44		mulcl 11239	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
45	44	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
46		adddi 11244	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
47	46	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
48		adddir 11252	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
49	48	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
50		mulass 11243	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
51	50	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
52		mullid 11260	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
53	52	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
54	25, 26, 29, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 43, 45, 47, 49, 51, 53	islmodd 20864	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ LMod)
55	1, 24, 54	mp2b 10	1 ⊢ 𝑊 ∈ LMod

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3949  {cpr 4628  ⟨cop 4632  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  -cneg 11493  ndxcnx 17230  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  Grpcgrp 18951  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  LModclmod 20858  ℂ_fldccnfld 21364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-cmn 19800  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-lmod 20860  df-cnfld 21365

This theorem is referenced by:  cnstrcvs  25174