MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnlmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnlmod 24656
Description: The set of complex numbers is a left module over itself. The vector operation is +, and the scalar product is Β·. (Contributed by AV, 20-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
cnlmod.w π‘Š = ({⟨(Baseβ€˜ndx), β„‚βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), + ⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), β„‚fld⟩, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), Β· ⟩})
Assertion
Ref Expression
cnlmod π‘Š ∈ LMod

Proof of Theorem cnlmod
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11206 . 2 0 ∈ β„‚
2 cnlmod.w . . . . . 6 π‘Š = ({⟨(Baseβ€˜ndx), β„‚βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), + ⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), β„‚fld⟩, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), Β· ⟩})
32cnlmodlem1 24652 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘Š) = β„‚
43eqcomi 2742 . . . 4 β„‚ = (Baseβ€˜π‘Š)
54a1i 11 . . 3 (0 ∈ β„‚ β†’ β„‚ = (Baseβ€˜π‘Š))
62cnlmodlem2 24653 . . . . 5 (+gβ€˜π‘Š) = +
76eqcomi 2742 . . . 4 + = (+gβ€˜π‘Š)
87a1i 11 . . 3 (0 ∈ β„‚ β†’ + = (+gβ€˜π‘Š))
9 addcl 11192 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„‚)
1093adant1 1131 . . 3 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ β„‚)
11 addass 11197 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) + 𝑧) = (π‘₯ + (𝑦 + 𝑧)))
1211adantl 483 . . 3 ((0 ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚)) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) + 𝑧) = (π‘₯ + (𝑦 + 𝑧)))
13 id 22 . . 3 (0 ∈ β„‚ β†’ 0 ∈ β„‚)
14 addlid 11397 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (0 + π‘₯) = π‘₯)
1514adantl 483 . . 3 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (0 + π‘₯) = π‘₯)
16 negcl 11460 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ -π‘₯ ∈ β„‚)
1716adantl 483 . . 3 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ -π‘₯ ∈ β„‚)
18 id 22 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
1916, 18addcomd 11416 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (-π‘₯ + π‘₯) = (π‘₯ + -π‘₯))
2019adantl 483 . . . 4 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (-π‘₯ + π‘₯) = (π‘₯ + -π‘₯))
21 negid 11507 . . . . 5 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (π‘₯ + -π‘₯) = 0)
2221adantl 483 . . . 4 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ + -π‘₯) = 0)
2320, 22eqtrd 2773 . . 3 ((0 ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (-π‘₯ + π‘₯) = 0)
245, 8, 10, 12, 13, 15, 17, 23isgrpd 18844 . 2 (0 ∈ β„‚ β†’ π‘Š ∈ Grp)
254a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ β„‚ = (Baseβ€˜π‘Š))
267a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ + = (+gβ€˜π‘Š))
272cnlmodlem3 24654 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Š) = β„‚fld
2827eqcomi 2742 . . . 4 β„‚fld = (Scalarβ€˜π‘Š)
2928a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ β„‚fld = (Scalarβ€˜π‘Š))
302cnlmod4 24655 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = Β·
3130eqcomi 2742 . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
3231a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
33 cnfldbas 20948 . . . 4 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
3433a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld))
35 cnfldadd 20949 . . . 4 + = (+gβ€˜β„‚fld)
3635a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ + = (+gβ€˜β„‚fld))
37 cnfldmul 20950 . . . 4 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
3837a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ Β· = (.rβ€˜β„‚fld))
39 cnfld1 20970 . . . 4 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
4039a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ 1 = (1rβ€˜β„‚fld))
41 cnring 20967 . . . 4 β„‚fld ∈ Ring
4241a1i 11 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ β„‚fld ∈ Ring)
43 id 22 . . 3 (π‘Š ∈ Grp β†’ π‘Š ∈ Grp)
44 mulcl 11194 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
45443adant1 1131 . . 3 ((π‘Š ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ β„‚)
46 adddi 11199 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯ Β· (𝑦 + 𝑧)) = ((π‘₯ Β· 𝑦) + (π‘₯ Β· 𝑧)))
4746adantl 483 . . 3 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚)) β†’ (π‘₯ Β· (𝑦 + 𝑧)) = ((π‘₯ Β· 𝑦) + (π‘₯ Β· 𝑧)))
48 adddir 11205 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) Β· 𝑧) = ((π‘₯ Β· 𝑧) + (𝑦 Β· 𝑧)))
4948adantl 483 . . 3 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚)) β†’ ((π‘₯ + 𝑦) Β· 𝑧) = ((π‘₯ Β· 𝑧) + (𝑦 Β· 𝑧)))
50 mulass 11198 . . . 4 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) Β· 𝑧) = (π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑧)))
5150adantl 483 . . 3 ((π‘Š ∈ Grp ∧ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚ ∧ 𝑧 ∈ β„‚)) β†’ ((π‘₯ Β· 𝑦) Β· 𝑧) = (π‘₯ Β· (𝑦 Β· 𝑧)))
52 mullid 11213 . . . 4 (π‘₯ ∈ β„‚ β†’ (1 Β· π‘₯) = π‘₯)
5352adantl 483 . . 3 ((π‘Š ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (1 Β· π‘₯) = π‘₯)
5425, 26, 29, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 43, 45, 47, 49, 51, 53islmodd 20477 . 2 (π‘Š ∈ Grp β†’ π‘Š ∈ LMod)
551, 24, 54mp2b 10 1 π‘Š ∈ LMod
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆͺ cun 3947  {cpr 4631  βŸ¨cop 4635  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   Β· cmul 11115  -cneg 11445  ndxcnx 17126  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  .rcmulr 17198  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  Grpcgrp 18819  1rcur 20004  Ringcrg 20056  LModclmod 20471  β„‚fldccnfld 20944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-lmod 20473  df-cnfld 20945
This theorem is referenced by:  cnstrcvs  24657
  Copyright terms: Public domain W3C validator