MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnlmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnlmod 25187
Description: The set of complex numbers is a left module over itself. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by AV, 20-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
cnlmod.w 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
Assertion
Ref Expression
cnlmod 𝑊 ∈ LMod

Proof of Theorem cnlmod
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 11251 . 2 0 ∈ ℂ
2 cnlmod.w . . . . . 6 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
32cnlmodlem1 25183 . . . . 5 (Base‘𝑊) = ℂ
43eqcomi 2744 . . . 4 ℂ = (Base‘𝑊)
54a1i 11 . . 3 (0 ∈ ℂ → ℂ = (Base‘𝑊))
62cnlmodlem2 25184 . . . . 5 (+g𝑊) = +
76eqcomi 2744 . . . 4 + = (+g𝑊)
87a1i 11 . . 3 (0 ∈ ℂ → + = (+g𝑊))
9 addcl 11235 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
1093adant1 1129 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
11 addass 11240 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
1211adantl 481 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
13 id 22 . . 3 (0 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
14 addlid 11442 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
1514adantl 481 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
16 negcl 11506 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
1716adantl 481 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -𝑥 ∈ ℂ)
18 id 22 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
1916, 18addcomd 11461 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + 𝑥) = (𝑥 + -𝑥))
2019adantl 481 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝑥 + 𝑥) = (𝑥 + -𝑥))
21 negid 11554 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
2221adantl 481 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = 0)
2320, 22eqtrd 2775 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
245, 8, 10, 12, 13, 15, 17, 23isgrpd 18989 . 2 (0 ∈ ℂ → 𝑊 ∈ Grp)
254a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → ℂ = (Base‘𝑊))
267a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → + = (+g𝑊))
272cnlmodlem3 25185 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = ℂfld
2827eqcomi 2744 . . . 4 fld = (Scalar‘𝑊)
2928a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → ℂfld = (Scalar‘𝑊))
302cnlmod4 25186 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ·
3130eqcomi 2744 . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
3231a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → · = ( ·𝑠𝑊))
33 cnfldbas 21386 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
3433a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → ℂ = (Base‘ℂfld))
35 cnfldadd 21388 . . . 4 + = (+g‘ℂfld)
3635a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → + = (+g‘ℂfld))
37 cnfldmul 21390 . . . 4 · = (.r‘ℂfld)
3837a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → · = (.r‘ℂfld))
39 cnfld1 21424 . . . 4 1 = (1r‘ℂfld)
4039a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → 1 = (1r‘ℂfld))
41 cnring 21421 . . . 4 fld ∈ Ring
4241a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → ℂfld ∈ Ring)
43 id 22 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Grp)
44 mulcl 11237 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
45443adant1 1129 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
46 adddi 11242 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
4746adantl 481 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
48 adddir 11250 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
4948adantl 481 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
50 mulass 11241 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
5150adantl 481 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
52 mullid 11258 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
5352adantl 481 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
5425, 26, 29, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 43, 45, 47, 49, 51, 53islmodd 20881 . 2 (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ LMod)
551, 24, 54mp2b 10 1 𝑊 ∈ LMod
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  cun 3961  {cpr 4633  cop 4637  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  -cneg 11491  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  Grpcgrp 18964  1rcur 20199  Ringcrg 20251  LModclmod 20875  fldccnfld 21382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-cmn 19815  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-lmod 20877  df-cnfld 21383
This theorem is referenced by:  cnstrcvs  25188
  Copyright terms: Public domain W3C validator