Theorem cnlmod 25073

Description: The set of complex numbers is a left module over itself. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by AV, 20-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnlmod.w	⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})

Assertion

Ref	Expression
cnlmod	⊢ 𝑊 ∈ LMod

Proof of Theorem cnlmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11110	. 2 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		cnlmod.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
3	2	cnlmodlem1 25069	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = ℂ
4	3	eqcomi 2740	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘𝑊)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → ℂ = (Base‘𝑊))
6	2	cnlmodlem2 25070	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = +
7	6	eqcomi 2740	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → + = (+g‘𝑊))
9		addcl 11094	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
10	9	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
11		addass 11099	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
12	11	adantl 481	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
13		id 22	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
14		addlid 11302	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
16		negcl 11366	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -𝑥 ∈ ℂ)
18		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
19	16, 18	addcomd 11321	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + 𝑥) = (𝑥 + -𝑥))
20	19	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝑥 + 𝑥) = (𝑥 + -𝑥))
21		negid 11414	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
22	21	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = 0)
23	20, 22	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
24	5, 8, 10, 12, 13, 15, 17, 23	isgrpd 18877	. 2 ⊢ (0 ∈ ℂ → 𝑊 ∈ Grp)
25	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → ℂ = (Base‘𝑊))
26	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → + = (+g‘𝑊))
27	2	cnlmodlem3 25071	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = ℂfld
28	27	eqcomi 2740	. . . 4 ⊢ ℂfld = (Scalar‘𝑊)
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → ℂfld = (Scalar‘𝑊))
30	2	cnlmod4 25072	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ·
31	30	eqcomi 2740	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
32	31	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))
33		cnfldbas 21301	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
34	33	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → ℂ = (Base‘ℂfld))
35		cnfldadd 21303	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
36	35	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → + = (+g‘ℂfld))
37		cnfldmul 21305	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
38	37	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → · = (.r‘ℂfld))
39		cnfld1 21336	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
40	39	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 1 = (1r‘ℂfld))
41		cnring 21333	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
42	41	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → ℂfld ∈ Ring)
43		id 22	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Grp)
44		mulcl 11096	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
45	44	3adant1 1130	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
46		adddi 11101	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
47	46	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
48		adddir 11109	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
49	48	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
50		mulass 11100	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
51	50	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
52		mullid 11117	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
53	52	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
54	25, 26, 29, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 43, 45, 47, 49, 51, 53	islmodd 20805	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ LMod)
55	1, 24, 54	mp2b 10	1 ⊢ 𝑊 ∈ LMod

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3895  {cpr 4577  ⟨cop 4581  ‘cfv 6487  (class class class)co 7352  ℂcc 11010  0cc0 11012  1c1 11013   + caddc 11015   · cmul 11017  -cneg 11351  ndxcnx 17110  Basecbs 17126  +_gcplusg 17167  ._rcmulr 17168  Scalarcsca 17170   ·_𝑠 cvsca 17171  Grpcgrp 18852  1_rcur 20105  Ringcrg 20157  LModclmod 20799  ℂ_fldccnfld 21297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-addf 11091  ax-mulf 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-4 12196  df-5 12197  df-6 12198  df-7 12199  df-8 12200  df-9 12201  df-n0 12388  df-z 12475  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13414  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17127  df-plusg 17180  df-mulr 17181  df-starv 17182  df-sca 17183  df-vsca 17184  df-tset 17186  df-ple 17187  df-ds 17189  df-unif 17190  df-0g 17351  df-mgm 18554  df-sgrp 18633  df-mnd 18649  df-grp 18855  df-cmn 19700  df-mgp 20065  df-ur 20106  df-ring 20159  df-cring 20160  df-lmod 20801  df-cnfld 21298

This theorem is referenced by:  cnstrcvs  25074