Theorem cnlmod 25095

Description: The set of complex numbers is a left module over itself. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by AV, 20-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnlmod.w	⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})

Assertion

Ref	Expression
cnlmod	⊢ 𝑊 ∈ LMod

Proof of Theorem cnlmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 11125	. 2 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		cnlmod.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
3	2	cnlmodlem1 25091	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = ℂ
4	3	eqcomi 2744	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘𝑊)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → ℂ = (Base‘𝑊))
6	2	cnlmodlem2 25092	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = +
7	6	eqcomi 2744	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → + = (+g‘𝑊))
9		addcl 11109	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
10	9	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
11		addass 11114	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
12	11	adantl 481	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
13		id 22	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
14		addlid 11318	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
16		negcl 11382	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -𝑥 ∈ ℂ)
18		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
19	16, 18	addcomd 11337	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + 𝑥) = (𝑥 + -𝑥))
20	19	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝑥 + 𝑥) = (𝑥 + -𝑥))
21		negid 11430	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
22	21	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = 0)
23	20, 22	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
24	5, 8, 10, 12, 13, 15, 17, 23	isgrpd 18923	. 2 ⊢ (0 ∈ ℂ → 𝑊 ∈ Grp)
25	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → ℂ = (Base‘𝑊))
26	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → + = (+g‘𝑊))
27	2	cnlmodlem3 25093	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = ℂfld
28	27	eqcomi 2744	. . . 4 ⊢ ℂfld = (Scalar‘𝑊)
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → ℂfld = (Scalar‘𝑊))
30	2	cnlmod4 25094	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ·
31	30	eqcomi 2744	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
32	31	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))
33		cnfldbas 21345	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
34	33	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → ℂ = (Base‘ℂfld))
35		cnfldadd 21347	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
36	35	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → + = (+g‘ℂfld))
37		cnfldmul 21349	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
38	37	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → · = (.r‘ℂfld))
39		cnfld1 21366	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
40	39	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 1 = (1r‘ℂfld))
41		cnring 21363	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
42	41	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → ℂfld ∈ Ring)
43		id 22	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Grp)
44		mulcl 11111	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
45	44	3adant1 1131	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
46		adddi 11116	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
47	46	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
48		adddir 11124	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
49	48	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
50		mulass 11115	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
51	50	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
52		mullid 11132	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
53	52	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
54	25, 26, 29, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 43, 45, 47, 49, 51, 53	islmodd 20850	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ LMod)
55	1, 24, 54	mp2b 10	1 ⊢ 𝑊 ∈ LMod

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∪ cun 3883  {cpr 4559  ⟨cop 4563  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  ℂcc 11025  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032  -cneg 11367  ndxcnx 17152  Basecbs 17168  +_gcplusg 17209  ._rcmulr 17210  Scalarcsca 17212   ·_𝑠 cvsca 17213  Grpcgrp 18898  1_rcur 20151  Ringcrg 20203  LModclmod 20844  ℂ_fldccnfld 21341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-addf 11106  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-0g 17393  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18901  df-cmn 19746  df-mgp 20111  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-lmod 20846  df-cnfld 21342

This theorem is referenced by:  cnstrcvs  25096