MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnlmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnlmod 23671
Description: The set of complex numbers is a left module over itself. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by AV, 20-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
cnlmod.w 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
Assertion
Ref Expression
cnlmod 𝑊 ∈ LMod

Proof of Theorem cnlmod
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 10621 . 2 0 ∈ ℂ
2 cnlmod.w . . . . . 6 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
32cnlmodlem1 23667 . . . . 5 (Base‘𝑊) = ℂ
43eqcomi 2827 . . . 4 ℂ = (Base‘𝑊)
54a1i 11 . . 3 (0 ∈ ℂ → ℂ = (Base‘𝑊))
62cnlmodlem2 23668 . . . . 5 (+g𝑊) = +
76eqcomi 2827 . . . 4 + = (+g𝑊)
87a1i 11 . . 3 (0 ∈ ℂ → + = (+g𝑊))
9 addcl 10607 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
1093adant1 1122 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
11 addass 10612 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
1211adantl 482 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
13 id 22 . . 3 (0 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
14 addid2 10811 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
1514adantl 482 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
16 negcl 10874 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
1716adantl 482 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -𝑥 ∈ ℂ)
18 id 22 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
1916, 18addcomd 10830 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + 𝑥) = (𝑥 + -𝑥))
2019adantl 482 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝑥 + 𝑥) = (𝑥 + -𝑥))
21 negid 10921 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
2221adantl 482 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = 0)
2320, 22eqtrd 2853 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
245, 8, 10, 12, 13, 15, 17, 23isgrpd 18063 . 2 (0 ∈ ℂ → 𝑊 ∈ Grp)
254a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → ℂ = (Base‘𝑊))
267a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → + = (+g𝑊))
272cnlmodlem3 23669 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = ℂfld
2827eqcomi 2827 . . . 4 fld = (Scalar‘𝑊)
2928a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → ℂfld = (Scalar‘𝑊))
302cnlmod4 23670 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ·
3130eqcomi 2827 . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
3231a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → · = ( ·𝑠𝑊))
33 cnfldbas 20477 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
3433a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → ℂ = (Base‘ℂfld))
35 cnfldadd 20478 . . . 4 + = (+g‘ℂfld)
3635a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → + = (+g‘ℂfld))
37 cnfldmul 20479 . . . 4 · = (.r‘ℂfld)
3837a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → · = (.r‘ℂfld))
39 cnfld1 20498 . . . 4 1 = (1r‘ℂfld)
4039a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → 1 = (1r‘ℂfld))
41 cnring 20495 . . . 4 fld ∈ Ring
4241a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → ℂfld ∈ Ring)
43 id 22 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Grp)
44 mulcl 10609 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
45443adant1 1122 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
46 adddi 10614 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
4746adantl 482 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
48 adddir 10620 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
4948adantl 482 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
50 mulass 10613 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
5150adantl 482 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
52 mulid2 10628 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
5352adantl 482 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
5425, 26, 29, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 43, 45, 47, 49, 51, 53islmodd 19569 . 2 (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ LMod)
551, 24, 54mp2b 10 1 𝑊 ∈ LMod
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cun 3931  {cpr 4559  cop 4563  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  -cneg 10859  ndxcnx 16468  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  .rcmulr 16554  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  Grpcgrp 18041  1rcur 19180  Ringcrg 19226  LModclmod 19563  fldccnfld 20473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-cmn 18837  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-cring 19229  df-lmod 19565  df-cnfld 20474
This theorem is referenced by:  cnstrcvs  23672
  Copyright terms: Public domain W3C validator