Theorem cnlmod 24209

Description: The set of complex numbers is a left module over itself. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by AV, 20-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
cnlmod.w	⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})

Assertion

Ref	Expression
cnlmod	⊢ 𝑊 ∈ LMod

Proof of Theorem cnlmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0cn 10898	. 2 ⊢ 0 ∈ ℂ
2		cnlmod.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
3	2	cnlmodlem1 24205	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = ℂ
4	3	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘𝑊)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → ℂ = (Base‘𝑊))
6	2	cnlmodlem2 24206	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = +
7	6	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → + = (+g‘𝑊))
9		addcl 10884	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
10	9	3adant1 1128	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
11		addass 10889	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
12	11	adantl 481	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
13		id 22	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
14		addid2 11088	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
15	14	adantl 481	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
16		negcl 11151	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
17	16	adantl 481	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -𝑥 ∈ ℂ)
18		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
19	16, 18	addcomd 11107	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + 𝑥) = (𝑥 + -𝑥))
20	19	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝑥 + 𝑥) = (𝑥 + -𝑥))
21		negid 11198	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
22	21	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = 0)
23	20, 22	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
24	5, 8, 10, 12, 13, 15, 17, 23	isgrpd 18516	. 2 ⊢ (0 ∈ ℂ → 𝑊 ∈ Grp)
25	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → ℂ = (Base‘𝑊))
26	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → + = (+g‘𝑊))
27	2	cnlmodlem3 24207	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = ℂfld
28	27	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ ℂfld = (Scalar‘𝑊)
29	28	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → ℂfld = (Scalar‘𝑊))
30	2	cnlmod4 24208	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ·
31	30	eqcomi 2747	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
32	31	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → · = ( ·𝑠 ‘𝑊))
33		cnfldbas 20514	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
34	33	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → ℂ = (Base‘ℂfld))
35		cnfldadd 20515	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
36	35	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → + = (+g‘ℂfld))
37		cnfldmul 20516	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
38	37	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → · = (.r‘ℂfld))
39		cnfld1 20535	. . . 4 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
40	39	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 1 = (1r‘ℂfld))
41		cnring 20532	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Ring
42	41	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → ℂfld ∈ Ring)
43		id 22	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Grp)
44		mulcl 10886	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
45	44	3adant1 1128	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
46		adddi 10891	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
47	46	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
48		adddir 10897	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
49	48	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
50		mulass 10890	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
51	50	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
52		mulid2 10905	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
53	52	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
54	25, 26, 29, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 43, 45, 47, 49, 51, 53	islmodd 20044	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ LMod)
55	1, 24, 54	mp2b 10	1 ⊢ 𝑊 ∈ LMod

Syntax hints:   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3881  {cpr 4560  ⟨cop 4564  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807  -cneg 11136  ndxcnx 16822  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  Grpcgrp 18492  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  LModclmod 20038  ℂ_fldccnfld 20510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-cmn 19303  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-cring 19701  df-lmod 20040  df-cnfld 20511

This theorem is referenced by:  cnstrcvs  24210