MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnlmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnlmod 23745
Description: The set of complex numbers is a left module over itself. The vector operation is +, and the scalar product is ·. (Contributed by AV, 20-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
cnlmod.w 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
Assertion
Ref Expression
cnlmod 𝑊 ∈ LMod

Proof of Theorem cnlmod
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0cn 10622 . 2 0 ∈ ℂ
2 cnlmod.w . . . . . 6 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), ℂ⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), ℂfld⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
32cnlmodlem1 23741 . . . . 5 (Base‘𝑊) = ℂ
43eqcomi 2807 . . . 4 ℂ = (Base‘𝑊)
54a1i 11 . . 3 (0 ∈ ℂ → ℂ = (Base‘𝑊))
62cnlmodlem2 23742 . . . . 5 (+g𝑊) = +
76eqcomi 2807 . . . 4 + = (+g𝑊)
87a1i 11 . . 3 (0 ∈ ℂ → + = (+g𝑊))
9 addcl 10608 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
1093adant1 1127 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
11 addass 10613 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
1211adantl 485 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
13 id 22 . . 3 (0 ∈ ℂ → 0 ∈ ℂ)
14 addid2 10812 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
1514adantl 485 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (0 + 𝑥) = 𝑥)
16 negcl 10875 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
1716adantl 485 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → -𝑥 ∈ ℂ)
18 id 22 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℂ → 𝑥 ∈ ℂ)
1916, 18addcomd 10831 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + 𝑥) = (𝑥 + -𝑥))
2019adantl 485 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝑥 + 𝑥) = (𝑥 + -𝑥))
21 negid 10922 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
2221adantl 485 . . . 4 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + -𝑥) = 0)
2320, 22eqtrd 2833 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
245, 8, 10, 12, 13, 15, 17, 23isgrpd 18117 . 2 (0 ∈ ℂ → 𝑊 ∈ Grp)
254a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → ℂ = (Base‘𝑊))
267a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → + = (+g𝑊))
272cnlmodlem3 23743 . . . . 5 (Scalar‘𝑊) = ℂfld
2827eqcomi 2807 . . . 4 fld = (Scalar‘𝑊)
2928a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → ℂfld = (Scalar‘𝑊))
302cnlmod4 23744 . . . . 5 ( ·𝑠𝑊) = ·
3130eqcomi 2807 . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
3231a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → · = ( ·𝑠𝑊))
33 cnfldbas 20095 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
3433a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → ℂ = (Base‘ℂfld))
35 cnfldadd 20096 . . . 4 + = (+g‘ℂfld)
3635a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → + = (+g‘ℂfld))
37 cnfldmul 20097 . . . 4 · = (.r‘ℂfld)
3837a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → · = (.r‘ℂfld))
39 cnfld1 20116 . . . 4 1 = (1r‘ℂfld)
4039a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → 1 = (1r‘ℂfld))
41 cnring 20113 . . . 4 fld ∈ Ring
4241a1i 11 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → ℂfld ∈ Ring)
43 id 22 . . 3 (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Grp)
44 mulcl 10610 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
45443adant1 1127 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
46 adddi 10615 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
4746adantl 485 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
48 adddir 10621 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
4948adantl 485 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
50 mulass 10614 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
5150adantl 485 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
52 mulid2 10629 . . . 4 (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
5352adantl 485 . . 3 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
5425, 26, 29, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 43, 45, 47, 49, 51, 53islmodd 19633 . 2 (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ LMod)
551, 24, 54mp2b 10 1 𝑊 ∈ LMod
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  cun 3879  {cpr 4527  cop 4531  cfv 6324  (class class class)co 7135  cc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  -cneg 10860  ndxcnx 16472  Basecbs 16475  +gcplusg 16557  .rcmulr 16558  Scalarcsca 16560   ·𝑠 cvsca 16561  Grpcgrp 18095  1rcur 19244  Ringcrg 19290  LModclmod 19627  fldccnfld 20091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-cmn 18900  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-lmod 19629  df-cnfld 20092
This theorem is referenced by:  cnstrcvs  23746
  Copyright terms: Public domain W3C validator